Tài liệu Tuyển tập 2.000 đề thi tuyển sinh tập 10 451 500

TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 1 TUYỂN TẬP 2.000 ĐỀỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN TỪ CÁC TỈNH-THÀNH-CÓ ĐÁP ÁN TẬP 10 (451-500) Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 2 Người tổng hợp, sưu tầầm : Thầầy giáo Hồầ Khắắc Vũ LỜI NÓI ĐẤỀU Kính thưa các quý bạn đồồng nghiệp dạy mồn Toán, Quý bậc ph ụ huynh cùng các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh l ớp 9 thần yên !! Tồi xin tự giới thiệu, tồi tên Hồồ Khắắc Vũ , sinh nắm 1994 đêắn t ừ TP Tam Kỳ - Quảng Nam, tồi học Đại học Sư phạm Toán, đại học Quảng Nam khóa 2012 và tồắt nghiệp trường này nắm 2016 Đồắi với tồi, mồn Toán là sự yêu thích và đam mê v ới tồi ngay t ừ nh ỏ, và tồi cũng đã giành được rầắt nhiêồu giải thưởng t ừ cầắp Huy ện đêắn cầắp tỉnh khi tham dự các kỳ thi vêồ mồn Toán. Mồn Toán đồắi v ới b ản thần tồi, khồng chỉ là cồng việc, khồng chỉ là nghĩa vụ để mưu sinh, mà h ơn hêắt tầắt cả, đó là cả một niêồm đam mê cháy bỏng, một cảm hứng bầắt di ệt mà khồng myỹ từ nào có thể lột tả được. Khồng biêắt tự bao giờ, Toán h ọc đã là người bạn thần của tồi, nó giúp tồi tư duy cồng vi ệc m ột cách nh ạy bén hơn, và hơn hêắt nó giúp tồi bùng cháy của một bầồu nhi ệt huyêắt c ủa tuổi trẻ. Khi giải toán, làm toán, giúp tồi quên đi nh ững chuy ện khồng vui Nhận thầắy Toán là một mồn học quan trọng , và 20 nắm tr ở l ại đầy, khi đầắt nước ta bước vào thời kỳ hội nhập , mồn Toán luồn xuầắt hi ện trong các kỳ thi nói chung, và kỳ Tuyển sinh vào l ớp 10 nói riêng c ủa 63/63 tỉnh thành phồắ khắắp cả nước Việt Nam. Nhưng việc sưu tầồm đêồ cho các thầồy cồ giáo và các em học sinh ồn luy ện còn mang tính l ẻ t ẻ, tượng trưng. Quan sát qua mạng cũng có vài thầồy cồ giáo tầm huyêắt tuyển tập đêồ, nhưng đêồ tuyển tập khồng được đánh giá cao c ả vêồ sồắ lượng và chầắt lượng,trong khi các file đêồ l ẻ tẻ trên các trang m ạng ở các cơ sở giáo dục rầắt nhiêồu. Từ những ngày đầồu của sự nghiệp đi dạy, tồi đã mơ ước ầắp ủ là phải làm được một cái gì đó cho đời, và sự ầắp ủ đó c ộng c ả s ự quyêắt tầm và nhiệt huyêắt của tuổi thanh xuần đã thúc đ ẩy tồi làm TUYỂN TẬP 2.000 ĐỀỀ THI TUYỂN SINH 10 VÀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CỦA CÁC T ỈNH – THÀNH PHÔẤ TỪ NĂM 2000 đêắn nay Tập đêồ được tồi tuyển lựa, đầồu tư làm rầắt kyỹ và cồng phu v ới hy vọng tợi tận tay người học mà khồng tồắn một đồồng phí nào Chỉ có một lý do cá nhần mà một người bạn đã gợi ý cho tồi rắồng tồi phải giữ cái gì đó lại cho riêng mình, khi mình đã bỏ cồng sức ngày đêm làm tuyển tập đêồ này. Do đó, tồi đã quyêắt đ ịnh ch ỉ g ửi cho m ọi ng ười file pdf mà khồng gửi file word đêồ tránh hình thức sao chép , mầắt b ản quyêồn dưới mọi hình thức, Có gì khồng phải mong mọi người thồng cảm Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 3 Cuồắi lời , xin gửi lời chúc tới các em học sinh l ớp 9 chu ẩn bị thi tuy ển sinh, hãy bình tĩnh tự tin và giành kêắt quả cao Xin mượn 1 tầắm ảnh trên facebook như một l ời nhắắc nh ở, l ời khuyên chần thành đêắn các em "MÔỖI NÔỖ LỰC, DÙ LÀ NHỎ NHẤẤT, ĐỀỀU CÓ Ý NGHĨA MÔỖI SỰ TỪ BỎ, DÙ MỘT CHÚT THÔI, ĐỀỀU KHIỀẤN M ỌI TH Ứ TRỞ NỀN VÔ NGHĨA" Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 4 ĐỀ 451 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮẮC NINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NẮM: 2015 – 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể th ời gian phát đềề) Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2015 ĐỀỀ CHÍNH THỨC Câu I. (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 3x + 2 = x + 3 2) Tìm m để hàm sốố y = (m – 2 )x + 1 đốồng biếốn.  