I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
NGUYN SÌN H
PH×ÌNG TRNH, BT PH×ÌNG
TRNH HM CÌ BN TRN TP
SÈ TÜ NHIN
LUN VN THC Sß TON HÅC
THI NGUYN - NM 2014
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
NGUYN SÌN H
PH×ÌNG TRNH, BT PH×ÌNG
TRNH HM CÌ BN TRN TP
SÈ TÜ NHIN
LUN VN THC Sß TON HÅC
Chuy¶n ngh nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ CP
M¢ sè 60.46.01.13
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc
GS. TSKH. NGUYN VN MU
THI NGUYN - NM 2014
Möc löc
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . 3
1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . .
3
1.1.1. C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy li¶n töc . . . . . . . . . . .
3
1.1.2. C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n
4
1.1.3. C¡c v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . .
13
1.2.1. C¡c d¤ng to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n
13
1.2.2. C¡c v½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . .
19
1.3.1. C¡c d¤ng to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü
nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3.2. C¡c v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . .
23
2.2. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . . . . . . .
27
2.3. B§t ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . . . .
32
3.1. B§t ¯ng thùc trong d¢y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2. B§t ¯ng thùc h m chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh . . . . . .
51
3.3. V½ dö ¡p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Ch÷ìng 2. B§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n . . . . 23
Ch÷ìng 3. Mët sè d¤ng kh¡c cõa b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp
sè tü nhi¶n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
i
Mð ¦u
Ph÷ìng tr¼nh h m v b§t ph÷ìng tr¼nh h m l mët trong nhúng nëi
dung chuy¶n · quan trång thuëc ch÷ìng tr¼nh chuy¶n to¡n trong c¡c
tr÷íng trung håc phê thæng chuy¶n. C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n ph÷ìng
tr¼nh h m v b§t ph÷ìng tr¼nh h m th÷íng l nhúng b i to¡n khâ, th÷íng
g°p trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi c§p quèc gia, khu vüc, Olympic sinh vi¶n
v quèc t¸.
Ph÷ìng tr¼nh h m, b§t ph÷ìng tr¼nh h m trong ch÷ìng tr¼nh to¡n trung
håc phê thæng chuy¶n r§t phong phó v a d¤ng, th÷íng khâ ph¥n lo¤i chi
ti¸t theo d¤ng b i v c¡c chuy¶n · ri¶ng bi»t.
Tuy nhi¶n, cho ¸n nay v§n · v· t i li»u tham kh£o chuy¶n s¥u v·
ph÷ìng tr¼nh h m v b§t ph÷ìng tr¼nh h m dòng cho h» trung håc phê
thæng chuy¶n vi¸t b¬ng ti¸ng vi»t cán kh¡ ½t äi chõ y¸u l c¡c cæng tr¼nh
nghi¶n cùu khoa håc cæng bè b¬ng ti¸ng anh ð mùc ë to¡n cao c§p v
i s¥u v o lþ thuy¸t cõa ph÷ìng tr¼nh h m v b§t ph÷ìng tr¼nh h m vi¸t
ð bë mæn gi£i t½ch h m dòng cho sinh vi¶n ¤i håc, c¡c t i li»u vi¸t b¬ng
ti¸ng n÷îc ngo i d¹ t¼m tr¶n ph÷ìng ti»n Internet n¶n vi»c t¼m t i li»u
tham kh£o cho to¡n phê thæng vi¸t b¬ng ti¸ng vi»t cán r§t khâ kh«n. C¡c
b i tªp v· ph÷ìng tr¼nh h m v b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n c¡c tªp ¢
khâ èi vîi c¡c håc sinh trung håc phê thæng chuy¶n to¡n nâi chung n¶n
ph÷ìng tr¼nh h m v b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü nhi¶n l¤i c ng
khâ kh«n hìn v¼ chóng ÷ñc x²t tr¶n tªp ríi r¤c.
