Tài liệu Tuyển tập 522 bài toán thực tế ôn thi vào lớp 10 có lời giải chi tiết

() 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 N¨m häc: 2022 – 2023 1 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 MỤC LỤC. STT CHUYÊN ĐỀ Trang 1 BÀI TOÁN THỰC TẾ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG 2 2 TOÁN THỰC TẾ DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT, CÔNG VIỆC 41 3 TOÁN THỰC TẾ DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN THÊM,BỚT PHẦN TỬ. 79 4 TOÁN THỰC TẾ DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN KINH DOANH 83 5 6 7 8 TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN YẾU TỐ HÓA HỌC TOÁN THỰC TẾ DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN YẾU TỐ VẬT LÝ TOÁN THỰC TẾ DẠNG TỔNG HỢP 114 199 207 225 9 BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 262 10 BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 274 12 BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 13 BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG TIỀN ĐIỆN, TIỀN NƯỚC, GIÁ CƯỚC TAXI 11 1/322 TOÁN THỰC TẾ DẠNG HÌNH HỌC ( KỲ I + KỲ 2 – TOÁN 9) LƯU HÀNH NỘI BỘ 288 310 316 2 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐỀ 1. BÀI TOÁN THỰC TẾ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG A. Kiến thức cần nhớ. Toán chuyển động có ba đại lượng: S = v.t Quãng đường = Vận tốc × Thời gian S : quãng đường S Vận tốc = Quãng đường : Thời gian v= t v: vận tôc S Thời gian = Quãng đường : Vận tốc. t= v t : thời gian Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau. Nếu quãng đường tính bằng ki-lômét, vận tốc tính bằng ki-lô-mét/giờ thì thời gian phải tính bằng giờ. Nếu hai xe đi ngược chiều nhau cùng xuất phát khi gặp nhau lần đầu: Thò̀ i gian hai xe đi được là nhu nhau, Tồng quãng đưòng hai xe đã đi đúng bằng khoảng cách ban đâu giũa hai xe. Nếu hai phurong tiện chuyển động cùng chiều tù hai địa điểm khác nhau là A và B , xe tù̀ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đuờng đi được của xe tù A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đưòng AB Phương pháp giải: Chú ý dựa vào công thức S = vt , trong đó S là quãng đường, v là vận tốc và là thời gian. Ngoài ra, theo nguyên lí cộng vận tốc trong bài toán chuyển động tàu, thuyền trên mặt nước, ta có: Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước. Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực − vận tốc dòng nước. Vận tốc thực luôn lớn hơn vận tốc dòng nước. B. Bài tập. Bài 1. Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10 km, Ca nô đi từ A đến B mất 2 h20' ,ô tô đi hết 2 h . Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17 km / h . Tính vận tốc của ca nô và ô tô? Phân tích bài toán : Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô.Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm các dòng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x(x > 0) . Từ đó điền các ô thời gian, quãn đường theo số liệu đã biết và công thức nêu trên. Vì bài toán đã cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường. t (h) Ca nô 2/322 3 h20' = 10 h 3 LƯU HÀNH NỘI BỘ v ( km / h ) S ( km ) x 10 x 3 3 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 Ō tô x + 17 2 2 ( x + 17 ) Công thức lập phương trình: Sôto − Scanó = 10 Lời giải Gọi vận tốc của ca nô là x km / h(x > 0) . Vận tốc của ô tô là: x + 17 ( km / h ) . 10 x ( km ) . 3 Quãng đường ô tô đi là: 2 ( x + 17 )( km ) . Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10 km nên ta có phương trình: Quãng đường ca nô đi là: 2 ( x + 17 ) − 10 x = 10 3 Giải phương trình ta được x = 18 .(thỏa mãn đk). Vậy vận tốc ca nô là 18 km / h . Vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35 ( km / h ) . Bài 2. Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km , cả đi lẫn về mất 8 h20' . Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km / h . S ( km ) v ( km / h ) t (h) Tàu: x Xuôi 80 x+4 Ngược 80 x−4 80 x+4 80 x−4 Phân tích bài toán: Vì chuyển động dưới nước có vận tốc dòng nước nên cột vận tốc được chia làm hai phần ở đây gọi vận tốc thực của tàu là x km / h(x > 4)  25  Công thức lập phương trình: t xuôi +t ngược +8 h20'  = h  3  Lời giải Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km / h(x > 0) Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 km / h Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x − 4 km / h 3/322 4 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 80 h x+4 80 h Thời gian tàu đi ngược dòng là: x−4 25 h nên ta có phương trình: Vì thời gian cả đi lẫn về là 8 h20' = 3 Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80 80 25 + = x+4 x−4 3 Giải phương trình ta được: x1 = −4 (loại) x2 = 20 (tmđk) Vậy vận tốc của tàu khi nước yên 5 lặng là 20 km / h Bài 3. Ts Bắc Kạn ( 2021-2022) Một người đi xe máy từ huyên Ngân Sơn đến huyện Chợ Mới cách nhau 100 km. Khi về người đó tăng vận tốc thêm 10 km / h so với lúc đi, do dó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc đi của xe máy. Lời giải Gọi vận tốc lúc đi của xe máy là x ( km / h ) (ĐK: x > 0 ) Lúc đi, xe máy đi hết 100 (giờ) x Vận tốc lúc về của xe máy là x + 10( km / h) Lúc về, xe máy đi hết 100 (giờ) x + 10 Do lúc về xe máy tăng tốc nên thời gian về ít hơn so với thời gian đi là 30 phút = phương trình 100 100 1 − = x x + 10 2 ⇔ 200( x + 10) − 200 x = x ( x + 10) ⇔ 200 x + 2000 − 200 x = x 2 + 10 x ⇔ x 2 + 10 x − 2000 = 0 Ta có ∆ ′ = 52 + 2000 = 2025 = 452 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt −5 + 45  = 40(tm) x = 1 .   x = −5 − 45 = −50( ktm)  1 Vậy vận tốc lúc đi của xe máy là 40 km / h . 4/322 LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 h nên ta có 2 5 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 Bài 4. TS Cà Mau ( 2021-2022) Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ đi như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bước tối thiểu mà mục tiêu đề ra hay chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi). Lời giải Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là x (bước) ( x ∈N*). Gọi số bước chị Hà đi bộ trong 1 phút là y (bước) ( y ∈N*, y < x). 2 phút anh Sơn đi được 2x (bước) 2 phút chị Hà đi được 2y (bước) Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên ta có phương trình: 2x – 2y = 20 (1) 3 phút anh Sơn đi được 3x (bước) 5 phút chị Hà đi được 5y (bước) Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình: 5y – 3x = 160 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 2 x − 2 y = 20  x − y = 10  x = 10 + y  x = 10 + y  x = 10 + y  x = 105 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  5 y − 3 x = 160 5 y − 3 x = 160 5 y − 3(10 + y ) = 160 2 y = 190  y = 95  y = 95 Đối chiếu với điều kiện suy ra x = 105, y = 95 Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là 105.60 = 6300 (bước) Mỗi ngày chị Hà đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là 95.60 = 5700 (bước) Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra còn chị Hà thì không đạt được mục tiêu đề ra là 6000 bước mỗi ngày. Bài 5. TS Bình Định ( 2021-2022) Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km , sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B đến A . Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72 km . Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 20 km /giê . Tính vận tốc của mỗi xe. Lời giải Gọi x ( km /h ) là vận tốc của xe máy. Điều kiện: x > 0 Quãng đường xe máy đi đến lúc gặp nhau là: 5/322 LƯU HÀNH NỘI BỘ 88 ( km ) 6 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 Thời gian xe máy đi đến lúc gặp nhau là: Vận tốc của ô tô đi là: 88 (h ) x x + 20 ( km /h ) Quãng đường ô tô đi đến lúc gặp nhau là: Thời gian ô tô đi đến lúc gặp nhau là: Theo đề ta có phương trình: 72 ( km ) 72 (h ) x + 20 88 72 − =1 x x + 20 ⇒ 88 x + 1760 − 72 x = x 2 + 20 x ⇔x 2 + 4 x − 1 7 6 0 = 0 Giải phương trình ta được: Vậy, vận tốc xe máy là Bài 6. x1 = 40 (nhận), x2 = −44 (loại) 40 km /h , vận tốc xe ô tô là 60 km /h TS Bình Phước ( 2021-2022) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc tể đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 10  km / h nên ô tô thú hai đến B trước ô tô thứ nhất 24 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Lời giải Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x( km/ h) (ĐK: x > 0 ). Suy ra vận tốc của ô tô thứ hai là x + 10( km / h) Thởi gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là: AB là 120 (h) x + 10 Vì ô tô thứ hai đến B trước ô tô thứ nhất 24 phút = 120 120 2 − = x x + 10 5 ⇔ 600( x + 10) − 600 x = 2 x( x + 10) ⇔ 600 x + 6000 − 600 x = 2 x 2 + 20 x ⇔ 2 x 2 + 20 x − 6000 = 0 ⇔ x 2 + 10 x − 3000 = 0 6/322 LƯU HÀNH NỘI BỘ 120 (h) x 2 giờ nên ta có phương trình: 5 7 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 Ta có: ∆′ = (−5) + 3000 = 3025 = 55 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 2  x1 = −5 + 55 = 50 (tm)   x2 = −5 − 55 = −60( ktm) Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 50  km / h và vận tốc của ô tô thứ hai là 60 km / h . Bài 7. TS Đồng Nai 2021-2022 Hằng ngày bạn Mai đi học bằng xe đạp, quãng đường từ nhà đến trường dài 3km. Hôm nay, xe đạp hư nên Mai nhờ mẹ chở đi đến trường bằng xe máy với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi xe đạp là 24 km/h, cùng thời điểm khởi hành như mọi ngày nhưng Mai đã đến trường sớm hơn 10 phút.tính vận tốc của bạn Mai khi đi học bằng xe đạp. Lời giải Gọi vận tốc của bạn Mai khi đi xe đạp từ nhà tới trường là x (km/h) ( x > 0 ) . 3 (h). x Vận tốc xe máy mẹ Mai chở Mai từ nhà đến trường là x + 24 (km/h) Thời gian Mai đi xe đạp từ nhà đến trường là Thời gian mẹ chở mai đi học bằng xe máy từ nhà đến trường là Vì hôm nay mai đến sớm hơn 10 phút hay 3 (h) x + 24 1 (h) so với mọi ngày, ta có phương trình 6 3 3 1 − = x x + 24 6 ⇒ 18 ( x + 24 ) − 18 x = x ( x + 24 ) ⇒ 18 x + 432 − 18 x = x 2 + 24 x ⇔ x 2 + 24 x − 432 = 0 Có ∆ ' = 122 − 1. ( −432 ) = 576 ⇒ ∆ ' = 576 = 24 −12 + 24 −12 − 24 = 12 (nhận); x1 = = −36 (loại). 1 1 Vậy vận tốc của bạn Mai khi đi xe đạp từ nhà đến trường là 12 km/h TS Hòa Bình 2021-2022 Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 200 km , đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của ô tô và xe máy, biết rằng nếu vận tốc của ô tô tăng thêm 10 km/h và vận tốc của xe máy giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy. Lời giải Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là x, y ( km/h ) (ĐK: x, y > 0 ) ⇒ x1 = Bài 8. Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là: 2 x ( km ) Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là: 2 y ( km ) 7/322 LƯU HÀNH NỘI BỘ 8 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 200 km , đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình: 2 x + 2 y = 200 ⇔ x + y = 100 (1) Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm 10 km /h thì vận tốc mới của ô tô là: x + 10 ( km /h ) Nếu vận tốc của xe máy giảm đi 5 km /h thì vận tốc mới của xe máy là: y − 5 ( km /h ) Vì vận tốc của ô tô tăng thêm 10 km /h và vận tốc của xe máy giảm đi 5 km /h thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình: x + 10 = 2 ( y − 5 ) ⇔ x − 2 y = −20 ( 2)  x + y = 100 Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình:   x − 2 y = −20 3 y = 120  y = 40 ⇔ ⇔ ( t /m )  x − 2 y = −20  x = 60 Vậy vận tốc của ô tô là 60 km /h và vận tốc của xe máy là 40 km /h Bài 9. TS Hải Phòng 2021-2022 Lúc 9 giờ sáng, một xe ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là 55 km / h. Sau khi xe ô tô này đi dược 20 phút thì cũng trên quãng đương đó, một xe ô tô khác bắt đầu đi từ B về A với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là 45 km / h. Hỏi hai xe ô tô gặp nhau lúc mấy giờ? Biết quãng đường AB dài 135 km Lời giải Đổi 20 phút = 1 ( h) . 3 Quãng đường ô tô đi từ A đến B trong 20 phút là: 55 ⋅ 1 55 = ( km) . 3 3 Gọi thời gian ô tô đi từ B đến A đi đến khi gặp ô tô đi từ A đến B là x( h),( x > 0) . 1 ⇒ Thời gian ô tô đi từ A đến B đi đến khi gặp ô tô đi từ B đến A là: x + ( h) . 3 ⇒ Quãng đường ô tô đi từ A đến B đi được đến khi 2 xe gặp nhau là:  1 55 55  x +  = 55 x + ( km) . 3 3  Quãng đường ô tô đi từ B đến A đi được đến khi 2 xe gặp nhau là: 45 x( km) . Quãng đường AB dài 135 km Quãng đường ô tô đi từ A đi trước ô tô đi từ B là: 8/322 LƯU HÀNH NỘI BỘ 9 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 55 ⋅ 1 55 = ( km) 3 3 Đến lúc 9 h 20 phút hai xe còn cách nhau là: 135 − 55 350 = ( km) 3 3 Thời gian hai xe gặp nhau là: 350 7 : (55 + 45) = ( h) 3 6 Đổi 7 giờ = 1 giờ 10 phút 6 Thời điểm hai xe gặp nhau là: 9 giờ 20 phút +1 giờ 10 phút = 10 giờ 30 phút Vậy hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 30 phút. Bài 10. TS Phú Yên 2021-2022 Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 5km và một đoạn xuống dốc dài 10km . Một người đi xe đạp từ A đến B hết 1 giờ 10 phút và đi từ B về A hết 1 giờ 20 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc, lúc xuống dốc của người đi xe đạp. Lời giải Đổi 1 giờ 10 phút = 7 4 ( h ) , 1 giờ 20 phút = ( h ) . 6 3 Gọi vận tốc lên dốc và xuống dốc của người đó lần lượt là x ( km/h ) và y ( km/h ) với y>x>0 Lúc đi: Thời gian lên dốc là 5 ( h) , xuống dốc là 10 ( h ) x y Tổng thời gian đi hết 1 giờ 10 phút nên ta có phương trình: Lúc về: Thời gian lên dốc là 10 ( h ) , xuống dốc là 5 ( h) x y Tổng thời gian đi hết 1 giờ 20 phút nên ta có phương trình: 9/322 5 10 7 + = (1) x y 6 LƯU HÀNH NỘI BỘ 10 5 4 + = (2) x y 3 10 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10  5 10 7 x + y = 6  Từ (1) và (2), ta lập hệ phương trình:  10 + 5 = 4  x y 3 Đặt a = 1 1 và b = với a > 0 , b > 0 , ta được: x y 7 7 1 4 1     4 5 10 10 20 10 5. a + b = a + b = a + = a =    10a + 5b =   10 6 3 15 3 ⇔ ⇔ ⇔ 3⇔  10a + 5b = 4 10a + 5b = 4 15b = 1 b = 1 b = 1  3 