a a  a 5 a  A  3    3   a 1   a  5   3) Rút gọn biểu thức với a ≥ 0, a ≠ 25 Câu II. (2,0 điểm) 2 Cho phương trình x  2mx  2m  10 0 (1), m là tham sốố. 1) Giải phương trình (1) khi m = -3 xx 2 x  x  4 2 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân bi ệt 1 2 sao cho 1 Câu III. (1,0 điểm) Một mảnh đâốt hình chữ nhật có chu vi bằồng 28m. Đ ường chéo c ủa hình ch ữ nh ật dài 10m. Tính chiếồu dài và chiếồu rộng của mảnh đâốt hình chữ nhật đó. Câu IV. (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trến ta đốối c ủa ta AB lâốy đi ểm E (khác v ới đi ểm A). Tiếốp tuyếốn kẻ từ điểm E cằốt các tếốp tuyếốn kẻ từ điểm A và B c ủa n ửa đ ường tròn (O) lâồn l ượt t ại C và D. G ọi M là tếốp đi ểm của tếốp tuyếốn kẻ từ điểm E. 1) Chứng minh rằồng tứ giác ACMO nội tếốp được trong m ột đ ường tròn. DM CM  CE 2) Chứng minh rằồng DE 3) Chứng minh rằồng khi điểm E thay đổi trến ta đốối c ủa ta AB, tch AC.BD khống đ ổi. Câu V. (1,5 điểm) S a 5( a 2  1)  . a 2 1 2a 1) Cho a là sốố thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhâốt của bi ểu th ức 2) Cho đường tròn (O,R) và hai dây cung AB, CD (AB > CD). Hai đ ường th ẳng AB, CD cằốt nhau t ại M. Ch ứng minh rằồng MA + MB > MC + MD. ------HỀẮT----- Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 5 ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIỀẮT Câu I. (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 3x + 2 = x + 3  3 x  x 3  2  2 x 1  x 1 2 2) Tìm m để hàm sốố y = (m – 2 )x + 1 đốồng biếốn. Hàm sốố = (m – 2 )x + 1 đốồng biếốn.  m 2 0  m2 Vậy m > 2 thì hàm sốố đã cho đốồng biếốn  a a  a 5 a  A  3    3   a 1   a  5   3) Rút gọn biểu thức với a ≥ 0, a ≠ 25  a ( a  1)   a ( a  5)   3    3   a 1   a  5   (3  a )(3  9  a a) Câu II. (2,0 điểm) 2 Cho phương trình x  2mx  2m  10 0 (1), m là tham sốố. 1) Giải phương trình (1) khi m = -3 2 Khi m =-3 (1) trở thành : x  6 x  16 0  ' 32  16 25  0  x1  3  5  8  x  3  5 2 PT có 2 nghiệm phân biệt  2 Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt : x = -8, x =2 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân bi ệt PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x , x ⇔ ∆’ > 0 1 x1 x2 sao cho 2 x1  x2  4 2 2  m  (2m  10)  0  m 2  2m  1  9  0 Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 6  (m  1) 2  9  0 (luốn đúng) => thì PT luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x . 1 2  x1  x2 2m   x1 x2 2m  10 2 x  x  4 2 Theo Vi –ét và đâồu bài cho ta có :  1   4  x1 2m    x1 x2 2m  10  x  4  2 x  2 1  x1  4  2m    x2 4  4m  x x 2m  10(*)  1 2 Thay x , x vào (*) ta có : 1 2 (  4  2m)(4  4m) 2m  10  8m 2  26m  6 0  4m 2  13m  3 0  132  4.4.3 121  0  13  11   3  m1  8   (TM )  m   13 11   1  2 8 4 1 Vây m =- 3 hoặc m = 4 thỏa mãn yếu câồu bài toán Câu III. (1,0 điểm) Một mảnh đâốt hình chữ nhật có chu vi bằồng 28m. Đ ường chéo c ủa hình ch ữ nh ật dài 10m. Tính chiếồu dài và chiếồu