Ch½nh v¼ nhúng khâ kh«n ¢ · cªp ð tr¶n n¶n trong luªn v«n n y t¡c
gi£ cè gng ÷a c¡c b i tªp ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n
tr¶n tªp sè tü nhi¶n v· nhúng d¤ng to¡n cö thº v d¹ nhªn bi¸t hìn.
Nhúng nëi dung ch½nh trong b i vi¸t cö thº nh÷ sau:
Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
1
1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
1.4. Ph÷ìng tr¼nh h m a ©n tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
Ch÷ìng 2. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
2.1. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
2.2. B§t ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
2.3. B§t ph÷ìng tr¼nh h m D'Alembert tr¶n tªp sè tü nhi¶n.
Ch÷ìng 3. Mët sè d¤ng kh¡c cõa b§t ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü
nhi¶n.
3.1. B§t ¯ng thùc trong d¢y sè.
3.2. B§t ¯ng thùc h m chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh.
3.3. V½ dö ¡p döng
T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc èi vîi GS.TSKH Nguy¹n V«n
Mªu, ng÷íi th¦y ¢ trüc ti¸p tªn t¼nh ch¿ b£o v h÷îng d¨n, cung c§p t i
li»u v truy·n ¤t nhúng kinh nghi»m v· m°t nghi¶n cùu trong suèt qu¡
tr¼nh l m luªn v«n.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y (cæ) gi¡o trong khoa To¡n - Tin,
pháng o t¤o tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i nguy¶n,Tr÷íng
THPT Hi»p Háa sè 2 v c¡c b¤n çng nghi»p ¢ gióp ï t¤o i·u ki»n cho
tæi ho n th nh luªn v«n n y.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn !
Th¡i Nguy¶n, 2014
Nguy¹n Sìn H
2
Ch֓ng 1
Ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n tªp sè tü
nhi¶n
1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü
nhi¶n
1.1.1. C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy li¶n töc
ành l½ 1.1
. H m sè f : R → R li¶n töc tr¶n R v thäa m¢n
(Cauchy, [1])
i·u ki»n
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R,
l h m sè d¤ng f (x) = ax, a ∈ R tòy þ.
ành l½ 1.2
(D'Alembert, [1])
m¢n i·u ki»n
.
H m sè f : R → R li¶n töc tr¶n R v thäa
f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R,
l mët trong c¡c h m f (x) ≡ 0, f (x) ≡ 1 v f (x) = ax , 1 6= a ∈ R+ tòy þ.
ành l½ 1.3
.
(D¤ng logarit, [1])
thäa m¢n i·u ki»n
H m sè f : R+ → R li¶n töc tr¶n R+ v
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ ,
l h m f (x) = a ln x. a ∈ R tòy þ.
ành l½ 1.4
(D¤ng lôy thøa, [1])
v thäa m¢n i·u ki»n
.
H m sè f : R+ → R li¶n töc tr¶n R+
f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ ,
3
l mët trong c¡c h m f (x) ≡ 0, f (x) ≡ 1 v h m f (x) = xm . 0 6= m ∈ R
tòy þ.
1.1.2. C¡c lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy tr¶n tªp sè tü
nhi¶n
l
• T¼m h m f : X → Y thäa m¢n
N, N∗ ; Y câ thº l N, N∗ , Z, R).
• T¼m sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y
i·u ki»n n o â (trong â
X
câ thº
sè cho tr÷îc.
1.1.3. C¡c v½ dö
V½ dö 1.1.
[· · nghà IMO 1988] X¡c ành h m sè
f :N→N
thäa m¢n
f (f (n) + f (m)) = n + m, ∀m, n ∈ N.
Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè f (x) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. Ta th§y
f (x) l ìn ¡nh. Thªt vªy, vîi n, m ∈ N v f (n) = f (m), ta câ
f (f (n) + f (m)) = n + m = f (f (n) + f (n)) = n + n→ n = m.
Vîi måi n ∈ N, n ≥ 1, ta câ
f (f (n) + f (n)) = 2n = (n − 1) + (n + 1) = f (f (n − 1) + f (n + 1))
i·u ki»n:
f (n) + f (n) = f (n − 1) + f (n + 1) (do f l ìn ¡nh).