3    15  15 (Nhận) Từ đây ta suy ra 1 1 =  x = 10  x 10 (Nhận) 1 1 ⇒  y = 15   =  y 15 Vậy vận tốc lúc lên dốc là 10 ( km/h ) và vận tốc xuống dốc là 15 ( km/h ) . Bài 11. TS Tiền Giang 2021-2022 Quãng đường AB dài 150 km. Một xe tải khởi hành đi từ A đến B , cùng lúc đó một ô tô cũng đi trên quãng đường đó từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải 5 km/h, nên ô tô đến B sớm hơn xe tải 20 phút. Tính vận tốc xe tải. Lời giải Gọi x (km/h) là vận tốc của xe tải đi từ A đến B ( x > 0) . Vận tốc của ô tô đi từ A đến B là x + 5 (km/h). Thời gian xe tải đi từ A đến B là 150 (giờ) x Thời gian ô tô đi từ A đến B là 150 (giờ) x+5 Vì ô tô đến B sớm hơn xe tải 20 phút nên ta có phương trình:  x = 45 ( nh ) 150 150 20 1 − = = ⇔ x2 + 5 x − 2250 = 0 ⇔  x x + 5 60 3  x = −50 ( l ) Vậy vận tốc của xe tải đi từ A đến B là 45 km/h. Bài 12. TS Bắc Kạn 2018-2019 Quāng sông từ A đến B dài 60 km . Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi ngược từ B trở về A mất tổng cộng 8 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là 4 km / h . 10/322 1 11 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 Lời giải Gọi vận tốc thực của ca nô là x km / h (điều kiện x > 4 ). Vì vận tốc dòng nước là 4 km / h nên vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + 4 km / h ⇒ thời gian ca nô đi xuôi dòng là 60 giờ. vận x+4 60 tốc ca nô khi ngược dòng là x + 4 km / h ⇒ thời gian ca nô đi ngược dòng là giờ. x−4 Do đó ta có phương trình 60 60 + =8 x+4 x−4  ⇔ 60 ( x − 4 ) + 60 ( x + 4 ) ( x + 4 )( x − 4 ) =8 (  ⇔ 120 x = 8 x 2 − 16  x = 16  ⇔ x 2 − 15 x − 16 = 0 ⇔   x = −1 ) (thoûa maõn) (loaïi). Vậy vận tốc thực của ca nô là 16 km / h . Bài 13. TS Điện Biên 2018-2019 Một chiếc bè trôi từ bến sông A đến bến B với vận tốc dòng nước là 4 km / h , cùng lúc đó một chiếc thuyền chạy từ bến A đến B rồi quay lại ngay thì gặp chiếc bè tại vị trí C cách bến A là 8 km . Tính vận tốc thực của thuyền biết khoảng cách giữa hai bến A và B là 24 km . Lời giải Gọi vận tốc thực của thuyền là x km / h , vận tốc xuôi dòng của thuyền là ( x + 4 ) km / h , vận tốc ngược dòng của thuyền là ( x − 4 ) km / h . Điều kiện của x là x > 4 . Vì thuyền chạy tù̀ A đến B rồi quay lại ngay thì gặp chiếc bè tại vị trí C cách bến A là 8 km tức là thuyền đi xuôi dòng được 24 km và ngược dòng được 24 − 8 = 16 km , nên ta có thời gian của thuyền đi đến khi gặp chiếc bè là 24 16 giờ. + x+4 x−2 Thời gian của chiếc bè trôi đến khi gặp thuyền là 8: 4 = 2 giờ. Khi đó ta có phương trình =2 ⇔ 24 ( x − 4) + 16 ( x + 4) = 2 ( x 2 −16) x 2 −16 x 2 −16 ⇔ 24 x − 96 + 16 x + 64 = 2 x 2 − 32  (vì x > 4) 11/322 ⇔ 2 x 2 − 40 x = 0 ⇔  x = 0 ( loaïi)    x = 20 ( nhaän).   12 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 Vậy vận tốc thực của thuyền là 20 km / h . Bài 14. TS Quảng Ninh 2018-2019 Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cū dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ B về A , xe đi đường cao tốc mới nên quāng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32 km / h . Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B , biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút. Lời giải Đổi: 1 giờ 45 phút = 7 giờ. 4 Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là x km / h ( x > 0) . Thời gian ô tô đi từ A đến B là 156 giờ. x Quāng đường lúc về là 120 km và vận tốc của ô tô lúc về là x + 32 km / h nên thời gian 120 ô tô đi từ B về A là x + 32 giờ. Theo bài ra ta có phương trình 156 120 7 36 x + 4992 7 − = ⇔ = x x + 32 4 x ( x + 32) 4 ⇔ 4 ( 36x + 4992) = 7x ( x + 32) ⇔ 7 x 2 + 80 x − 19968 = 0 (thoa mān)  x = 48 ⇔  x = − 416 (loai). 7  Vậy vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là 48 km / h . Bài 15. TS Tiền Giang 2018-2019 Hai bến sông A và B cách nhau 60 km . Một ca-nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B về A . Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút. Tính vận tốc ngược dòng của ca-nô, biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng của ca-nô là 6 km / h . Lời giải Gọi x km / h là vận tốc ngược dòng của ca-nô. Suy ra vận tốc ca-nô khi xuôi dòng là ( x + 6) km/ h . Thời gian ca-nô chạy xuôi dòng từ A đến B là 60 giờ. x+6 Thời gian ca-nô chạy ngược dòng từ B về A là 6 0 giờ. x Do thời gian đi xuôi dòng ít hơn đi ngược dòng là 20 phút nên 12/322 1 13 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10  x = 30 ( N) 60 60 1 − = ⇔ x2 + 6x −1080 = 0 ⇔  x x+6 3  x = −36 ( L) Vậy vận tốc ca-nô khi ngược dòng là 30 km / h . Bài 16. TS Phú Yên 2017. Một ca nô xuôi dòng một khúc sông dài 40 km , rồi ngược dòng khúc sông ấy hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc của dòng nước là 2 km / giờ̀. Lời giải Gọi vận tốc thực của ca nô là x km / giờ ( x > 2) . Thời gian ca nô đi ngược dòng là 40 (giờ). x+2 40 Thời gian ca nô đi xuôi dòng là (giờ). x−2 Đổi 4 giờ 30 phút = 4, 5 giờ. Theo đề bài ta có phương trình  x = 18 40 40 2 2 + = 4, 5 ⇔ 80 x = 4, 5 x − 18 ⇔ 4, 5 x − 80 x − 18 = 0 ⇔  x = − 2 x+2 x−2 9  So với yêu cầu bài toán thì ta có x = 18 thỏa yêu cầu bài toán. Vậy vận tốc thực của ca nô là 18 km / giờ. Bài 17. TS Hà Nội 2017 Một ca nô chạy trên sông trong 8 h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105 km. Một lần khác cūng chạy trên khúc sông đó, ca nô này chạy trong 4 h, xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km. Hāy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Lời giải Gọi x km / h và y km / h lần lượt là vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô ( x > y > 0) . Ta có hệ phương trình  81 105 1 1  x + y =8  x = 27  x = 27  ⇔  1 1 ⇔   y = 21  54 + 42 = 4  = 21 y  x  y  (thỏa mān điều kiện). Vậy vận tốc xuôi dòng là 27 km / h , vận tốc ngược dòng là 21 km / h . Bài 18. 13/322 Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 km hết một thời gian bằng thời gian chạy ngược dòng 54 km. Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì chỉ hết 1 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng của tàu không đổi). LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 14 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 Lời giải Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là x ( km / h ) . Gọi vận tốc của dòng nước là y ( km / h ) ( x > y > 0) . Suy ra vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là x + y ( km / h ) . Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là x − y ( km / h ) . Dẫn tới hệ phương trình : 54  66 x+ y = x− y  x = 30  (thóa mãn đîêu kiện). ⇔   22 + 9 = 1  y = 3. Vậy vận tốc riêng của tàu x +thủy y là x −30 y km / h . Vận tốc của dòng nước là 3 km / h . Bài 19. Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước là không đổi, tính cận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước. Lời giải Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước lân lượt là x, y ( km / h ; 0 < y < x ). Vận tốc ca nô xuôi dòng là: x + y ( km / h ) . Vận tốc ca nô ngược dòng là: x − y ( km / h ) . 5 4 giờ; 1 giờ 20 phút = giờ. 2 3 Vì ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 12 12 5 phút nên ta có phương trình: + = (1). x+ y x− y 2 Vì ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút nên ta có phương trình: 4 8 4 + = (2) x+ y x− y 3 12 5  12 x+ y + x− y = 2  . Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình   4 + 8 =4  x + y x − y 3 Đổi: 2 giờ 30 phút = 14/322 LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 15 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 12 5  12 x+ y + x− y = 2  . Từ (1) và (2) ta có hệ phưong trình   4 + 8 =4  x + y x − y 3  5 1  12a + 12b = a=   1 1   2 12 …⇔  Đặt a = . ;b = ( a > 0; b > 0) , ta có hệ  4 1 x+ y x− y 4a + 8b = b =   3 8 1  1  x + y = 12  x + y = 12  x = 10  (thỏa mãn điều kiện). Suy ra  ⇔ ⇔ y = 2 x − y = 8  1 =1  x − y 8 Vậy vận tốc riêng của ca nô là 10 km / h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km / h Bài 20. Hai tỉnh A, B cách nhau 180 km , cùng một lúc một ô tô đi từ A đến B , một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại C . Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A đi xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe biết trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi. Lời giải a) Gọi x ( km / h ) là vận tốc của ôtô y ( km / h ) là vận tốc của xe máy ( x > 0; y > 0) Quãng đường từ A đến C dài 9 y ( km ) 2 Quãng đường từ C dến B dài 2x ( km) Thời gian ôtô đi từ A đến C là 9 y : x = 9 y (giờ) 2 2x Thời gian xe máy đi từ B đến C là 2x (giờ) y Theo bài ra ta có hệ phương trình  9 y 2x  2 x = y ⇔   2 x + 9 y = 180  2 9 y 2 = 4 x 2   9  2 x + y = 180 2  Vì x > 0; y > 0 nên ta có 15/322 1 16 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10  2x − 3 y = 0 2 x − 3 y = 0  2 x − 3.24 = 0  x = 36   ⇔  15 ⇔ ⇔ (1) ⇔  9 (thỏa mãn)  y = 24  y = 24 2x + 2 y = 180  2 y = 180  Vậy vận tốc của ô tô là 36 km / h . Vận tốc của xe máy là 24 km / h . Bài 21. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Đạp xe là một hình thức tập thể dục đơn giản, rất tốt cho sức khỏe và thân thiện với môi trường. Sáng sớm, Mai dự định đạp xe từ nhà ra Hồ Gươm rồi lại đạp xe về để tập thể dục. Khi ra đến Hồ Gươm, bạn dừng lại nghỉ 3 phút. Do đó để về nhà đúng giờ, bạn phải tăng tốc thêm 2 km / h . Tính vận tốc dự định và thời gian đi xe đạp của bạn Mai. Biết quãng đường lúc đi và lúc về đều là 3 km . Lời giải Gọi vận tốc dự định của bạn Mai là x ( km / h ) , điều kiện x > 0 . Thời gian dự kiến bạn Mai đạp xe từ nhà ra Hồ Gươm và quay về nhà là 6 (giờ). x Thời gian Mai đạp xe từ nhà ra Hồ Gươm là 3 (giờ). x Vận tốc của bạn Mai khi đạp xe từ Hồ Gươm về nhà là x + 2 ( km / h ) . Thời gian Mai đạp xe từ Hồ Gươm về nhà là 3 (giờ). x+2 Đổi 3 phút = 1 giờ. 20 Vì bạn Mai về nhà đúng giờ nên ta có phương trình 3 + x ⇔ ⇔ 3 1 6 + = x + 2 20 x 1 6 3 3  = − +  20 x  x x + 2  ⇔ 1 3 3 = − 20 x x + 2 ⇔ 1 1 1 = − 60 x x + 2 1 x+2 x = − 60 x ( x + 2) x ( x + 2) 16/322 1 17 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 ⇔ 1 x+2− x = 60 x ( x + 2) ⇔ 1 2 = 60 x ( x + 2) ⇔ x ( x + 2) = 2.60 ⇔ x 2 + 2 x − 120 = 0 ⇔ x 2 − 10 x + 12 x − 120 = 0 ⇔ x ( x −10) + 12 ( x −10) = 0 ⇔ ( x + 12)( x − 10) = 0  x + 12 = 0  x = −12 . ⇔ ⇔  x = 10  x − 10 = 0 So với điều kiện, x = 10 thỏa mãn. Thời gian đi xe đạp của bạn Mai là 3 + 10 3 11 (giờ) = 10 + 2 20 = 33 (phút). Vậy vận tốc dự định của Mai là 10 km / h và thời gian đi xe đạp của Mai là 33 phút. Bài 22. Giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình ) Trên quãng đường AB , hai ô tô chở các bác sĩ đi chống dịch COVID - 19 cùng khởi hành một lúc từ hai bến A và B đi ngược chiều nhau. Hai xe gặp nhau tại khu cách ly trên quãng đường AB sau 3 giờ. Nếu sau khi gặp nhau, mỗi xe tiếp tục đi hết quãng đường còn lại. Xe khởi hành từ A đến B muộn hơn xe khởi hành từ B đến A là 2 giờ 30 phút. Hỏi mỗi xe đi quãng đường AB hết bao nhiêu thời gian? Lời giải Gọi thời gian xe đi từ A đến B đi hết quãng đường AB là x ( x > 3) Gọi thời gian xe đi từ B đến A đi hết quãng đường AB là y ( y > 3) Trong một giờ xe đi từ A đến B đi được 1 (quãng đường AB ) x Trong một giờ xe đi từ B đến A đi được 1 ( quãng đường AB ) y Do hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ nên ta có phương trình : 17/322 1 18 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 1 1 1 + = (1) x y 3 Do xe khời hành từ A đến B muộn hơn xe khởi hành từ B đến A là 2 giờ 30 phút nên: x − y = 2,5( 2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 1 1 1  + = x y 3 x − y = 2,5  Thế (2) vào (1) ta được phương trình : 1 1 1 + = ⇒ 3y + 3( y + 2,5) = y ( y + 2,5) y + 2,5 y 3 ⇔3y +3y + 7,5 = 2,5y + y2 ⇔ y2 −3,5y − 7,5 = 0 ⇔ ( y − 5)( y +1,5) = 0 y = 5 ⇔ ⇔  y = − 1, 5 Bài 23.  x = 7, 5  x = 1 (lo i)  Khoản 1 Điều 3 Nghị định 100/2019/NĐ-CP quy định tốc độ tối đa của xe đạp điện là 25 km / h . Hai bạn Tuấn và Minh cùng xuất phát một lúc để đến khu bảo tồn thiên nhiên trên quãng đường dài 22 km bằng phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ Tuấn đi nhanh hơn Minh 2 km nên đến nơi sớm hơn 5 phút. Hỏi hai bạn đi như vậy có đúng vận tốc quy định hay không? Lời giải Đổi 5 phút = 1 12 ( h) Gọi vận tốc của bạn Minh là x ( km / h ) ( x > 0) Khi đó vận tốc của Tuấn là x + 2 ( km / h ) Thời gian Minh đi hết quãng đường là 22 ( h ) x Thời gian Tuấn đi hết quãng đường là 22 x+2 ( h) Vì Tuấn đến nơi trước Minh 5 phút nên ta có phương trình: 18/322 1 19 522 BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI VÀO LỚP 10 22 22 1 − = x x + 2 12 ⇒ 22.12. ( x + 2) − 22 ⋅12x = x ( x + 2) ⇔ x 2 + 2 x − 528 = 0  x1 = 22(TM ) ⇔ ( x + 24)( x − 22) = 0 ⇔   x2 = −24 ( KTM) . Với x = 22 thì x + 2 = 24 . Vậy vận tốc của Minh là 22 km / h và vận tốc của Tuấn là 24 km / h Do 22 < 25; 24 < 25 nên cả hai bạn đều đi đúng vận tốc quy định. Bài 24. (THCS CẦU GIẤY) Một người dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc thời gian đã định. Nếu người đó đi từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định 5 km / h thì sẽ đến B sớm hơn dự định 24 phút. Nếu người đó đi từ B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định 5 km / h thì sẽ đến B muộn hơn dự định 30 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km? Lời giải 24 phút = 2 h, 30 phút = 1 h 5 2   Gọi vận tốc dự định là x ( km / h ) và thời gian dự định là y ( h ) ( giờ )  x > 5, y > 2  5 Thì quãng đường AB là xy ( km) Nếu đi với vận tốc lớn hơn 5 km / h thì vận tốc mới là x + 5 ( km / h ) và thời gian là y− 2 ( h) 5   2 5   2 5 Quãng đường AB là ( x + 5)  y −  ( km) ⇒ ( x + 5)  y −  = xy (1) Nếu đi với vận tốc nhỏ hơn 5 km / h thì vận tốc mới là x − 5 ( km / h ) và thời gian là y + 1 ( h ) 2   1 2   1 2 Quãng đường AB là ( x − 5)  y +  ( km ) ⇒ ( x − 5)  y +  = xy ( 2 ) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 19/322 LƯU HÀNH NỘI BỘ 1