rộng của mảnh đâốt hình chữ nhật đó. Gọi chiếồu dài của mảnh đâốt hình chữ nh ật là a (m) ( 0 < a < 28) Chiếồu rộng của mảnh đâốt hình chữ nhật là b (m) (0 < a < b) Chu vi của mảnh đâốt hình chữ nhật là 28 m nến : (a + b).2 = 28  a + b = 14 (1) Đường chéo của hình chữ nhật 10 m nến : a 2  b 2 102  a 2  b 2 100(2) a  b 14  2 2 a  b 100 Từ (1) và (2) ta có hệ PT Từ (1) => b = 14 – a thay vào (2) được : Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 7 a 2  (14  a ) 2 100  a 2  196  28a  a 2 100  2a 2  28a  96 0  a 2  14a  48 0  ' 49  48 1  a 7  1 6  b 8(loai)    a 7  1 8  b 6(tm) Vậy chiếồu dài của HCN là 8m Chiếồu rộng của HCN là 6m Câu IV. (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trến ta đốối c ủa ta AB lâốy đi ểm E (khác v ới đi ểm A). Tiếốp tuyếốn kẻ từ điểm E cằốt các tếốp tuyếốn kẻ từ điểm A và B c ủa n ửa đ ường tròn (O) lâồn l ượt t ại C và D. G ọi M là tếốp đi ểm của tếốp tuyếốn kẻ từ điểm E. 1) Chứng minh rằồng tứ giác ACMO nội tếốp được trong m ột đ ường tròn. Vì AC là tếốp tuyếốn của (O) nến OA ⊥ AC => OAC = 90o Vì MC là tếốp tuyếốn của (O) nến OM ⊥ MC => OMC = 90o => OAC + OMC = 180o. Suy ra OACM là tứ giác nội tếốp DM CM  CE 2) Chứng minh rằồng DE Xét hai tam giác vuống OAC và OMC có OA OM R  OAC OMC  chung _ OC (cạnh huyếồn – cạnh góc vuống) CM CA DM DB    CE CE . Tương tự ta có DE DE ⇒ CA = CM Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 8 CA CE CA DB CM DM      CE DE CE DE Mà AC // BD (cùng vuống góc AB) nến DB DE 3) Chứng minh rằồng khi điểm E thay đổi trến ta đốối c ủa ta AB, tch AC.BD khống đ ổi. 1 OAC OMC  AOC MOC  AOC  AOM 2 Vì 1 BOD  BOM 2 Tương tự: 1 AOC  BOD  ( AOM  BOM ) 90 o 2 Suy ra o Mà AOC ACO 90  ACO BOD  AOC ~ BDO( g .g )  AO AC   AC.BD  AO.BO R 2 BD BO (khống đổi, đpcm) Câu V. (1,5 điểm) S 1) Cho a là sốố thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhâốt của bi ểu th ức Áp dụng bâốt đẳng thức Cốsi cho 2 sốố dương, ta có: a 5( a 2  1)  . a 2 1 2a a a2 1 a a 2 1   2 . 1 a 2 1 4a a 2  1 4a a 2 1 9 a 2 1 9 a 2  1 2 a 2 .1 2a  2  .  a 4 a 2 9 11  S 1   2 2  a a 2 1   a2 1 4a  2  a 1  a 1 a  0   Dâốu bằồng xảy ra 11 Vậy giá trị nhỏ nhâốt của S là 2 , xảy ra khi a = 1. 2) Cho đường tròn (O,R) và hai dây cung AB, CD (AB > CD). Hai đ ường th ẳng AB, CD cằốt nhau t ại M. Ch ứng minh rằồng MA + MB > MC + MD. Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 9 Gọi E, F lâồn lượt là trung điểm AB, CD. Suy ra OE ⊥ AB, OF ⊥ CD Có MA + MB = (MB + BA) + MB = (MB + 2BE) + MB = 2(MB + BE) = 2ME Tương tự MC + MD = 2MF Vì ∆ MOE vuống tại E nến ME = MO 2  OE 2 OE 2  AO 2  AE 2 R 2  Tam giác AOE vuống tại E nến MO 2  R 2  Suy ra MA + MB = 2ME = 2 AB 2 4 AB 2 4 MO 2  R 2  Tương tự MC + MD = 2MF = 2 Mà AB > CD => MA + MB > MC + MD (đpcm) CD 2 4 ĐỀ 452 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 ( 2.0 điểm ) 1) Tính giá trị của biểu thức sau: A  16  9 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) B 1 2 3  1 2 3 1  x 2  1 V    x  2 x với x  0, x 0 .  x 2 2) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức V . 1 V 3. b) Tìm giá trị của x để Câu 2 ( 2.0 điểm ) Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 10 P  : y 2 x 2  1) Cho parabol và đường thẳng d : y  x  1 .  