MỤC LỤC
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT..................................................................1
I. LỜI GIỚI THIỆU............................................................................................2
II. TÊN SÁNG KIẾN..........................................................................................3
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN................................................................................3
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN.......................................................3
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN...........................................................3
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ
...............................................................................................................................3
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN...................................................3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................3
1. Cơ sở lý luận..................................................................................................3
2. Thực trạng......................................................................................................4
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC
TẾ..........................................................................................................................5
1. Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán về di chuyển, quãng đường...............5
2. Ứng dụng trong cách bài toán về tối ưu chi phí sản xuất.............................45
CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA
VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM GIẢI
CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG TÂM GDNNGDTX YÊN LẠC”.............................................................................................53
1. Về phương diện lý luận................................................................................53
2. Về phương diện thực tiễn.............................................................................53
3. Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến....................55
KẾT LUẬN........................................................................................................57
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT..................................57
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN...............57
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC DO SÁNG KIẾN..............................57
XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ
HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU...................................................58
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................59
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
GD&ĐT
GTLN
GTNN
GDTX
GDNN-GDTX
GV
HS
SGK
THPT
Nội dung
Giáo dục và đào tạo
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
Giáo dục thường xuyên
Giáo dục nghề nghiệp – giáo dục thường xuyên
Giáo viên
Học sinh
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông
1
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. LỜI GIỚI THIỆU
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Chính
vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không
thể không đề cập đến. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên
không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học,
công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán
học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh
phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có
vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ
thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu
phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của
con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục
và khám phá thế giới tự nhiên. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học chương trình
THPT, đặc biệt dạy học khối GDTX nhìn chung mới chỉ tập trung rèn luyện cho
học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội
bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều
môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường
xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản
xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình môn Toán. Như
vậy, trong giảng dạy môn Toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và
ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi
ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường
xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán
học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức
đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua
đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp
với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với
giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Có rất nhiều ứng dụng Toán học để giải
được các bài toán thực tế, để giúp các em học sinh dễ dàng tiếp cận được với các
bài toán thực tế dựa trên những kiến thức được học trong chương trình GDTX
cấp THPT, tôi đã chọn “Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho
học sinh Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm.
2
II. TÊN SÁNG KIẾN
“Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho học sinh Trung
tâm GDNN-GDTX Yên Lạc”
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
- Họ và tên: Nguyễn Văn Điệp
- Địa chỉ: Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc
- Số điện thoại: 0973870375
- Email:
[email protected]
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN
Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm.
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học chuyên đề về ứng dụng của đạo
hàm để giải các bài toán thực tế cho đối tượng học sinh tại Trung tâm GDNNGDTX Yên Lạc.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG
THỬ
Ngày 06 tháng 9 năm 2018.
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Trong học tập và nghiên cứu toán học. Để đạt được hiệu quả tốt đều cần
có sự hài hoà giữa lý luận và thực tiễn. Lý luận là những chỉ dẫn giúp hoạt động
thực tiễn của con người đi đúng hướng. Ngược lại hoạt động thực tiễn cũng giúp
lý luận có ý nghĩa hơn. Mục đích của dạy học Toán là phải mang lại cho học
sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua
đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế
giới quan và nhân sinh quan đúng đắn cho các em. Do đó, xu hướng đổi mới
hiện nay là không nặng về mức độ nắm các nội dung có mặt trong chương trình
giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực
tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống sau
khi rời ghế nhà trường.
3
2. Thực trạng
Làm thế nào để tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán
học? Đây là một cách tiếp cận mới, một câu hỏi mà các nhà giáo dục, giáo viên,
… còn băn khoăn. Hiện nay, giáo dục Việt Nam không nhiều các tài liệu bàn về
lĩnh vực này, cần có một sự bổ sung, trên cơ sở tiếp thu tri thức, kỹ năng liên
quan đến các bài toán thực tế để có được cái nhìn, quan điểm đầy đủ hơn trong
việc đổi mới dạy học theo hướng tiếp cận năng lực, ứng dụng vào giải quyết các
bài toán thực tế.
Tóm lại tính thực tiễn của toán học thể hiện qua ứng dụng của toán học và
thực tiễn đời sống. Điều này không những chỉ để nâng cao kiến thức của học
sinh mà còn nhằm thực hiện nguyên lý giáo dục học đi đôi với hành, lý thuyết
gắn liền với thực tiễn, nhà trường gắn liền với xã hội. Điều đó nói lên vai trò
toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa
học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học …
Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm
kiếm, thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các ứng
dụng toán học để phục vụ giảng dạy cũng như đã tập hợp được một số tình
huống. Phần tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên
cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả.
4
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC
TẾ
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế
liên quan đến việc sử dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán
học. Qua các ví dụ minh họa dưới đây, tác giả sẽ chỉ ra những dạng toán thường
gặp là gì? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong
việc giải quyết bài toán mà họ đặt ra?
Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình
toán học. Như chúng ta đã biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì
trước tiên phải "thiết lập được hàm số".
Như vậy ta có thể mô tả quy trình giải các bài toán thực tế như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả "dưới dạng ngôn ngữ Toán học"
cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể
có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và
mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng
dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng
buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
Bước 2. Dựa vào các kiến thức liên quan đến các vấn đề thực tế như trong
kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta thiết
lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong
nội dung đang xét chỉ xét với tình huống 1 biến).
Bước 3. Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết
bài toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết
quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa.
1. Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán về di chuyển, quãng đường
Bài toán 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a, b với a, b 0
. Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ
nhật không có nắp. Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình
hộp đó có thể tích lớn nhất
Phân tích:
Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình
vuông cắt đi. Như vậy, ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x. Do khi đó 1
a
cạnh của tấm nhôm sau khi bị cắt trở thành a 2 x 0 x nên ta có
2
a
0x .
2
Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là b 2 x 0.
Đến đây ta cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp V x a 2 x b 2 x
5
Bài toán trở thành tìm
max V x
a
x 0;
2
Lời giải
Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện 0 x
a
.
2
Khi đó thể tích khối hộp là:
V x a 2 x b 2 x 4 x 3 2 a b x 2 abx V x
Bài toán trở thành tìm
max V x
a
x 0;
2
2
Ta có V ' x 12 x 4 a b x ab
2
' 4 a b 12ab 4 a 2 ab b 2 0, a, b.
Do đó V ' 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt:
x1
a b
a 2 ab b 2
a b a 2 ab b 2
x2
6
6
a b
x1 x2 3 0
0 x1 x2 .
Theo định lý Vi-et, ta có:
ab
x x 0
1 2 12
a
a
2
Hơn nữa, ta có V ' a ab a a b 0. Do đó 0 x1 x2 .
2
2
Bảng biến thiên
x
0
+
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi
x x1
a b
a 2 ab b2
6
Bài tập tương tự 1: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng
12cm và chiều rộng bằng 10cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn
6
hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm rồi gập tấm nhôm
như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được
thể tích lớn nhất.
Lời giải
Áp dụng kết quả của câu trên ta có
12 10 10 2 10.12 122 11 31
x
6
3
Bài tập tương tự 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta
cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn cạnh hình vuông bằng nhau, mỗi hình
vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm nhôm như hình vẽ dưới đây để được
một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được thể tích lớn nhất.
Tương tự bài toán 1, khi tấm nhôm có dạng hình chữ nhật trở thành hình
vuông thì a b, khi đó ta có:
x
a b
a 2 ab b 2 a 12
2 cm
6
6 6
Bình luận: Ngoài cách giải dùng "công thức giải nhanh" ta đã thiết lập.
Ta thấy rằng còn có thể xét các trường hợp của đáp án để tìm lại số đo các kích
thước hình hộp, từ đó tính thể tích.
Bài toán 2. Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường
và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4 m , song song và cách tường 0,5 m kể từ
gốc của cái cột đỡ.
7
Phân tích:
Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình bằng hình vẽ. Để xác định được độ
dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo
hướng nào? Để từ đó định hướng được cách đặt ẩn phụ thích hợp. Đồi với hình
vẽ trên và các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng
thứ nhất là phân tích AC AB 2 AC 2 và hướng thứ hai là AC AM MC
Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt HC x 0, đến đây
chỉ cần tính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số f x biểu diễn độ
dài AC. Ta sử dụng đến quan hệ tỷ lệ trong định lý Thales thuận (MH // AB) nên
HC MH
x
ta có
. Bài toán trở thành tìm min f x ?
BC
AB x 0,5
Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC x 0, thì khi đó ta sẽ
biểu diễn độ dài AC P x Q x (việc khảo sát hàm số này rất phức
tạp). Do đó ta chuyến hướng qua tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và
nhận thấy MCH
AMK . Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn
toàn thuận lợi vì khi đó MC MH .sin và AM MK .cos . Khi đó bài toán
trở thành tìm min g ?
Lời giải
Đặt HC x 0 BC x 0,5 . Theo định lý Thales ta có:
4 x 0,5
HC MH
x
AB
BC AB x 0,5
x
16 x 0,5
Do ABC vuông tại B AC AB BC
x2
2
2
8
2
2
2
Hay AC
2
x 0,5 x
2
16
x2
Đặt f x
x 4 x3
65 2
x 16 x 4
4
, x 0 .
x2
Bài toán trở thành tìm min f x ? với x 0.
65
65
3
4 x 3x 2 x 16 x 2 2 x x 4 x 3 x 2 16 x 4
Ta có
2
4
f ' x
4
x
f ' x
2 x 4 x3 16 x 8
x3
x 2
f ' x 0 x 2 2 x 1 x 2 x 4 0
1
x 0
2
2
Bảng biến thiên:
x
0
0
+
125
f
x
f
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có min
x 0
4
Do đó ta có min AC
125 5 5
2
4
Cách khác: Đặt x ACB 0;
2
Khi đó ta có AC AM MC
Đặt g x
KM MH
1
4
cos x sin x 2cos x sin x
1
4
min g x ?
. Bài toán trở thành tìm 0;
2
2cos x sin x
8cos3 x sin 3 x
Ta có: g ' x
2sin 2 x cos 2 x
g ' x 0 tan x 2 x0 arc tan 2 63o 26'6''
9
Lập bảng biến thiên suy ra
ACmin min
g x g x0 5,5902 m
0;
2
Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn
nhất định khi giải tìm nghiệm của phương trình f ' x 0 hay g ' x 0.
Hai là, ngoài việc sử dụng "ứng dụng đạo hàm" để tìm GTLN – GTNN của
hàm số này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức. Giả sử đặt
1
AB b, BC a, a ; b 0
2
Dùng hệ trục Bxy BC Bx, BA By . Ta có AC :
x y
1
a b
1 4
1
1
Khi đó M ;4 AC
2a b
2
2
2
2
Bài toán trở thành tìm min AC min a b thỏa mãn
Ba là, ta có: f x
x 4 x3
1 4
1
2a b
65 2
x 16 x 4
16
4 65
4
x 2 x 2
2
x
x
x 4
8 8 x x 4 65
f x x 2 2
4
x x 2 2 x
3 3 82
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: f x 3.4 3
65 125
4
4
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x 2.
Bài tập tương tự: Tìm chiều dài L bé nhất của cái thang để có thể tựa vào
tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao 3 3 m và cách tường 1 m
kể từ tim cột đỡ.
10
Đặt x ACB 0;
2
Khi đó ta có: AC AM MC
Đặt g x
BH MH
1
3 3
cos x sin x cos x sin x
1
3 3
min g x ?
. Bài toán trở thành tìm 0;
2
cos x sin x
sin 3 x 3 3 cos 3 x
Ta có g ' x
sin 2 x cos 2 x
g ' x 0 tan x 3 x 0;
3 2
Lập bảng biến thiên, ta có:
x
3
0
0
+
g
x
g
Do đó ACmin min
8 m .
3
0;
2
Bài toán 3. Cần phải xây dựng một hố ga dạng hình hộp chữ nhật có thể
3
tích V m không đổi, hệ số k 0 cho trước ( k là tỉ số giữa chiều cao của hố
và chiều rộng của đáy. Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm
nguyên vật liệu nhất?
Phân tích:
Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều rộng của đáy và chiều cao
của hình hộp ta hoàn toàn có thể biểu diễn được độ dài chiều dài theo 1 biến.
Như vậy, ta cần hiểu yêu cầu bài toán "tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là
gì?" Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích nhỏ
nhất hay diện tích toàn phần của khối hộp nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi x, y 0 x y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga h 0 .
11
Theo đề bài ta có: h kx và V xyh y
V
V
2
hx kx
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện
tích toàn phần hố ga là nhỏ nhất.
Khi đó ta có:
2 k 1 V
V
V
k
Stp 2 xh 2 yh 2 x kx 2 kx 2 2 x 2 2kx 2
kx
kx
x
2 k 1 V
Xét hàm số
k
f x 2kx 2
x
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f x với x 0.
k 1
2
V
2k 2 x3 k 1 V
Ta có:
k
f ' x 4kx
2
x2
kx 2
f ' x 0 x0 3
k 1 V
2k 2
0
Bảng biến thiên:
x
0
0
+
k 1 V
f
x
f
3
Dựa vào bảng biến thiên ta có: min
x 0
2k 2
Khi đó y 3
.
4kV
k k 1 V
.
2 và h 3
k 1
2
Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, Ta có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm min Stp
k 1
k 1
k 1
2
V
V
V
2 k 1 V 2
k
k
k
2
2
3
Stp 2kx
2kx
3
x
x
x
k
12
k 1
V
k 1 V
Khi đó, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
k
2
2kx
x 3
x
2k 2
Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa mãn yêu cầu bài toán trên ta đi đến
k 1 V
x 3
2k 2
4kV
2kx
2h
y
quan hệ giữa chúng là: y 3
2
k 1 k 1
k 1
h 3 k k 1 V
2
Ba là, cũng từ bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết V const và thay thế
y kx hay h ky (k là tỉ số giữa các kích thước của hình hộp) thì liệu rằng bài
toán có thay đổi? Câu trả lời là kết quả vẫn tương tự như khi ta khảo sát với
h kx. Do đó
V const
2kx
2y
, y , h ?
x
min Stp ? h
Nếu
k 1 k 1
y kx, k 0
V const
2ky
2h
, y , h ?
x
min Stp ? x
Nếu
k 1 k 1
y ky , k 0
Bài tập tương tự 1: Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ
3
nhật có thể tích V m , có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy. Hãy
xác định kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất?
Lời giải
Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp.
Dựa vào bài toán 3, ta có:
V xyh
6 x 2h h
, y , h ?
x
min Stp ? y
4
4 2
h 3x, k 0
Như vậy khi đó chiều cao sẽ gấp 2 lần chiều dài khối hộp.
Bài tập tương tự 2: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hố nước bằng gạch
và có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều
3
rộng và không có nắp, có chiều cao là h và có thể tích là 18 m . Hãy tính
chiều cao h của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất?
Lời giải
Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp.
13
Theo đề bài ta có y 3 x và V xyh h
V
V
2
xy 3x
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện
tích toàn phần hố ga là nhỏ nhất.
8V
4V 4V
16V 2
2
2
3
Stp 3 x
3 x 3
36
3x
3x 3x
3
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
4V
4V
3
3x 2 x 3
2 h
3x
9
2
Bình luận:
So với bài toán 3, bài toán này chỉ có 1 điểm khác biệt chính là đáy "không
y kx, k 0 x , y , h?
min S
nắp". Bạn đọc có thể tổng quát bài toán lên thành
V
const
Bài toán 4. Có hai vị trí A, B nằm về cùng phía đối với bờ sông d như
hình vẽ. Khoảng cách từ A đến bờ sông là 30 m . Khoảng cách từ B đến bờ
sông là 45 m . Khoảng cách giữa A và B là 5 409 m . Một người đi từ A
đến bờ sông (phía A, B ) để lấy nước sau đó đi về vị trí B. Hỏi đoạn đường tối
thiểu người đó đi từ A đến B (có ghé qua bờ sông) là bao nhiêu mét?
Phân tích:
Gọi M là điểm nằm trên cạnh ON (vị trí để từ A đến để lấy nước từ bờ
sông). Khi đó ta cần xác định M sao cho AM MB min
14
Do đề bài đã cho độ dài AB, AO, BN nên ta có thể mô tả độ dài cạnh AM
theo OM. Tuy nhiên để biểu diễn độ dài cạnh BM theo độ dài OM thì ta cần
biểu diễn MN theo OM. Điều này dẫn đến việc cần phải tính độ dài ON.
ON d A; BN AB 2 BN HN
2
Đến đây ta nhận thấy biểu thức:
S AM MB OA2 OM 2 MN 2 NB 2
2
S x 2 302 100 x 452
với x OM và 0 x ON
f x
f x ?
Bài toán trở thành tìm xmin
0;ON
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BN .
Dựa vào hình vẽ ta có ON AH AB 2 BN HN
2
Gọi M là vị trí mà người đó đi từ A đến bờ sông.
Đặt OA x m , 0 x 100 . Khi đó đoạn đường tối thiểu mà người đó
phải đi là: S AM MB OA2 OM 2 MN 2 MB 2
S x 2 302
100 x
Đặt f x x 2 302
2
452
100 x
2
452 với 0 x 100.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x với 0 x 100.
Ta có: f ' x
x
x 2 302
100 x
12015 200 x x 2
x 40
f ' x 0
x 200 0;100
Bảng biến thiên:
x
0
0
+
f x f 40 125 m
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min S xmin
0;100
15
Bình luận: Ngoài cách giải trên ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác
để giải như sau:
AM MB MA ' MB BA ' min AM MB BA ' A ', M , B thẳng hàng.
Do đó BA ' A ' B '2 BB '2 100 2 752 125
Bài toán 5. Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B. Hai
thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông có chiều rộng r km . Người ta
cần xây một cây cầu bắc qua sông, biết rằng A cách con sông một khoảng bằng
a km , B cách con sông một khoảng bằng b km , 0 a b như hình vẽ. Hãy
xác định vị trí xây cầu EF (theo hình vẽ) để tổng khoảng cách giữa hai thành
phố là nhỏ nhất?
Phân tích:
Ta thấy rằng vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa 2 thành phố là nhỏ
nhất tương ứng với độ dài đường gấp khúc AFEB nhỏ nhất.
Lúc này do đề bài đã gợi ý các số liệu a, b và r nên ta có thể giả thiết
khoảng cách AF như hình vẽ với AF vuông góc với BF. Khi đó nếu ta đặt
CF x
, 0 x p ED p x
AF
p
Tổng khoảng cách lúc này là
S AF EF EB x 2 a 2 r
p x
2
b2
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số S x với 0 x p.
Lời giải
Đặt AF p và CF x ED p x, 0 x p .
Khoảng cách giữa hai thành phố sẽ là:
S AF EF EB x 2 a 2 r
16
p x
2
b2
Đặt S x x 2 a 2 r
p x
2
b 2 . Bài toán trở thành tìm GTNN
của hàm số S x với 0 x p.
Khi đó S ' x
x
2
x a
2
x p
b2 p x
2
2
S ' x 0 x b 2 p x p x x 2 a 2
2
2
x 2 b2 p x p x x 2 a 2 a 2 b 2 x 2 2a 2 px a 2 p 2 0 (*)
4 2
2 2
2
2
2 2 2
Xét ' a p a p a b a p b 0
a 2 p apb
ap
x a 2 b 2 a b 0; p
Do đó phương trình (*)
2
x a p apb ap 0; p
a 2 b2
a b
Mặt khác,
S '' x
a2
x
2
a
2
3
2
b2
b
2
p x
2
3
2
0, x 0; p
ap
Do đó min S x S
a b
Vậy để khoảng cách giữa hai thành phố ngắn nhất thì x
ap
a b
Bài tập tương tự 1: Hai thành phố A và B nằm ở hai phía khác nhau của
một con sông thẳng, lòng sông rộng 800m, thành phố A ở phía bên phải cách bờ
6km và cách thành phố B theo đường chim bay 16km; thành phố B cách bờ trái
1500m. Người ta muốn xây một cây cầu CD vuông góc với bờ sông sao cho
quãng đi bộ từ A đến B (độ dài đường gấp khúc ACDB) là ngắn nhất. Tính độ
dài quãng đường đó?
17
Lời giải
Sử dụng kết quả của bài toán vừa rồi ta xác định đại lượng quan trọng p
(chính là đoạn BE song song dòng sông, BE EA )
2
Khi đó, p AB 2 6 0,8 1,5
x
9 231
, đồng thời
10
ap
1,5 p 9 231
a b 1,5 6
50
min S x 2 a 2 r
p x
2
b 2 16,4
Bài tập tương tự 2: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A
đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách
từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới
đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ
A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.
Lời giải
Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x là hàm số tính tổng chi phí sử dụng.
Đặt BS x thì ta được: SA 4 x; CS x 2 1 . Theo đề bài, mỗi km dây
điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD, như vậy ta
có hàm số f x được xác định như sau:
f x 3000. 4 x 5000. x 2 1 với x 0;4
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được số tiền ít nhất cần sử dụng
và từ đó xác định được vị trí điểm S.
f ' x 3000 5000.
x
x2 1
f ' x 0 3000 5000.
x
x2 1
0 3000 x 2 1 5000 x 0
18
.DOC 
61 
24 
149 
