Mët sè b i to¡n trong cì håc c¡c mæi tr÷íng li¶n töc nh÷ c¡c b i
to¡n nghi¶n cùu v· truy·n nhi»t, c¡c b i to¡n v· lþ thuy¸t dao ëng qua
mæ h¼nh hâa ·u ÷a v· c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh elliptic c§p
cao v iºn h¼nh l c§p bèn v c§p s¡u. Trong tr÷íng hñp khi mæi tr÷íng
l thu¦n nh§t v i·u ki»n bi¶n b¼nh th÷íng th¼ vi»c t¼m nghi»m cõa b i
to¡n câ thº ÷ñc thüc hi»n thæng qua c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch nh÷ c¡c
ph÷ìng ph¡p t¡ch bi¸n, ph÷ìng ph¡p h m Green ho°c c¡c ph÷ìng ph¡p
t¼m nghi»m x§p x¿ nh÷ c¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n hay ph÷ìng ph¡p ph¦n
tû húu h¤n. Tuy nhi¶n khi v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh l h m phi tuy¸n
èi vîi h m v c¡c ¤o h m cõa h m c¦n t¼m ho°c h» i·u ki»n bi¶n cõa
b i to¡n l phùc t¤p th¼ c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n g°p khâ kh«n. Khi â º
gi£i quy¸t, ng÷íi ta th÷íng sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p tr¶n cì sð cõa
ph÷ìng tr¼nh to¡n tû k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p sai ph¥n º t¼m nghi»m
x§p x¿ thæng qua c¡c thuªt to¡n sè.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------
PHAN QUANG SƠN
BÀI TOÁN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Vũ Vinh Quang
THÁI NGUYÊN - 2020
Möc löc
Líi c£m ìn
3
Líi cam oan
4
Mð ¦u
5
1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n
8
1.1
1.2
Mët sè khæng gian h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.1
Khæng gian m¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.2
Khæng gian tuy¸n tuy¸n t½nh ành chu©n . . . . . . .
9
1.1.3
Khæng gian t½ch væ h÷îng . . . . . . . . . . . . . . .
10
Lþ thuy¸t v· ph÷ìng ph¡p sai ph¥n
. . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.1
Cæng thùc Taylor
1.2.2
C¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ¤o h m vîi ë ch½nh
x¡c c§p hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3
C¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ¤o h m vîi ë ch½nh
x¡c c§p bèn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n tam i·u háa phi tuy¸n
2.1
2.2
12
14
20
B i to¡n bi¶n tam i·u háa vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet . . .
20
2.1.1
B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n thu¦n nh§t . . . . .
21
2.1.2
B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n khæng thu¦n nh§t
.
28
B i to¡n bi¶n tam i·u háa vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp . . .
31
1
3 Mët sè k¸t qu£ t½nh to¡n thû nghi»m
35
3.1
B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n thu¦n nh§t . . . . . . . . .
35
3.2
B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n khæng thu¦n nh§t
. . . . .
37
3.3
B i to¡n bi¶n vîi i·u ki»n bi¶n hén hñp
. . . . . . . . . .
39
K¸t luªn
41
Appendices
45
2
Líi c£m ìn
Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc
Th¡i nguy¶n v ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Vô Vinh Quang.
Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc tîi ng÷íi h÷îng
d¨n khoa håc cõa m¼nh, ng÷íi ¢ °t v§n · nghi¶n cùu, d nh nhi·u thíi
gian h÷îng d¨n v tªn t¼nh gi£i ¡p nhúng thc mc cõa em trong suèt
qu¡ tr¼nh l m luªn v«n.
Em công xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc
Khoa håc - ¤i håc Th¡i nguy¶n, Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n-Tin, còng
c¡c gi£ng vi¶n ¢ tham gia gi£ng d¤y, ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º em
håc tªp v nghi¶n cùu. çng thíi, em công xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº
lîp cao håc To¡n (khâa 2018-2020), c£m ìn gia ¼nh b¤n b± ¢ ëng vi¶n
v gióp ï em r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nh håc tªp.
3
Líi cam oan
Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y
gi¡o TS Vô Vinh Quang còng vîi sü cè gng cõa b£n th¥n. Trong qu¡
tr¼nh nghi¶n cùu luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa nhúng th nh qu£ nghi¶n cùu cõa
c¡c nh khoa håc, c¡c nh nghi¶n cùu vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn.
Tæi xin cam oan nhúng k¸t qu£ trong luªn v«n n y l k¸t qu£ nghi¶n
cùu cõa b£n th¥n, khæng tròng vîi luªn v«n cõa t¡c gi£ kh¡c.
Th¡i Nguy¶n, ng y th¡ng n«m 2020
T¡c gi£
4
Mð ¦u
Mët sè b i to¡n trong cì håc c¡c mæi tr÷íng li¶n töc nh÷ c¡c b i
to¡n nghi¶n cùu v· truy·n nhi»t, c¡c b i to¡n v· lþ thuy¸t dao ëng qua
mæ h¼nh hâa ·u ÷a v· c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh elliptic c§p
cao v iºn h¼nh l c§p bèn v c§p s¡u. Trong tr÷íng hñp khi mæi tr÷íng
l thu¦n nh§t v i·u ki»n bi¶n b¼nh th÷íng th¼ vi»c t¼m nghi»m cõa b i
to¡n câ thº ÷ñc thüc hi»n thæng qua c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch nh÷ c¡c
ph÷ìng ph¡p t¡ch bi¸n, ph÷ìng ph¡p h m Green ho°c c¡c ph÷ìng ph¡p
t¼m nghi»m x§p x¿ nh÷ c¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n hay ph÷ìng ph¡p ph¦n
tû húu h¤n. Tuy nhi¶n khi v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh l h m phi tuy¸n
èi vîi h m v c¡c ¤o h m cõa h m c¦n t¼m ho°c h» i·u ki»n bi¶n cõa
b i to¡n l phùc t¤p th¼ c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n g°p khâ kh«n. Khi â º
gi£i quy¸t, ng÷íi ta th÷íng sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p tr¶n cì sð cõa
ph÷ìng tr¼nh to¡n tû k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p sai ph¥n º t¼m nghi»m
x§p x¿ thæng qua c¡c thuªt to¡n sè.
Trong c¡c ph÷ìng tr¼nh c§p cao th¼ ph÷ìng tr¼nh thæng döng nh§t
l ph÷ìng tr¼nh song i·u háa (mët lo¤i ph÷ìng tr¼nh c§p bèn), ¥y l
mæ h¼nh cì b£n trong lþ thuy¸t n hçi ph¯ng, lþ thuy¸t b£n mäng, lþ
thuy¸t dáng ch£y v g¦n ¥y ph÷ìng tr¼nh c§p bèn cán xu§t hi»n trong
ph¥n t½ch £nh v thi¸t k¸ h¼nh håc. Lo¤i ph÷ìng tr¼nh n y ¢ ÷ñc nghi¶n
cùu nhi·u kº c£ v· lþ thuy¸t v c¡c thuªt to¡n t½nh to¡n b¬ng sè. G¦n ¥y,
do nhu c¦u ph¡t triºn cõa khoa håc v cæng ngh» ng÷íi ta bt ¦u quan
t¥m ¸n ph÷ìng tr¼nh c§p s¡u m ti¶u biºu l ph÷ìng tr¼nh tam i·u háa
5
(triharmonic equation) d¤ng
∆3 u = f (x). Trong â, ∆ l to¡n tû Laplace
trong khæng gian 2 ho°c 3 chi·u. Ph÷ìng tr¼nh n y l mæ h¼nh cõa pha
tinh thº, hay l mæ h¼nh hâa dáng ch£y quay chªm cõa ch§t läng nhît cao
v l cæng cö quan trång trong mæ h¼nh hâa h¼nh håc.
Do ph÷ìng tr¼nh tam i·u háa câ nhi·u ùng döng trong thüc t¸
n¶n ng÷íi ta quan t¥m nhi·u ¸n ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n bi¶n cho
ph÷ìng tr¼nh n y vîi gi£ thi¸t r¬ng b i to¡n câ nghi»m duy nh§t v õ
trìn. Câ thº kº ¸n âng gâp cõa Nudi v Neilan, ð â ph÷ìng ph¡p ph¦n
tû húu h¤n ¢ ÷ñc sû döng. C¡c nghi¶n cùu v· vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh tam
i·u háa tuy¸n t½nh ho°c phi tuy¸n vîi i·u ki»n bi¶n
∆2 u = g3
u = g1 , ∆u = g2 ,
b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n thuëc v· Mohanty v c¡c cëng sü.
Trong c¡c cæng tr¼nh n y, c¡c t¡c gi£ ¢ x¥y düng c¡c l÷ñc ç sai ph¥n
vîi ë óng c§p hai ho°c c§p bèn º t¼m nghi»m nh÷ng vi»c gi£i c¡c h»
ph÷ìng tr¼nh ríi r¤c thu ÷ñc khæng ÷ñc quan t¥m.
T¤i Vi»t Nam, ph÷ìng tr¼nh c§p cao ¢ ÷ñc t¡c gi£ °ng Q. còng
c¡c cëng sü quan t¥m tø hìn hai chöc n«m nay. N«m 2006, trong [1] t¡c
gi£ ¢ · xu§t mët c¡ch ti¸p cªn ho n to n kh¡c vîi c¡c t¡c gi£ tr¶n khi
nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh song i·u háa tuy¸n t½nh vîi i·u ki»n bi¶n
Neumann. Theo c¡ch ti¸p cªn n y t¡c gi£ ¢ ÷a b i to¡n bi¶n c¦n nghi¶n
cùu v· mët ph÷ìng tr¼nh to¡n tû v sau â chùng minh to¡n tû n y l
mët ¡nh x¤ co, tø â thu ÷ñc k¸t qu£ v· sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa
b i to¡n bi¶n v t½nh hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n công ÷ñc
thi¸t lªp. Ti¸p töc ph¡t triºn ph÷ìng ph¡p n y, t¡c gi£ v c¡c cëng sü ¢
nghi¶n cùu ti¸p v· c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy¸n c§p bèn cho ph÷ìng tr¼nh
¤o h m th÷íng v ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v ¢ thu ÷ñc nhi·u k¸t
qu£ v· ành t½nh công nh÷ ành l÷ñng [2,3,4,5]. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc c¡c
nh nghi¶n cùu ¡nh gi¡ cao, ÷ñc tr½ch d¨n nhi·u v sû döng khi nghi¶n
cùu v· c¡c lo¤i b i to¡n bi¶n phi tuy¸n.
Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n s³ tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n v·
6
cì sð c¡c ph÷ìng ph¡p l°p trong khæng gian metric, c¡c l÷ñc ç sai ph¥n
vîi ë ch½nh x¡c bªc cao t¼m nghi»m x§p x¿ cõa c¡c h» ph÷ìng tr¼nh sai
ph¥n, tø â ÷a ra mët sè k¸t qu£ trong c¡c nghi¶n cùu v· ành t½nh công
nh÷ líi gi£i sè cho b i to¡n bi¶n tam i·u háa. Luªn v«n dü ki¸n câ bè
cöc nh÷ sau.
Ch÷ìng 1 : ÷a ra mët sè ki¸n thùc cì b£n v· c¡c khæng gian h m nh÷
khæng gian Metric, khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n nguy¶n lþ ¡nh
x¤ co, i·u ki»n Lipchitz. Cì sð ph÷ìng ph¡p sè gi£i b i to¡n elliptic
c§p hai nh÷ kh¡i ni»m v· khæng gian l÷îi v h m l÷îi, thuªt to¡n thu
gån khèi l÷ñng t½nh to¡n, giîi thi»u th÷ vi»n RC2009 v ph÷ìng ph¡p
sai ph¥n vîi ë ch½nh x¡c bªc cao.
Ch÷ìng 2 : Tr¼nh b y mæ h¼nh b i to¡n tam i·u háa phi tuy¸n v
ph÷ìng ph¡p gi£i sè bao gçm: mæ h¼nh têng qu¡t cõa b i to¡n, sü tçn
t¤i duy nh§t nghi»m, ph÷ìng ph¡p l°p èi vîi b i to¡n thu¦n nh§t,
ph÷ìng ph¡p l°p mùc ë li¶n töc, sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p, ph÷ìng
ph¡p l°p ð mùc ë ríi r¤c tø â ÷a ra ph÷ìng ph¡p l°p èi vîi b i
to¡n têng qu¡t vîi i·u ki»n bi¶n khæng tu¦n nh§t.
Ch÷ìng 3 : ÷a ra mët sè k¸t qu£ thüc nghi»m tr¶n M¡y t½nh i»n tû
thæng qua c¡c v½ dö cö thº.
C¡c k¸t qu£ thüc nghi»m trong luªn v«n ÷ñc thüc hi»n b¬ng c¡c ch÷ìng
tr¼nh vi¸t tr¶n n·n ngæn ngú Matlab ch¤y tr¶n m¡y t½nh PC.
7
Ch֓ng 1
Mët sè ki¸n thùc cì b£n
Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v·
c¡c khæng gian h m, lþ thuy¸t v· sai ph¥n v °c bi»t l c¡c k¸t qu£ x¥y
düng th÷ vi»n gi£i sè b i to¡n bi¶n elliptic c§p hai tr¶n mi·n chú nhªt.
¥y l c¡c ki¸n thùc v cæng cö quan trång s³ sû döng º nghi¶n cùu v
thüc hi»n t½nh to¡n trong c¡c ch÷ìng ti¸p sau cõa luªn v«n. C¡c k¸t qu£
n y ¢ ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1, 2, 4, 5].
1.1 Mët sè khæng gian h m
1.1.1 Khæng gian m¶tric
ành ngh¾a 1.1. Cho X l mët tªp kh¡c réng. Tr¶n X ta trang bà mët
h m sè
ρ:X ×X →R
(x, y) → ρ(x, y),
thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau
1) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X ; ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X ;
3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), ∀x, y, z ∈ X .
Khi â, ρ ÷ñc gåi l mët m¶tric hay kho£ng c¡ch tr¶n X v c°p (X, ρ) gåi
l mët khæng gian m¶tric (æi khi ch¿ k½ hi»u l X ). Méi ph¦n tû cõa X
8
s³ ÷ñc gåi l mët iºm, ρ(x, y) gåi l kho£ng c¡ch giúa hai x v y iºm
tr¶n X .
D¢y
(xn )
sao cho vîi måi
tçn t¤i
N ()
m, n ≥ N () th¼ d(xn , xm ) < . Khæng gian m¶tric X
֖c
l d¢y Cauchy hay d¢y cì b£n n¸u vîi måi
,
gåi l õ n¸u måi d¢y cì b£n hëi tö ¸n mët ph¦n tû n o â thuëc
X.
1.1.2 Khæng gian tuy¸n tuy¸n t½nh ành chu©n
ành ngh¾a 1.2. Cho X l mët khæng gian tuy¸n t½nh, ta ÷a v o ¡nh x¤
kþ hi»u l chu©n X k.k : X → R thäa m¢n c¡c i·u ki»n
a. kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = 0;
b. kλxk = |λ|kxk;
c. kx + yk ≤ kxk + kyk,
vîi måi x, y ∈ X . Khi â c°p (X, k.k), trong â X l mët khæng gian
tuy¸n t½nh, k.k l mët chu©n tr¶n X , gåi l mët khæng gian ành chu©n
(hay cán gåi l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n).
Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co
ành ngh¾a 1.3. Cho (X, d) l mët khæng gian metric. nh x¤ f : X → X
÷ñc gåi l mët ¡nh x¤ co tr¶n X n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i q ∈ [0, 1) sao cho
vîi måi x, y ∈ X ,
d(f (x), f (y)) ≤ qd(x, y),
trong â, q ÷ñc gåi l h» sè co.
D¹ th§y måi ¡nh x¤ co ·u li¶n töc.
ành lþ 1.1
. Cho f l ¡nh x¤ co trong
(Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach)
khæng gian m¶tric õ (X, d). Khi â,
(a) Tçn t¤i duy nh§t x∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗. Ph¦n tû x∗ ÷ñc gåi l
iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ f .
9
(b) Måi d¢y l°p xn+1 = f (xn), n ≥ 0 xu§t ph¡t tø x0 b§t ký ·u hëi tö.
Ngo i ra, ta câ c¡c ÷îc l÷ñng sau
d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 ), n ≥ 1
d(xn , x∗ ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn ), n ≥ 1.
Ti¸p theo, ta ÷a ra i·u ki»n Lipchitz cho h m nhi·u bi¸n. Gi£ sû
f :V →W
sè
Lk ≥ 0
÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n Lipchitz n¸u tçn t¤i c¡c h¬ng
sao cho vîi måi
yk , zk
th¼ h» thùc sau ¥y ÷ñc thäa m¢n
kf (x, y1 , . . . , yn ) − f (x, z1 , . . . , zn )k ≤ L1 ky1 − z1 k + · · · + Ln kyn − zn k,
trong â
L1 , L2 , . . . , Ln
Cho
X
÷ñc gåi l c¡c h¬ng sè Lipchitz.
l mët khæng gian ành chu©n. X²t h m sè
ρ : X × X → R,
x¡c ành bði
ρ(x, y) = kx−yk, vîi x, y ∈ X . D¹ chùng minh ÷ñc vîi ành
ngh¾a nh÷ tr¶n th¼
ρ
l mët metric tr¶n
X,
gåi l metric sinh bði chu©n.
Nh÷ vªy, khæng gian ành chu©n l mët khæng gian metric.
1.1.3 Khæng gian t½ch væ h÷îng
Trong ph¦n n y, ta luæn coi tr÷íng væ h÷îng
thüc
R,
ho°c l tr÷íng sè phùc
F
ho°c l tr÷íng sè
C.
ành ngh¾a 1.4. Khæng gian t½ch væ h÷îng l khæng gian v²ctì X tr¶n
tr÷íng F ÷ñc trang bà mët t½ch væ h÷îng, tùc l mët ¡nh x¤
h., .i : X × X → F
thäa m¢n ba t½nh ch§t sau vîi måi x, y, z ∈ X v a ∈ F
(i) X¡c ành d÷ìng: hx, xi ≥ 0 v hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
(ii) T½nh tuy¸n t½nh
hax, yi = a hx, yi
hx, y + zi = hx, yi + hx, zi .
10
(iii) Li¶n hñp èi xùng
hx, yi = hy, xi.
1.2 Lþ thuy¸t v· ph÷ìng ph¡p sai ph¥n
Ph÷ìng ph¡p l÷îi hay cán gåi l ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ÷ñc ¡p döng
rëng r¢i tr¶n nhi·u l¾nh vüc khoa håc, kÿ thuªt. Nëi dung ch½nh cõa nâ
l ÷a b i to¡n vi ph¥n ang x²t v· gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n (tùc l
h» thùc ho°c c¡c h» thùc li¶n h» c¡c gi¡ trà cõa h m sè t¤i c¡c thíi iºm
kh¡c nhau) b¬ng c¡c ph÷ìng ph¡p ¤i sè.
1.2.1 Cæng thùc Taylor
Gi£ sû
u(x, y) l mët h m sè x¡c ành v câ c¡c ¤o h m ri¶ng theo
m+1
c¡c bi¸n ¸n c§p
v
(x + h, y + k),
trong mët kho£ng
trong â
h, k
Ω ∈ R2
chùa c¡c iºm
(x, y)
l c¡c ¤i l÷ñng õ nhä câ thº d÷ìng hay
¥m. Khi â t÷ìng tü nh÷ h m 1 bi¸n sè, chóng ta câ cæng thùc khai triºn
Taylor nh÷ sau
∂u
∂u
+k
u(x + h, y + k) = u(x, y) + h
∂
∂y
2
2
2
1 2∂ u
∂ u
2∂ u
+
h
+
2hk
+
k
+ · · · + o(hm + k m ).
2
2
2!
∂x
∂x∂y
∂y
(1.1)
V· m°t þ ngh¾a to¡n håc t½nh to¡n th¼ cæng thùc Taylor, gi¡ trà cõa h m
sè t¤i iºm
(x + h, y + k)
s³ ÷ñc ÷ñc t½nh qua c¡c gi¡ trà h m v c¡c
¤o h m ri¶ng c¡c c§p t¤i iºm
c¡c ¤o h m c§p
(x, y). N¸u chóng ta giú ¸n sè h¤ng chùa
m th¼ k¸t qu£ t½nh to¡n s³ £m b£o sai sè x§p x¿ mët ¤i
l÷ñng væ còng b² l
o(hm ). Sau ¥y luªn v«n s³ ÷a ra mët sè k¸t qu£ khi
xªy düng c¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n düa tr¶n cæng thùc Taylor.
11
1.2.2 C¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ¤o h m vîi ë ch½nh x¡c c§p hai
L÷îi sai ph¥n
X²t b i to¡n
−∆u = f, x ∈ Ω
trong â
nguy¶n
Ω = {(x, y) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d},
N > 1
v
k = (d − c)/M
M > 1,
°t
h = (b − a)/N
gåi l b÷îc l÷îi theo
i = 0, . . . , N , j = 0, . . . , M .
l nót
(1.2)
x ∈ ∂Ω,
u = g,
Méi iºm
y.
chån hai sè
gåi l b÷îc l÷îi theo
x,
°t
xi = a + ih, yj = c + jh,
(xi , yj )
gåi l mët nót l÷îi kþ hi»u
(i, j). Tªp hñp t§t c£ c¡c nót trong kþ hi»u l Ωhk . Nót ð tr¶n bi¶n Γ
gåi l nót bi¶n; tªp t§t c£ c¡c nót bi¶n kþ hi»u l
gåi l mët l÷îi sai ph¥n tr¶n
H m l֔i
Γhk , tªp Ωhk = Ωhk ∪ Γhk
Ω.
Méi h m sè x¡c ành t¤i c¡c nót cõa l÷îi gåi l mët h m l÷îi, gi¡ trà cõa
h m l֔i
t¤i måi
u(x, y) t¤i nót l÷îi (i, j) vi¸t tt l ui,j . Méi h m u(i, j) x¡c ành
(x, y) ∈ Ω
t¤o ra h m l÷îi
B i to¡n sai ph¥n
u
x¡c ành bði
ui,j .
Sû döng cæng thùc Taylor trong tr÷íng hñp 2 bi¸n sè, chóng ta thu ÷ñc
c¡c cæng thùc t½nh g¦n óng c¡c gi¡ trà ¤o h m t¤i c¡c nót l÷îi
sau
∂u
∂x (i,j)
∂u
∂y (i,j)
∂ 2 u
∂x2 (i,j)
∂ 2 u
∂y 2 (i,j)
1
= (ui+1,j − ui,j ) + o(h)
h
1
= (ui,j+1 − ui,j ) + o(k)
k
=
ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j
+ o(h2 )
2
h
=
ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1
+ o(k 2 ).
2
k
12
(i, j) nh÷
°t
∆hk u ≡
ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1
+
.
h2
k2
(1.3)
Khi â, chùng tä
∆hk u = ∆u + o(h2 + k 2 ).
Sè h¤ng
o(h2 + k 2 )
x¿ to¡n tû
∆,
l mët væ còng b² bªc hai. Ta nâi to¡n tû
∆hk
x§p
i·u â cho ph²p thay ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n b¬ng ph÷ìng
tr¼nh sai ph¥n
∆hk u = fij , fij = f (xi , yj ), (xi , yj ) ∈ Ωhk ,
tùc l
ui+1,j − 2ui,j + ui+1,j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1
+
= fi,j ,
h2
k2
(i, j) ∈ Ωhk ,
(1.4)
çng thíi thay i·u ki»n bi¶n b¬ng i·u ki»n
(xi , yj ) ∈ Γhk .
uij = g(xi , yj ),
Ta ÷ñc b i to¡n sai ph¥n ho n ch¿nh: t¼m h m l÷îi
(1.5)
u
t¤i c¡c nót
(i, j)
thäa m¢n h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n (1.4) vîi c¡c i·u ki»n bi¶n (1.5). Nh÷
vªy vi»c t¼m nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n vi ph¥n vîi ë ch½nh x¡c c§p hai
÷ñc ÷a v· vi»c gi£i b i to¡n sai ph¥n (1.4) vîi i·u ki»n (1.5) b¬ng c¡c
ph÷ìng ph¡p ¤i sè.
Nhªn x²t 1.1.
(i) H» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n vîi i·u ki»n bi¶n (1.5)
ho°c c¡c h» i·u ki»n bi¶n d¤ng Dirichlet t÷ìng ùng trong mi·n chú
nhªt
[a, b] × [c, d]
thæng qua c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p s³ ÷ñc biºu
di¹n d÷îi d¤ng c¡c h» ph÷ìng tr¼nh vectì 3 iºm d¤ng
− Yj−1 + CYj − Yj+1 = Fj ;
(1.6)
Y0 = F0 , YN = Fn , j = 1, N − 1,
trong â kþ hi»u
Yj = (u0,j , u1,j , . . . , uN,j )
(F0,j , F1,j , . . . , Fn,j )
l c¡c v²ctì v¸ ph£i,
h» sè cõa h» d¤ng 3 ÷íng ch²o trëi.
13
l c¡c v²ctì nghi»m,
C = (ci,j )N ×N
Fj =
l ma trªn
(ii) º gi£i ÷ñc b i to¡n (1.6) b¬ng ph÷ìng ph¡p sè, i·u quan trång
nh§t l ta ph£i x¡c ành ÷ñc thuªt to¡n nhanh gi£i c¡c h» ph÷ìng
tr¼nh v²ctor ba iºm (1.6) l c¡c h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh.
(iii) Câ nhi·u ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau º gi£i ÷ñc c¡c h» tr¶n. Tuy nhi¶n
do t½nh ch§t °c bi»t cõa h», ph÷ìng ph¡p thu gån khèi l÷ñng t½nh
to¡n cõa Samarskij Nicolaev · xu§t [7] vîi ë phùc t¤p t½nh to¡n
O(M N log N )
s³ ÷ñc sû döng º x¥y düng th÷ vi»n sè.
1.2.3 C¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n v ¤o h m vîi ë ch½nh x¡c c§p bèn
L÷ñc ç sai ph¥n
Chóng ta x²t cæng thùc khai triºn Taylor têng qu¡t
∂u h2 ∂ 2 u
+
+
∂x
2 ∂x2
∂u h2 ∂ 2 u
+
−
u(x − h, y) = u(x, y) − h
∂x
2 ∂x2
u(x + h, y) = u(x, y) + h
h3 ∂ 3 u h4 ∂ 4 u
+
+ · · · + O(h6 )
3
4
6 ∂x
24 ∂x
3 3
h ∂ u h4 ∂ 4 u
+
+ · · · + O(h6 )
3
4
6 ∂x
24 ∂x
(1.7)
Tø (1.7), ta suy ra
∂ 2 u u(x + h, y) − 2u(x, y) + u(x − h, y) h2 ∂ 4 u
=
−
+ O(h4 )
∂x2
h2
12 ∂x4
∂ 2 u u(x, y + k) − 2u(x, y) + u(x, y − k) k 2 ∂ 4 u
=
−
+ O(k 4 )
2
2
4
∂y
k
12 ∂y
ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1
∆u =
+
h2
k2
h2 ∂ 4 u k 2 ∂ 4 u
−
−
+ O(h4 + k 4 ).
4
4
12 ∂x
12 ∂y
Xu§t ph¡t tø ph÷ìng tr¼nh eliptic c§p hai
∂ 2u ∂ 2u
+
− cu(x, y) = −f (x, y).
∂x2 ∂y 2
Ta câ
4
2
2
u
2 ∂ u
2∂ f
2 ∂ u
h
+h
= −h
+ h c 2,
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂x2
∂x
4
4
2
2
2∂ u
2 ∂ u
2∂ f
2 ∂ u
k
+k
= −k
+ k c 2.
∂y 4
∂x2 ∂y 2
∂y 2
∂y
2∂
4
14
Suy ra
h2 ∂ 4 u k 2 ∂ 4 u
h2 + k 2 ∂ 4 u
h2 ∂ 2 f k 2 ∂ 2 f
(h2 + k 2 )
+
=−
−
−
+c
∆u.
12 ∂x4 12 ∂y 4
12 ∂x2 ∂y 2 12 ∂x2 12 ∂y 2
12
Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n, ta thu ÷ñc cæng thùc khai triºn Taylor vîi ë ch½nh
x¡c c§p 4 nh÷ sau
ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 h2 + k 2 ∂ 4 u
+
+
h2
k2
2 ∂x2 ∂y 2
h2 ∂ 2 f
k2 ∂ 2f
h2 + k 2
= − fi,j −
−
+c
∆u + O(h4 + k 4 )
2
2
12 ∂x
12 ∂y
12
∆u =
hay
h2 + k 2 ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j
1−c
12
h2
h2 + k 2 ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 h2 + k 2 ∂ 4 u
+ 1−c
+
12
k2
12 ∂x2 ∂y 2
k2 ∂ 2f
h2 ∂ 2 f
+
+ O(h4 + k 4 ).
= f (x, y) +
2
2
12 ∂x
12 ∂y
2 2
2 2
2
2
h
∂
f
k
∂
f
h
+
k
°t f¯(x, y) = f (x, y) +
+
, c1 = 1/ 1 − c
, ta thu
12 ∂x2 12 ∂y 2
12
÷ñc l÷ñc ç sai ph¥n
u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j) u(i, j − 1) − 2u(i, j) + u(i, j + 1)
+
h2
k2
h2 + k 2 ∂ 4 u
+c1
= −c1 f¯(i, j) + O(h4 + k 4 ).
2
2
12 ∂x ∂y
V¼
∂ 2 u u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j)
=
+ O(h2 )
2
2
∂x
h
do â
h2 + k 2 ∂ 4 u
h2 + k 2
=
(u(i − 1, j − 1) − 2u(i, j − 1) + u(i + 1, j − 1)
12 ∂x2 ∂y 2
12h2 k 2
−2(u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j))
+u(i − 1, j + 1) − 2u(i, j + 1) + u(i + 1, j + 1) + O(h4 + k 4 ).
(1.8)
15
Ta thu ÷ñc l÷ñc ç sai ph¥n nh÷ sau
u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j) u(i, j − 1) − 2u(i, j) + u(i, j − 1)
+
h2
k2
2
2
h +k
(u(i − 1, j − 1) − 2u(i, j − 1) + u(i + 1, j − 1)
+c1
12h2 k 2
−2(u(i − 1, j) − 2u(i, j) + u(i + 1, j))
+u(i − 1, j + 1) − 2u(i, j + 1) + u(i + 1, j + 1))
= −c1 f¯(i, j),
0 ≤ i ≤ M, 0 ≤ j ≤ N.
(1.9)
2
Sû döng c¡c kþ hi»u
r=
2
k
h +k
, R = c1
h2
12h2
2
,
d = 2(1 + r).
Tø h» ph÷ìng
tr¼nh sai ph¥n (1.9), ta thu ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh v²ctì 3 iºm
−BYj−1 + AYj − BYj+1 = Fj ,
1 ≤ j ≤ N − 1,
(1.10)
Y0 = F0 , YN = FN ,
trong â
1 − 2R
R
0
0
...
0
R
1
−
2R
R
0
.
.
.
0
0
R
1
−
2R
R
.
.
.
0
B=
..
...
.
...
...
...
...
0
0
.
.
.
R
1
−
2R
R
0
0
...
...
R 1 − 2R
2(1 + r) − 4R
0
...
0
−2 + 2R
2(1
+
r)
−
4R
.
.
.
0
A=
...
...
0
2(1 + r) − 4R
−r + 2R
−r + 2R
2(1 + r) − 4R
16
k (c1 f¯(1, j) + Rg(0, j − 1) + (r − 2R)g(0, j) + R(0, j + 1)
k 2 c1 f¯(1, j)
2
T
Fj =
.
.
.
2
¯(1, j)
k
c
f
1
k 2 (c1 f¯(M − 1, j) + Rg(M, j − 1) + (r − 2R)g(M, j) + Rg(M, j + 1))
F0 =(u(1, 0)u(2, 0), . . . , u(M − 1, 0)),
FN =(u(1, N ), u(2, N ), . . . , u(M − 1, N )).
X²t h»
−BYj−1 + AYj − BYj+1 = Fj ,
1 ≤ j ≤ N − 1,
Y0 = F0 , YN = FN .
Nh¥n hai v¸ vîi
B −1
−Yj−1 + CYj − Yj+1 = Φ,
1≤j ≤N −1
(1.11)
Y0 = Φ0 , YN = ΦN , C = B −1 A, Φj = B −1 Fj .
Nhªn x²t 1.2.
Ma trªn
C
trong (1.11) khæng ph£i l ma trªn 3 ÷íng
ch²o trëi, do â khæng thº ¡p döng thuªt to¡n thu gån khèi l÷ñng t½nh
to¡n trüc ti¸p ÷ñc.
X²t h» thùc
k
k
C (k)
2
2
Y
Y
(2l − 1)π
E) =
Cl,k ,
=
(C − 2 cos
2k+1
l=1
l=1
v¼
C = B −1 A
n¶n ta câ
k
C (k) =
2
Y
B −1 (A − 2 cos
l=1
(2l − 1)π
B).
2k+1
X²t h» ph÷ìng tr¼nh
2k
Y
(2l − 1)π
C (k) ϕF ⇔ B −1 (A − 2 cos
B) ϕ = F
2k+1
l=1
17
hay
k
2
Y
(2l − 1)π
(A − 2 cos
B)ϕ = BF.
2k+1
l=1
H» ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ thº gi£i ÷ñc b¬ng thuªt to¡n » quy
ϕ0 = BF
(A − 2 cos
(A − 2 cos
Do
A, B
(2l − 1)π
B)ϕ1 = ϕ0 ,
2k+1
...
(2l − 1)π
B)ϕk = ϕk−1 .
2k+1
l c¡c ma trªn 3 ÷íng ch²o n¶n
(A − 2 cos
(2l − 1)π
B)
2k+1
l ma
trªn 3 ÷íng ch²o trëi, do â c¡c h» tr¶n v¨n gi£i ÷ñc b¬ng thuªt to¡n
truy uêi 3 ÷íng ch²o vîi ë phùc t¤p t½nh to¡n l
O(N ),
tùc l thuªt
to¡n vîi ë ch½nh x¡c c§p 4 v¨n thüc hi»n ÷ñc b¬ng thuªt to¡n thu gån
khèi l÷ñng vîi ë phùc t¤p
O(M N log N ).
Sû döng ngæn ngú lªp tr¼nh Matlab, trong cæng tr¼nh [2] ¢ ÷a ra
th÷ vi»n sè RC2009 t¼m nghi»m sè vîi ë ch½nh x¡c c§p hai cho b i to¡n
bi¶n elliptic c§p hai. C¡c k¸t qu£ kiºm tra th÷ vi»n sè ÷ñc ÷a ra trong
B£ng 1.1
B£ng 1.1: Sai sè t÷ìng ùng vîi c¡c l÷îi chia v h m nghi»m óng
L֔i chia
ud = sin x1 sin x2
ud = ex1 +x2
ud = ex1 cos x2
ud = x61 + x62
16 × 16
1.18 × e − 5
1.39 × e − 4
4.34 × e − 5
0.005
32 × 32
2.97 × e − 6
3.50 × e − 5
1.09 × e − 5
0.0014
64 × 64
7.44 × e − 7
8.78 × e − 6
2.73 × e − 6
3.44 × e − 4
128 × 128
1.86 × e − 7
2.19 × e − 6
6.82 × e − 7
8.61 × e − 5
256 × 256
1.65 × e − 8
5.49 × e − 7
1.70 × e − 7
2.15 × e − 5
C¡c k¸t qu£ t½nh to¡n sè chùng tä ph÷ìng ph¡p sai ph¥n £m b£o
ë ch½nh x¡c bªc hai.
Trong cæng tr¼nh [2] ¢ ÷a ra c¡c h m t¼m nghi»m sè vîi ë ch½nh
x¡c c§p bèn cho b i to¡n bi¶n elliptic c§p hai. C¡c k¸t qu£ kiºm tra th÷
18
vi»n sè ÷ñc ÷a ra trong B£ng 1.2
B£ng 1.2: Sai sè t÷ìng ùng vîi c¡c l÷îi chia v h m nghi»m óng
L֔i chia
ud = sin x1 sin x2
ud = ex1 +x2
ud = ex1 cos x2
ud = x61 + x62
16 × 16
1.55 × e − 9
1.82 × e − 8
15 × e − 12
6.74 × e − 6
32 × 32
9.71 × e − 11
1.14 × e − 9
4.19 × e − 14
4.21 × e − 7
64 × 64
6.06 × e − 12
7.15 × e − 11
2.46 × e − 14
2.63 × e − 8
128 × 128
3.45 × e − 13
5.22 × e − 12
4.22 × e − 13
1.64 × e − 9
256 × 256
2.12 × e − 13
2.83 × e − 12
1.22 × e − 12
1.02 × e − 10
C¡c k¸t qu£ t½nh to¡n sè chùng tä ph÷ìng ph¡p sai ph¥n £m b£o
ë ch½nh x¡c bªc bèn. C¡c th÷ vi»n ch÷ìng tr¼nh tr¶n s³ ÷ñc sû döng º
c i °t t§t c£ c¡c thuªt to¡n ÷a ra trong c¡c ch÷ìng sau cõa luªn v«n.
19
- Xem thêm -