Tài liệu đồng viễn tạo có điều khiển trạng thái lượng tử một qubit bất kì trong môi trường nhiễu

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Vật lí Khóa luận tốt nghiệp ĐỒNG VIỄN TẠO CÓ ĐIỀU KHIỂN TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ MỘT QUBIT BẤT KÌ TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỄU Giảng viên hướng dẫn : TS. Nguyễn Văn Hợp 2 Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn và lòng biết ơn đến thầy Nguyễn Văn Hợp, người đã hết lòng dạy dỗ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các quý thầy cô khoa Vật lí - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lí Lí thuyết đã nhiệt tình giảng dạy, chỉ bảo cho tôi trong suốt thời gian tôi học tập tại khoa. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đã luôn bên tôi và khích lệ tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc. Hà Nội, tháng 5 -2016 Sinh viên 3 MỤC LỤC Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 Chương I. Một số khái niệm cơ bản 8 I.1. Bit lượng tử 8 I.2. Rối lượng tử 10 I.3. Độ rối lượng tử 13 I.4. Cổng logic lượng tử 18 I.5. Tạo rối lượng tử 27 I.6. Phép đo lượng tử 29 Chương II. Một số giao thức truyền trạng thái lượng tử cơ bản 32 II.1. Viễn chuyển trạng thái lượng tử. 32 II.2. Viễn tạo trạng thái lượng tử 34 II.3. Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử 36 Chương III. Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử của một qubit bất kì có điều khiển trong môi trường nhiễu 42 III.1. Đồng viễn tạo tất định trạng thái lượng tử của một qubit bất kì có điều khiển 42 III.1.1. Các bước của giao thức 42 III.1.2. Quyền lực của người điều khiển 47 III.2. Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử của một qubit bất kì có điều khiển trong môi trường nhiễu 51 4 III.2.1. Các loại kênh nhiễu. 51 III.2.2. Người điều khiển tạo ra kênh lượng tử ban đầu 53 III.2.3 Người tạo ra kênh lượng tử không tham gia giao thức 56 Thảo luận kết quả và kết luận 59 Tài liệu tham khảo 63 Mở đầu Cơ học lượng tử (quantum mechanics) là một trong những thành tựu trí tuệ tột đỉnh của nhân loại trong thế kỉ 20. Ngày nay, cơ học lượng tử đã trở thành một phần không thể thiếu trong hành trang của các nhà vật lí. Các nguyên lí của cơ học lượng tử là nền tảng cho sự ra đời của laser, transistor, kính hiển vi điện tử hay đi-ốt ... Kì lạ hơn nữa, các tính toán của nó đã tiên đoán về tính chất của các hạt cơ bản phù hợp với phép đo thực nghiệm với độ chính xác cao đến kinh ngạc. Mặc dù vậy, ngay từ khi mới ra đời, lí thuyết lượng tử đã vấp phải sự phản đối của nhiều nhà vật lí, đặc biệt là Alber Einstein. Ông phủ nhận tính không đầy đủ của lí thuyết lượng tử, đối với ông luôn tồn tại một hiện thực khách quan, độc lập với nhận thực của chúng ta, dù ở bất kì cấp độ vĩ mô hay vi mô. Ông không công nhận tính xác suất của sự tồn tại các trạng thái lượng tử với quan điểm " Chúa không chơi xúc xắc ". Đặc biệt, vào năm 1935, Einstien cùng với hai đồng nghiệp của mình là Poldosky và Rosen đã nêu ra nghịch lí EPR nổi tiếng trong bài báo mang tên " Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete ? "[1]. Bài báo mô tả một thí nghiệm giả tưởng rằng hai hạt xuất phát từ một nguồn giả định EPR và đi xa nhau sao cho giữa chúng luôn có tính chất tương quan với nhau. Khi đó, theo lập luận EPR thì khi ta xác định tính chất của một hạt thì ngay lập tức ta biết được tính chất của hạt còn lại mà không cần thực hiện phép đo (cụ thể tính chất ở đây là tọa độ và xung lượng) và theo các giả thuyết mà Einstein đề cập trong bài báo (giả thuyết hiện thực "reality" và giả thuyết định xứ "locality") thì điều này trái với "nguyên lí bất định Heisenberg" của cơ học lượng tử. Mãi đến năm 1964, bằng việc đưa ra một bất đẳng thức mới, John Bell đã kiểm chứng 5 được tính đúng đắn trong lập luận của EPR. Bài học theo như Heisenberg đã chỉ ra trong bản thảo của ông về quan điểm của Einstein là : " Thực tại theo cơ học lượng tử không giống như thực tại trong cổ điển, bất kể Einstein có thích điều đó hay không ". Tóm lại, chúng ta có thể thấy rằng, cơ học lượng tử là một lí thuyết đầy đủ, vô cùng hữu ích, đã được kiểm nghiệm chi tiết và đồng thời cũng rất đáng tin cậy. Tuy vậy, dù cho chúng ta có quen thuộc với các tính chất của cơ học lượng tử đến mức nào đi nữa thì đa phần các nhà vật lí vẫn luôn cảm thấy có điều gì đó thật lạ lùng, khó nắm bắt được trong cơ học lượng tử. Những thập niên cuối thế kỉ 20, dựa trên những tính chất lạ kì của cơ học lượng tử, ngành khoa học thông tin lượng tử ra đời, hứa hẹn tiềm năng phát triển to lớn trong tương lai . Khoa học thông tin lượng tử là một lĩnh vực mới của khoa học, nó được xây dựng dựa trên các quy luật của nhiều ngành khoa học cơ bản như vật lí, toán học, khoa học máy tính và kĩ thuật. Mục đích của thông tin lượng tử là khai thác các tính chất đặc biệt của cơ học lượng tử để cải thiện một cách tối ưu nhất vào các quá trình truyền tải và xử lí thông tin. Sự phát triển bùng nổ của thông tin lượng tử trong thời gian gần đây bắt nguồn từ hai nguyên nhân sau. Thứ nhất là lí thuyết thông tin cổ điển của Shanon đưa ra năm 1948, tuy đã đạt được những thành công to lớn nhưng không thể phủ nhận nó còn rất nhiều hạn chế, chính những hạn chế này là động lực cho sự phát triển của thông tin lượng tử. Thứ hai, trong những năm gần đây, nhờ sự phát triển của khoa học công nghệ, các thí nghiệm hiện đại với độ chính xác cao được thực hiện, cho phép chúng ta kiểm chứng được các tính chất lượng tử của các hệ lượng tử tinh vi. Thí nghiệm thực hiện năm 2007 của Alain Aspect khi nghiên cứu tính chất của cặp photon thu được từ một photon đi qua tinh thể có tính chất "phi tuyến" đã chứng tỏ 2 giả thuyết mà Einstein đưa ra là sai lầm và mang lại cho ông và các đồng nghiệp giải thưởng Wolf về nghiên cứu này. Nổi bật nhất trong thời gian gần đây là giải Nobel 2012 cho hai nhà khoa học Serge Haroche và David J.Wineland, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được bản chất lượng tử của chúng, mở ra một kỉ nguyên mới cho các nghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử. 6 Theo lí thuyết thông tin cổ điển, một thực thể vật lí có thể tồn tại ở một trong hai trạng thái mà trong kĩ thuật ta gọi là 0 hoặc 1 hay còn gọi là các bit cổ điển. Thông tin bất kì có thể mã hóa được bằng một dãy số chỉ gồm hai bit đơn giản này. Trong truyền thông cổ điển, việc bảo mật thông tin là hết sức quan trọng và được đặt lên hàng đầu. Hiện nay, loại mật mã đang có độ bảo mật cao nhất đó là mật mã RSA. Đối với các máy tinh cổ điển thì loại mật mã này được coi là "không thể phá vỡ" vì thời gian giải mã lên tới vài tỉ năm. Nhưng khi sử dụng máy tính lượng tử, dựa trên tính chất "song song lượng tử", quá trình xử lí tính toán được tăng tốc theo hàm số mũ giúp cho quá trình giải mã có thể diễn ra trong giây lát. Đây chính là ưu thế tuyệt đối của máy tính lượng tử so với máy tính cổ điển. Tuy nhiên, điều này lại tạo nên mối lo ngại cho các quốc gia bởi bên cạnh sự ra đời của máy tính lượng tử, chúng ta lại cần phải có những loại mật mã mới có độ bảo mât cao hơn, những giao thức truyền tin mới đảm bảo bí mật hơn. Xuất phát từ lí do đó, nhiều phương thức truyền tin lượng tử mới đã được đưa ra và nghiên cứu. Tất các các giao thức này đều dựa trên một tính chất đặc biệt kì lạ của cơ học lượng tử, đó là rối lượng tử (quantum entanglement). Một cặp hạt khi được rối lượng tử với nhau có tính chất lạ lùng như sau: hai hạt rối với nhau dường như được nối bởi một sợi dây vô hình bí ẩn, dù tách hai hạt ra xa đến mấy (cho dù xa tới vô cực), khi đo trạng thái hạt này ngay lập tức sẽ ảnh hưởng tới trạng thái hạt còn lại một cách tức thời. Hiện tượng ảnh hưởng của phép đo thực hiện trên một hạt này đối với hạt cách xa là một hiện tượng "phi định xứ" (non-locality).Tuy nhiên, hiện nay chúng ta đã biết đây là một hiện tượng thuần túy cơ học lượng tử. Trong những năm gần đây, hiện tượng rối lượng tử đã mở ra những triển vọng to lớn trong lĩnh vực thông tin lượng tử: Viễn chuyển trạng thái lượng tử [2], viễn tạo trạng thái lượng tử [3-4], đồng viễn tạo trạng thái lượng tử [5-8]... hay trong lĩnh vực bảo mật thông tin: mật mã lượng tử [9]. Viễn chuyển trạng thái lượng tử (Quantum Teleportation) là giao thức điển hình cho việc ứng dụng rối lượng tử vào truyền thông lượng tử. Giao thức này lần đầu tiên được để xuất bởi Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crépeau, Richard Jozsa, Asher Peres, và William K. Wootters vào năm 1993. Bài toán được đặt ra là Alice và Bob đang ở rất xa nhau và Alice được giao một nhiệm vụ là phải gửi cho Bob một trạng thái lượng tử mà cả hai đều không biết thông tin gì về trạng thái này. Đây thực sự là một bài toán 7 khó bởi theo lí thuyết cơ học lượng tử, một trạng thái lượng tử không biết thì không thể đọc và cũng không thể sao chép. Do vậy, Alice không thể đọc được trạng thái này để gửi thông tin về nó cho Bob. Mặc khác, nếu trạng thái này trực tiếp được gửi đi trong không gian thì nó hoàn toàn có khả năng bị thất lạc hoặc đánh cắp sau đó làm giả trạng thái, v.v… May mắn rằng họ đã được tạo với nhau một cặp rối từ trước nên nhiệm vụ này có thể được hoàn thành chỉ bằng việc Alice gửi đi một lượng nhỏ bit cố điển thông báo kết quả phép đo trên các qubit của mình để Bob thu được trạng thái gốc chỉ bằng các thao tác địa phương. Giao thức trên chỉ thực hiện được khi Alice có trạng thái lượng tử cần truyền đi, vậy nếu cô ta chỉ biết thông tin cổ điển về trạng thái này thì có tạo được trạng thái lượng tử ở nơi Bob không? Để giải quyết tình huống này một giao thức truyển tin lượng tử khác đã ra đời. Giao thức truyền tin khi người gửi biết toàn bộ thông tin cổ điển về trạng thái cần gửi gọi là "Viễn tạo trạng thái lượng tử" (Remote state preparation). Để thực hiện giao thức này thì trước đó Alice và Bob cũng phải chia sẻ với nhau một nguồn rối. Trong giao thức này, Alice sẽ thực hiện phép đo Von Neumann lên qubit mình đang nắm giữ dựa trên hệ cơ sở phụ thuộc vào thông tin cổ điển của trạng thái gốc đã biết và gửi kết quả đo qua một kênh cổ điển cho Bob và Bob sẽ sử dụng toán tử phục hồi địa phương để thu lại được trạng thái gốc. So với viễn chuyển trạng thái lượng tử thì viễn tạo trạng thái lượng tử cần dùng ít bit cổ điển hơn nhưng xác suất thành công lại nhỏ hơn. Đặc biệt, nhược điểm của giao thức này đó là thông tin về trạng thái cần gửi đã được tiết lộ hoàn toàn cho người gửi và hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp người gửi sẽ làm lộ thông tin cho người khác biết. Một ý tưởng trong những năm gần đây để giải quyết bài toán bảo mật ngay cả khi người gửi là không đáng tin cậy đó là giao thức "Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử" (Joint remote state preparation). Trong giao thức này, thay vì chỉ có một người gửi thì sẽ có nhiều người tham gia gửi tin. Thông tin về trạng thái cần gửi sẽ được phân phối cho những người truyền tin theo một cách mà chỉ có người giao nhiệm vụ được biết nhờ đó tránh được tình trạng mất toàn bộ thông tin cần gửi. Nhiệm vụ đặt ra chủ yếu trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử đó là việc phân bố rối, tìm ra chiến thuật để thực hiện quá trình truyền tin một cách đơn giản, tiết kiệm và quan trọng là thu được xác suất thành công cao. Giao thức đồng viễn tạo trạng thái lượng tử có xác suất thành công là 1 được gọi là "giao thức tất định" (deterministric protocol). Để 8 thu được kết quả trên thì các giao thức phải sử dụng các nguồn rối cực đại. Trong thực tế, các nguồn rối sau khi chế tạo nếu không sử dụng ngay thì do tương tác với môi trường, tính kết hợp của chúng bị suy giảm từ đó làm suy giảm rối. Để khắc phục nhược điểm này, giao thức ‘Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử có điều khiển’ (Controlled joint remote state preparation) ra đời. Giao thức này sử dụng nguồn rối không cực đại và bổ sung một người giám sát quá trình truyền tin gọi là người điều khiển. Người điều khiển này có thể đồng ý cho quá trình truyền tin đi nếu thấy an toàn và cũng có thể không cho quá trình truyền tin được thực hiện khi thấy không an toàn hoặc gian lận. Như vậy, đồng viễn tạo trạng thái lượng tử có điều khiển là an toàn và bí mật hơn, do đó trong luận văn này chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu về giao thức này. Trong các giao thức truyền tin lượng tử, các qubit ban đầu được tạo rối với nhau và tạo thành kênh lượng tử. Sau đó, chúng sẽ được phân phối tới những người được giao nhiệm vụ trong giao thức. Trong quá trình phân phát này, các qubit sẽ tương tác với môi trường. Sự tương tác này sẽ làm suy giảm biên độ và pha của qubit, từ đó làm ảnh hưởng tới chất lượng của quá trình truyền tin. Vì vậy, dưới góc nhìn thực tế, việc nghiên cứu các giao thức đồng viễn tạo có điều khiển trong môi trường nhiễu là thực sự cần thiết và hữu ích. Trong khuôn khổ của khóa luận tốt nghiệp này, chúng tôi cũng xem xét quá trình truyền tin dưới sự tác động của hai kênh nhiễu đặc trưng, đó là kênh nhiễu suy giảm pha (phase-damping channel) và kênh nhiễu suy giảm biên độ (amplitude-damping channel). Bố cục của khóa luận gồm có các chương sau đây: * Mở đầu: Trình bày tổng quan lĩnh truyền tin lượng tử và những nhiệm vụ của khóa luận cần làm. * Chương I: Trình bày các khái niệm cơ bản. * Chương II: Trình bày các giao thức truyền tin cơ bản trong truyền thông tin lượng tử. * Chương III: Trình bày giao thức đồng viễn tạo có điều khiển trạng thái lượng tử một qubit bất kì trong môi trường nhiễu 9 Chương I. Một số khái niệm cơ bản I.1. Bit lượng tử Bit lượng tử (quantum bit) hay qubit là là đơn vị thông tin cơ bản trong truyền thông lượng tử. Qubit được sử dụng để lưu trữ, truyền tải và xử lí thông tin dựa trên nền tảng lí thuyết lượng tử. Trạng thái lượng tử của một qubit được biểu diễn dưới dạng một véc tơ đơn vị trong không gian Hilbert hai chiều như sau:   0   1 , (1.1) trong đó 2 2    1 , là các số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa , và {0 ,1} hệ hai véc tơ không gian đó. lập thành một hệ cơ sở trực giao và chuẩn hóa trong Nếu như bit cổ điển chỉ có thể nhận một trong hai giá trị là 0 hoặc 1 thì trạng 0 1 thái của một qubit là tổ hợp tuyến tính của cả hai trạng thái và , do vậy lượng thông tin mà một qubit chứa đựng là lớn hơn rất nhiều so với bit cổ điển. Chính từ ưu thế này đã làm cho thông tin lượng tử có những ưu điểm mà thông tin cổ điển không có được. Chẳng hạn như đối với việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố, Đối với máy tính thông thường, thời gian cần thiết để phân tích sẽ tăng theo hàm mũ với độ dài của số cần phân tích. Tuy nhiên với máy tính lượng tử, theo thuật toán Shor, thuật toán do nhà toán học Peter Shor tìm ra năm 1994 để phát triển riêng cho bài toán phân tích ra thừa 10 số nguyên tố, thì quá trình này chỉ tiêu tốn thời gian tăng theo lũy thừa bậc ba của độ dài số cần phân tích. Đây chỉ là một ví dụ nhỏ cho những điều kinh ngạc mà máy tính lượng tử có thể tạo ra. Bên cạnh lượng thông tin khổng lồ có thể lưu trữ, qubit còn có đặc điểm khác biệt so với bit cổ điển như sau. Khi tiến hành đo bit cổ điển ta chỉ thu được một trong hai giá trị xác định là 0 hoặc 1, còn khi đo giá trị của qubit thì ta sẽ nhận được ngẫu nhiên một trong hai giá trị với xác suất nhất định {0 ,1} nào đó. Ví dụ như khi đo trạng thái (1.1) trong hệ cơ sở được kết quả là  2  0 với xác suất là ta sẽ thu 1 và thu được kết quả là với xác suất 2   . Ta không thể xác định toàn bộ thông tin về trạng thái (1.1) (cả và ) chỉ trong một lần đo vì ngay sau phép đo trạng thái ban đầu đã bị phá hủy. Vậy chúng ta có thể ra làm nhiều bản sao để thực hiện nhiều phép đo nhằm lấy toàn bộ thông tin của trạng thái ban đầu được không ? Điều này cũng không thể xảy ra vì sự sao chép này bị "định lí không thể nhân bản một trạng thái lượng tử bất kì " [10] ngăn cản. 2 2    1 Từ điều kiện chuẩn hóa dạng: ta có thể viết lại trạng thái (1.1) dưới      ei  cos 0  ei sin 1 2 2   ,  (1.2) trong đó  , , đều là các số thực. Các trạng thái lượng tử chỉ xác định chính xác đến một thừa số pha nên biểu diễn như sau: ei có thể bỏ qua, trạng thái (1.2) có thể được        cos 0  ei sin 1 . 2 2   (1.3) 11  , Các tham số xác định một điểm trên mặt cầu ba chiều bán kính đơn vị được biểu diễn trong hình 1.1. Mặt cầu này thường được gọi là mặt cầu  Bloch, véc tơ trạng thái số:   được biểu diễn bởi véc tơ là góc hợp bởi hình chiếu của là góc hợp bởi r r và trục Oz. Khi r r  r r xác định bởi 2 thông xuống mặt phẳng xOy với trục x còn và  thay đổi thì ngọn của r r quét hết  các điểm trên mặt cầu tương ứng với các trạng thái có thể tồn tại của . Hình 1.1: Mặt cầu Bloch có bán kính đơn vị dùng để biểu diễn hình học cho trạng thái của một qubit. Mỗi một vị trí trên mặt câu tương ứng với một trạng thái của qubit được đặc ,  trưng bởi hai tham số . Ta cũng có thể biểu diễn trạng thái của một qubit dưới dạng ma trận mật độ : rur 1   ( I  r ). 2 (1.4) Về mặt nguyên tắc, bất kì hệ lượng tử có hai trạng thái không suy biến cũng có thể dùng để biểu diễn qubit. Nếu hệ lượng tử là photon thì qubit được biểu diễn bởi các trạng thái phân cực của chúng, nếu hệ lượng tử là nguyên tử thì qubit được biểu diễn bởi trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích của nó ... I.2. Rối lượng tử Như đã đề cập ở chương trước, rối lượng tử [11] (Quantum entanglement) là nguồn tài nguyên không thể thiếu được trong truyền tin lượng tử. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu xem rối lượng tử là gì. 12 Xét trạng thái lượng tử của N qubit (N ≥ 2) xác định trong không gian N Hilbert 2 chiều H  H1  H 2  ...  H N ψ123 N có dạng:  1 00 00   2 00 01     2 11 11 123 N , N (1.5) trong đó, Hi (i = 1,2, ..., N) là không gian Hilbert 2 chiều ứng với qubit thứ i, 2N  αi các hệ số  123...N thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa i 1 2 i  1 . Nếu trạng thái có thể biểu diễn được dưới dạng:  123...N   1   2  ...   N , (1.6)   i  H i ,i  1, N với , thì ta nói trạng thái tích của N qubit. Còn nếu: 123...N là trạng thái rời hay trạng thái  123...N   1   2  ...   N , (1.7)  123...N thì được gọi là trạng thái rối của N qubit. Vậy rối lượng tử có tính chất đặc biệt như thế nào mà người ta lại quan tâm đặc biệt tới nó như vậy? Rối lượng tử là một trong những điều kì bí nhất của thế giới lượng tử. Khi các hạt lượng tử được rối với nhau chúng ta không thể biết được trạng thái riêng của từng hạt nhưng ta có thể biết trạng thái tồn tại chung của cả hệ hạt, muốn biết được trạng thái riêng của từng hạt ta phải tiến hành phép đo lên chúng. Điều này làm nên sự khác biệt giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử. Nếu như trong cơ học cổ điển, khi các hệ con không tương tác thì sự tác động bên ngoài vào một hệ con này không có ảnh hưởng gì đến các hệ con còn lại. Còn đối với các hệ lượng tử khi đã được rối với nhau thì chúng 13 không còn độc lập với nhau mặc dù ta không cho chúng tương tác với nhau nữa, mỗi phép đo lên một hệ con bất kì trong các hệ con đã được rối với nhau đều làm ảnh hưởng tức thời tới các hệ con còn lại, quá trình này không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các hệ con. Rối lượng tử trở thành đề tài được nghiên cứu nhiều bậc nhất trong các tính chất của hệ lượng tử, nó đã trở thành nguồn tài nguyên không thể thiếu được trong nhiều nhiệm vụ mới như: viễn chuyển trạng thái lượng tử, viễn tạo trạng thái lượng tử, mật mã lượng tử... Chúng ta xét một trường hợp cụ thể với trạng thái tổng quát của 2 qubit trong không gian Hilbert 4 chiều, với hệ cơ sở là 4 véctơ trực giao và chuẩn  00 , 01 , 10 , 11  hóa dưới dạng: , khi đó trạng thái tổng quát của 2 qubit được viết  12  (1 00   2 01  3 10   4 11 )12 , (1.8) 2 với 2 2 2 1   2   3   4  1 . Tùy thuộc vào giá trị của các hệ số i (i = 1, 2, 3, 4) mà trạng thái (1.7) có thể là trạng thái rối hoặc trạng thái rời. Ví dụ, nếu 1  3  a / 2 và 2  4  1 / 2 thì trạng thái (1.8) có thể viết được thành tích tenxơ của hai trạng thái của từng qubit như sau:  12 1 1  (a 00  01  a 10  11 )12  ( 0  1 )1  (a 0  1 ) 2 . 2 2 (1.9) 14 Tuy nhiên, không phải lúc nào trạng thái (1.8) cũng có thể viết thành tích hai trạng thái rời của từng qubit như trên, ví dụ: nếu 2  3  0 1   4  1 / 2 và thì:  12   12  B00 12  1 ( 00  11 )12 , 2 (1.10)  đây chính là trạng thái rối còn lại có dạng: , một trong bốn trạng thái rối Bell. Ba trạng thái  12  B10 12  1 ( 00  11 )12 , 2 (1.11)  12  B01 12  1 ( 01  10 )12 , 2 (1.12)  12  B11 12  1 ( 01  10 )12 . 2 (1.13) Tổng quát, ta có bốn trạng thái rối Bell có thể được xác định bởi công thức: Bmn 12  1 1 ml  1 l  2 l 0 1 l n 2, (1.14) với  là phép cộng nhị phân và m, n = {0, 1}. 15 Đối với rối ba hạt ta có trạng thái W và GHZ có dạng như sau: W 123  1 ( 100  010  001 )123 , 2 (1.15) GHZ kmn 123  1 1 lk  1 l , l  m, l  n  2 l 0 123 . (1.16) Trạng thái rối ba GHZ tổng quát (1.16) lập thành một hệ gồm tám véc tơ cơ sở cho phép đo GHZ. Đối với rối N hạt (N>3) ta có các trạng thái rối thường gặp sau: GHZ 12 N  Rối GHZ [16]: 1  00 0  11 1 2  12 N . (1.17) W 12...N  Rối W: 1 ( 100 00  010 00  000..01 )12 N . 2 Cσ12..N  Rối Cluster [12]: với quy ước  z N 1  1 1 2 N 2  N a 1 (0  a 1 a z (1.18)  1 )a . (1.19) . I.3. Độ rối lượng tử Để đặc trưng cho mức độ rối của một trạng thái rối chúng ta đưa vào khái niệm độ rối lượng tử. Cho đến nay việc xác định độ rối đối với trạng thái rối của nhiều hơn 2 qubit là vấn đề rất khó và chưa được giải quyết một cách triệt để. Trong nội dung khóa luận này sẽ trình bày cách tính độ rối lượng tử 16 của trạng thái rối 2 qubit theo hai cách: tính độ rối theo Entropy von Neumann và tính độ rối theo Concurrence.  Xét trạng thái rối của hệ hai qubit A và B là trạng thái AB trong không gian { 00 , 01 , 10 , 11 } Hilbert 4 chiều với hệ véc tơ cơ sở trực chuẩn mật độ của trạng thái này được biểu diễn dưới dạng: . Ma trận  AB   AB . (1.20) - Tính độ rối theo Entropy von Neumann:  Mỗi trạng thái thuần khiết AB có độ rối được tính theo công thức [13] E(  AB )  S(A )  S(B ), S( A ), S( B ) A trong đó lần lượt là Entropy của và là ma trận mật độ rút gọn theo B và A có dạng: S  A  và S  B   A  TrB (  AB  ),  B  TrA (  AB  ). B (1.21) , với A và B lần lượt (1.22) (1.23) được tính theo công thức: Sρ Sρ A   λ  A  A i i log λ2 , i B   λ i 17 (1.24)  B  B i i log λ2 , (1.25) với  i( A) ,  i( B) lần lượt là trị riêng của A và B . - Tính độ rối theo Concurrence: Đây là cách tính độ rối được đề xuất bởi E. Wooters [14] với công thức tính độ rối được xác định như sau: Cρ trong đó C(AB ) λ1  λ2  λ3  λ4 AB   max  λ 1 λ 2 λ 3 λ 4  ,0 , (1.26) là Concurrence của trạng thái rối giữa 2 qubit A và B, lần lượt là các trị riêng của ma trận  ρ AB được xác định bởi công thức sau: �AB  AB ( y  y )*AB ( y   y ), với *AB AB  y là ma trận liên hiệp phức của , (1.27) là ma trận Pauli. Trong cả hai cách tính này, tuy khác nhau về công thức tính nhưng đều cho ta kết quả có giá trị từ 0 tới 1. Giá trị bằng 0 ứng với trường hợp trạng thái đã cho là không rối còn giá trị bằng 1 ứng với trường hợp trạng thái đã cho là rối cực đại. Sau đây, chúng ta sẽ sử dụng cả hai cách tính trên để tính độ rối của một số trạng thái lượng tử hai qubit. - Tính độ rối của trạng thái không rối: Xét trạng thái lượng tử của 2 qubit A và B là trạng thái không rối có nghĩa là ta có thể viết được trạng thái này là tích tenxơ từng trạng thái riêng lẻ của mỗi qubit: 18  AB  (a 0  b 1 ) A  (c 0  d 1 ) B , (1.28) ta xét trường hợp đơn giản trong đó a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa: a2 + b2 = 1và c2 + d2 =1 + Tính độ rối theo Entropy von Neumann: Ta có: A  TrB (  AB  )  (a 2c 2  a 2d 2 ) 0 A 0  (abc 2  abd 2 ) 0 (abc 2  abd 2 ) 1 A 0  (b 2c 2  b 2d 2 ) 1 A A A 1 1. (1.29) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:  a 2c 2  a 2d 2 A   2 2  abc  abd abc 2  abd 2  . b2c 2  b2d 2  (1.30) Ma trận này có 2 trị riêng là 0 và 1 nên theo công thức (1.21) ta có: E(  2 )     i log 2  i  0. AB i 1 (1.31) + Tính theo Concurrence: Theo công thức (1.27) ta có: �AB  AB ( y   y )*AB ( y   y )  0. (1.32) Từ đây dễ thấy 4 trị riêng của ma trận Concurrence của hệ là: 19 �AB đều là 0 điều này dẫn đến  C( AB )= max{0, 0} = 0. (1.33) Như vậy, đối với trạng thái không rối (hay trạng thái rời) thì độ rối của hệ luôn bằng 0. - Tính độ rối trong trường hợp trạng thái rối: Chúng ta sẽ tính độ rối của các trạng thái EPR, cụ thể trong trường hợp này là trạng thái:  AB  1 ( 00  11 ) AB . 2 (1.34) + Tính theo Entropy von Neumann: Ta có: A  TrB (   B 1  )  ( 0 2 A 0  1 A 1 ). (1.35) A có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau: 1 / 2 0  A   .  0 1/ 2 (1.36) Ma trận (1.36) có 2 trị riêng cùng bằng 1/2 nên độ rối của hệ tính theo (1.21) sẽ là: E(   )   AB 2 i 1 1 1 1 1 i log 2  i   log 2  log 2  1 2 2 2 2 20 . (1.37) + Tính theo concurrence: Theo (1.27) ta có: �AB  AB ( y   y )*AB ( y   y ) ρ AB thay của �AB  1/ 2  0   0   1 / 2 0 0 1/ 2  0 0 0  0 0 0   0 0 1/ 2  và 0 0 σy  σy   0   1 , 1 0  0  0 0 0 0 1 1 0 0 0 vào biểu thức ta thu được: � ρAB  ρAB  1/ 2  0   0   1 / 2 0 0 1 / 2  0 0 0  0 0 0   0 0 1/ 2  . (1.38) �AB Ma trận có 4 trị riêng là {1, 0, 0, 0}, áp dụng công thức (1.25) ta thu được độ rối của trạng thái đã cho là:    Cλ Φ  λAB  max λ λ1  2  3  4  ,0  1. (1.39) Nhận xét:  AB Từ (1.37) và (1.39) ta thấy rằng trạng thái là trạng thái rối cực đại và nó có độ rối lớn nhất (bằng 1 không phụ thuộc vào cách tính độ rối theo Entropy Von Neumann hay theo Concurrence). Tương tự cho ba trường hợp còn lại của các trạng thái rối Bell ta đều thu được đó là các trạng thái rối cực đại. 21