Tài liệu Tài liệu ôn thi thptqg môn toán toàn tập

Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp MUÏC LUÏC Chuyeân ñeà Trang PHAÀN I: ÑAÏI SOÁ - GIAÛI TÍCH  BAÁT ÑAÚNG THÖÙC  BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI  PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ  PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN THÖÙC  PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI  HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ  PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC  CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ  PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOÂGARÍT  BAÁT PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOÂGARÍT  TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN  SOÁ PHÖÙC  ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP VAØ XAÙC XUAÁT PHAÀN II. HÌNH HOÏC  HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG  HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN  HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN  NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC  PHUÏ LUÏC ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 1 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp 2 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp PHAÀN I: ÑAÏI SOÁ - GIAÛI TÍCH --------* BAÁT ÑAÚNG THÖÙC * 1/ Caùc tính chaát cô baûn cuûa baát ñaúng thöùc: a) Tính chaát:  a > b vaø b > c  a > c  Neáu c > 0 thì a > b  a.c > b.c b) Heä quaû:  a > b vaø c > d  a + c > b + d  a > b  0 vaø c > d  0  a.c > b.d  a > b0 a > b 1 1 a>b>0  a b 2/ Baát ñaúng thöùc veà giaù trò tuyeät ñoái:  - a  a  a vôùi a  R.  x  a  x < -a hoaëc x > a (vôùi a>0)  a > ba + c > b + c  Neáu c < 0 thì a > b  a.c < b.c a+c>b  a>b-c  a > b  0 vaø n  N*  an > bn  a > b 3 a >3 b 1 1 a0)  a  b  a  b  a  b (vôùi moïi a,b  R). 3/ Baát ñaúng thöùc CauChy: ab  ab . Ñaúng thöùc xaûy ra khi a = b. 2 4/ Moät soá baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng thöôøng söû duïng:  [A(x)]2  0 x  R  [A(x)]2 + [B(x)]2  0 x  R. * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: 1 1 4 a) a4 + b4  a3b + ab3 (a, b  R); b)   (a, b > 0); a b ab a b c) d) a2 + b2 + c2 + 3  2(a + b + c), a, b, c  R;   a  b (a, b > 0); b a 2 2 e) x + y + z2  xy + yz + zx; f) a2 + b2 + 1  ab + a + b. Baøi 2: Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau döïa vaøo baát ñaúng thöùc CauChy: a) (a + b)(b + c)(c + a)  8abc (a, b, c > 0); b) (a + b + c)(a2 + b2 + c2)  9abc (a, b, c > 0); bc ca ab   c)  a + b + c (a, b, c > 0); d) a2009 > 2009(a - 1) vôùi a > 0. a b c Baøi 3: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f(x) = (x + 3)(5 - x) vôùi -3  x  5 Baøi 4: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá: 2 2 x 2  4x  4 ,x  0; a) f(x) = x + vôùi x > 1; b) f(x) = c) f(x) = x2 + 3 , x > 0. x x 1 x Baøi 5: Ñònh x ñeå caùc haøm soá sau ñaây ñaït giaù trò nhoû nhaát: x 18 x 2 3x 1  a) y =  , x > 0; b) y =  , x > 1; c) y = , x > -1; 2 x 2 x 1 2 x 1 x3  1 x 5 1 x 5  , 0 < x < 1; d) y =  ,x> ; e) y = f) y = , x > 0. 3 2x  1 2 1 x x x2 Baøi 6: Tìm x ñeå caùc haøm soá sau ñaây ñaït giaù trò lôùn nhaát: Vôùi moïi a  0, b  0 ta coù: ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 3 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp a) y = x(6 - x), x [0; 6]; 4 5 b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [- 3; ]. 2 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp * BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI * I. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT: 1/ Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình: ax + b > 0 (1) Böôùc 1: Ta bieán ñoåi baát phöông trình (1) veà daïng ax > -b Böôùc 2: Bieän luaän: b b  Neáu a > 0 thì (1)  x >  . Taäp nghieäm S = (  ; +). a a b b  Neáu a < 0 thì (1)  x <  . Taäp nghieäm S = (-;  ). a a  Neáu a = 0 thì (1)  0x + b > 0 . Neáu –b < 0 thì (1) thoûa maõn x  R. Neáu –b  0 thì (1) voâ nghieäm. 2/ Giaûi heä baát phöông trình baäc nhaát moät aån:  a x  b1  0 coù taäp nghieäm S1 Cho heä baát phöông trình  1 . a2 x  b2  0 coù taäp nghieäm S2 Taäp nghieäm cuûa heä laø S = S1  S2. * Chuù yù: Chæ caàn moät baát phöông trình voâ nghieäm thì heä voâ nghieäm. Ví duï 1: Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình: mx + 1 > x + m2. 2 x  9  0  Ví duï 2: Giaûi heä baát phöông trình:  4  x  0 .  3x  1  0  II. DAÁU CUÛA NHÒ THÖÙC BAÄC NHAÁT: Xeùt daáu nhò thöùc f(x) = ax + b = 0 (a  0) x - -b/a f(x) traùi daáu vôùi heä soá a 0 vôùi -b/a laø nghieäm cuûa nhò thöùc. Ví duï: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc sau: a) A = (x - 3)(x + 1)(2 - 3x); + cuøng daáu vôùi heä soá a b) B = x7 . ( x  2)(2 x  1) III. DAÁU CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI: 1/ Xeùt daáu tam thöùc f(x) = ax2 + bx + c (a  0):  Tính  = b2 - 4ac (hoaëc ' = b'2 - ac neáu b chaün)  Neáu  < 0 thì: phöông trình f(x) = 0 voâ nghieäm vaø x - + f(x) Cuøng daáu vôùi a b  Neáu  = 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm keùp x = vaø 2a b - + x 2a f(x) Cuøng daáu vôùi a 0 Cuøng daáu vôùi a  Neáu  > 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù 2 nghieäm x1, x2 (x1 < x2) vaø x - x1 x2 + f(x) Cuøng daáu vôùi a 0 Traùi daáu vôùi a 0 Cuøng daáu vôùi a 2/ Baát phöông trình baäc hai: ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 5 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp  Daïng: ax2 + bx + c > 0 (hoaëc , <, )  Caùch giaûi: Xeùt daáu tam thöùc baäc hai ôû veá traùi roài döïa vaøo baûng xeùt daáu choïn daáu "+" hoaëc daáu "-" tuøy vaøo chieàu baát phöông trình. 3/ Giaûi heä baát phöông trình baäc hai moät aån:  a1x 2  b1 x  c1  0 coù taäp nghieäm S1 Cho heä baát phöông trình  2 . a 2 x  b 2 x  c2  0 coù taäp nghieäm S2 Taäp nghieäm cuûa heä laø S = S1  S2. * Chuù yù: Chæ caàn moät baát phöông trình voâ nghieäm thì heä voâ nghieäm. Ví duï 1: Giaûi caùc heä baát phöông trình sau: 3x  11  0  3x 2  7 x  2  0  a)  ; b) .  2 2  11x  10 x  1  0  2 x  x  3  0 Ví duï 2: Tìm m ñeå f(x) = (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + 3(m - 2) > 0, x  R. * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 2 1 2x  1 a) (- 2 x + 2)(x + 1)(2x - 3) > 0; b) 2 .   3 x  x 1 x 1 x 1 Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän caùc baát phöông trình: a) x + m + 1 > 2m(m – x); b) m(x – 4) < m2 – 3(x – 1); c) 3mx + 2(x + m)  m(3m + 4); d) m(2x – 1) + 2  m2 – 4x. Baøi 3: Tìm m ñeå baát phöông trình sau voâ nghieäm: a) 2m(x – 1) > 3x + 1; b) m( x – 3) – 2 < m2 – x; c) 4mx – 3(x + m)  m2(x – 1).  x  4m 2  2mx  1 Baøi 4: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå heä baát phöông trình sau coù nghieäm:   3x  2  2 x  1 mx  9  3x  m 2 Baøi 5: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå heä baát phöông trình sau voâ nghieäm:   4x  1  x  6 Baøi 6: Tìm a, b ñeå baát phöông trình (x - 2a + b - 1)(x + a - 2b + 1)  0 coù taäp nghieäm S = [0; 2]. Baøi 7: Tìm m ñeå: a) mx2 - 10x - 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x; b) f(x) = mx2 - 10x - 5  0 x  R. Baøi 8: Tìm ñeå baát phöông trình mx2 - x + m  0 voâ nghieäm. * Baøi taäp töï luyện: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 15x2 - 4x – 4 < 0; c) -3x2 + 7x – 9 ≥ 0; d) 5x2 + 4x + 2  0. Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 3  4x  1 x2  x  3 a) b) 2 c)  1;  3 ;  1; 2 x 3x  1 x 4 2x  5 1 1 1 1 x 2  5x  6 x  1 d) 2 ; e) ; f) 2 .     x  6x  7 x  3 x 1 x  2 x  2 x  5x  6 x Baøi 3: Giaûi caùc heä baát phöông trình sau:  2 x 2  11x  5  0  9 x 2  3x  20  0  x 2  2 x  15  0 a)  2 ; b)  2 ; c)  ; 2 4 x  20 x  21  0  2 x  3x  2  0  x  6x  8  0  x 2  x  12  0  x 2  x  30  0  x 2  x  12  0 d)  2 ; e)  2 ; f)  2 .  x  x  6  0  x  x  12  0 x  5x  6  0 Baøi 4: Tìm m ñeå baát phöông trình sau ñaây nghieäm ñuùng vôùi moïi x  R: a) 5x2 - x + m > 0; b) m(m + 2)x2 + 2mx + 2 > 0. 6 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp * PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ * I. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT: 1/ Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ax + b = 0 (1):  Bieán ñoåi phöông trình (1) veà daïng: ax = - b (2).  Bieän luaän: b Neáu a  0 thì (2) coù nghieäm duy nhaát x =  . a Neáu a = 0 thì phöông trình (2) trôû thaønh: 0x = - b Neáu b  0 thì phöông trình (2) voâ nghieäm. Neáu b = 0 thì phöông trình (2) coù nghieäm x  R. Ví duï: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình m2x + 2 = x + 2m 2/ Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình ax + b = 0 (*):  Phöông trình (*) coù nghieäm duy nhaát  a  0; a  0  Phöông trình (*) voâ nghieäm   ; b  0 a  0  Phöông trình (*) nghieäm ñuùng vôùi moïi x   . b  0 Ví duï1: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình: a) (4m2 - 2)x = 1 + 2m - x voâ nghieäm; b) m2x - m = 25x - 5 nghieäm ñuùng x  R; c) m(m - 1)x - m = m2 - 1 coù moät nghieäm. * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau theo tham soá m: a) 2mx = 2x + m + 4; b) m(x + m) = x + 1. Baøi 2: Tìm caùc giaù trò cuûa q ñeå moãi phöông trình sau coù nghieäm ñuùng vôùi moïi x  R: a) 2qx - 1 = x + q; b) q2x - q = 25x - 5. Baøi 3: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå moãi phöông trình sau chæ coù moät nghieäm: a) m(m - 1)x = m2 - 1; b) (x - m)(x - 1) = 0. II. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI: 1/ Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ax2 + bx + c = 0 (1):  Tröôøng hôïp 1: a = 0 thì (1) laø phöông trình baäc nhaát (ta giaûi cuï theå).  Tröôøng hôïp 2: a  0 thì phöông trình (1) laø phöông trình baäc 2 coù: b  = b2 – 4ac (hoaëc ’ = b'2 – ac, vôùi b' = ) 2 Bieän luaän: Neáu  < 0: phöông trình (1) voâ nghieäm. b b' Neáu  = 0: phöông trình (1) coù nghieäm keùp x1 = x2 =  . (x1 = x2 =  ). 2a a Neáu  > 0: phöông trình (1) coù hai nghieäm phaân bieät: b  b   b' '  b' ' x1  ; x2  ; x2  (hoaëc x1  ) 2a 2a a a * Chuù yù:  Neáu ac < 0 thì phöông trình (1) coù hai nghieäm phaân bieät. c  Neáu a + b + c = 0 thì phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù hai nghieäm: x1 = 1; x2  . a ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 7 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp c  Neáu a – b + c = 0 thì phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù hai nghieäm: x1 = -1; x2   . a 2 Ví duï: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: x - 2x = m(x - 1) - 2. 2/ Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (1): Phöông trình phöông trình (1): a  0 a  0 a  0  i/ voâ nghieäm  b  0 hoaëc  ; ii/ coù nghieäm keùp   ;   0   0 c  0  a  0 a  0 iii/ coù 2 nghieäm phaân bieät   ; iv/ coù 2 nghieäm   ;   0   0 a  0  vi/ coù nghieäm ñuùng vôùi moïi x  b  0 . c  0  2 Ví duï: Cho phöông trình (m - 2)x - mx + 2m - 3 = 0 (*). Tìm m ñeå: a) Phöông trình (*) coù hai nghieäm; b) Phöông trình (*) voâ nghieäm. 3/ Ñònh lí Vieùt:  Ñònh lí thuaän: Neáu phöông trình baäc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) coù hai nghieäm x1 vaø x2 thì: b   S  x1  x2  a .  c  P  x1 x2  a   Ñònh lí ñaûo: Cho 2 soá baát kyø u, v. Khi ñoù u, v laø nghieäm phöông trình: X2 - SX + P = 0, vôùi S = u + v, P = uv (S2  4P).  ÖÙng duïng cuûa ñònh lí Vieùt: a) Tính giaù trò caùc bieåu thöùc ñoái xöùng giöõa caùc nghieäm. b) Duøng , S, P ñeå xeùt daáu caùc nghieäm cuûa phöông trình baäc hai:  0  0   i/ x1 < 0 < x2  P < 0; ii/ 0 < x1 < x2   P  0 ; iii/ x1 < x2 < 0   P  0 . S 0 S 0   Ví duï 1: Cho phöông trình x2 - 2x + m - 1 = 0. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm x1, x2 thoûa maõn x12  x22 = 4. Ví duï 2: Cho phöông trình x2 - 2mx + 3m - 2 = 0. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm x1, x2 thoûa maõn 5x1 + 3x2 = 4. Ví duï 3: Xeùt phöông trình mx2 - 2(m - 1)x + 4m - 1 = 0. Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå phöông trình coù a) hai nghieäm traùi daáu; b) hai nghieäm döông; c) hai nghieäm aâm phaân bieät. * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau: a) x2 + (1 - m)x - m = 0; b) (m - 3)x2 - 2mx + m - 6 = 0. Baøi 2: Tìm m ñeå caùc phöông trình sau: a) 2x2 + 2(m + 1)x + 3 + 4m + m2 = 0 coù nghieäm; b) 3mx2 + (4 - 6m)x + 3(m - 1) = 0 coù hai nghieäm baèng nhau; c) (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0 coù hai nghieäm döông phaân bieät; d) x2 - 6mx + 2 - 2m + 9m2 = 0 coù hai nghieäm aâm phaân bieät. 8 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp Baøi 3: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau: 1 a) x2 + (m + 1)x + m - = 0 luoân coù nghieäm vôùi moïi tham soá m; 3 2 2 b) (2m + 1)x - 4mx + 2 = 0 voâ nghieäm vôùi moïi m. Baøi 4: Cho phöông trình x2 - mx + 21 = 0 coù moät nghieäm laø 7, tìm m vaø nghieäm coøn laïi. Baøi 5: Giaû söû x1, x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình 2x2 - 11x + 13 = 0. Haõy tính: x x a) x13  x23 ; b) x14  x24 ; c) 1 (1  x22 )  2 (1  x12 ) . x2 x1 Baøi 6: Giaû söû x1, x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình x2 + 2mx + 4 = 0. Haõy tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m x x ñeå coù ñaúng thöùc: ( 1 ) 2  ( 2 ) 2  3 . x2 x1 Baøi 7: Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì phöông trình 2x2 - (a + 1)x + a + 3 = 0 coù hai nghieäm vaø hieäu hai nghieäm cuûa phöông trình baèng 1. Baøi 8: Tìm taát caû caùc giaù trò döông cuûa k ñeå caùc nghieäm phöông trình 2x2 - (k + 2)x + 7 = k2 traùi daáu nhau vaø coù giaù trò tuyeät ñoái laø nghòch ñaûo cuûa nhau. Baøi 9: Haõy tìm taát caû caùc giaù trò cuûa k ñeå phöông trình baäc hai (k + 2)x2 - 2kx - k = 0 coù hai nghieäm maø saép xeáp treân truïc soá, chuùng ñoái xöùng nhau qua ñieåm x = 1. * Baøi taäp töï luyện: Baøi 1: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå moãi phöông trình sau coù hai nghieäm baèng nhau: a) x2 - 2(m - 1)x + 2m + 1 = 0; b) (m - 1)x2 - 2(m + 3)x - m + 2 = 0; c) (m - 3)x2 - 2(3m - 4)x + 7m - 6 = 0; d) (m - 2)x2 - mx + 2m - 3 = 0. Baøi 2: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau luoân coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m: 3 1 a) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0; b) x2 + (m + 2)x + m + = 0; 4 2 2 c) (m - 1)x + (3m - 2)x + 3 - 2m = 0. Baøi 3: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau voâ nghieäm duø m laáy baát kì giaù trò naøo: 1 a) x2 + (m + 1)x + m2 + m + 1 = 0; b) x2 + 2(m - 3) + 2m2 - 7m + 10 = 0; 2 c) x2 - ( 3 - 1)x + m2 - 3 m + 2 = 0. Baøi 4: Vôùi moãi phöông trình sau, bieát moät nghieäm, tìm m vaø nghieäm coøn laïi: a) x2 - 9x + m = 0 coù moät nghieäm laø -3; b) (m - 3)x2 - 25x + 32 = 0 coù moät nghieäm laø 4. III. MOÄT SOÁ PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI: 1/ Phöông trình chöùa aån ôû maãu: mx  n Daïng:  e vôùi p  0 px  q q  Taäp xaùc ñònh: D = R\ { } ; p  Phöông trình ñaõ cho töông ñöông: mx + n = e(px + q). mx  1 Ví duï: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình:  2. x 1 * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: 2(x 2  1) x2 2x  5 5x  3  2  a) ; b) . 2x  1 2x  1 x  1 3x  5 Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình: ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 9 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp a) (x - 2)(x - mx + 3) = 0; b) ( x  1)(mx  2)  0. x  3m x  2 x 1 voâ nghieäm.  x  m x 1 2x  m x  m  1 Baøi 4: Ñònh m ñeå phöông trình   1 coù nghieäm. x 1 x * Baøi taäp töï luyện: Baøi 1: Ñònh m ñeå caùc phöông trình sau voâ nghieäm: xm x2 x 1 x a) b) .  2;  x 1 x 1 x  a 1 x  a  2 Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình: 2mx  m 2  m  2 a 1 mx  m  3 a) b) c)  1;   1;  1; 2 x  2 x  2a x 1 x 1 3x  k x  k (m  1)x  m  2 2a  1 d) ; e) f)  m;  a2; x 3 x 3 x3 x2 xm x3 x  m x 1 mx  1 m m( x 2  1)   g) h) c) .   2;  2; x 1 x 1 x2  1 x2 x x 1 x  m 2/ Phöông trình truøng phöông:  Daïng: ax4 + bx2 + c = 0 (a  0).  Caùch giaûi: Ñaët t = x2 (t ≥ 0), phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: at2 + bt + c = 0. Ví duï: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình x 4  2 x 2  3  m : a) Voâ nghieäm? b) Coù moät nghieäm? c) Coù hai nghieäm? d) Coù ba nghieäm? e) Coù boán nghieäm? Baøi 3: Ñònh m ñeå caùc phöông trình IV. ÑA THÖÙC - THUAÄT TOAÙN HORNER - GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC CAO: Ña thöùc baäc n coù daïng: f(x) = anxn + an – 1xn -1 + an -2xn -2 + ... + a1x + a0. Soá  ñöôïc goïi laø nghieäm cuûa ña thöùc f(x) neáu f() = 0. 1) Thuaät toaùn tìm nghieäm höõu tæ cuûa ña thöùc: + Thöû vôùi x =  1 coù phaûi laø nghieäm cuûa f(x); + Tìm taát caû caùc öôùc {r, r1,.., rm}cuûa a0 vaø taát caû caùc öôùc {s, s1,.. sm} cuûa an; r r r r r r + Laàn löôït thöû vôùi x = , 1 ,.., m , , 1 ,..., m ñeå tìm nghieäm cuûa f(x). s s s s1 s1 sm Ví duï: Tìm nghieäm höõu tyû cuûa ña thöùc g(x) = -3x4 + 2x3 + 4x2 + 7x + 2. 2) Chia ña thöùc f(x) cho (x - ):  Ñònh lí Bezout: Dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) cho x - a laø f(a). Heä quaû: f(x)  (x – a)  f(a) = 0.  Sô ñoà Horner: (Ñeå tính caùc heä soá cuûa ña thöùc thöông vaø ña thöùc dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) cho (x - ) hay tìm r(x) trong f(x) = (x - )g(x) + r(x)) an an -1 an - 2 ... a1 a0  an bn + an – 1 bn - 1 + an – 2 b2 + a1 b1 + a0 = bn = bn - 1 = bn - 2 = b1 * Chuù yù: Neáu b1 + a0 = 0 thì f(x) = (x - )g(x). Ví duï:Tìm thöông vaø dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) = 2x4 – 3x2 + 4x – 5 cho x + 2. 3) Phöông trình baäc ba:  Daïng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a  0) .  