Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1
GV : Nguyễn Thị A
CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA
HÀM SỐ
Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Tìm TXĐ
Tính y’. Tìm các điểm tới hạn.
Lập bảng biến thiên
Kết luận.
Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
R hoặc trên từng khoảng của tập xác định.
Tìm TXĐ
Tính y’
Hàm số ĐB trên R y ' �0, x �R
�0
�
��
�a 0
( Hàm số nghịch biến trên R y ' �0, x �R
�0
�
��
)
�a 0
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến
trên khoảng (a,b)
* Cách 1:
+ Hàm số ĐB trên (a,b) y ' �0, x � a, b
y ' �0, x � a, b ( vì y’liên tục tại x = a và x =b)
g(x) �h(m) , x � a, b
min g x �h m
�a,b �
�
�
(*)
+ Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x0 � a, b
min g x
Tính g x0 , g a , g b => �a,b �
�
�
+ Từ (*) suy ra điều kiện của m.
* Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2)
+ Hàm số ĐB trên (a,b) y ' �0, x � a, b
Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x),
x � a, b bằng cách sử dụng tính đơn điệu
( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 )
Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b).
Tính f '( x ) . Chứng tỏ f '( x ) �0, x �[a, b)
Hàm số đồng biến trên [a,b).
x � a, b : f ( x) f ( a) =…
Suy ra đpcm
--------------------------------------------------------------Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có)
+Lập bảng biến thiên
+ Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và yCĐ = …
Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và yCT = …
Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng
giác):
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi
+ Tính y”
Tính y”(xi)
+Kết luận :
y”(xi) >0 => hs đạt CT tại xi và yCT =…
y”(xi) <0 => hs đạt CĐ tại xi và yCĐ =…
Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị.
(Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’
đổi dấu khi qua nghiệm đó)
Tìm TXĐ
Tính y’
- Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có
2 cực trị) pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt
y' 0
�
�
a �0
�
- Hàm b3 ko có cực trị y’=0 có n0 kép hoặc vô n0.
Có 2 trường hợp :
* TH1 :
�0
�
y ' �0, x �R � �
suy ra m
�a 0
-
* TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
…….(điều kiện về x1, x2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem
phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai )
Suy ra m
Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm.
Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ
dài bằng d.
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Hàm số có khoảng ĐB, NB y’ = 0 có 2 nghiệm
0
�
.suy ra m. (*)
�a �0
phân biệt x1, x2 � �
+ Biến đổi x1 x2 d thành x1 x2 4 x1 x2 d 2
Hàm
b2
có cực trị pt y’=0 có hai nghiệm
b1
phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu)
� 0
�� g
( với g(x) = tử số của y’ )
�g ( x0 ) �0
Giải hệ tìm m.
Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0.
Tìm TXĐ
Tính y’
Cách 1:
Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 .tìm m
Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập
bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có
thỏa ycbt không.
�y ' x0 0
�y " x0 �0
2
Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m.
Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm.
.suy ra m.
Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x0 � �
Trang 1
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1
GV : Nguyễn Thị A
Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x0
Tìm TXĐ
Tính y’ , y”
�y ' x0 0
�y " x0 0
Hàm số đạt cực đại tại x = x0 �
Giải hệ tìm m.
Hàm số có đúng 1 cực trị
pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
a.b 0
�
�b 0
�
Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A
thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A.
-------------------------------------------Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
�y ' x0 0
)
�y " x0 0
( Hàm số đạt cực tiểu tại x0 �
Giải hệ tìm m.
Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc
có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x1, x2)
.
+ Tìm TXĐ
+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*)
+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0
( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của
các hoành độ)
+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K.
So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt.
Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực
trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông
góc hoặc song song với đt cho trước,….)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*)
+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)
Gọi M 1 x1 , y1 , M 2 x2 , y2 là các điểm cực trị.
=> y ' x1 0 và y ' x2 0
Suy ra : y1 ax1 b ,
y2 ax2 b
Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y =
ax +b
+ Tìm m thỏa điều kiện K.
+ So với (*) kết luận m cần tìm .
Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương
Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
khoảng (a,b)
Xét hàm số trên (a,b)
Tính y’
Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )
Lập bảng biến thiên
max y , min y
Dựa vào BBT kết luận a,b
a,b .
Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
[a,b]
Xét hàm số trên [a,b]
Tính y’
Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi �[a, b]
y , min y .
Kết luận [max
[ a,b]
a,b]
Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
[a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp
Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác
của cùng một cung
Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t t �[ , ]
Ta được : g(t) = …
Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti
�[ , ]
4
2
y ax bx c a �0
+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax3 +2bx
x0
�
y' 0 � � 2
4ax 2b 0
�
*
Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0
Hàm số có 3 cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
pt (*) có 2 nghiệm phận biệt
khác 0
a.b <0
Hàm số có 2 CĐ và 1 CT
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0
�a 0
b0
�
�
Hàm số có 2 CT và 1 CĐ
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0
Tính y xi , y a , y b
Tính g( ti) , g , g
Suy ra :
max y max g t .... khi x ....
[ , ]
[ a,b]
min y min g t .... khi x ....
[ , ]
[ a,b]
Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN )
bằng d trên [a,b]
Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]
Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )
Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần
chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc
[a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên
[a,b] )
y
min y
Suy ra [max
a,b] ( hoặc [a,b ] )
y
min y
Cho [max
a,b] = d (hoặc [ a,b] =d ) tìm m.
Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán
VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình
chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Trang 2
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1
GV : Nguyễn Thị A
�a 0
b0
�
�
Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương
B1 : Tập xác định : D = R
B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm .
* Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là
(C1) và (C2).
�f x g x
có n0
'
�f x g x
(C1) tiếp xúc với (C2) � '
y và lim y
B3 : Giới hạn : xlim
� �
x ��
B4: Bảng biến thiên
Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực
tiểu
B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt)
B6 : Vẽ đồ thị.
( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương
nhận Oy làm trục đối xứng)
Bài 4.2 : Khảo sát hàm
b1
b1
: y
ax b
cx d
ad bc �0
�d �
�c
B1 : Tập xác định : D = �\ � �
B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0, x �
B3 : Giới hạn và tiệm cận :
+
� d �
x �� �
�c �
)
�x
và
� d �
x �� �
�c �
d
c
(- �hoặc+ �
Tìm x0, y0.
Tính y’ . => y’(x0)
Pt tiếp tuyến của (C) tại M x0 , y0 có dạng :
y y0 y ' x0 . x x0
Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết
tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M x0 , y0 là tiếp điểm.
d có hệ số góc k => y ' x0 = k.
Giải tìm x0 . suy ra y0 = y(x 0)
Suy ra Pt tiếp tuyến d.
Cách 2: Dùng đk tiếp xúc
+ Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b
�f x kx b
có nghiệm
'
� f x k
+ d tiếp xúc với (C) �
+ Giải hệ tìm b . Viết pttt d.
Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián
tiếp như sau :
+ d song song với : y k2 x b2 => k = k2
d
là tiệm cận đứng.
c
B4: Bảng biến thiên .
Kết luận :
- Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng
khoảng xác định.
- Hàm số không có cực trị.
B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt)
B6 : Vẽ đồ thị.
+ d vuông góc với : y k2 x b2 => k
+ d tạo với : y k2 x b2 một góc thì
k k2
tan , � 00 ,900
1 k1k2
Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C): y f x đã vẽ, biện
luận theo m số nghiệm của phương trình
F m, x 0 (1)
Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: y k . x x0 y0
y y0
+ xlim
���
� y = y0 là tiệm cận ngang.
lim y �
lim y �
Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại
điểm M x0 , y0
1
k2
+d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc thì k = tan
Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết
tiếp tuyến đi qua điểm A (xA, yA)
Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số
Đưa pt (1) về dạng : f x g m
góc k . Suy ra : d : y k x x A y A
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)
và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang)
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d.
Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận.
g(m) m
Số nghiệm pt (1)
�
d tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm :
�f ( x) k x x A y A
�
f ' x k
�
Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt.
Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm :
Gọi M 0 x0 , y0 là tiếp điểm.Khi đó y0 f x0
-�
Pt tiếp tuyến d tại M có dạng :
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Pt tiếp tuyến của (C)
Trang 3
y y0 y ' x0 . x x0
Vì d qua A(xA, yA) nên :
y A y0 y ' x0 . x A x0
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1
GV : Nguyễn Thị A
tại điểm M x0 , y0 có dạng :
Giải pt tìm x0 . Từ đó viết pttt.
y y0 f ' x0 . x x0
Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường:
Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là
C1 , C2 . Biện luận theo m số giao điểm của (C ) và (C ):
* B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của C1 và C2
1
2
f(x,m) = g(x, m) (1)
* B2: Biện luận theo m số giao điểm của C1 và C2 .
Chú ý :
* Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau:
- Tính .
- Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm
của C1 và C2 .
* Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau :
- Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a)
- Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có:
(1) (x-a)(Ax2 +Bx + C) = 0
xa
�
2
Ax Bx C 0 (2)
�
- Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số
Có 3 nghiệm
tạo thành cấp
số cộng
Có 3 n0 đơn
phân biệt
Có 1 n0 kép,
1 n0 đơn
Có duy nhất
1 n0 đơn
Nếu
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và
điểm uốn nằm trên
trục Ox
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và
yCĐ .yCT <0
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và
yCĐ .yCT = 0
Có 2 trường hợp :
* f ’(x) = 0 có n0 kép
hoặc vô n0.
* f ’(x) = 0 có 2 n0 pb
và yCĐ .yCT >0
�a 0
b0
�
Lưu ý :* ax + b = 0 , m �
a0
�
�
b0
* ax bx c 0, m � �
�c 0
�
2
Cách 2:
Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
thị (C’) : a) y f
Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ
x,
b) y f ( x)
Vẽ đồ thị (C) : y = f(x)
a) Đồ thị hàm số y f ( x )
Ta có:
�f ( x),
y f ( x) �
f ( x),
�
f ( x ) �0
f ( x) 0
+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành
+Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành
qua trục hoành
Suy ra đồ thị hàm số y f ( x)
Định lí Viet về pt bậc 3:
b
�
�x1 x2 x3 a
�
c
�
�x1 x2 x2 x3 x1 x3
a
�
d
�
�x1 x2 x3 a
�
Biến đổi pt theo ẩn m.
Áp dụng đk pt có n0 m các hệ số đồng thời
bằng 0. giải tìm x0, y0. => Kết luận.
Đặt F(m) = f(x0,m) .
F(m) = y0 không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x0.
Thay vào (*) tìm y0. Kết luận điểm cố định.
Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ
nghiệm pt (1).
Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba:
Số n0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox
Đồ thị của hàm
số và trục hoành
Cắt tại 3 điểm
cách đều nhau
(hay 3 điểm lập
thành CSC)
Cắt nhau tại 3
điểm phân biệt
Tiếp xúc nhau tại
1 điểm và cắt
nhau tại 1 điểm
Cắt nhau tại 1
điểm
M x0 . y0 � Cm , m � y0 f x0 , m có n0 m
M x0 . y0 � Cm , m � y0 f x0 , m , m (*)
�
Pt bậc 3
Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị
(Cm): y = f(x,m)
Cách 1:
Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
b) Đồ thị hàm số y f ( x )
Ta có: y f ( x ) là hàm số chẳn và
�f ( x),
y f(x)�
�f ( x),
x �0
x 0
+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung
+Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung.
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua
trục tung.
Trang 4
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1
y
GV : Nguyễn Thị A
P x
có tọa độ nguyên
Q x
* Phân tích y
Suy ra đồ thị hàm số y f ( x )
P x
a
A x
, với A(x) là đa
Q x
Q x
thức , a ��
* Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên x nguyên và a là bội
của Q(x).
* Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận.
Trang 5
- Xem thêm -