Mô tả:
Giáo án BDHSG Toán 6
Chuyên đề :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a Md và b Md thì ma � nb Md với m, n � Z
+) Nếu a Mm thì a � md Md .
�
với m Z
+)
a
là tối giản khi (a, b) = 1
b
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8.
Hướng dẫn
a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d 7n + 10 d và 5n + 7 d
5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1 d d = 1
Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau
b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d 2n + 3 d và 4n + 8 d
(4n + 8) – 2(2n + 3) = 2 d
Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ d là số lẻ d = 1
Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để
Hướng dẫn
n 19
là phân số tối giản
n2
n 19
n 2 21
21
1
=
n2
n2
n2
n 19
21
Để
tối giản thì
tối giản
n2
n2
Ta có:
Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và
không chia hết cho 7.
n – 2 � 3k (k �N) và n – 2 � 7p (p�N)
n �3k + 2 (k �N) và n � 7p + 2 (p �N)
Vậy với n �3k + 2
(k �N) và n � 7p + 2
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để
Hướng dẫn
(p�N) thì
n 19
tối giản
n2
4n 5
có thể rút gọn được.
5n 4
4n 5
có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1
5n 4
4n + 5 Md và 5n + 4 Md 5(4n + 5) – 4(5n + 4) Md hay 9 Md
4n + 5 M3 và 5n + 4 M3 n – 1 M3 n – 1 = 3k n = 3k + 1 (k �N)
4n 5
Vậy với n = 3k + 1 (k �N) thì
có thể rút gọn được
5n 4
n3 2n 2 3
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để
là số tự nhiên
n2
Để
1
Giáo án BDHSG Toán 6
Hướng dẫn
3
n3 2n 2 3
= n2
n2
n2
n3 2n 2 3
Vì n �N nên n2 �N Để
là số tự nhiên thì n – 2 � Ư(3)
n2
n – 2 � 1; 3 n � 3; 5
Ta có:
n3 2n 2 3
là số tự nhiên
n2
12n 1
Bài 5: Chứng tỏ rằng
là phân số tối giản.
30n 2
Vậy với n � 3; 5 thì
Hướng dẫn
Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2 12n + 1 Md và 30n + 2 Md
5(12n +1) - 2(30n + 2) =1 Md
Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau
Do đó
12n 1
là phân số tối giản
30n 2
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số A
8n 193
4n 3
a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.
Hướng dẫn
8n 193 2(4n 3) 187
187
2
4n 3
4n 3
4n 3
a) Để A N thì 187 4n + 3 4n +3 1; 17; 11; 187
+) 4n + 3 = 1 không có n N
+) 4n + 3 = 11 n = 2
+) 4n +3 = 187 n = 46
+) 4n + 3 = 17 4n = 14 không có n N
Ta cú: A
Vậy n 2; 46
b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1
4n + 3 11k (k N) và 4n + 3 17m (m N)
4n + 3 - 11 11k (k N) và 4n + 3 - 51 17m (m N)
4(n – 2) 11k (k N) và 4(n – 12) 17m (m N)
n 11k + 2 (k N) và n 17m +12 (m N)
c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12
Vỡ 150 < n < 170 n 156; 165
n 1
( n z; n 3 )
n3
a) Tìm n để A có giá trị nguyên.
b) Tìm n để A là phân số tối giản.
Bài 7: Cho phân số A
Hướng dẫn
a) Ta cú: A
n 1 n 3 4
4
1
n3
n3
n3
2
Giáo án BDHSG Toán 6
A có gá trị nguyên n-3 �1; �2; �4
Vậy n 4; 2; 5; 1; 7; 1
n-3
n
1
4
-1
2
2
5
-2
1
4
7
-4
-1
n 1
là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1
n3
2 � n là số chẵn
Ta có : (n+1; n-3) = 1 � (n-3; 4) = 1 � n-3 M
21n 4
Bài 8: Cho phân số:
. Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên
14n 3
b) Muốn cho
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3)
Khi đó 21n + 4
d và 14n + 3
d
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1
d d=1
21n 4
là phõn số tối giản
14n 3
a 3 2a 2 1
A
Bài 9: Cho biểu thức
a 3 2a 2 2a 1
Vậy
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a
là một phân số tối giản.
Hướng dẫn
a) Ta có: A
(a 1)(a 2 a 1) a 2 a 1
a 3 2a 2 1
=
(a ≠ -1)
(a 1)(a 2 a 1) a 2 a 1
a 3 2a 2 2 a 1
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a2+a +1 – (a2 + a – 1)] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau.
Vậy biểu thức A là phân số tối giản.
*******************
CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ
A) Tóm tắt kiến thức cần nắm:
Chuyên đề 1: Khái niệm phân số
+ Ta gọi
a
với a ; b � ; b �0 là một phân số
b
a
1
2n 15
Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên n sao cho phân số
là số nguyên
n 1
+ Chú ý : số nguyên a cũng là một phân số : a =
Chuyên đề 2: Phân số bằng nhau
+ Hai phân số
a c
nếu a.d = b.c
b d
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm số nguyên x biết
3
Giáo án BDHSG Toán 6
a)
5
x
12 72
b)
x 3 1
15
3
12
x
3 x
3
21
z
Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết 16 4 y 80
Bài 3* : Tìm các số nguyên x ; y biết 7 y 7 và x + y = 20
Bài 4*: Có hay không số nguyên n để các phân số
n6 n5
;
đồng thời nhận
3
3
giá trị nguyên.
Chuyên đề 3: Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số
1) Tính chất cơ bản của phân số
+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0
thì được phân số mới bằng phân số đã cho.
a a.m
( với m � ; m �0 )
b b.m
+ Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng
thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho
a a:n
( với n �ƯC(a ; b ) )
b b:n
2) Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số
+ Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của
nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1)
+ Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ưóc chung của tử
và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1
+ Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với
ước chung lớn nhất của chúng.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau
9909 29727 39636
;
;
8808 26424 35232
11
Bài 2: Tìm phân số bằng phân số
biết tổng của tử và mẫu của nó bằng
15
a)
23 2323 232323
;
;
99 9999 999999
b)
2002.
Bài 3: Tìm một phân số bằng phân số
2
sao cho
3
a) Tử của nó bằng 8 ; bằng 24 ; bằng 14
b) Mẫu của nó bằng 9 ; bằng 21 ; bằng 60
Bài 4: Tìm phân số tối giản
a
biết
b
a) Cộng tử với 4 , cộng mẫu với 10 thì giá trị phân số không đổi
b) Cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu của phân số thì được phân
số mới
bằng hai lần phân số đã cho.
B) Bài tập tổng hợp
4
Giáo án BDHSG Toán 6
Bài 1: Cho biểu thức A =
4
( với n �Z )
n 1
a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số
b) Tìm các số nguyên n để A có giá trị nguyên
Bài 2: Cho phân số B =
n
( với n �Z )
n4
a) Tìm số nguyên n để B là một phân số
b) Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị nguyên
Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
102011 2
a)
3
102010 8
b)
9
Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết
x
15
15 25
36
44
b) y 2 77
Bài 5: Tìm các số nguyên x ; y biết
a)
x
4
2
y
x
y
a) 3 y
b)
x 9
Bài 6: Tìm các số nguyên x ; y biết
x
2
a) y 5
b)
3 7
Bài 7: Lập các phân số bằng nhau từ 4 số - 6 ; - 2 ; 3 và 9
Bài 8: Rút gọn các phân số sau
1999......9
( có 10 chữ số 9 ở tử và 10 chữ số 9 ở mẫu )
9999....95
121212
3.7.13.37.39 10101
b)
c)
424242
505050 70707
a
Bài 9*: Tìm các phân số có giá trị bằng
b
36
21
a)
và BCNN (a ; b ) = 300
b)
và ƯCLN( a;b ) = 30
45
35
15
c)
biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549
35
1 2 3 ...... 9
Bài 10: Cho phân số
11 12 13 .... 19
a)
a) Rút gọn phân số đó
b) Hãy xóa đi một số hạng ở tử và xóa đi một số hạng ở mẫu để được phân
số có giá
trị bằng phân số đã cho
Bài 11*:
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số
giản
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
5
21n 4
là phân số tối
14n 3
n3
là phân số tối giản
n 12
Giáo án BDHSG Toán 6
c) Tìm các số tự nhiên n để phân số
Bài 12*Cho p =
21n 3
rút gọn được
6n 4
n4
( với n �Z ) . Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố
2n 1
Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên
a)
12
3n 1
b*)
2n 3
4n 1
b)
2n 3
7
c)
n3
2n 2
Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản
a)
3n 2
7n 1
c)
2n 7
5n 2
Bài 15: Chứng minh rằng mọi số phân số có dạng :
n 1
( với n là số tụ nhiên )
2n 3
2n 3
b)
( với n là số tụ nhiên ) đều là phân số tối giản
3n 5
a)
Bài 16: Rút gọn cá phân số sau:
a)
22
36
b)
147
234
c)
143
363
Bài 17: Rút gọn cá phân số sau:
9.6 9.2
18
7
y 42
Bài 18: Tìm các số nguyên x ; y biết
x 21 54
8n 193
Bài 19*: Tìm số tự nhiên n sao cho phân số A =
4n 3
4.7.22
a)
33.14
35.24
b)
8.36
c)
a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n ( 150 �n �170 ) thì phân số A rút gọn được
Bài 20* : Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho các phân số sau đều là phân số tối
giản
5
6
7
17
;
;
;.......;
n 8 n 9 n 10
n 20
ab
abab
Bài 21 : So sánh các phân số
và
cd
cdcd
6
Giáo án BDHSG Toán 6
7
- Xem thêm -