P  và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy . a) Vẽ parabol d1 song song với đường thẳng d và đi qua điểm A   1; 2  . 3 x  2 y 5  2 x  y 8. 2) Không sử dụng máy tính giải hệ phương trình  b) Viết phương trình đường thẳng Câu 3 ( 2.5 điểm ) 2 x 2  2mx  m 2  2 0  1 1) Cho phương trình : a) Giải phương trình  1 , với m là tham số. khi m 2 .  1 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho biểu thức b) Tìm các giá trị của m để phương trình A  2 x1 x2  x1  x2  4 đạt giá trị lớn nhất. 2 c) Cho vườn hoa hình chữ nhật có diện tích bằng 91m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m . Tìm chu vi của vườn hoa? Câu 4 ( 1.0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết BH 4cm , CH 9cm .  a) Tính độ dài đường cao AH và ABC của tam giác ABC . b) Vẽ đường trung tuyến AM AHM . Câu 5 ( 2.5 điểm ) Cho đường tròn  O  M  BC  của tam giác ABC , tính AM và diện tích tam giác  O  ( A là tiếp điểm ). đường kính AB . Vẽ tiếp tuyến Ax , với đường tròn  O  tại hai điểm D và E ( D nằm giữa Qua C thuộc tia Ax , vẽ đường thẳng cắt đường tròn C và E ; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB ). Từ O vẽ OH vuông góc với đoạn thẳng DE tại H . a) Chứng minh : tứ giác AOHC nội tiếp. b) Chứng minh : AC . AE  AD.CE c) Đường thẳng CO cắt tia BD , tia BE lần lượt tại M và N . Chứng minh : AM // BN . …HẾT … Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ...............................................SBD:....................................................................... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 11 Câu 1 ( 2.0 điểm ) 1) Tính giá trị của biểu thức sau: A  16  B 9 1 2 3  1 2 3 1  x 2  1 V    x  2 x với x  0, x 0 .  x 2 2) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức V . 1 V 3. b) Tìm giá trị của x để Giải 1) Tính giá trị của biểu thức sau: A  16  9 4  3 1 1 1 B  2  3  2  3 4 2 3 2 3 1  x 2 x  2 x 2  1 V     x  2 x  x 2 x 2 x 2  2. a) 1 V  3 b) 2 1   x 2 3   x 2 2  x x 2 x  2 6  x 64 ( thỏa mãn) Câu 2 ( 2.0 điểm )  P  : y 2 x 2 và đường thẳng d : y x 1 .  P  và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy . a) Vẽ parabol 1) Cho parabol d1 song song với đường thẳng d và đi qua điểm A   1; 2  . 3 x  2 y 5  2 x  y 8. 2) Không sử dụng máy tính giải hệ phương trình  b) Viết phương trình đường thẳng Giải  P : 1) Cho parabol a) Bảng giá trị x -2 -1 0 2 2 0 y 2 x 8 y 2 x 2 1 2 2 8 và đường thẳng d : y  x  1 . x y x 1 0 1 -1 0 Veẽ hình đúng Lưu ý : Học sinh không lập bảng mà chỉ biểu th ị điểm trền m ặt ph ẳng t ọa đ ộ đúng vẫẫn cho đi ểm tôối đa. d1 song song với đường thẳng d có dạng y  x  b . d1 đi qua điểm A   1; 2   1  b 2  b 3  d1 : y  x  3 nến ta có b) Phương trình đường thẳng Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 12 2) Khống sử dụng máy tnh giải hệ phương trình 3x  2 y 5   2 x  y 8 3 x  2 y 5   4 x  2 y 16 7 x 21  x 3    2 x  y 8 2 x  y 8  x 3   y 2 Câu 3 ( 2.5 điểm ) 1) Cho phương trình : a) Giải phương trình 2 x 2  2mx  m 2  2 0  1  1 , với m là tham số. khi m 2 .  1 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho biểu thức b) Tìm các giá trị của m để phương trình A  2 x1 x2  x1  x2  4 đạt giá trị lớn nhất. 2 2) Cho vườn hoa hình chữ nhật có diện tích bằng 91m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m . Tìm chu vi của vườn hoa? Giải 2 1. a) Với m 2 , ta có 2 x  4 x  2 0  x 1 b) Phương trình  1 có hai nghiệm x1 , x2 khi và chỉ khi  ' 0   2 m 2  1  x1  x2 m   m2  2  2  x1.x2  2 Theo Vi-et , ta có:  A  2 x1 x2  x1  x2  4  m 2  2  m  4   m  3  m  2  Theo đếồ bài ta có: Do  2 m 2 nến m  2 0 , m  3 0 . Suy ra 2 1  25 25  A  m  2    m  3  m  m  6   m     2 4 4  25 1 MaxA  m 4 khi 2. Vậy 2 2) Gọi x  m là chiếồu rộng của vườn hoa, x  0 . x  6  m Chiếồu dài của vườn hoa là Theo đếồ bài ta có phương trình: .  x 7 x  x  6  91  x 2  6 x  91 0   x  7   x  13 0    x  13 Vậy chu vi vườn hoa hình chữ nhật là 40m .  nhân   loai  Câu 4 ( 1.0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết BH 4cm , CH 9cm .  a) Tính độ dài đường cao AH và ABC của tam giác ABC .  M  BC  b) Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC , tính AM và diện tích tam giác AHM . Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 13 Giải  A 900 , AH  BC  gt   AH  BH .CH  4.9 6cm a) ABC ,   900  gt   tan B  AH  6  B 56,30 H BH 4 ABH ,  1 1 A 900 , MB MC  gt   AM  BC  .13 6,5cm 2 2 b) ABC , 1 1 S AHM  MH . AH  .2,5.6 7,5cm 2 2 2 Câu 5 ( 2.5 điểm ) Cho đường tròn  O  O  ( A là tiếp điểm ). đường kính AB . Vẽ tiếp tuyến Ax , với đường tròn  O  tại hai điểm D và E ( D nằm giữa Qua C thuộc tia Ax , vẽ đường thẳng cắt đường tròn C và E ; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB ). Từ O vẽ OH vuông góc với đoạn thẳng DE tại H . a) Chứng minh : tứ giác AOHC nội tiếp. b) Chứng minh : AC . AE  AD.CE c) Đường thẳng CO cắt tia BD , tia BE lần lượt tại M và N . Chứng minh : AM // BN . Giải Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 14 0  a) Ta có CAB 90  OHC 900    CAB  OHC 1800 Vậy tứ giác AOHC nội tếốp.  CAD  AEC ACE b) Ta có , chung suy ra ACD đốồng dạng ECA (g.g) CA AD   AC. AE  AD.CE CE AE c) Từ E veẽ đường thẳng song song với MN cằốt cạnh AB tại I và cằốt cạnh BD tại F    HEI HCO  .    Vì tứ giác AOHC nội tếốp  HAO  HCO HEI .    Suy ra tứ giác AHIE nội tếốp  IHE IAE BDE  HI / / BD . Mà H là trung điểm của DE  I là trung điểm của EF . Có EF / / MN và IE IF  O là trung điểm của đoạn thẳng MN . Suy ra tứ giác AMBN là hình bình hành  AM / / BN . ĐỀ 453 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYỀN TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NẮM HỌC 2016 – 2017 Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 15 Môn: TOÁN (Dùng chung cho tâốt cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 30/5/2016 ĐỀỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,5 điểm) A a) Rút gọn biểu thức 1 1 2 2 6   3 1 3 1 2 3 x  y 1  2 x  3 y 8 b) Giải hệ phương trình  2 c) Giải phương trình x  2 x  8 0 Câu 2 (2,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = 4x – m a) Veẽ parabol (P) b) Tìm tâốt cả các giá trị của tham sốố m đ ể (d) và (P) có đúng m ột đi ểm chung Câu 3 (1,5 điểm). a) Cho phương trình x2 – 5x + 3m + 1 = 0 (m là tham sốố). Tìm tâốt c ả các giá tr ị c ủa m đ ể | x 2  x 2 |15 2 phương trình trến có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn 1 4 2 b) Giải phương trình (x – 1) = x – 2x + 3 Câu 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đ ổi c ủa n ửa đ ường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cằốt BC t ại H, hai đ ường th ẳng AC và BD cằốt nhau t ại F. a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tếốp