Tài liệu ứng dụng đồ thị giải bài toán đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận

Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Hàm số là một chủ đề quan trọng luôn xuất hiện rất nhiều trong đề thi đại học trước đây nay là đề thi THPT Quốc gia, hay các đề thi học sinh giỏi. Việc dạy và học phần hàm số ở các trường THPT luôn được các thầy cô quan tâm đặc biệt. Ngoài phục vụ cho bộ môn toán nó còn làm nền tảng cho bộ môn Vật lí. Các chuyên đề về hàm số phục vụ thi tự luận trước đây xuất hiện rất nhiều và có thể nói đã đủ cho các thầy cô và học sinh tham khảo. Nhưng với chuyên đề phục vụ cho thi trắc nghiệm thì thật sự vẫn còn hạn chế do phần này mới là năm thứ 3 thi trắc nghiệm. Vì vậy tôi mong muốn làm tài liệu phục vụ cho công việc giảng dạy của mình hoặc có thể làm tài liệu cho giáo viên và học sinh tham khảo. Trong quá trình dạy học trắc nghiệm tôi thấy nếu muốn hỏi các câu hỏi để các em hiểu bản chất vấn đề, các câu hỏi vận dụng thì người ta thường đưa ra câu về hàm ẩn. So với năm 2017 điểm thi rất cao do ít dạng câu hỏi về hàm ẩn, do vậy năm 2018 bộ ra đề theo hướng các em biết vận dụng không lạm dụng được MTCT. Ở các phần như tích phân, hàm số… đã có nhiều chuyên đề hạn chế Casio rất hay. Với cách ra đề đó buộc các em phải tự rèn luyện phát triển năng lực bản thân mới làm được bài. Các nội dung môn Toán 12 đã được rất nhiều tác giả viết với mục đích giúp các em phải học bài nắm được bản chất vấn đề mới ra được đáp số, nhưng phần hàm số trước đây có rất ít tài liệu về vấn đề này, đây là một điều khiến tôi suy nghĩ chọn đề tài này. Bản thân được đi ra đề THPT của sở được tiếp xúc với nhiều cách hỏi phát triển năng lực người học, được đi tập huấn cách ra đề trắc nghiệm, tôi cũng muốn đưa ra ý tưởng hỏi bài tập trắc nghiệm phần hàm số để đưa ra thảo luận trao đổi. Với mong muốn để hoàn thiện hệ thống các phần ôn thi THPT Quốc gia của nhà trường và trường bạn để nâng cao chất lượng giáo dục của Tỉnh nhà. Với tất cả lý do trên tôi chọn chuyên đề “Ứng dụng đồ thị giải bài toán đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận” 2. Tên sáng kiến: Ứng dụng đồ thị giải bài toán đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận. 3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Vũ Văn Thiết. - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo- Tam Đảo - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0912667068. - E_mail: [email protected] 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư cho quá trình hoàn thiện sáng kiến và quá trình đưa sáng kiến vào vận dụng thực tiễn. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 1 Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo Sáng kiến áp dụng trong lĩnh vực môn Toán lớp 12 THPT, dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia và có nguyện vọng xét tuyển Đại học, Cao đẳng học sinh ôn thi học sinh giỏi. Các lớp chọn của các trường, học sinh say mê môn học. Từ một phần kiến thức học sinh có thể áp dụng suy nghĩ sang các phần khác của môn học theo cách tư duy tương tự. Qua sang kiến tôi mong muốn được chia sẻ, học tập, trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên và hiệu quả học tập của học sinh nói chung, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường, của Tỉnh nhà. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu áp dụng thử: Áp dụng thử: Tháng 9 năm 2018 + Vũ Văn Thiết trong lĩnh vực ôn thi học sinh giỏi 12 và ôn thi THPT Quốc gia Sau đó tôi áp dụng: Tháng 12 năm 2018 trong việc, ôn thi THPT Quốc gia. + Nguyễn Thị Hiên ôn thi THPT Quốc gia. + Nguyễn Thị Khánh Hòa ôn thi học sinh giỏi. + Hoàng Trung Hiếu ôn thi HSG, ôn thi THPT Quốc gia. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến 7.1. Về nội dung của sáng kiến 7.7.1 Sự đồng biến nghịch biến 7.7.1.1 Định nghĩa: Gọi K là khoảng và hàm số f  x Hàm số số  a;b   a;b , a;b  hoặc đoạn   hoặc nửa khoảng     xác định trên K. y  f  x y  f  x  a;b  x ,x  K : x1  x2  f  x1   f  x2  đồng biến(tăng) trên K nếu 1 2 Hàm x ,x  K : x1  x2  f  x1   f  x2  nghịch biến(giảm) trên K nếu : 1 2 . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K. 7.7.1.2 Các định lí:  Định lí 1: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  a;b  .  Nếu f  x   0 ,x   a;b  thì hàm số f  x đồng biến trên  a;b .  Nếu f  x   0 , x   a;b  thì hàm số f  x nghịch biến trên  a;b  .  Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K ) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  a;b . 2 Vũ Văn Thiếết  Hàm số THPT TamĐảo f  x đồng biến trên có hữu hạn nghiệm thuộc  Hàm số f  x  0 f  x  a;b   f  x  0 ,x   a;b  và phương trình f  x  0  a;b  . nghịch biến trên có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b   f  x  0 , x   a;b  và phương trình  a;b  . (Chú ý: Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”)  Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K )  Nếu hàm f  x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  a; b  và f  x liên tục  a;b  a;b f x trên nửa đoạn   thì   sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn   .  Nếu hàm f  x trên nửa đoạn .  Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  a;b f  x thì f  x  a;b  và f  x liên tục sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  a;b  và f  x  a;b liên tục  a;b   a;b  f x trên đoạn   thì   sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn   . 7.7.1.3 Đạo hàm của hàm hợp Hàm số hợp Cho hàm số y  f ( x) có tập xác định X , tập giá trị T và hàm số y  g (u ) có tập xác định Y chứa tập T . Khi đó với mỗi giá trị x  X ta có một giá trị xác định y cho bởi g . Khi đó y  g (u )  g ( f ( x )) và ta nói y là một hàm số h theo biến số x h( x)  g ( f ( x)) . Hàm số h( x) gọi là hàm số hợp của hàm số f và g theo thứ tự này. Đạo hàm của hàm số hợp u  f ( x)  Cho hàm số y  g ( f ( x)) . Đặt  y  f (u ) khi đó y x '  y 'u .u 'x 7.7.1.4 Bài tập 3 với Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo Câu hỏi mức độ nhận biết, thông hiểu y  f  x biết nếu đề cho hàm cho hàm y  f  x  . Khi gặp dạng này các ta lưu ý cho các em chỉ cần xem đồ thị nằm trên hay dưới trục hoành, nếu đề f  x   0 lưu ý đồ thị trên trục hoành thì dưới trục hoành thì f  x   0 Lập bảng biến thiên của hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x y  f ( x) , suy ra kết quả tương ứng. có đồ thị y  f  x  như hình vẽ ( đồ thị f  x  cắt Ox ở các điểm có hoành độ lần lượt là 1, 2,5,6 .Chọn khẳng định đúng ? A. f  x nghịch biến trên khoảng  1; 2  . B. f  x đồng biến trên khoảng  5;6  . C. f  x nghịch biến trên khoảng  1;5  D. f  x đồng biến trên khoảng  4;5 . Lờigiải  1; 2  và  5;6  đồ thị hàm số  ;1 ,  2;5  ,  6;   nằm phía trên trục hoành, trên các khoảng  đồ thị hàm số nằm phía Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta nhận thấy trên các khoảng dưới trục hoành. Do đó ta có: hàm số trên các khoảng y  f  x đồng biến trên các khoảng  1; 2  và  5;6  , nghịch biến   ;1 ,  2;5  ,  6;  . ChọnB. Ví dụ 2: Cho hàm số sau đây sai ? y = f ( x) . Đồ thị hàm số 4 y = f ¢( x) như hình bên. Khẳng định nào Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo A.Hàm số f ( x) đồng biến trên ( - 2;1) . B.Hàm số f ( x) đồng biến trên ( 1;+¥ ) C.Hàm số f ( x) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 . D.Hàm số f ( x) nghịch biến trên ( - ¥ ;- 2) . Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số y = f '( x) é- 2 < x < 1 ê ¾¾ ® êx > 1 f ( x) ë +) f '( x) > 0 khi Suy ra A đúng, B đúng. ta thấy: đồng biến trên các khoảng ( - ® f ( x) nghịch biến trên khoảng ( +) f '( x) < 0 khi x <- 2 ¾¾ Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C. 2;1) ¥ ;- 2) , ( 1;+¥ ) . . Suy ra D đúng. f x Ví dụ 3 Cho hàm số   có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hàm số đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.Hàm sốố B. Hàm sốố C. Hàm sốố D. Hàm sốố f  x nghịch biếốn trến khoảng   1;1 . f  x đốồng biếốn trến khoảng  1; 2  . f  x đốồng biếốn trến khoảng   2;1 . f  x nghịch biếốn trến khoảng  0; 2  . Lờigiải f '( x)  0  x    ;  2    0; 2  Từ đồ thị hàm y  f '( x) ta có f '( x)  0  x    2;0    2;   Ta có bảng biến thiên x f '( x )  - -2 0 0 0 + f ( x) 5 - 2 0  + f  x  là Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Ví dụ 4 Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau x  f '( x) + -2 0 - -1 0 + 2 0 - 4  0 + Hàm số y  2 f ( x)  2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. ( 1; 2) B. ( 2;  1) C. (2; 4) D. ( 4; 2) Lời giải Tính đạo hàm y '  2 f '( x) Hàm số y  2 f ( x)  2019 nghịch biến khi  2 f '( x)  0  f '( x )  0 Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy f '( x)  0  x    ;  2     1; 2    4;   Vậy ta chọnđáp án A Ví dụ 5 Cho hàm số y = f ( x) . y = f ¢( x) Đồ thị hàm số như hình bên dưới g x = f ( 3- 2x) Hàm số ( ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( 0;2) . B. ( 1;3) . C. ( - ¥ ;- 1) . D. ( - 1;+¥ ) . Lờigiải Cách1.Dựa vào đồ thị, suy ra Xét é- 2 < x < 2 f ¢( x) > 0 Û ê . êx > 5 ë Ta é- 2 < 3- 2x < 2 g¢( x) < 0 Û f ¢( 3- 2x) > 0 Û ê Û ê3- 2x > 5 ë é1 5 ê 0 éìï x > 0 êï êïí êíï f ¢ x2 > 0 êï - 1< x2 < 1 Ú x2 > 4 êîï ( ) theo do thi f '( x) êïî Û g¢( x) > 0 Û ê ¬¾ ¾ ¾ ¾® ê êìï x < 0 êïìï x < 0 êï êí 2 êíï ¢ 2 êïîï x <- 1 Ú 1< x2 < 4 êïî f ( x ) < 0 ë ë é0 < x < 1 Ú x > 2 Û ê . ê- 2 < x <- 1 ë Chọn B. éx = 0 ê êx2 = - 1 éx = 0 theo do thi f '( x) ê g¢( x) = 0 Û ê ¬¾ ¾ ¾ ¾® Û ê2 êf ¢ x2 = 0 ( ) êx = 1 ê ë ê2 ê ëx = 4 Cách 2. Ta có Bảng biến thiên éx = 0 ê êx = ±1. ê êx = ±2 ë Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B. 8 Vũ Văn Thiếết Chú ý:Dấu của +) +) THPT TamĐảo g¢( x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+¥ ) x Î ( 2;+¥ ) ® x > 0. x Î ( 2;+¥ ) ® x2 > 4 Từ ( 1) và ( 2) , suy ra ( 1) . Với x2 > 4 ¾¾ ¾ ¾ ¾® f ¢( x2 ) > 0. theo do thi f '( x) g¢( x) = 2xf ( x2 ) > 0 Nhận thấy các nghiệm của Ví dụ 8: Cho hàm số g¢( x) ( 2) trên khoảng ( 2;+¥ ) nên g¢( x) mang dấu +. là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ bên dướivà f( - 2) = ( 2) = 0 2 Hàm số ù g( x) = é ëf ( x) û æ 3÷ ö ç - 1; ÷ . ç ÷ ç A. è 2ø nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B. ( - Dựa vào đồ thị hàm số 2;- 1) . y = f ¢( x) , C. ( - 1;1) . Lời giải suy ra bảng biến thiên của hàm số f ( x) như sau Từ bảng biến thiên suy ra f ( x) £ 0, " x Î Ta có Xét D. ( 1;2) . ¡. g¢( x) = 2 f ¢( x) . f ( x) . ïì f ¢( x) > 0 g¢( x) < 0 Û f ¢( x) . f ( x) < 0 Û ïí Û ïï f ( x) < 0 î éx <- 2 ê . ê ë1< x < 2 Suy ra hàm số g( x) nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;- 2) , ( 1;2) . Ví dụ 9 .Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số f( - 2) = ( 2) = 0. 9 Chọn D. y = f ¢( x) như hìnhbên dưới và Vũ Văn Thiếết Hàm số THPT TamĐảo ù2 g( x) = é ëf ( 3- x) û A. ( - 2;- 1) . nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B. ( 1;2) . Dựa vào đồ thị hàm số C. ( 2;5) . Lời giải y = f ¢( x) , suy ra bảng biến thiên của hàm số f ( x) như sau Từ bảng biến thiên suy ra f ( x) £ 0, " x Î Ta có Xét ¡. g¢( x) =- 2 f ¢( 3- x) . f ( 3- x) . ïì f ¢( 3- x) < 0 g¢( x) < 0 Û f ¢( 3- x) . f ( 3- x) > 0 Û ïí Û ïï f ( 3- x) < 0 î Suy ra hàm số g( x) nghịch biến trên các khoảng ( Ví dụ 10.Cho hàm số Hàm số A. ( g( x) = f ( ) ) - ¥ ;- 1- 2 2 . g¢( x) = y = f ( x) . x2 + 2x + 2 B. ( - Dựa vào đồ thị, suy ra Ta có D. ( 5;+¥ ) . x + 2x + 2 ìïï 2 < x < 5 . í îïï x < 1 Chọn C. như hình bên dưới nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? C. ( Lời giải ) 1;2 2 - 1 . ¥ ;1) . ( ¥ ;1) , ( 2;5) . y = f ¢( x) éx =- 1 ê f ¢( x) = 0 Û êx = 1 . ê êx = 3 ë x +1 2 Đồ thị hàm số é- 2 < 3- x < 1 ê Û ê ë3- x > 2 ) f ¢ x2 + 2x + 2 ; 10 D. ( ) 2 2 - 1;+¥ . Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo éx +1= 0 éx +1= 0 ê ê ê 2 theo do thi f '( x) g¢( x) = 0 Û ê ¬¾ ¾ ¾ ¾® ê x + 2x + 2 = 1 Û 2 êf ¢ x + 2x + 2 = 0 ê ë ê x2 + 2x + 2 = 3 ë éx = - 1 ( nghiem boi ba) ê ê . êx = - 1- 2 2 ê êx = - 1+ 2 2 ê ë ( ) Lập bảng biến thiên và ta chọn A. Chú ý:Cách xét dấu đó g¢( 0) = 1 2 ( ) g¢( x) f ¢ 2 <0 như sau: Ví dụ xét trên khoảng vì dựa vào đồ thị f ¢( x) ta thấy tại ( - 1;- 1+ 2 2) x = 2 Î ( 1;3) ta chọn thì x = 0. ( ) f ¢ 2 < 0. Khi Các ¢ nghiệm của phương trình g ( x) = 0 là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu. Ví dụ 11. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f ( x) trên  và đồ thị của hàm số 2 y '  f ( x ) như hình vẽ. Hàm số g  x   f ( x  2 x  1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.    ;1 . B.  1;   . C.  0; 2  . D.   1;0  . Lời giải Bước 1.Từ đồ thị hàm số f '( x ) ta thấy f '( x) 0  x 2 và f '( x)  0  x  2 Bước 2.Ta có: g '  x  (2 x  2). f '( x 2  2 x  1) . 2 2 2 Bước 3.Tìm x sao cho f '( x  2 x  1) 0  x  2 x  1 2  x  2 x  3 0   1  x 3 Bước 4. Lập bảng biến thiên x  -1 2x  2 + 2 f '( x  2 x  1) 3  1 - 0 0 +  0 + 0 - 0 + + 0 g '( x) 0 g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D.   1;0  . 11 + Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo Cách 2.  x  1 f  x  0    x 2 .(Trong đó x  1 là nghiệm kép) Bước 1.Dựa vào đồ thị có Chọn f '( x)  x  1 2  x  2 Bước 2. Tinh đạo hàm g '  x  (2 x  2). f '( x 2  2 x  1) (2 x  2)  x 2  2 x  1  1  2 x  2   x 2  2 x  Cho 2 x 2 2 x 2  2x  1  2   2 x  3  x 1  x 0  g '( x ) 0   x 2   x  1  x 3 (Trong đó có x 0; x 2 là nghiệm kép) Bước 3. Lập bảng biến thiên x  g '( x) - -1 0 + 0 0 1 0 + - 2 0 - 3 0  + g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. Ví dụ 11.Cho hàm số như hình bên dưới y = f ( x)   1;0  . có đạo hàm liên tục trên g x = f ( x) - x, Đặt ( ) khẳng định nào sau đây là đúng ? 12 ¡. Đồ thị hàm số y = f ¢( x) Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo g 2 < g( - 1) < g( 1) . A. ( ) g - 1 < g( 1) < g( 2) . B. ( ) g - 1 > g( 1) > g( 2) . C. ( ) Ta có D. ( ) Lời giải g 1 < g( - 1) < g( 2) . g¢( x) = f ¢( x) - 1¾¾ ® g¢( x) = 0 Û f ¢( x) = 1. Số nghiệm của phương trình y = f ¢( x) g¢( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới). Dựa vào đồ thị, suy ra Bảng biến thiên éx = - 1 ê ¢ g ( x) = 0 Û êx = 1 . ê êx = 2 ë Dựa vào bảng biến thiên Chú ý:Dấu của g¢( x) ¾¾ ® g( 2) < g( - 1) < g( 1) . Chọn C. được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+¥ ) , ta thấy đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng Ví dụ 12.Cho hàm số hình bên dưới y = f ( x) y =1 nên g¢( x) = f ¢( x) - 1 có đạo hàm liên tục trên 13 mang dấu ¡ . Đồ +. thị hàm số y = f ¢( x) như Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo Hàm số g( x) = 2 f ( x) A. ( Ta có x2 ¥ ;- 2) . đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? B. ( - 2;2) . C. ( 2;4) . Lời giải D. ( 2;+¥ ) . g¢( x) = 2 f ¢( x) - 2x ¾¾ ® g¢( x) = 0 Û f ¢( x) = x. Số nghiệm của phương trình g ( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới). ¢ Dựa vào đồ thị, suy ra éx =- 2 ê g¢( x) = 0 Û êx = 2 . ê êx = 4 ë Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với đường thẳng y= x nên g¢( x) > 0 ) ¾¾ ® x Î ( - 2;2) thì đồ thị hàm số hàm số g( x) đồng biến trên ( - Ví dụ 13: (ĐỀCHÍNHTHỨC2018–mã 103) Cho hai hàm số hàm số y  f  x  và y = f ¢( x) y  g  x  hơn là đồ thị của hàm số f ¢( x) 2;2) . y  f  x nằm phía trên Chọn B. , y g  x  . Hai có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm y  g  x  . 14 Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo y y  f  x  10 8 5 4 O 3 8 1011 x y g  x  3  h  x  f  x  4  g  2x   2  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  Hàm số  31  9   31   25   5;   ; 3  ;    6;  . A.  5  . B.  4  . C.  5 D.  4  . Lờigiải Cách1: Đặt X  x  4 , Y 2 x  3 2 . Ta có h x   f  X   2 g  Y  . 3  h  x  f  x  4  g  2 x   2  đồng biến thì h x  0  Để hàm số 3  x  4 8    3 3 2 x  2 8  f  X  2 g  Y  X , Y   3;8 với .   1 x 4  1  x 4    9  9   9 19  9 19 19   9 19 2 x   x   x   ; 3   ;    2 2 4 4 4 4 .Vì  4   4 4  nên chọn B. y  f  x  A a;10  a   8;10  Cách2: Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số tại  , .  f  x  4   10, khi 3  x  4  a     3 3  g  2 x  2  5, khi 0 2 x  2  11  Khi đó ta có    f  x  4   10, khi  1  x  4    3 3 25  g  2 x  2  5, khi 4  x  4    . 3  3 h x   f  x  4   2 g  2 x    0 x  4 2  Do đó khi 4 . 3  h x   f  x  4   2 g  2 x   2.  Cách3: Kiểu đánh giá khác: Ta có 15 Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo 9  25 x   ;3   x  4  7 f  x  4   f  3 10  4  , ta có 4 Dựa vào đồ thị, , ; 3  2x  3  3 9 g  2 x    f  8  5  2 2 2 , do đó  . 3  9  h x   f  x  4   2 g  2 x    0, x   ;3  2  4 . Suy ra 9   ;3  Do đó hàm số đồng biến trên  4  . Ví dụ 14. Xét hàm số (I). Cho hàm số g  x  f  x  g   3  g   1 (II). Hàm số g  x x  1;0 (IV). x  3;1 có đồ thị hàm y  f  x  đồng biến trên   3;1 . . max g  x  max  g ( 3), g (1) Số mệnh đề đúng là : A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 4 . Lờigiải - Ta có : như hình vẽ. 1 3 3 2 3 x  x  x 1 3 4 2 . Trong 4 mệnh đề sau đây: . min g  x   g   1 (III). y  f  x g  x   f  x   x 2  3 3 x   f  x   2 2 3  2 3 x  x  2 2.  16 Vũ Văn Thiếết THPT TamĐảo - Dựa vào đồ thị ta có: - Vẽ parabol y  f  x   f ( 1)  2    f (1) 1  f ( 3) 3   P  : y x 2   g ( 1) 0   g (1) 0  g ( 3) 0  3 3 x 2 2 trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số (như hình vẽ). - Dựa vào đồ thị ta thấy: + Trên khoảng   3;  1 3 3 f  x   x 2  x  2 2 nên g  x   0 , x    3;  1 . thì  1;1 + Trên khoảng  thì f  x   x 2  Do đó bảng biến thiên của hàm số 3 3 x 2 2 nên g  x   0 , x    1;1 . y g  x  trên đoạn - Từ BBT suy ra: + g   3  g   1 : mệnh đề (I) sai. 17   3;1 như sau: Vũ Văn Thiếết + Hàm số g  x THPT TamĐảo nghịch biến trên min g  x   g   1 + x  1;0 + x  3;1   3;  1 và đồng biến trên   1;1 : mệnh đề (II) sai. : mệnh đề (III) đúng. max g  x  max  g ( 3), g (1) : mệnh đề (IV) đúng. Vậy số mệnh đề đúng là 2 . ChọnA Bài tập tương tự Bài 1. Cho hàm số y  f  x . Biết hàm số y  f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.   2;1 . Bài 2. Cho hàm số Hàm số B. y  f  x y  f  2 x  3x 2  1 1  ;  A.  3 2  .   ;  2  . . Biết hàm số y  f ' x C.  g  x   f  x  1 . D.  0; 4  . có đồ thị như hình vẽ bên. đồng biến trên khoảng nào dưới đây. 1 1    ;     ;  3 .  .C.  B.  2 Bài 3. Cho hàm số  ;  3 y  f  x . Hàm số y  f  x  1    2;  2. D.  có đồ thị như hình bên. Hàm số 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 18 Vũ Văn Thiếết A.  1;   THPT TamĐảo B.  . y  f  x Bài 4.Cho hàm số số y  f  x  1 A.  0;1 1; 2  . C.  0;1 . Hàm số D.  . y  f  x   2;  1 . có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm 2 đồng biến trên khoảng . B. Bài 5.Cho hàm số y f  x A.  3 3    ;  2  .C.   1;1 . y  f  x D. y  f ' x . Hàm số  1; 2  . có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng  .B.  2;  . 4;1 Bài 6.Cho hàm số y  f  x C.   1;1 D.  . . Đồ thị hàm số y  f  x  19  ;  2  . có đồ thị như hình bên. Vũ Văn Thiếết Hàm số A.  0;1 THPT TamĐảo y  f  x 2  1 đồng biến trên khoảng B.  . 1; 2  .C.  1;   D.  .  2;  1 . Bài 7.Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y = f '( x) như hình vẽ dưới đây. y - 2 3 1 O 4 x Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số y e f ( 2 x 1)  2   ;1  2017 đồng biến trên đoạn  3  và nghịch biến trên đoạn f (2 x 1)  1   ;1  2018 đồng biến trên đoạn  3  và nghịch biến trên đoạn  1; 4 . B. Hàm số y e  1; 9 . f ( 2 x 1)  2000 đồng biến trên đoạn   1;0  và nghịch biến trên đoạn  0; 2  . C. Hàm số y e D. Hàm số y e f (2 x 1)  5   ;0  2001 đồng biến trên đoạn  6  và nghịch biến trên đoạn  3  0; 2  . Bài 8. Cho hàm số bên dưới y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên 20 ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình