Tài liệu Xây dựng công thức tính đường đồng quy và các công thức khác trong tam giác

X©y dùng c«ng thøc tÝnh ®êng ®ång quy, c«ng thøc hª r«ng, ®Þnh lý hµm sè sin, hµm sè cosin... trong tam gi¸c ë ch¬ng tr×nh THCS viÖc ¸p dông c«ng thøc c¸c ®êng ®ång quy, c«ng thøc Hªr«ng, ®Þnh lý Hµm sè lîng gi¸c ... trong tam gi¸c còng kh¸ phæ biÕn, c¸c c«ng thøc ®ã ®îc chøng minh vµ sö dông nhiÒu ë ch¬ng tr×nh THPT. Sau ®©y t«i xin giíi thiÖu c¸ch chøng minh c¸c c«ng thøc ®ã b»ng kiÕn thøc THCS. Cho tam gi¸c ABC. BiÕt c¸c c¹nh AB = c, AC = b, BC = a, ®êng cao AH = h , ®êng ph©n gi¸c AD = la , ®êng trung tuyÕn AM = ma , p lµ nöa chu vi tam gi¸c A b c h a -x x B C H 1) C«ng thøc tÝnh ®êng cao: TH: Gãc A nhän: §Æt BH = x, khi ®ã CH = a - x Theo ®Þnh lý Pitago ta cã: c 2  x 2  b 2  (a  x ) 2 (  h 2 )  c 2  x 2  b 2  a 2  x 2  2ax c2  a2  b2  x 2a Khi ®ã: h2  c 2  x 2  h2  c 2  ( c 2  a 2  b2 2 ) (*) 2a c2  a 2  b2 2 ) 2a Nh vËy ta cã c«ng thøc tÝnh ®êng cao øng víi ®Ønh A cña tam gi¸c theo 3 c¹nh cña nã:  h  c2  ( c 2  a 2  b2 2 (1). T¬ng tù ta còng cã c«ng thøc tÝnh ®êng cao t¬ng øng víi ) 2a ®Ønh B vµ ®Ønh C . TH: Gãc A tï ta còng cã kÕt qu¶ t¬ng tù. ha  c 2  ( 2) C«ng thøc tÝnh ®êng trung tuyÕn: TH: H n»m gi÷a B vµ M. A c a/2-x B b h a/2+x x H M C §Æt: HM = x, khi ®ã: BH = a/2 – x, HC = a/2 + x. Theo ®Þnh lÝ Pitago ta cã: a a c 2  (  x ) 2  b 2  (  x ) 2 ( h 2 ) 2 2 2 2 b c a b2  c 2 2  x  h2  c2  (  ) 2a 2 2a 2 2 2 2 2 2 2 Ta cã: m 2 a  h 2  x 2  c 2  ( a  b  c ) 2  ( b  c ) 2  b  c  a 2 2a 2a 2 4 Nh vËy ta cã c«ng thøc tÝnh ®êng ph©n gi¸c øng víi ®Ønh A cña tam gi¸c theo 3 c¹nh cña nã: b 2  c 2 a 2 (2). T¬ng tù ta còng cã c«ng thøc tÝnh ®êng ph©n gi¸c t¬ng øng víi  2 4 ®Ønh B vµ ®Ønh C . C¸c trêng hîp cßn l¹i chøng minh t¬ng tù. 3) C«ng thøc tÝnh ®êng ph©n gi¸ctrong tam gi¸c: ma  A B D C E Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC kh«ng chøa ®iÓm A vÏ tia BE (E thuéc tia AD) sao cho  CBE   BAD   CAD . Ta cã: ADC : BDE  BD.DC  AD.DE ABE : ADC  AB. AC  AD. AE Suy ra: BD AB AB.BC AC.BC   BD  ; CD  AD 2  AB. AC  BD.DC . MÆt kh¸c: CD AC AB  AC AB  AC a2 a2 )  la  b.c(1  ) (b  c) 2 (b  c ) 2 Nh vËy ta còng cã c«ng thøc tÝnh ®êng ph©n gi¸c øng víi ®Ønh A cña tam gi¸c theo 3 Do ®ã: AD 2  b.c (1  c¹nh cña nã: la  b.c(1  a2 ) (3). T¬ng tù ta còng t×m ®îc c¸c trêng hîp cßn l¹i. (b  c )2 §Æc biÖt víi tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A : E A B D C KÎ BE //AD ta cã : tam gi¸c ABE vu«ng c©n nªn AE = AB, EB = Theo ®Þnh lý TaLÐt ta cã: AD CA AD CA CA     EB CE 2 AB AE  AC AB  AC  AD  2 .AB 2 AB.CA AB  AC VËy: la  2.bc (4) bc 4) X©y dùng c«ng thøc Hªr«ng tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c: 2 2 2 Tõ (*) ta cã: h 2  c 2  ( c  a  b )2 2a 2 2 2 2 2 2 = 2ac  a  b  c . 2ac  a  b  c 2a 2a 2 2 2 2 = (a  c)  b . b  (a  c) = 2a 2a ( a  b  c)( a  c  b)(a  b  c )(b  c  a ) 4a 2 4 p ( p  a )( p  b)( p  c ) 2 =  h = . p ( p  a )( p  b)( p  c ) 2 a a 1  h.a = p ( p  a )( p  b)( p  c ) 2  S = p ( p  a )( p  b)( p  c ) ®©y chÝnh lµ c«ng thøc Hªr«ng. 5) C«ng thøc ®Þnh lý Hµm sè sin: Trêng hîp tam gi¸c nhän (h×nh bªn): Víi AB = c; AC = b; BC = a A B H C AH AH ; SinC  AB AC SinB AC SinB b     SinC AB SinC c b c   (1) SinB SinC b a T¬ng tù, ta cã:  (2) SinB SinA a b c Tõ (1) vµ (2) ta cã: ®©y lµ ®Þnh lý Hµm sè sin.   SinA SinB SinC SinB  6) C«ng thøc ®Þnh lý Hµm sè cosin Tõ c«ng thøc tÝnh ®êng cao ta cã: 2ax  c 2  a 2  b 2  b 2  c 2  a 2  2ax  c 2  a 2  2ac.cos B  b 2  c 2  a 2  2ac.cos B VËy: b 2  c 2  a 2  2ac.cos B T¬ng tù: a 2  c 2  b 2  2bc.cos A c 2  a 2  b 2  2ba.cos C §ã chÝnh lµ c«nbg thøc §Þnh lý hµm sè c«sin Nh vËy chØ cÇn biÕt 3 c¹nh ta sÎ tÝnh ®îc ®é dµi c¸c ®êng ®ång quy, diÖn tÝch, sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c. t¸c gi¶: phan ®×nh ¸nh trêng thcs th¹ch kim – léc hµ - hµ tÜnh ®iÖn tho¹i: 0986381089 Email: [email protected]