b) Chứng minh CF.CA = CH.CB c) Gọi I là trung diểm của HF. Chứng minh ta OI là ta phân giác c ủa góc COD. d) Chứng minh điểm I thuộc một đường tròn cốố đ ịnh khi CD thay đ ổi Câu 5 (0,5 điểm). Cho a, b, c là 3 sốố dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Ch ứng minh rằồng: a b c 3  2  2  a  bc b  ca c  ab 2 2 ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIỀẮT Câu 1 A a) 3  1  3 1 2(2  3) 2 3   2 3 1 ( 3  1)( 3  1) 2 3x  y 1   2 x  3 y  8  b)  y 3x  1   2 x  3(3 x  1) 8 3  3 2  y 3x  1   11x 11 3 2  y 3x  1    x 1  x 1 .   y 2 Hệ có nghiệm duy nhâốt (1;2) c) x2 + 2x – 8 = 0. Có ∆’ = 1 + 8 = 9 > 0 Câu 2 Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 16 a) Bảng giá trị x y = –x2 Đốồ thị: -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 b) Xét phương trình hoành độ giao điểm c ủa (d) và (P): –x 2 = 4x – m ⇔ x2 + 4x – m = 0 (1) (d) và (P) có đúng 1 điểm chung ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 22 – (–m) = 0  4 + m = 0 ⇔ m = –4 Vậy m = –4 Câu 3 a) x2 – 5x + 3m + 1 = 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 ⇔ ∆ = 52 – 4(3m + 1) > 0 ⇔ 21 – 12m > 0 21  m < 12  x1  x2 5 21  x x 3m  1 Với m < 12 , ta có hệ thức  1 2 (Viét) => | x1  x2 | ( x1  x2 ) 2  ( x1  x2 )2  4 x1 x2  52  4(3m  1)  21  12m | x12  x22 || ( x1  x2 )( x1  x2 ) || 5( x1  x2 ) |5 | x1  x2 |5 21  12m | x 2  x 2 |15  5 21  12m 15  2 Ta có 1 Vậy m = 1 là giá trị câồn tm 21  12m 3  21  12m 9  12m 12  m 1 tm 4 2 b) ( x  1)  x  2 x  3(1) Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 17 2  ( x  1) 2   x 2  2 x  3  ( x 2  2 x  1) 2  x 2  2 x  3 (1)  (2) 2 2 t  t  2  t  t  2 0  (t  2)(t  1) 0 Đặt t = x2 – 2x + 1, t≥0, phương trình (2) trở thành  t = 2 (tm) hoặc t = –1 (loại) 2 2 Với t = 2 có x  2 x  1 2  x  2 x  1 0  x 1  2 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là  1 2;1  2  Câu 4 a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nến ACB  ADB 90o  FCH FDH 90o  FCH  FDH 180o Suy ra tứ giác CHDF nội tếốp b) Vì AH ⊥ BF, BH ⊥ AF nên H là trực tâm ∆ AFB ⇒ FH ⊥ AB  CFH CBA(90o  CAB)  CFH CBA( g .g )  CF CH   CF .CA CH .CB CB CA o c) Vì FCH FDH 90 nến tứ giác CHDF nội tếốp đường tròn tâm I đ ường kính FH => IC = ID. Mà OC = OD nến ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI => OI là phân giác của góc COD d) Vì OC = CD = OD = R nến ∆ OCD đếồu => COD = 60 o 1 CAD  COD 30o  CFD 90o  CAD 60o 2 Có Xét góc nội tếốp và góc ở tâm cùng chằốn cung CD c ủa (I), có CID 60o o CID = 2CFD = 120 => OIC = OID = 2 Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 18 COD 30o  OID  DOI 90o  OID Mặt khác COI = DOI = 2 vuống tại D OD 2R OI   o sin 60 3 Suy ra  2R   O;  3 Vậy I luốn thuộc đường tròn  Câu 5 ab  bc  ca 1 1 1 3    3 abc a b c Từ điếồu kiện đếồ bài ta có Áp dụng hai lâồn bâốt đẳng thức Cốsi cho hai sốố d ương, ta có: a 2 1   a  bc 2a bc 2 bc 1 1 1 1 1 a 1 1 1 .     2     a  bc 4  b c  b c 2 b c b 11 1 c 1 1 1    ; 2     2 Tương tự ta có: b  ca 4  c a  c  ab 4  a b  a 2  bc 2 a 2 .bc 2a bc  2 a b c 1 1 1 1 3  2  2      . Suy ra a  bc b  ca c  ab 2  a b c  2 2 ĐỀ 454 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NẮM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN ĐỀỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đềề) Câu 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a) A 2 3  4 27  5 48 1 1 1  ): (x  0; x 1) x  1 x x  x b) Câu 2. (2,0 điểm)  x  6 y 3  x  3 y 21 a) Giải hệ phương trình  B ( b) 2 Giải phương trình: x – 8x + 7 = 0 2 Câu 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có ph ương trình y = x và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2x + m (với m là tham sốố). Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 19 a) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2. b) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn hệ thức 2 2 x1  x2 6 x12 x2 2 Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB > AC. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Đường cao AH của tam giác ABC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là D. Kẻ DM vuông góc với AB tại M. a) Chứng minh tứ giác BDHM nội tiếp đường tròn.  b) Chứng minh DA là tia phân giác của MDC c) Gọi N là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng AC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng. 2 2 2 2 2 d) Chứng minh AB + AC + CD + BD = 8R Câu 5. (1,0 điểm) ( x  2015  x 2 )( y  2015  y 2 ) 2015  2 2 3x  8 y  12 xy 23 Tìm x;y thỏa mãn : --------------------------------------- Hết ------------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thềm. Họ và tên thí sinh .................................................. Số báo danh ................................................. Giám thị 1 (họ tên và ký) ....................................... Giám thị 2 (họ tên và ký).............................. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH HÀ NAM Câu 1. A 2 3  4 27  5 48 2 3  12 3  20 3 10 3 a) Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI TUYỂN TẬP 2000 ĐỀỀ TUYỂN SINH MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN TỪ NĂM 2000 TẬP 10 (451-500) Success has only one destination, but has a lot of ways to go phone: 0167.858.8250 facebook: https://www.facebook.com/hokhacvuqnam2906 (Hồồ K. Vũ) 20 B (  b) 1 1 1 x  ( x  1) x  x  ):  . 1 x1 x x x x ( x  1) 1 x x . x x 1 1 Câu 2.  x  6 y 3 9 y  18  y  2  y  2 a)         x  3 y 21  x  6 y 3  x 3  6 y  x 15 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (15; -2) 2 b)Phương trình x – 8x + 7 = 0 . Ta có a = 1; b = -8 ; c = 7 Nên a + b + c = 1 + (-8) + 7 = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 7 Câu 3. 2 2 a)Điểm thuộc Parabol (P) y = x có hoành độ x = 2 nên tung độ y = 2 = 4 (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 <=> 4 = -2.2 + m <=> m = 8 Vậy m = 8 là giá trị cần tìm b)Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 2 x = -2x+m<=> x 2 + 2x – m = 0 (*) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> ∆’ = 1 + m > 0 <=> m > - 1 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2. Nên theo hệ thức Vi-ét:  x1  x2  2   x1 x2  m mà x12  x12 ( x1  x2 )2  2 x1 x2 6 x12 x2 2  ( 2)2  2( m) 6( m )2  3m 2  m  2 0 2  m1 1; m2  3 2 Vậy m1 = 1; m2 = 3 là các giá trị cần tìm. Câu 4. Veẽ hình Thầồy giáo: Hồồ Khắắc Vũ – Giáo viên Toán cầắp II-III Gmail: [email protected] Khồắi phồắ An Hòa -Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam --THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤẤT MỘT ĐIỂM ĐỀẤN, NHƯNG CÓ RẤẤT NHIỀỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI