Tài liệu ứng dụng của tích phân trong hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG II =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN TÊN SÁNG KIẾN: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Tác giả sáng kiến: Lê Thị Phương Hoa * Mã sáng kiến: 08.52…. Tam Dương, Năm 2019 1 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong chương trình Giải tích lớp 12, phần kiến thức về tích phân là một nội dung khá rộng và phức tạp. Trong đó, phần ứng dụng của tích phân trong hình học là một nội dung tương đối khó, nội dung này đã xuất hiện trong đề thi THPTQG nhiều năm qua và tiếp tục được đưa vào đề thi THPTQG trong năm tới. Việc giải các bài toán ứng dụng của tích phân trong hình học thường gây khó khăn cho học sinh, nguyên nhân là do bài toán này thường đòi hỏi tính liên tưởng, cần biết vẽ hình và phân tích bài toán. Học sinh thường yếu trong hai khâu này. Để giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn đó, tôi xin chọn đề tài nghiên cứu “Ứng dụng hình học của tích phân”, đề tài của tôi đã phân dạng và phương pháp giải một hệ thống các bài tập liên quan đến ứng dụng của tích phân trong hình học như tính diện tích hình phẳng và tính thể tích khối tròn xoay, qua đó giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải bài tập tích phân và hiểu được mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn. Tôi rất hy vọng đề tài của tôi có thể giúp ích cho việc học tập của các em học sinh và là tài liệu tham khảo hữu ích cho các đồng nghiệp. 2. Tên sáng kiến: Ứng dụng của tích phân trong hình học 3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Lê Thị Phương Hoa - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Dương II Số điện thoại: 0982599057 E_mail: [email protected] 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/2/2018. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: - Về nội dung của sáng kiến: 2 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] , a) trục b hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được xác định: S =ò f ( x ) dx y y f ( x) y f ( x) O a c1 c2 c3 b x y 0 (H) x a x b b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f ( x) , y =g ( x) liên tục trên đoạn b [ a; b] và hai đường thẳng x =a , x =b được xác định: S =ò f ( x ) - g ( x ) dx a y (C ): y f (C1) (C ): y f (H) x a x b b O ac S 1 f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx a Chú ý: - Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) b b a a không đổi dấu thì: ò f ( x ) dx =òf ( x ) dx - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x =g ( y) , x =h ( y) và hai đường thẳng d y =c , y =d được xác định: S =ò g ( y ) - h ( y ) dy c 2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , (a £ x £ b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . (V) O a 3 b Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V =òS ( x ) dx a b) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox: y y f ( x) (C ): y f ( x) (Ox): y 0 a O b f ( x ) 2 dx Vx b x x ax b a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x =g ( y) , trục hoành và hai đường thẳng y =c , y =d quanh trục Oy: y (C ): x d g( y) d Vy y c y d c g ( y ) 2 dy c O x - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f ( x) , y =g ( x) và hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox: b V =pò f 2 ( x ) - g 2 (x ) dx a B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP I- BÀI TẬP TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Những điểm cần lưu ý: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn b bởi các đường y = f ( x ), y =g ( x ), x =a , x =b là S =ò f ( x ) - g ( x ) dx . a Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f ( x ) =g ( x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm thì S =ò( f ( x ) - g ( x )) dx . a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc .[ a; b] . giả sử a thì a S =ò( f ( x ) - g ( x )) dx +ò( f ( x ) - g ( x )) dx a a Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x ) - g ( x) trên đoạn [ a; b] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. 4 Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= lớn nhất của phương trình f ( x ) =g ( x) ( a £ a - Xem thêm -