Theo nhªn x²t ban ¦u th¼ f l h m sè tuy¸n t½nh, tùc l f câ d¤ng
f (n) = an + b.
Thû l¤i ta ph£i câ a [(an + b) + (am + b)] + b = n + m vîi måi n, m ∈ N,
tø â ÷ñc a = 1, b = 0. Vªy f (n) = n l h m sè c¦n t¼m.
n¶n
V½ dö 1.2.
f : N → N çng
f (mn) = f (m) · f (n) , ∀m, n ∈ N.
[Putnam 1963] X¡c ành t§t c£ c¡c h m sè
f (2) = 2 v
Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i h m sè f (x) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra.
Do f (x) l h m sè çng bi¸n 0 ≤ f (0) < f (1) < f (2) = 2 n¶n
f (0) = 0, f (1) = 1.
°t f (3) = 3 + k, k ∈ N; f (6) = f (2) · f (3) th¼ f (6) = 6 + 2k.
Nh÷ vªy f (5) ≤ 5 + 2k n¶n f (10) = f (2) · f (5) ≤ 10 + 4k .
Lªp luªn t÷ìng tü ÷ñc f (9) ≤ 9 + 4k n¶n f (18) ≤ 18 + 8k, suy ra
f (15) ≤ 15 + 8k .
bi¸n, thäa m¢n i·u ki»n:
4
M°t kh¡c
f (3) = 3 + k; f (5) ≥ 5 + k
n¶n
f (15) = f (3) f (5) ≥ (3 + k)(5 + k).
Tâm l¤i ta ÷ñc:
Vªy
(3 + k)(5 + k) ≤ 15 + 8k ⇔ k 2 ≤ 0 ⇔ k = 0.
f (3) = 3.
n ∈ N∗ .
Thªt vªy, hiºn nhi¶n, kh¯ng ành óng vîi n = 1.
n
n
Gi£ sû kh¯ng ành óng tîi n, tùc l : f (2 + 1) = 2 + 1, khi â
f 2n+1 + 2 = f (2) f (2n + 1) = 2 (2n + 1) = 2n+1 + 2.
Do f l h m sè çng bi¸n v l ìn ¡nh n¶n tªp
f (2n + 2); f (2n + 3); . . . ; f (2n+1 + 2) gçm 2n +1 sè æi mët kh¡c nhau,
n
sp x¸p theo thù tü t«ng d¦n, l £nh cõa tªp gçm 2 + 1 sè æi mët kh¡c
n
n
n+1
nhau 2 + 2; 2 + 3; . . . ; 2
+2 .
n
n
n
Nh÷ vªy, ta câ f (2 + i) = 2 + i, vîi måi i ∈ {2; 3; . . . ; 2 + 2} tùc l
f (2n + 1) = 2n + 1.
Nâi c¡ch kh¡c, kh¯ng ành óng tîi n + 1.
∗
Theo nguy¶n lþ quy n¤p, kh¯ng ành óng vîi måi n ∈ N .
Lªp luªn ho n to n t÷ìng tü ta công ÷ñc f (n) = n vîi måi n ∈ N.
Ta s³ chùng minh
f (2n + 1) = 2n + 1,
vîi måi
D¹ th§y h m sè n y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho.
Vªy
f (n) = n
V½ dö 1.3.
l h m sè c¦n t¼m.
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f :N→R
thäa m¢n i·u ki»n
f (0) = 1; f (1) = 2; f (n + 1) f 2 (n − 1) = f 3 (n) , ∀n ∈ N∗ .
Líi gi£i.
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
f (n)
thäa m¢n y¶u c¦u b i ra.
f (n) > 0, ∀n ∈ N.
L§y lægarit cõa c¡c biºu thùc tr¶n ta ÷ñc: ln f (0) = 0, ln f (1) = ln 2
v ln f (n + 1) + 2 ln f (n − 1) = 3 ln f (n) , ∀n ∈ N.
°t xn = ln f (n) , (n ∈ N) ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh:
x0 = 0; x1 = ln 2; xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 0, (n ∈ N).
2
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng: λ − 3λ + 2 = 0 ⇔ λ = 1 ho°c λ = 2.
n
n
n
Nghi»m têng qu¡t: xn = A · 1 + B · 2 = A + B · 2 .
B¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p ta chùng minh ÷ñc
5
Tø
c¡c i·u ki»n ¢ cho
ta ֖c:
A+B =0
A = − ln 2
A + 2B = ln 2 ⇔
B = ln 2
n
2n −1
Suy ra xn = (2 − 1) · ln 2 = ln 2
f (n) .
n
2 −1
Tø â ta ÷ñc f (n) = 2
.
D¹ th§y h m sè n y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho.
f (n) = 22
Vªy h m sè c¦n t¼m l
V½ dö 1.4.
X¡c ành h m sè
n
−1
,
f :N→R
f (0) = 2, f (n + 1) = 3f (n) +
Líi gi£i.
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
f (n)
(n ∈ N).
thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m:
q
8f 2 (n) + 1, ∀n ∈ N.
thäa m¢n y¶u c¦u b i ra.
Tø gi£ thi¸t ta câ:
q
f (n + 1) − 3f (n) = 8f 2 (n) + 1 (≥ 1 > 0, ∀n ∈ N),
n¶n
(f (n + 1) + 3f (n))2 = 8f 2 (n) + 1.
Suy ra
f 2 (n + 1) + f 2 (n) = 6f (n) f (n + 1) + 1.
Thay
n
bði
n−1
(1.1)
ta ֖c
f 2 (n) + f 2 (n − 1) = 6f (n − 1) · f (n) + 1.
(1.2)
Trø tøng v¸ cõa (1.2) cho (1.1), ta ÷ñc
f 2 (n + 1) − f 2 (n − 1) = 6f (n) (f (n + 1) − f (n − 1)) .
Tø gi£ thi¸t ta cán câ f (n) > 0 vîi måi n (chùng minh b¬ng quy n¤p).
p
Ngo i ra f (n + 1) > 3f (n) = 9f (n − 1) + 3 8f 2 (n − 1) + 1 > f (n − 1)
n¶n f (n + 1) − f (n − 1) > 0 n¶n f (n + 1) + f (n − 1) = 6f (n).
Vªy ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh
√
f (0) = 2, f (1) = 6 +
33, f (n + 2) − 6f (n + 1) + f (n) = 0, ∀n ∈ N.
Gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta ÷ñc:
f (n) =
D¹ th§y h m sè
(8 +
√
f (n)
66)(3 +
8
√
n
8)
+
(8 −
√
tr¶n l h m sè c¦n t¼m.
6
66)(3 −
8
√
n
8)
.
V½ dö 1.5.
T¼m h m sè
f :N→N
thäa m¢n i·u ki»n
f (1) > 0; f (m2 + n2 ) = f 2 (m) + f 2 (n), ∀m, n ∈ N.
f (n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra. Ta câ
f (1) = f (12 + 02 ) = f 2 (1) + f 2 (0) n¶n f (0) = 0; f (1) = 1.
2
2
∗
Theo b i ra, cho m = 0 ÷ñc f (n ) = f (n), ∀n ∈ N .
2
2
Ta câ f (2) = f (1 + 1) = 2f (1) = 2,
f (4) = f (22 ) = f 2 (2) = 22 = 4,
f (5) = f (22 + 12 ) = f 2 (2) + f 2 (1) = 4 + 1 = 5,
f (25) = f (52 ) = 25 = f (32 + 42 ) = f 2 (3) + f 2 (4) = f 2 (3) + 4,
n¶n f (3) = 3,
2
2
2
= f 2 (3) + f 2 (1) = 32 + 12 = 100,
f (100) = f (102 ) = f 32 + 12
f (100) = f (62 + 82 ) = f 2 (6) + f 2 (8) = f 2 (6) + f 2 (22 + 22 )
2
= f 2 (6) + f 2 (2) + f 2 (2) = f 2 (6) + (4 + 4)2 = f 2 (6) + 64
⇒ f (6) = 6.
Líi gi£i.
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
Ta s³ chùng minh
f (n) = n, ∀n ∈ N∗ .
(1.3)
n = 6.
Gi£ sû (1.3) óng vîi måi m < n, (n ≥ 6). Khi â, n¸u n = 2k + 1 v
2
2
2
2
do (2k + 1) + (k − 2) = (2k − 1) + (k + 2) n¶n ta câ
f ((2k + 1)2 + (k − 2)2 ) = f 2 (2k + 1) + f 2 (k − 2)
f ((2k − 1)2 + (k + 2)2 ) = f 2 (2k − 1) + f 2 (k + 2)
2
2
2
2
Suy ra f (2k + 1) + f (k − 2) = f (2k − 1) + f (k + 2).
M 0 < k − 2 < k + 2 < 2k − 1 < 2k + 1 = n n¶n theo gi£ thi¸t quy
2
2
f (k − 2) = (k − 2)
n¤p, ta câ:
f 2 (2k − 1) = (2k − 1)2
2
f (k + 2) = (k + 2)2
2
2
2
2
2
Suy ra f (2k + 1) = (2k − 1) + (k + 2) − (k − 2) = (2k + 1) .
Vªy ta câ f (n) = f (2k + 1) = 2k + 1 = n.
T÷ìng tü, khi n = 2k + 2 sû döng ¯ng thùc
Thªt vªy, theo tr¶n ¢ óng ¸n
(2k + 2)2 + (k − 4)2 = (2k − 2)2 + (k + 4)2 ,
7
f (n) = f (2k + 2) = 2k + 2 = n.
֖c f (n) = n.
v l m t÷ìng tü n¶n ta công ÷ñc
Vªy theo nguy¶n l½ quy n¤p ta
Thû l¤i ta th§y
V½ dö 1.6.
f (n) = n
l h m sè c¦n t¼m.
f : N∗ → N∗ thäa m¢n i·u ki»n
f (n + 1) > f (f (n)), ∀n ∈ N∗ . Chùng minh r¬ng f (n) = n, ∀n ∈ N∗ .
∗
Líi gi£i. Do Rf ⊆ N , Rf 6= 0 n¶n tçn t¤i ph¦n tû nhä nh§t cõa Rf .
Tø gi£ thi¸t ta câ f (2) > f (f (1)) > 0; f (3) > f (f (2)); . . .
Vªy ph¦n tû nhä nh§t cõa Rf khæng thº l f (2); f (3); . . . .
Nâi c¡ch kh¡c, f (1) l ph¦n tû nhä nh§t duy nh§t cõa Rf .
Do f (1) ≥ 1 suy ra f (n) > 1, ∀n > 1.
∗
∗
Vªy câ thº h¤n ch¸ x²t h m sè f : N \ {1} → N \ {1} .
T÷ìng tü tr¶n ta công câ f (2) l ph¦n tû nhä nh§t duy nh§t cõa
f (N∗ \ {1}) v f (n) > 2, ∀n > 2.
∗
∗
L°p l¤i qu¡ tr¼nh t÷ìng tü tr¶n (x²t f : N \ {1; 2} → N \ {1; 2} , . . . ) ta
∗
÷ñc f (1) < f (2) < f (3) < . . . Suy ra f (n) ≥ n, ∀n ∈ N .
Ngo i ra, ta cán câ f (n) l h m sè çng bi¸n.
∗
Gi£ sû ∃n ∈ N , f (n) > n suy ra f (n) ≥ n + 1 hay l f (f (n)) ≥ f (n + 1)
(do f (n) çng bi¸n).
∗
i·u â m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f (f (n)) < f (n + 1), ∀n ∈ N .