Caùch giaûi: ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----10 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp + Tìm nghieäm höõu tyû  cuûa phöông trình. + Ñöa phöông trình veà daïng (x - )(Ax2 + Bx + C) = 0. Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình x3 - x2 - 8x + 12 = 0. Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình (x - 1)(x2 + mx + m) = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät. * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2 x 3  9 x 2  12 x  4  0 ; b) x 3  x 2  x  2  4 x  1. Baøi 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät. a) x3 - 3x2 - mx + 4 - m = 0; b) x3 - 3x + 2 = kx - 3k + 20. 4) Moät soá phöông trình baäc cao thöôøng gaëp: a) Phöông trình phaûn phöông:  Loaïi 1: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a (a  0) 1 Chia hai veá cho x2 vaø ñaët t = x + , t  2 ta seõ ñöôïc phöông trình baäc hai theo t. x 4 3 2  Loaïi 2: ax + bx + cx - bx + a (a  0) 1 Chia hai veá cho x2 vaø ñaët t = x - , t  R ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t. x k d d b) Phöông trình hoài quy: ax4 + bx3 + cx2 + dx + k = 0 vôùi  ( ) 2  t 2 (t  ) a b b t Ñaët x + = y ta seõ ñöôïc phöông trình baäc hai theo y. x c) Phöông trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m vôùi ñieàu kieän a + b = c + d: Ñaët y = (x + a)(x + b) ta seõ ñöôïc phöông trình baäc hai theo y. d) Phöông trình (x + a)4 + (x + b)4 = c: ab Ñaët y = x + seõ ñöôïc phöông trình truøng phöông theo y. 2 Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2x4 + 5x3 + x2 + 5x + 2 = 0; b) x4 - 2x3 - 5x2 + 2x + 1 = 0; c) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + 1 = 0; d) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9; e) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2; f) x = 5 - (5 - x2)2. * Baøi taäp reøn luyeän: Giaûi caùc phöông trình sau: a) (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297; b) x4 + (x - 1)4 = 97; c) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16; d) 6x4 - 35x3 + 62x2 - 35x + 6 = 0; e) x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0; f) x4 - 5x3 + 10x2 - 10x + 4 = 0. * Baøi taäp töï luyện: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 4x3 - 10x2 + 6x - 1 = 0; b) 8x3 - 36x + 27 = 0; c) x3 - 15x2 - 33x + 847 = 0; d) x3 - 18x + 27 = 0; e) 7x3 - 12x2 - 8 = 0; f) 8x3 + 24x2 + 48x - 31 = 0; g) 4x3 - 12x2 - 15x - 4 = 0; h) x 4  5x 3  x 2  21x  18  0 ; Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x4 + x2 + 4x - 3 = 0; b) x4 - 2x3 - 5x2 + 10x - 3 = 0; d) x4 + 4x3 + 12x2 + 12x + 27 = 0; Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2x4 + 5x3 + x2 + 5x + 2 = 0; b) x4 + 2x3 - 4x2 - 2x + 1 = 0; c) (1 + x)4 = 2(1 + x4); d) x4 - 5x3 + 6x2 + 5x + 1 = 0; e) x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + 1 = 0; Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x4 + 6x3 + 18x2 = 16(x + 3)3; b) (x2 - 6x)2 - 2(x - 3)2 - 81 = 0; c) (x2 - 3x + 2)2 - 3(x2 - 3x + 2) + 2 = x; d) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4; ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 11 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp e) 2(x2 + x + 1)2 - 7(x - 1)2 = 13(x3 - 1); 12 f) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp * PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN THÖÙC * I. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN: 1/ Ñieàu kieän vaø tính chaát cô baûn:  A coù nghóa khi A  0.   ( A ) 2  A vôùi A  0.   AB =  A.  B khi A, B < 0. 2/ Ñònh lí cô baûn:  Vôùi A  0 vaø B  0 thì: A = B  A2 = B2.  Vôùi A, B baát kì thì: A = B  A3 = B3. A > B  A3 > B3.  A khi A  0 A2 = A  =   A khi A  0 AB = A. B khi A, B  0.  Vôùi A  0 vaø B  0 thì: A > B  A2 > B2. II. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN THÖÙC: 1/ Phöông trình chöùa caên thöùc cô baûn: A0  Daïng 1: A  B   (hoaëc B  0) A  B thöû nghieäm phöông trình heä quaû  Daïng 2: Ñieàu kieän: A  0 A  B  A  B2 AB khoâng thöû nghieäm  B0 AB 2 A  B 2/ Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình chöùa caên thöùc thöôøng söû duïng:  Phöông phaùp bieán ñoåi veà daïng cô baûn.  Phöông phaùp naâng leân luõy thöøa ñeå khöû caên thöùc (ñaët ñieàu kieän neáu coù).  Phöông phaùp ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình hoaëc heä phöông trình ñaïi soá.  Phöông phaùp bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá A.B = 0 hoaëc A.B.C = 0.  Phöông phaùp nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát theo caùc tính chaát: Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng (giaûm) treân (a; b) thì phöông trình f(x) = 0 coù khoâng quaù moät nghieäm treân khoaûng (a; b). Tính chaát 2: Neáu haøm soá f taêng treân (a; b) vaø haøm soá g laø haøm giaûm treân khoaûng (a; b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm treân (a; b) Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x  2 = x - 4; b) 2 x  9  4  x  3x  1 ; c) x  1  4  x  ( x  1)(4  x) = 5; d) 3 2  x = 1 - x  1 . * Moät soá phöông phaùp ñaëc bieät ñeå giaûi phöông trình chöùa caên thöùc: Phöông phaùp ñaùnh giaù hai veá:  f ( x)  c  f ( x)  c  Neáu  thì f(x) = g(x)    [f(x)]2 + [g(x)]2 = 0   g ( x)  c  g ( x)  c BÑT BCS: Cho boán soá thöïc a, b, x, y ta coù: (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2). Daáu "=" xaûy ra khi vaø chæ khi ay = bx ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----  f ( x)  0   g ( x)  0 13 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x  2  4  x = x2 - 6x + 11; b) ( x  1) 2  23 x  1  2  3 ( x  1) 2  23 x  1  0 . 3 Phöông phaùp löôïng giaùc hoùa: Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x  x  1  x(1  2 1  x 2 ) ñaët x = sint; * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x  5 + 2 x  8 = 7; Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 3x  2 - x  7 = 1; Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: b) 1  2 x  x 2  x  1  x ñaët x = cos2t. 3 b) x + b) x  8 - x 1 = x = x2. x3. a) (x + 5)(2 - x) = 3 x 2  3x ; b) 2 x  1 + x2 - 3x + 1 = 0; c) 2 x 2  8x  6  x 2  1  2 x  2 ; d) x  2x  1  x  2x  1  2 ; e) f) 3 x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5 x  2 ; x 2  3x  3  x 2  3x  6  3 ; Baøi 4: Giaûi phöông trình: x  8  2 x  7  x  1  x  7  4 ; Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 3 x 1  x  3 ; b) 3 24  x  12  x  6 ; c) 3 1 1 x  1  1. 2 2 Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình sau: 1 1 a) 2  x 2  2  2  4  ( x  ) ; c) 2 x 2  12 x  22  3x 2  18x  36 = -2x2 + 12x - 13. x x Baøi 7: Giaûi phöông trình x  2 + 5  x + ( x  2)(5  x) = 4; (HD: Ñaët t = x  2  5  x , chöùng minh phöông trình theo t coù 4 nghieäm trong ñoù loaïi 3 nghieäm vì 2 nghieäm aâm vaø 1 nghieäm thuoäc (2; 5 )). Baøi 8: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau: x 2  2(m  1) x  6m  2 a) b) (mx + 1) x  1 = 0.  x2; x2 * Baøi taäp töï luyện: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x 2  2 x  3  2 x  1; b) x( x  1)  x( x  2)  2 x 2 . Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x  3 = 3 - x  4 ; c) x  1 - 4  x = 1; Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: a) x  4 + b) x  9 = 5 - 2 x  4 ; d) x  1  9  x  2 x  12 . x  4 = 2x - 12 + 2 x 2  16 ; c) x 3  x 2  4  x 3  x 2  1  3 ; b) x  2  x  2  4 x  15  4 x 2  4 ; d) x  2 x  1  x  2 x  1  x  1 ; e) (4x - 1) x 2  1  2 x 2  2 x  1. Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 3 (8  x) 2  3 (8  x)( x  27)  3 ( x  27) 2  7 ; 14 b) ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 1 1 4   ; x 10  x 2 3 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp x2 c) 2 x 2  5x  2  x 2  x  2  3x  6 ; d) e) 2 x 2  5x  7  3( x 2  7 x  6)  7 x 2  6 x  1 ; 5 g) 3 ( x  2) 2  3 ( x  3) 2  3 ( x  2)( x  3) ; 2 x3 i) 4 x  1  3x  2  ; 5 f) 2 x 2  8x  6  x 2  1  2 x  2 ; k) 2 x 2  3x  5  2 x 2  3x  5  3x ; * Moät soá baøi taäp trong caùc ñeà thi tuyeån sinh: Giaûi caùc phöông trình sau: 2  3x  2  3x  2 x ; h) 2 x  1  x  2  x  2 ; j) ( 1  x  1)( 1  x  2 x  5)  x ; l) x(x + 5) = 2 3 x 2  5x  2 . a) 2 x  2  2 x  1  x  1  4 ; b) 2 x  1  x 2  3x  1  0 ; c) 23 3x  2  3 6  5x  8  0 ; d) 3x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5x  2 ; e) 3x  3  5  x  2 x  4 ; f) 2 x  2  2 x  1  x  1  4 ; g) x  2 7  x  2 x  1   x 2  8x  7  1 . III. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN THÖÙC: 1/ Baát phöông trình chöùa caên thöùc cô baûn:  A  0  B0  Daïng 1:  Daïng 2: A  B    .  B  0  2  A  B 2/ Moät soá phöông phaùp giaûi baát phöông trình chöùa caên thöùc thöôøng söû duïng:  Phöông phaùp bieán ñoåi veà daïng cô baûn.  Phöông phaùp naâng leân luyõ thöøa ñeå khöû caên thöùc (ñaët ñieàu kieän neáu coù).  Phöông phaùp ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá.  Phöông phaùp bieán ñoåi phöông trình veà daïng tích soá hoaëc thöông soá. Ví duï 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau:  A0  A x - 2; c) e) f) 2 x 2  5x  6 > 2 - x; x 2  x  12 < x; h) 3 x - 5x  5 > 1; a) 2x2 + 4x +3 3  2 x  x 2 > 1; c) (x +1)(x + 4) < 5 x 2  5x  28 ; Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1  1  4x2  3; x 2x  1  1 Baøi 4: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 2x  2x  2 ; b) x 2  x  6  x + 2; i) x  2 - x  1  x. b) 5x 2  10 x  1  7 - x2 - 2x; d) x(x - 4)  x 2  4 x + (x - 2)2 < 2. c) ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 1  1  8x 2  1. 2x 15 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp a) (2x - 2) 2 x  1  6(x - 1); b) x5 3  1; x4 c) x7 4 x  19 x  12 2  0. * Baøi taäp töï luyện: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 2 x( x  1)  1  x 2  x  1 ; b) 5 x  5 2 x  2x  1  4; 2x 3 c) x  2 x  1  x  2 x  1  ; 2 Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x  9  2 x  4  5 ; Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau: b) x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1 . a) 2 x 2  6 x  8  x  x  2 ; b) x  x 2  1  x  x 2  1  2 ; c) 2 x 2  12 x  6  2 x  1  x  2 . Baøi 4: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1 1  a) ; b) x 2  x  x ; 2 2 x  3x  5 2 x  1 d) 2x 2 (3  9  2 x ) 2  x  21 ; c) x  2x x2 1 3 5 . e) x 2  3x  2  x 2  4 x  3  2 x 2  5x  4 . * Moät soá baøi taäp trong caùc ñeà thi tuyeån sinh: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) ( x  3x) 2 x  3x  2  0; 2 b) 2 2( x 2  16) x3  x3  7x x3 ; c) 5x  1  x  1  2 x  4 . Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 8x 2  6 x  1  4 x  1  0 ; 16 b) 2 x  7  5  x  3x  2 . ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp * PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI * I. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI: 1/ Phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái cô baûn:  Daïng 1: A = B  A2 = B2  B0  Daïng 2: A = B   2 2 A  B 2/ Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái thöôøng söû duïng:  Phöông phaùp bieán ñoåi veà daïng cô baûn.  Phöông phaùp chia khoaûng. Ví duï: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình 2ax + 3 = 5. * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 3x - 1 - 2x + 3 = 0; b) x2 - 5x + 4 = x + 4; x2 1 c) x - 1 - 2x - 2 + 3x - 3 = 4; d) = x. x2 Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình: a) mx - 2 = x + m; b) ax  1  a. x 1 Baøi 3: Tìm tham soá m sao cho: a) Phöông trình mx - 2= x + 4coù nghieäm duy nhaát; b) x - 1+ 2x - 3 = m coù nghieäm. * Baøi taäp töï luyện: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2 - 3x2 - 6 - x2 = 0; b) x2 - 5x - 1 - 1 = 0; c) 2x - x - 3 = 3; d) 7 - 2x = 5 - 3x + x + 2. Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình: a) mx + 2x - 1 = x; b)4x - 3m = 2x + m; c) mx - x + 1 = x + 2; d)2x + m = x - 2m + 2. II. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI: 1/ Baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái cô baûn:  Daïng 1: A > B  A2 > B2  (A + B)(A - B) > 0.  B0 A < B   2 2 A  B  Daïng 2: A < B  Daïng 3: A  > B  A0  A B A = B     A  0    A  B  B0 A < B    B  A  B  B0 A > B   B  0  2 2  A  B ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 17 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp  AB A > B    A  B 2/ Moät soá phöông phaùp giaûi baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái thöôøng söû duïng:  Phöông phaùp bieán ñoåi veà daïng cô baûn.  Phöông phaùp chia khoaûng. Ví duï 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x2 - 5x + 9 < x - 6 ; b)1- 4x 2x + 1. Ví duï 2: Giaûi baát phöông trình: x - 1 + 2 - x > 3 - x. * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x2 - 5x  < 6; b)x2 - 1- 2x < 0; c)x2 - 3x + 2 + x2 > 2x; d)2x + 5 > 7 - 4x; e) x  2x - 4 + x - 2; f)x - 3 - x + 1 < 2. Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: x2 x2 x 2x  5  0; a) b) 2 c)  3;  2. x3 x  5x  6 x Baøi 3: Ñònh m ñeå baát phöông trình sau coù nghieäm: x2 + 2x - m+ m2 + m - 1  0. * Baøi taäp töï luyện: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x2 - 2x - 3  3x - 3; b) 1 - 4x > 2x + 1; c) 4x3 - 3x  1. Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: x 2  4x  3 x2 x 2  5x  4  1. 1; a) b) 2 c) 2  3; x  x5 x2  4 x  5x  6 18 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp * HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ * I. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN:  ax  by  c Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình:  (I) baèng phöông phaùp ñònh thöùc. a' x  b' y  c'  Tính caùc ñònh thöùc: D = a b c b a c  ab'a' b , Dx =  cb'c' b , Dy =  ac'a' c . a ' b' c ' b' a ' c'  Bieän luaän: Dx  x  D Neáu D  0 thì heä phöông trình (I) coù nghieäm duy nhaát:  D y  y D  Neáu D = 0 maø  Dx  0 hoaëc Dy  0 (chæ 1 trong 2) thì heä phöông trình (I) voâ nghieäm.  Dx = Dy = 0 thì nghieäm cuûa heä phöông trình (I) laø nghieäm cuûa 1 phöông trình trong heä. mx  y  m  1 Ví duï 1: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình:  .  x  my  2 mx  4y  m  2 Ví duï 2: Vôùi giaù trò nguyeân naøo cuûa tham soá m heä phöông trình  coù nghieäm duy  x  my  m nhaát (x; y) vôùi x, y laø caùc soá nguyeân. II. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI: 1/ Heä goàm moät phöông trình baäc hai vaø moät phöông trình baäc nhaát cuûa hai aån: Töø phöông trình baäc I tính aån naøy theo aån kia roài theá vaøo phöông trình baäc hai.  x 2  2 y 2  2 xy  5 Ví duï 1: Giaûi heä phöông trình:  x  2y  7  2/ Heä phöông trình ñoái xöùng ñoái vôùi x vaø y: a) Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 1: Daïng 1: Moãi phöông trình trong heä khoâng thay ñoåi khi ta thay x bôûi y vaø y bôûi x. Caùch giaûi: + Ñaët x + y = S vaø xy = P vôùi S2  4P. + Giaûi heä phöông trình theo S vaø P. + Theá laàn löôït töøng caëp (S, P) vaøo phöông trình X2 – SX + P = 0 ñeå tìm nghieäm (x; y) cuûa heä phöông trình ñaõ cho. * Nhaän xeùt: Heä phöông trình ñoái xöùng coù hai caëp nghieäm (x; y) hoaëc (y; x). Daïng 2: Khi ñoåi bieán t = -x (hoaëc t = -y) thì ta ñöôïc heä phöông trình ñoái xöùng. Caùch giaûi: Ñaët t = -x (hoaëc t = -y), ta coù moät heä ñoái xöùng. b) Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 2: Daïng: Khi ta thay x bôûi y vaø y bôûi x cuûa moät phöông trình thì phöông trình ñoù trôû thaønh phöông trình kia. Caùch giaûi: + Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá. + Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät trong hai phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 19 Taøi lieäu oân thi moân Toaùn. Voõ Thanh Huøng – TQT TP Cao Laõnh – Ñoàng Thaùp Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2 x 2  y  3 y 2  2  x 2  xy  y 2  4  x  y  xy  3 a)  ; b)  2 ; c)  2 . 2 2  x  y  xy  1 2 y  x  3x  2  x  y  xy  2 3/ Heä phöông trình ñaúng caáp:  a x 2  b1 xy  c1 y 2  d1  Daïng:  1 2 (I) (toång soá muõ töøng soá haïng trong moãi phöông trình baèng nhau) 2 a x  b xy  c y  d 2 2 2  2  Caùch giaûi: + Giaûi heä (I) vôùi x = 0 (hoaëc vôùi y = 0). + Vôùi x  0 ñaët y = tx (hoaëc x = ty vôùi y  0). Thay vaøo heä (I) ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t, x (hoaëc t, y). Töø hai phöông trình ta khöû x (hoaëc y) ñeå ñöôïc phöông trình theo t. + Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x, y.  3x 2  2 xy  y 2  11 Ví duï: Giaûi heä phöông trình:  2 . 2  x  2 xy  5 y  25 4/ Moät soá heä phöông trình khaùc:  x 2  y 2  6x  8 y  0 Ví duï 1: Söû duïng pheùp coäng (tröø) vaø pheùp theá, giaûi heä phöông trình  2 . 2 x  y  6 x  4 y  4  0  Ví duï 2: Bieán ñoåi veà tích soá, giaûi caùc heä phöông trình sau:  x2  x  y2  y  x 3  7x  y 3  7y a)  2 ; b) .  2 2 2  x  y  3( x  y ) x  y  x  y  2 * Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau :  x  y  4  x 2  y 2  x  y  12  x  y  xy  7 a)  2 ; b) ; c) .   2  x  y  xy  4  x  y  3x  3y  16  x( x  1) y ( y  1)  36 Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau:  x  y  3  x2  x  y  y2  4  xy  x  y  3  a)  2 ; b) ; c)  2 .  2 2  x  y  x  y  xy  6  x( x  y  1)  y ( y  1)  2  x  y  x  y  xy  6 Baøi 3: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2y 1 7    x  1  x 2  x  y  3 a)  ; b)  . 2x y  1  7 y   1 y2 x 3  Baøi 4: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2 2   x 2  4 xy  y 2  1 6 x  xy  2 y  56 a)  ; b)  2 ; 2 2   y  3xy  4 5 x  xy  y  49 * Baøi taäp töï luyeän: Baøi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau:  x 2  y 2  13  xy  x  y  11 a)  2 ; b)  ; 2 3( x  y )  2 xy  9  0  x y  xy  30  x y  y x  6 d)  ;  x 2 y  xy 2  20  x 4  y 4  34 e)  ; x  y  2 Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 20 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 3 2  2 x  3 x y  5 c)  3 . 2   y  6 xy  7  x 2 y  xy 2  30 c)  3 ;  x  y 3  35  x y 13    f)  y x 6 .  x  y  5