C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Phần một
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI (AM-GM) VÀ KĨ THUẬT SỬ DỤNG
I-CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC
1).Dạng cơ bản:
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1 .a2 ...an với ai ≥ 0, ∀i = 1, n
n
m
a1m + a2m + ... + anm ⎛ a1 + a2 + ... + an ⎞
≥⎜
⎟ với ai ≥ 0, ∀i = 1, n
n
n
⎝
⎠
1 1
1
n2
mẫu số: + + ... ≥
với ai > 0, ∀i = 1, n
a1 a2
an a1 + a2 + ... + an
2).Dạng luỹ thừa:
3).Dạng cộng
4).Dạng trung bình
a).Trung bình nhân: n a1 .a2 ...an + n b1 .b2 ...bn ≤ n ( a1 + b1 )( a2 + b2 ) ...(an + bn ) (Bất đẳng thức MinCôpxki)
Hệ quả: (1 + a1 )(1 + a2 ) ... (1 + an ) ≥ (1 + n a1 a2 ...an )
b).Trung bình căn:
n
∑
i =1
n
2
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
ai2 + bi2 ≥ ⎜ ∑ ai ⎟ + ⎜ ∑ bi ⎟
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i = 1 ⎠
2
(Bất đẳng thức MinCôpxki)
⎛ n ⎞⎛ n ⎞
⎜ ∑ ai ⎟⎜ ∑ bi ⎟
n
ai bi
c). Trung bình điều hoà: ∑
≥ ⎝ i =n1 ⎠⎝ in=1 ⎠ với ai > 0, bi > 0; ∀i = 1, n
i =1 ai + bi
∑ ai + ∑ bi
i =1
i =1
2 ab
a+b
a2 + b2
≤ ab ≤
≤
a+b
2
2
1
1
1
n
5).Dạng phân thức:
với ai > 0, ∀i = 1, n (Bất đẳng thức Jen sen).
+
+ ... +
≥
1 + a1 1 + a2
1 + an 1 + n a1 .a2 ...an
Mối quan hệ giữa các dạng trung bình:
II-KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
1. Ph−¬ng ph¸p c©n b»ng tæng (Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân)
Ph−¬ng ph¸p nµy xuÊt ph¸t tõ mét nhËn xÐt s©u s¾c trong s¸ch gi¸o khoa, tøc lµ khi
“ NÕu hai sè d−¬ng cã tÝch kh«ng ®æi th× tæng cña chóng nhá nhÊt khi vµ chØ khi
chóng b»ng nhau”.
Më réng mét c¸ch tù nhiªn th× ®Ó chøng minh tæng S= S1 + S2+ ... + Sn ≥ m ,
ta biÕn ®æi S = A1+A2+...+An lµ c¸c sè kh«ng ©m mµ cã tÝch A1A2...An = C kh«ng ®æi,
sau ®ã ta ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si.
Ví dụ 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f(x) = x +
1
khi x > 1
x −1
Gi¶i: Áp dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè x - 1 > 0 vµ
x −1 +
1
≥2
x −1
( x − 1)
1
> 0 ta cã
x −1
1
1
1
⇔ x −1+
≥ 2⇔ x+
≥3.
x −1
x −1
x −1
VËy f(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 3 khi x = 2.
2x +
Ví dụ 2. Chøng minh r»ng nÕu x > -1 th×
1
≥1
( x + 1) 2
1
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Ph©n tÝch: NÕu ¸p dông ngay bÊt ®¼ng thøc C«si th× ta thÊy ch−a ra kÕt qu¶, nh−ng
nÕu t¸ch 2x thµnh x+1+x+1-2 th× cã ngay ®iÒu ph¶i chøng minh.
Ví dụ 3. Chøng minh r»ng x ≥ 0 th× x +
27
≥ 1.
( x + 3) 3
Ph©n tÝch: BiÕn ®æi vÕ tr¸i thµnh mét tæng cña c¸c sè h¹ng cã tÝch kh«ng ®æi, v× vËy ph¶i
ph©n tÝch x thµnh 3 sè h¹ng lµ
x+3
3
Gi¶i: BÊt ®¼ng thøc ®· cho t−¬ng ®−¬ng
27
x+3 x+3 x+3
27
x+3 x+3 x+3
+
+
+
−3 ≥1 ⇔
+
+
+
≥ 4.
3
3
3
3
3
3
3
( x + 3)
( x + 3) 3
Áp dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho 4 sè d−¬ng gåm ba sè
x+3
27
vµ
3
(x + 3)3
ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
DÊu b»ng x¶y ra khi x=0
§Ó luyÖn tËp ta cã thÓ cho c¸c em ¸p dông nh÷ng bµi t−¬ng tù sau:
1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x +
2
víi x > 0
2x + 1
2) Chøng minh r»ng nÕu nÕu x > - 3 th×
2x
9
+
≥1
3 ( x + 3)2
3) Chøng minh r»ng nÕu a > b > 0 th×
a+
b
≥3
(a − b)(b + 1) 2
4) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = x + y biÕt x > 0, y > 0 tho¶ m·n:
H−íng dÉn: tõ biÓu thøc ta cã y =
Q = x + y = x +3+
3x
6
= 3+
do vËy
x−2
x−2
6
6
= x−2+
+5
x−2
x−2
5) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc R =
HD: R =
2 3
+ =1
x y
ab
a2 + b2
+
víi a > 0, b > 0
ab
a2 + b2
ab
a 2 + b2 3 a 2 + b2
+
+ .
sau ®ã dïng bÊt ®¼ng thøc C«si.
a 2 + b2
4ab
4 ab
6. Chøng minh r»ng ( x + 2) 2 +
7. Chứng minh rằng
2
≥ 3 (a > 0)
x+2
2
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
1). ( a + b ) ≥ 64ab ( a + b ) , ∀a, b ≥ 0
8
2
2). (1 + a + b )( a + b + ab ) ≥ 9 ab, ∀a, b ≥ 0
3). 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 , ∀a, b ≥ 0 HD: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 ≥ 3 3 27a3 b6 = 9ab2 , ∀a, b ≥ 0
⎧ a, b, c, d > 0
⎪
1
8. Cho ⎨ 1
. Chứng minh rằng: abcd ≤
1
1
1
3
+
+
+
≥
81
⎪⎩ 1 + a 1 + b 1 + c 1 + d
HD:
1
1 ⎞ ⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞
b
c
d
bcd
⎛
= 1−
+ 1−
+ 1−
=
+
+
≥ 33
≥0
1 + a ⎜⎝ 1 + b ⎟⎠ ⎜⎝ 1 + c ⎟⎠ ⎜⎝ 1 + d ⎟⎠ 1 + b 1 + c 1 + d
(1 + b )(1 + c )(1 + d )
⎧ a, b, c > 0
1
1 ⎞⎛ 1 ⎞
. Chứng minh rằng: ⎛⎜ − 1 ⎞⎛
− 1⎟ ⎜ − 1⎟ ≥ 8 .
⎟⎜
a
+
b
+
c
=
1
⎝ a ⎠⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠
⎩
9. Cho ⎨
1
a
HD: 1 − =
1− a b + c
=
a
a
.
Chú ý: Tách nghịch đảo trong kĩ thuật đánh giá trung bình cộng sang trung bình nhân là kĩ tách
phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu.
10. Chứng minh rằng:
1).
a2 + 2
≥ 2, ∀a ∈ \
a2 + 1
1
3). a +
≥ 3, ∀a > b > 0
b (a − b)
2).
⎧a > b
a2 + b2
≥ 2 2, ∀ ⎨
a−b
⎩ab = 1
4). a +
4
( a − b )( b + 1)
2
≥ 3, ∀a > b ≥ 0
1
⎧
a≥
⎪
2a + 1
⎪
2
6). 4b ( a − b ) ≥ 3, ∀ ⎨ a
⎪ >1
⎪⎩ b
3
5). a +
1
b (a − b)
2
≥ 2 2, ∀a > b > 0
11. Với mọi x, y, z dương, hãy chứng minh
x 3 y 3 z3
+ +
≥ x+y+z
yz zx xy
12. Với x, y, z là các số dương có tích bằng 1, hãy chứng minh bất đẳng thức sau
x3
y3
z3
3
+
+
≥
(1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) 4
2. Ph−¬ng ph¸p c©n b»ng tÝch ( Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng)
Tõ mét hÖ qu¶ quan träng trong s¸ch gi¸o khoa: “ NÕu hai sè d−¬ng cã tæng kh«ng ®æi th× tÝch cña
chóng lín nhÊt khi vµ chØ khi chóng b»ng nhau”.
Më réng ta cã: ®Ó chøng minh mét biÓu thøc cã d¹ng P= P1P2...Pn ≤ M
ta ph©n tÝch P = B1B2...Bn lµ c¸c sè kh«ng ©m mµ tæng B1 + B2+ ... + Bn = C lµ mét sè kh«ng ®æi.
3
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Ví dụ 1. Cho a > 0, b > 0 vµ a + b = 1. Chøng minh r»ng ab2 ≤
4
.
27
Ph©n tÝch: ta cÇn t¸ch biÓu thøc ab2 thµnh mét tÝch cã tæng kh«ng ®æi mµ tæng ®ã
ch¾c ch¾n ph¶i liªn quan ®Õn a + b = 1.
Gi¶i: ab2 = 4 a .
ta cã:
b b
a. . ≤
2 2
3
b
b
.
2
2
a+
mµ theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 3 sè d−¬ng lµ a, b/2,b/2
b b
+
2 2 = 1 ⇒ a. b . b ≤ 1 ⇒ 4a. b . b ≤ 4 ⇒ ®pcm.
3
3
2 2 27
2 2 27
DÊu b»ng x¶y ra khi a = 1/3; b = 2/3.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Chứng minh rằng:
1). ab + cd ≤ ( a + c )( b + d ) , ∀a, b, c, d > 0
⎧a > c > 0
⎩b > c > 0
2). c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab , ∀ ⎨
3). 16ab ( a − b ) ≤ ( a + b ) , ∀a, b ≥ 0
2
4). −
4
1 ( a + b )(1 − ab ) 1
≤
≤
2 1 + a2 1 + b2
2
(
)(
)
Bài 2. Chứng minh rằng:
3
abc + 1 ≤ 3 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) , ∀a, b, c ≥ 0
Tổng quát: n a1 .a2 ...an + n b1 .b2 ...bn ≤ n ( a1 + b1 )( a2 + b2 ) ...(an + bn ) (Bất đẳng thức MinCôpxki).
Bài 3. Chứng minh rằng:
1
1
+
≤ 1, ∀3 ≤ n ∈ ` .
n −1
n ! n −1 n
1
1
1 1 1
1 2 n −1
HDG: Biến đổi: n −1 + n −1 = n −1 . ... + n −1 . ...
2 3 n
2 3
n
n!
n
⎧a, b, c ≥ 0
Bài 4. Cho ⎨
. Chứng minh rằng:
⎩a + b + c = 1
1). 16abc ≤ a + b
2
2
C «si
⎛a+b⎞
⎛ a+b+c⎞
HDG: 16abc ≤ 16 ⎜
.c = 4 ( a + b )( a + b ) c ≤ 4 ( a + b ) ⎜
⎟
⎟ = a+b
2
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
8
2). ab + bc + ca − abc ≤
27
HDG:
C « si
4
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
3
3
8
⎛ 1− a +1− b +1− c ⎞ ⎛ 2 ⎞
VT = 1 + ab + bc + ca − a − b − c − abc = (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≤ ⎜
=⎜ ⎟ =
⎟
3
⎝
⎠ ⎝ 3 ⎠ 27
8
3). abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤
729
7
4). 0 ≤ ab + bc + ca − 2 abc ≤
(IMO-1984)
27
Giải: Theo giả thiết suy ra: a, b, c ∈ [ 0;1] do đó:
C « si
2
ab + bc + ca − 2 abc ≥ 3 3 ( abc ) − 2abc = 3 ( abc ) 3 − 2abc ≥ 3abc − 2abc = abc ≥ 0 .
2
2
(vì abc ∈ [ 0;1] ⇒ ( abc ) 3 ≥ abc ).
Ta sẽ chứng minh: ( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b ) ≤ abc ∀a, b, c ∈ [ 0;1] .
Nếu có hai thừa số ở VT ≤ 0 , chẳng hạn:
⎧a + b − c ≤ 0
⇒ 2 b ≤ 0 v « lÝ
⎨
⎩b + c − a ≤ 0
Nếu có đúng một thừa số ở VT ≤ 0 ⇒ §PCM
Nếu cả ba thừa số ở VT đều dương thì ta có:
VT =
( a + b − c )( b + c − a ) ( b + c − a )( c + a − b ) ( c + a − b )( a + b − c )
a+b−c+b+c−a b+c−a+c+a−b c+a−b+ a+b−c
= abc
.
.
2
2
2
Mà a + b + c = 1 suy ra:
≤
(1 − 2c )(1 − 2a )(1 − 2b ) ≤ abc
⇔ 1 − 2a − 2b − 2c + 4 ( ab + bc + ca ) − 8abc ≤ abc
3
1
1 ⎡ ⎛a+b+c⎞ ⎤ 7
⇔ ab + bc + ca − 2 abc ≤ (1 + abc ) ≤ ⎢1 + ⎜
⎟ ⎥ = 27
4
4 ⎣⎢ ⎝
3
⎠ ⎦⎥
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chú ý: Nhân thêm hằng số trong kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng
Bài 5. Chứng minh rằng:
a b − 1 + b a − 1 ≤ ab, ∀a, b ≥ 1
⎧a, b, c ≥ 0
Bài 6. Cho ⎨
. Chứng minh rằng: a + b + b + c + c + a ≤ 6
⎩a + b + c = 1
⎧a ≥ 3
ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4
⎪
Bài 7. Cho ⎨ b ≥ 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
2 2
⎪c ≥ 2
⎩
5
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
⎧0 ≤ x ≤ 3
Bài 8. Cho ⎨
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = ( 3 − x )( 4 − y )( 2 x + 3 y )
⎩0 ≤ y ≤ 4
Bài 9. a). Cho x, y > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f ( x; y )
( x + y)
=
b). Cho x, y, z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f ( x; y; z )
3
xy 2
( x + y + z)
=
6
xy 2 z3
Tổng quát: Cho x1 , x2 ,..., x n > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f ( x1 ; x2 ;...; xn )
( x + x + ... + xn )
= 1 2
Bài 10. Chứng minh rằng; A = sin 2 x.cos x ≤
Tổng quát: A = sin m x.cosn x ≤
1+ 2 + ...+ n
x1 x2 2 ...x nn
2 3
9
m m .n n
(m + n)
m+n
, ∀1 ≤ m, n ∈ ]
Bài 11. (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An-Bảng A-1992-1993)
Cho a1 , a2 , a3 ,..., a10 là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=
a12 + a22 + .. + a102
.
a10 ( a1 + a2 + ... + a9 )
Giải. Nhận xét vai trò của a1 , a2 , ..., a9 bình đẳng nên ta phân phối a10 đều cho 9 số .
Áp dụng bất đẳng thức Cô si :
1
⎧ 2
2
⎪a1 + 9 a10 ≥ 3a1a10
⎪
⎪ a 2 + 1 a 2 ≥ 3a a
⎪ 2
10
2 10
9
⎨
⎪......................
⎪
⎪ a 2 + 1 a 2 ≥ 3a a
9 10
⎪⎩ 9 9 10
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
a12 + a22 + ... + a102 ≥ 3a10 ( a1 + a2 + ... + a9 )
Suy ra: P =
a12 + a22 + .. + a102
≥3.
a10 ( a1 + a2 + ... + a9 )
1
1
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ... = a9 = a10 .Vậy: MinP = 3 khi a1 = a2 = ... = a9 = a10
3
3
3. KÜ thuËt dïng ho¸n vÞ vßng.
§©y lµ mét kÜ thuËt phæ biÕn khi dïng bÊt ®¼ng thøc C«si , rÊt ®¬n gi¶n vµ hiÖu qu¶ khi dïng vµ t¹o rÊt
nhiÒu høng thó cho häc sinh.
Ví dụ 1: Chøng minh ∀a, b, c > 0 th×
6
ab bc ac
+
+
≥ a+b+c
c
a
b
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Ph©n tÝch: NÕu ¸p dông ngay bÊt ®¼ng thøc C«si cho 3 sè h¹ng ta thÊy khã cã thÓ lµm ngay ®−îc, v× vËy
ta cÇn linh ho¹t vËn dông cho tõng bé hai sè.
Gi¶i: V× a > 0, b > 0, c > 0 nªn
ab
bc
> 0,
> 0,
c
a
ac
> 0 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho c¸c cÆp:
b
⎫
ab bc
ab bc
ab bc
+
≥2
.
⇔
+
≥ 2b ⎪
c
a
c a
c
a
⎪
bc ac
bc ac
bc ac
ab bc ac
⎪
+ ) ≥ 2(a + b + c) ⇒ ®pcm
+
≥2
.
⇔
+
≥ 2c ⎬ ⇒ 2( +
a
b
a b
a
b
c
a
b
⎪
⎪
ac ba
ac ba
ac ba
+
≥2
.
⇔
+
≥ 2a ⎪
b
c
b c
b
c
⎪⎭
DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c.
Chú ý:
Ghép đối xứng
⎧2 ( x + y + z ) = x + y + y + z + z + x
⎪
Phép cộng: ⎨
x+y y+z z+ x
+
+
⎪x + y + z =
2
2
2
⎩
2 2 2
⎧⎪ x y z = ( xy ) . ( yz ) . ( zx )
Phép nhân: ⎨
( x , y, z ≥ 0 )
⎪⎩ xyz = xy . yz . zx
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
bc ca ab
1).
+ +
≥ a + b + c, ∀a, b, c > 0
a b
c
a2 b2 c 2 a b c
2). 2 + 2 + 2 ≥ + + ∀abc ≠ 0
b
c
a
c a b
3
3
3
2
3). a + b + c ≥ a bc + b2 ca + c 2 ab ∀a, b, c ≥ 0
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1
1). ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc
8
1
1
1
⎛1 1 1⎞
2).
+
+
≥ 2⎜ + + ⎟
p −1 p − b p − c
⎝a b c⎠
3). ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc
4). R ≥ 2 r
5). a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S
6). ma2 + mb2 + mc2 ≥ 3 3S
(
7). ma2 + mb2 + mc2
)( h
2
a
)
+ hb2 + hc2 ≥ 27S 2
7
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Ví dụ 3.Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 = 3 .
Hãy chứng minh rằng:
xy yz zx
+ + ≥3
z
x y
HD: Bình phương 2 vế BĐT cần chứng minh rồi ghép đối xứng.
4.Ghép cặp nghịch đảo
⎛1 1
1 ⎞
( x1 + x2 + ... + xn ) ⎜ + + ... + ⎟ ≥ n2 ∀xi > 0 , i = 1, n
xn ⎠
⎝ x1 x2
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
b+c c+a a+b
1).
+
+
≥ 6 ∀a, b, c > 0
a
b
c
2
2
2
9
2).
∀a, b, c > 0
+
+
≥
b+c c+a a+b a+b+c
a
b
c
3
3).
+
+
≥
∀a, b, c > 0
b+c c+a a+b 2
a2
b2
c2
a+b+c
4).
+
+
≥
∀a, b, c > 0
b+c c+a a+b
2
⎧ a, b, c ≥ 0
1
1
1
9
. Chứng minh rằng:
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
⎩a + b + c = 1
⎧ a, b, c > 0
1
1
1
Ví dụ 3. Cho ⎨
. Chứng minh rằng: 2
+ 2
+ 2
≥9
a
+
b
+
c
≤
1
a + 2 bc b + 2ca c + 2ab
⎩
Ví dụ 2. Cho ⎨
5. Đánh giá mẫu số
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
a+b+c
1). 2
+ 2
+ 2
≤
∀a, b, c > 0
a + bc b + ca c + ab
2abc
1
1
1
1
2). 3
+ 3 3
+ 3
≤
∀a, b, c > 0
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
1
1
1
1
1
3). 4
+ 4 4
+ 4
+ 4
≤
.
4
4
4
4
4
4
4
a + b + c + abcd b + c + d + abcd c + d + a + abcd d + a + b + abcd abcd
Tổng quát: Cho a1 , a2 ,..., an > 0 ( n ≥ 3 ) . Chứng minh rằng:
1
a + ... + a
n
1
n
n −1
+ a1a2 ...an
+
1
a + ... + a + a1a2 ...an
n
2
n
n
+ ... +
1
1
≤
∀ai > 0, i = 1
n
a + a + ... + an −2 + a1a2 ...an a1a2 ...an
n
n
n
1
Ví dụ 2.Cho a, b, c ∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng:
a
b
c
+
+
+ (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≤ 1 .
b + c +1 c + a +1 a + b +1
Tổng quát:
Chứng minh rằng:
8
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
an
a1
a2
+
+ ... +
+ (1 − a1 )(1 − a2 ) ... (1 − an ) ≤ 1 (1)
a2 + a3 + ... + an + 1 a1 + a3 + ... + an + 1
a1 + a2 + ... + an −1 + 1
với mọi a1 , a2 , ..., an ∈ [ 0;1] .
Giải: Giả sử a1 = max ( a1 , a2 ,..., an ) .Khi đó ta có:
a1
a1
⎧
⎪ a + a + ... + a + 1 = a + a + ... + a + 1
n
2
3
n
⎪ 2 3
⎪
a2
a2
≤
⎪
⎨ a1 + a3 + ... + an + 1 a2 + a3 + .. + an + 1
⎪ ......................
⎪
an
an
⎪
⎪ a + a + .. + a + 1 ≤ a + .... + a + a + 1
n −1
2
n −1
n
⎩ 1 2
Cộng vế theo vế ta được:
an
a + a + ... + an
a1
a2
+
+ ... +
≤ 1 2
(2)
a2 + a3 + ... + an + 1 a1 + a3 + ... + an + 1
a1 + a2 + ... + an −1 + 1 a2 + a3 + ... + an + 1
Ta sẽ chứng minh:
a + a + ... + an
1 − a1
=
(3)
(1 − a1 )(1 − a2 ) ... (1 − an ) ≤ 1 − 1 2
a2 + ... + an + 1 a2 + ... + an + 1
Nếu a1 = 1 thì (3) đúng.
Nếu a1 ≠ 1 thì 1 − a1 > 0 .Do đó ( 3 ) ⇔ ( a2 + a3 + .. + an + 1)(1 − a2 )(1 − a3 ) ... (1 − an ) ≤ 1
Áp dụng BĐT Cauchy cho VT ta có:
n
a + a + ... + an + 1 + 1 − a2 + 1 − a3 + ... + 1 − an ⎤
( a2 + a3 + .. + an + 1)(1 − a2 )(1 − a3 ) ... (1 − an ) ≤ ⎡⎢ 2 3
⎥ =1
n
⎣
⎦
Vậy (3) đúng.
Cộng vế theo vế của (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.
⎧a, b, c > 0
a
b
c
3 3
Ví dụ 3. Cho ⎨ 2
. Chứng minh rằng: 2 2 + 2 2 + 2
≥
2
2
2
b +c a +c a +b
2
⎩a + b + c = 1
⎧⎪a1 , a2 ,..., an > 0
Tổng quát: Cho ⎨ 2 k
và k, m, n ∈ ] .
2k
2k
⎪⎩a1 + a2 + an = 1
Chứng minh rằng:
( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1
an 2 k −1
a12 k −1
a2 2 k −1
+
+
...
+
≥
1 − a12 m 1 − a2 2 m
1 − an 2 m
2m
Giải: Ta có:
( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1
an 2 k −1
a12 k −1
a2 2 k −1
+
+
...
+
≥
1 − a12 m 1 − a2 2 m
1 − an 2 m
2m
9
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
⇔
(
a12 k
a1 1 − a12 m
)
+
(
a2 2 k
a2 1 − a2 2 m
)
+ ... +
Ta sẽ chứng minh:
( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1 a 2 k
a12 k
≥
1
2m
a1 1 − a12 m
(
(
)
⇔ a1
2m
(1 − a1 )
2m
an 1 − an 2 m
)
≥
( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1
2m
(1)
)
⇔ a1 1 − a12 m ≤
(
an 2 k
2m
2 m + 12 m 2 m + 1
≤
( 2m )
2m
( 2 m + 1)
2 m +1
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
(
(
a12 m 1 − a12 m
)
2m
=
(
)(
1
2 ma12 m 1 − a12 m
2m
)
2m
) (
)
(
)
⎡ 2ma12 m + 1 − a12 m + 1 − a12 m + ... + 1 − a12 m ⎤
⎥
⎢
1 ⎢
2m
⎥
≤
⎢
⎥
2m
2m + 1
⎢
⎥
⎣
⎦
1 ⎛ 2m ⎞
=
2 m ⎜⎝ 2m + 1 ⎟⎠
2 m +1
=
( 2m )
2 m +1
2m
( 2 m + 1)
2 m +1
Tương tự ta có:
(
a2 2 k
a2 1 − a2 2 m
)
≥
( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1 a 2 k
(2)
2
2m
.............................
(
an 2 k
an 1 − an 2 m
)
2 m + 1) 2 m 2 m + 1 2 k
(
≥
a
(n)
n
2m
Cộng vế theo (1), (2),…,(n) ta được:
(
a12 k
a1 1 − a12 m
)
+
(
a2 2 k
a2 1 − a2 2 m
)
+ .... +
(
an 2 k
an 1 − an 2 m
)
2 m + 1) 2 m 2 m + 1
(
≥
2m
(a
1
2k
+ a2 + ... + an
2k
2k
)
2 m + 1) 2 m 2 m + 1
(
=
2m
(vì a12 k + a2 2 k + ... + an 2 k = 1 ).
Từ đó suy ra ĐPCM.
Chú ý: Đánh giá mẫu số trong kĩ thuật Côsi ngược dấu
Ví dụ 4: Các số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
c
3
+
+
≥ .
2
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a
Bình luận: Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cô si (AM-GM) với mẫu số vì bất đẳng thức sau đó
sẽ đổi chiều
a
b
c
a
b
c
3
+
+
≤
+ +
≥
2
2
2
2 b 2c 2 a 2
1+ b 1+ c 1+ a
10
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Tuy nhiên, rất may mắn ta lại có thể dung bất đẳng thức đó theo cách khác:
(
)
a 1 + b2 − b2
a
ab 2
ab2
ab
=
=
a
−
≥
a
−
= a−
2b
2
1 + b2
1 + b2
1 + b2
2
Ta đâ sử dụng bất đẳng thức AM-GM: 1 + b ≥ 2b ở
dưới mẫu nhưng lại có được một bất đẳng thức thuận
chiều.
Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược dấu bất đẳng thức Cô si, một kĩ thuật khá ấn tượng và bất ngờ.
(
)
a 1 + b2 − b2
a
ab 2
ab2
ab
Giải: Ta có:
=
= a−
≥ a−
= a−
2
2
2
2
b
2
1+ b
1+ b
1+ b
b
bc
c
ca
≥ b−
≥c−
Tương tự:
và
2
2
2
2
1+ c
1+ a
a
b
c
ab + bc + ca
ab + bc + ca 3
Cộng vế theo vế cả bất đẳng thức ta được:
+
+
≥ a+b+c−
= 3−
≥
2
2
2
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a
Vì ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca ) ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 .
Đẳng thức xảy ra khi ac= b = c = 1.
Bài tập tương tự: 1).Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 .
2
Chứng minh bất đẳng thức:
1
1
1
3
+
+
≥ .
1 + a2 1 + b2 1 + c 2 2
2). Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức:
1+ a 1+ b 1+ c
+
+
≥3.
1 + b2 1 + c2 1 + a2
3).Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: a + b + c + d = 4 ta có :
1
1
1
1
+
+
+
≥2
1 + a2 1 + b2 1 + c 2 1 + d 2
4).Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: a + b + c + d = 4 ta có :
a
b
c
d
+
+
+
≥2
2
2
2
1 + b 1 + c 1 + d 1 + a2
5).Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: a + b + c + d = 4 ta có :
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
+
+
+
≥4
1 + b2 1 + c 2 1 + d 2 1 + a2
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: a + b + c + d = 4 ta có bất đẳng thức:
a
b
c
d
+
+
+
≥2
2
2
2
1 + b c 1 + c a 1 + d a 1 + a2 b
Giải: Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
(
)
a 1 + b2 c − b2 c
b ( a + ac )
a
b2 c
ab2 c
ab c
b a.ac
=
= a−
≥ a−
= a−
≥ a−
≥ a−
2
2
2
2
2
4
1+ b c
1+ b c
1+ b c
2b c
b
bc + bcd
c
cd + cda
d
da + dab
≥ b−
≥c−
=d−
Tương tự:
;
và
2
2
2
2
2
4
1+ c d
1+ d a
1+ a b
Cộng 4 bất đẳng thức trên ta có:
a
b
c
d
1
+
+
+
≥ a + b + c + d − ( ab + bc + cd + da + abc + bcd + cda + dab )
4
1 + b2 c 1 + c2 a 1 + d 2 a 1 + a2 b
1
2
Ta lại có: ab + bc + cd + da ≤ ( a + b + c + d ) = 4
4
1
3
( abc + bcd + cda + dab ) ≤ ( a + b + c ) = 4 .
16
a
b
c
d
+
+
+
≥ a+b+c+d−2 = 2.
Do đó:
2
2
2
1 + b c 1 + c a 1 + d a 1 + a2 b
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1.
11
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương ta luôn có:
a3
b3
c3
d3
a+b+c+d
+
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a +b
b +c
c +d
d +a
a3
a3 + ab 2 − ab 2
ab2
ab 2
b
=
−
≥
−
= a−
HDG: Ta có: 2 2 =
a
a
2
2
2
2
2ab
2
a +b
a +b
a +b
Xây dựng ba bất đẳng thức tương tự. Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau.
Bài tập tương tự: Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương ta luôn có:
a4
b4
c4
d4
a+b+c+d
+
+
+
≥
.
3
a 3 + 2 b 3 b 3 + 2c 3 c 3 + 2 d 3 d 3 + 2 a 3
Ví dụ 7. Cho a, b, c ≥ 0 thoả mãn: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức:
Giải: Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
(
a2
b2
c2
+
+
≥1.
2
2
a + 2b
b + 2c
c + 2a2
)
2
a a + 2 b2 − 2ab2
2 ( ab ) 3
2 ab2
a2
=
≥
a
−
= a−
2
2
3
a + 2b
a + 2b
3 3 ab 4
2
Hoàn toàn tương tự ta cũng có 2 bất đẳng thức:
2 ( bc ) 3
b2
≥
b
−
3
b + 2c 2
.
2
,
2 ( ca ) 3
c2
≥
c
−
3
c + 2a2
2
2
2
2
2
2
2
Do đó ta chỉ cần chứng minh: a + b + c − ⎡⎢( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ⎤⎥ ≥ 1 ⇔ ( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ≤ 3 .
3⎣
⎦
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cô si ta có:
2
2
2
a + ab + b ≥ 3 ( ab ) 3 , b + bc + c ≥ 3 ( bc ) 3 , c + ca + a ≥ 3 ( ca ) 3
Cộng vế theo vế ta có: 2 ( a + b + c ) + ab + bc + ca ≥ 3 ⎡⎢( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ⎤⎥
2
2
⎣
2
⎦
Vì a + b + c = 3 và 3 ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) = 9 ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 .
2
2
2
2
2
2
2
Từ đó suy ra: 3 ⎡⎢( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ⎤⎥ ≤ 2.3 + 3 = 9 ⇔ ( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ≤ 3
⎣
⎦
nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1.
Ví dụ 8. Cho a, b, c ≥ 0 thoả mãn: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức:
a2
b2
c2
+
+
≥ 1.
3
3
a + 2 b b + 2c c + 2 a 3
Giải: Chứng minh tương tự
(
)
a a + 2 b3 − 2ab3
a2
2ab3
2b 3 a2
a
a
Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
=
≥
−
=
−
.
3
a + 2b3
a + 2 b3
3 3 ab 6
Do đó ta chỉ cần chứng minh: b 3 a2 + c 3 b2 + a 3 c 2 ≤ 3 .
1
2a + b
3
3
2 ab + b 2 bc + c 2ca + a 2
1
3 2
3 2
3 2
Cộng vế theo vế ta có: b a + c b + a c ≤
+
+
≤ ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c )
3
3
3
3
3
2
1
Từ đó suy ra: b 3 a2 + c 3 b2 + a 3 c 2 ≤ .3 + .3 = 3 nên ta có điều phải chứng minh.
3
3
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cô si ta có: b 3 a2 ≤ b. ( a + a + 1) =
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1.
12
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Ví dụ 9. Cho x, y, x > 0 thoả mãn
Giải: Ta có:
xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: T =
x2
y2
z2
+
+
x+y y+z z+ x
x ( x + y ) − xy
xy
x2
xy
=
= x−
≥ x−
x+y
x+y
x+y
2
Chứng minh tương tự:
yz z 2
zx
y2
≥ y−
;
≥ z−
y+z
2 z+ x
2
xy + yz + zx
1
1 1
= x + y + z − ≥ 1 − = (vì x + y + z ≥ xy + yz + zx = 1
2
2
2 2
1
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = .
3
1
1
Vậy Min T = khi x = y = z = .
2
3
Suy ra: T ≥ x + y + z −
5. Ph−¬ng ph¸p thªm h¹ng tö vµ chän ®iÓm r¬i C«si
§©y lµ ph−¬ng ph¸p rÊt l«i cuèn häc sinh, b»ng c¸ch thªm c¸c sè h¹ng phï hîp vµ sö dông khÐo lÐo
bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã thÓ ®¹t nh÷ng kÕt qu¶ kh«ng ngê!
“ Kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng, chọn điểm rơi và cân bằng hệ số”
5.1).Dấu bằng xảy ra tại điểm mút.
Ví dụ 1. 1).Cho a ≥ 3 . Chứng minh rằng: a +
1 10
≥
a 3
Phân tích tìm lời giải:
Dấu “=” xảy ra khi a = 3
Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho αa vµ
1
thì dấu “=” xảy ra khi a = 3
a
1
1
⇒ α = .Từ đó ta có lời giải:
3
9
1 8
1⎞ 8
1 1 10
⎛1
Giải: Ta có: a + = a + ⎜ a + ⎟ ≥ .3 + 2 a. = .
a 9
a⎠ 9
9 a 3
⎝9
Dấu “=” xảy ra khi a = 3
1 9
2).Cho a ≥ 2 . Chứng minh rằng: a + 2 ≥
a
4
Phân tích tìm lời giải:
Dấu “=” xảy ra khi a = 2
Nghĩa là: α.3 =
Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho αa, αa vµ
Nghĩa là: α.2 =
1
thì dấu “=” xảy ra khi a = 2
a2
1
1
⇒α= .
2
2
8
Từ đó ta có lời giải:
Giải:
1 3
1
1 ⎞ 3
1 1 1 3 3 9
⎛1
Ta có: a + 2 = a + ⎜ a + a + 2 ⎟ ≥ .2 + 3 3 a. a. 2 = + = .
a
4
8
a ⎠ 4
8 8 a
2 4 4
⎝8
Dấu “=” xảy ra khi a = 2
13
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
3).Cho a ≥ 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a2 +
18
a
Phân tích tìm lời giải:
Dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi a = 6
Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho αa 2 vµ
Nghĩa là: α.36 =
18
thì dấu “=” xảy ra khi a = 6
a
18
1
⇒α=
.Từ đó ta có lời giải:
6
2 6
Giải: Ta có:
1 ⎞ 2 ⎛ 1 2 18 ⎞ ⎛
1 ⎞ 2
9a a ⎛
1 ⎞
⎛
a +
= ⎜1 −
≥ ⎜1 −
⎟ ≥ ⎜1 −
⎟a +⎜
⎟a + 2
⎟ .36 + 6 6 = 36 + 3 6 .
a ⎝ 2 6⎠
a⎠ ⎝ 2 6⎠
6
⎝ 2 6⎠
⎝2 6
Dấu “=” xảy ra khi a = 6. Vậy MinS = 36 + 3 6 tại a = 6.
1
1
4).Cho 0 < a ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 2 .
2
a
Phân tích tìm lời giải:
1
Dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi a =
2
α
1
Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho a, a vµ 2 thì dấu “=” xảy ra khi a =
2
a
1
α
1
Nghĩa là: =
⇒ α = .Từ đó ta có lời giải:
2 ⎛ 1 ⎞2
8
⎜2⎟
⎝ ⎠
1
1
7
1
7
3 7
= + = 5.
Giải: Ta có: S = 2 a + 2 = a + a + 2 + 2 ≥ 3 3 a.a. 2 +
2
a
8a 8a
8a
2 2
⎛1⎞
8. ⎜ ⎟
⎝2⎠
1
Dấu “=” xảy ra khi a = .
2
1
Vậy: Min S = 5 khi a = .
2
* Hãy so sánh ví dụ 2 và 4 để xem có điều gì thú vị ở đây?
a2 +
18
5.2). Các biến đều bình đẳng , dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau
⎧a, b > 0
Ví dụ 2. Cho ⎨
. Chứng minh rằng:
⎩a + b = 1
1
1
a). + 2
≥6
ab a + b2
Phân tích tìm lời giải:
1
Dấu “=” xảy ra khi a = b =
và nhận xét rằng:
2
2
2
2ab + a 2 + b2
a + b)
(
⎛a+b⎞
2
2
ab ≤ ⎜
=
⎟ vµ 2 ab a + b ≤
4
4
⎝ 2 ⎠
14
(
)
(
)
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho
Nghĩa là:
α
1
1
thì dấu “=” xảy ra khi a = b=
vµ 2
2
ab
a +b
2
α
1
1
=
⇒ α = .Từ đó ta có lời giải:
2
2
1 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞
2
.
+
⎜
⎟
⎜
⎟
2 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
Giải: Ta có:
1
1
1 ⎛ 1
1
+ 2
≥
+⎜
+ 2
2
ab a + b
2ab ⎝ 2 ab a + b2
Dấu “=” xảy ra khi a =
1
1
2
⎞
≥
+2
⎟ ≥ 2ab + 2
2
2
2
2ab a + b
⎠
( a + b)
(
)
4
( a + b)
2
= 2 + 2.2 = 6 .
1
.
2
2
3
+ 2
≥ 14
ab a + b2
Hãy giải tương tự câu a.
b).
Ví dụ 3. (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An -Bảng B-98-99 )
⎧ x, y > 0
Cho ⎨
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
⎩x + y ≤ 1
1
2
A= 2
+ + 4 xy
2
x +y
xy
Phân tích tìm lời giải:
1
Dấu “=” xảy ra khi x = y =
2
α
1
Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho
vµ 4 xy thì dấu “=” xảy ra khi x = y =
xy
2
α
1 1
1
= 4. . ⇒ α = .Từ đó ta có lời giải:
Nghĩa là:
1 1
2 2
4
.
2 2
⎛ 1
⎞
1
2
1 ⎞ 5 ⎛ 1
Giải: Ta có: A = 2
+ + 4 xy = ⎜ 2
+
+⎜
+ 4 xy ⎟ .
⎟+
2
2
x +y
xy
2 xy ⎠ 4 xy ⎝ 4 xy
⎝x +y
⎠
A≥
4
( x + y)
2
+
5
( x + y)
2
+4
Dấu “=” xảy ra khi x = y =
1
.4 xy = 4 + 5 + 4 = 11
4 xy
1
.
2
Vậy Min A = 11 khi khi x = y =
1
.
2
Ví dụ 4.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P =
a3
b3
+
víi a, b lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ab = 1.
1+ b 1+ a
H−íng dÉn: DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1, vËy ta ph¶i thªm cho
a3
1+ b
sè h¹ng
.
1+ b
α
15
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
§Ó tÝnh α ta thÊy cho a = b =1 th× α =4. Nh−ng nh− thÕ ta thÊy chØ xuÊt hiÖn 3 a 3 v× vËy ta thªm
®Ó ®−îc chøng minh sau:
a3 1 + b 1 3
b3 1 + c 1 3
a3
b3
3 5
5
+
+ ≥ a;
+
+ ≥ b⇒
+
+ ≥ (a + b) ≥ . MinP = 1
1+ b
4
2 2 1+ c
4
2 2
1+ b 1+ c 2 4
2
Ví dụ 5. Chøng minh ∀a, b, c > 0 th×
a2 b2 c2
+
+
≥ a+b+c
b
c
a
Ph©n tÝch: tr−íc hÕt ta nhËn thÊy nÕu ¸p dông ngay bÊt ®¼ng thøc C« si th× còng kh«ng ra
®−îc kÕt qu¶, kÜ thuËt vßng còng kh«ng gi¶i quyÕt ®−îc.
B©y giê ta ®¸nh gi¸ dÊu b»ng x¶y ra khi nµo, dÔ nhËn thÊy ®ã lµ khi a = b = c khi ®ã
v× vËy ta thªm b vµo phÇn tö ®¹i diÖn
a2
=a
b
a2
®Ó cã chøng minh sau:
b
Chøng minh:
Áp dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho c¸c sè d−¬ng
a2
b2
c2
, b, , c, , a th× ta cã:
b
c
a
a2
b2
c2
+ b ≥ 2a; + c ≥ 2b; + a ≥ 2c
b
c
a
2
2
2
a
b
c
a 2 b2 c2
⇒ + b + + c + + a ≥ 2a + 2b + 2c ⇒ + + ≥ a + b + c
b
c
a
b
c a
a2
b2
c2
a+b+c
Ví dụ 6. Chøng minh r»ng ∀a, b, c > 0 th×
+
+
≥
2
b+c a+c b+a
a2
Ph©n tÝch: Ta cÇn thªm cho
mét sè m tho¶ m·n:
b+c
1. Rót gän ®−îc mÉu sè (b+c) sau khi ¸p dông b®t C«si (
a2
a2
+m ≥ 2
m)
b+c
b+c
2. DÊu b»ng cña bÊt ®¼ng thøc C«si x¶y ra ®−îc nghÜa lµ
suy ra m =
b+c
α
.Vµ ®Ó tÝnh α th×
a2
= m vµ a= b = c
b+c
a2
b+c
=m=
. DÔ thÊy khi thay a=b=c th× α =4.
b+c
α
Chøng minh: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho c¸c sè d−¬ng
a2 b + c b2 c + a c2 a + b
,
,
,
,
,
b+c 4 c+a 4 a+b 4
th× ta cã:
16
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
1
2
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
⎫
a2
b+c
+
≥ a⎪
4
b+c
⎪
2
b
c+a
a2
b+c
b2
c+a
c2
a+b
⎪
+
≥ b⎬ ⇒
+
+
+
+
+
≥ a+b+c⇒
+
+
+
4
4
4
4
c+a
b
c
c
a
a
b
⎪
⎪
c2
a+b
+
≥ c⎪
4
a+b
⎭
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
2
b+c c+a a+b
DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c.
Tuy nhiªn thªm h¹ng tö nµo cho hîp lÝ th× tïy tõng bµi vµ vÝ dô cô thÓ
Ví dụ 7: Chøng minh r»ng víi x,y,z > 0:
x3 y3 z 3
+
+ ≥ x2 + y2 + z2
y
z
x
Ph©n tÝch: Ta thÊy r»ng víi h¹ng tö x3/ y cã thÓ cã hai h−íng sau:
C¸ch 1: Học sinh sÏ thªm
x3
y3
z3
+ xy ≥ 2 x 2 ; + yz ≥ 2 y 2 ; + zx ≥ 2 z 2 sau ®ã chøng minh
y
z
x
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, céng c¸c bÊt ®¼ng thøc ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
C¸ch 2:
x3 x3
y3 y3
z3 z3
+ + y 2 ≥ 3 x 2 ; + + z 2 ≥ 3 y 2 ; + + x 2 ≥ 3 z 2 céng l¹i ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
y
y
z
z
x x
Ví dụ 8. Chøng minh r»ng víi a, b, c>0 ta cã
a2 b2 c2 a b c
+ +
≥ + +
b2 c2 a2 b a a
Gi¶i: Áp dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:
a2 b2 c2
a2
a b2
b c2
c
+
+
≥
3
,
+
1
≥
2
,
+
1
≥
2
, 2 +1 ≥ 2
2
2
2
2
2
b
b c
c a
a
b
c
a
Ví dụ 9. NÕu a, b, c d−¬ng và abc=1 th×
a3
b3
c3
3
+
+
≥
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4
a3
b +1 c +1
Ph©n tÝch: ta sÏ thªm cho
nh÷ng h¹ng tö g×? ch¾c ch¾n lµ cã
;
víi α
(1 + b)(1 + c)
α
α
lµ mét sè d−¬ng nµo ®ã. VÊn ®Ò b»ng bao nhiªu, ta chØ cÇn chó ý lµ dÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=1;
khi ®ã
a3
b +1 c +1
=
=
sÏ cho ta α = 4 =4. V× vËy ta cã chøng minh sau:
(1 + b)(1 + c)
α
α
a3
1 + b 1 + c 3a
b3
1 + c 1 + a 3b
c3
1 + a 1 + b 3c
+
+
≥ ;
+
+
≥ ;
+
+
≥
(1 + b)(1 + c)
8
8
4 (1 + c)(1 + a )
8
8
4 (1 + a )(1 + b)
8
8
4
17
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
a3
b3
c3
3 1
3
+
+
+ ≥ (a + b + c) ≥ §iÒu ph¶i chøng minh.
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 2
2
⎧a, b, c > 0
Ví dụ 10. Cho ⎨
. Chứng minh rằng:
⎩a + b + c = 1
1
1
1 1
a). 2
+
+ + ≥ 30
2
2
a +b +c
ab bc ca
Phân tích tìm lời giải:
1
và nhận xét rằng:
3
1
1
1 1
1
9
+
+ + ≥ 2
+
2
2
2
2
2
a +b +c
ab bc ca a + b + c
ab + bc + ca
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =
Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho
thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c =
Nghĩa là:
1
2
2
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜3⎟ +⎜3⎟ +⎜3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
=
1
α
α
;
vµ
2
2
a + b + c ab + bc + ca
ab + bc + ca
2
1
.
3
α
⇔ α =1
1 1 1 1 1 1
. + . + .
3 3 3 3 3 3
Giải: Ta có:
1
9
1
1
1
7
⎛
⎞
+
=⎜ 2
+
+
+
⎟
2
2
2
2
a +b +c
ab + bc + ca ⎝ a + b + c
ab + bc + ca ab + bc + ca ⎠ ab + bc + ca
9
21
≥
+
= 9 + 21 = 30
2
2
(a + b + c) (a + b + c)
2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =
1
.
3
1 1 1 2
2 2
+ 2+ 2+
+ + ≥ 81 .
2
a b c ab bc ca
Phân tích tìm lời giải:
1
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =
b).
1 1 1 α α
α
; 2; 2; ;
vµ
2
ca
Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho a b c ab bc
1
thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c = .
3
Giải: Ta có:
1 1 1 2
2 2
1 1 1 1
1 1
1
1
1
81
+ 2+ 2+
+ + = 2+ 2+ 2+
+ + +
+ + ≥
= 81
2
a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ( a + b + c )2
3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =
1
1 1
1
n2
. (Áp dụng BĐT + + ... ≥
)
a1 a2
an a1 + a2 + ... + an
3
18
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
C¸C KÜ THUËT Sö DôNG BÊT §¼NG THøC AM-GM Vµ BÊT §¼NG THøC BUNHIacèpki
⎧ x , y, z ≥ 0
Ví dụ 11. Cho ⎨ 2
.
2
2
⎩ x + y + z = 18
Tìm giá trị lớn nhất của: P = x + y + z . ĐS: MaxP = 3 6 ⇔ x = y = z = 6
Ví dụ 12. Cho x 4 + y 4 + z 4 = 48 . Tìm giá trị lớn nhất của:
a). S1 = xy + yz + zx
b). S2 = x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ĐS: 48
c). S3 = 3 xy + 3 yz + 3 zx ĐS: 3 3 4 Phân tich tìm lời giải:
Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi
x 4 = y 4 = z 4 = 16 ⇔ x = y = z = 2
Để xuất hiện biểu thức S1 = xy + yz + zx ta cần áp dụng BĐT Cô si cho 4 số: x 4 , y 4 , α, α
như sau: x 4 + y 4 + α + α ≥ 4 4 α 2 x 4 y 4 = 4 α xy và dấu “=” xảy ra khi α = x 4 = y 4 = 16
Từ đó ta có lời giải:
Giải: Áp dụng BĐT Cô si: x 4 + y 4 + 16 + 16 ≥ 4 4 x 4 .y 4 .16.16 = 16 xy ≥ 16 xy
Tương tự:
z 4 + x 4 + 16 + 16 ≥ 4 4 z 4 . x 4 .16.16 = 16 zx ≥ 16 zx
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
16 S1 ≤ 2 x 4 + y 4 + z 4 + 96 = 192 ⇒ S1 ≤ 12
(
)
Dấu “=” xảy ra khi ⇔ x = y = z = 2 .
Vậy Max S1 = 12 khi x = y = z = 2 hoặc x = y = z = -2.
Tổng quát 1: Cho x 2 n + y 2 n + z 2 n = M ( n là số tự nhiên khác 0; M là số không âm cho trước).
Tìm giá trị lớn nhất của:
a). S1 = xy + yz + zx
b). S2 = x n y n + y n z n + z n x n
c). S3 = 2 m +1 xy + 2 m +1 yz + 2 m +1 zx ( m ∈ `* ).
⎧ x , y, z ≥ 0
Ví dụ 7. Cho ⎨ 3
. Tìm giá trị lớn nhất của:
3
3
⎩ x + y + z = 24
a). P1 = xy + yz + zx ĐS: 12
b). P2 = xy + yz + zx ĐS: 6
c). P3 = 5 xy + 5 yz + 5 zx ĐS: 3 5 4
⎧ x , y, z ≥ 0
Tổng quát 2: Cho ⎨ n
( n là số tự nhiên khác 0; M là số không âm cho trước).
n
n
⎩x + y + z = M
Tìm giá trị lớn nhất của:
a). P1 = xy + yz + zx
b). P2 = m xy + m yz + m zx ( m ∈ `, m ≥ 2 ).
Giải:a). Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x n = y n = z n =
19
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CH¦¥NG – NGHÖ AN
M
3
- Xem thêm -
.PDF 
41 
29 
61 