Vªy f (n) = n. H m sè n y hiºn nhi¶n thäa m¢n i·u ki»n ¢ cho trong
[IMO 1997] Cho h m sè
b i ra.
Tâm lai, ta ÷ñc
V½ dö 1.7.
f (n) = n, ∀n ∈ N∗ .
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f : N∗ → N∗
sao cho
f (2) = 2,
f (mn) = f (m).f (n), ∀m, n ∈ N∗ ,
f (m) < f (n), ∀m < n.
f thäa m¢n c¡c y¶u c¦u cõa b i to¡n.
Khi â, chån n = 1, ta câ f (1) = f (1.1) = f (1).f (1) n¶n f (1) = 1.
Ta th§y r¬ng 2 = f (2) < f (3) < f (4) = f (2).f (2) = 4 n¶n f (3) = 3 v
4 = f (4) < f (5) < f (6) = f (2).f (3) = 6 n¶n f (5) = 5.
∗
Ta chùng minh f (n) = n, ∀n ∈ N .
Líi gi£i.
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
8
Thªt vªy, ta chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p.
f (1) = 1, f (2) = 2.
Gi£ sû kh¯ng ành f (n) = n ¢ óng tîi n = k, k ≥ 2.
Lóc n y f (k) = k , ta c¦n chùng minh f (k + 1) = k + 1.
N¸u k l sè l´ th¼ k + 1 l sè ch®n v
k+1
k+1
k+1
f (k + 1) = f (2.
) = f (2).f (
) = 2.
= k + 1.
2
2
2
k+2
N¸u k l sè ch®n th¼ k + 2 l sè ch®n v do
≤ k n¶n theo gi£ thi¸t
2
Ta câ
quy n¤p ta câ
f(
k+2
k+2
)=
.
2
2
k+2
k+2
k+2
) = f (2).f (
) = 2.
= k + 2.
2
2
2
Ta câ k = f (k) < f (k + 1) < f (k + 2) = k + 2 n¶n f (k + 1) = k + 1.
Vªy kh¯ng ành v¨n cán óng vîi n = k + 1.
∗
Theo nguy¶n l½ quy n¤p, ta câ f (n) = n, ∀n ∈ N .
Thû l¤i, ta th§y f (n) = n thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n.
Vªy
f (k + 2) = f (2.
V½ dö 1.8.
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f : N∗ → N∗
f (2) = 2
f (mn) = f (m).f (n), ∀m, n ∈ N∗
f (m) < f (n), ∀m < n
Líi gi£i.
sao cho
; U CLN (m, n) = 1.
f thäa m¢n c¡c y¶u c¦u cõa b i to¡n.
f (1) = f (1.1) = f (1).f (1) n¶n f (1) = 1.
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
Khi â, chån
n = 1,
ta ֖c
Ta th§y r¬ng:
f (3).f (5) = f (15) < f (2).f (9) < f (2).f (10) = f (2).f (2).f (5).
Suy ra f (3) < f (2).f (2) = 4. M 2 = f (2) < f (3) < 4 n¶n f (3) = 3.
Tø â ta t½nh ÷ñc:
f (4) = 4, f (5) = 5, f (6) = 6, f (7) = 7, f (8) = 8, f (9) = 9, f (10) = 10.
∗
∗
Do â f (n) = n, ∀n ∈ N , n ≤ 10. Ta chùng minh f (n) = n, ∀n ∈ N .
∗
Gi£ sû f (k) = k (k ∈ N , 10 ≤ k ≤ n).
Ta c¦n chùng minh i·u kh¯ng ành v¨n cán óng vîi k = n + 1.
9
N¸u k l sè ch®n, ta x²t hai tr÷íng hñp sau:
• Tr÷íng hñp k = 2α (2l + 1), α, l ∈ N∗ .
f ((k + 1) + 2) = f (2α + 2) = f (2(2α−1 + 1)) = f (2).f (2α−1 + 1).
• Tr÷íng hñp k = 2α , α ∈ N∗ .
f (k + 2) = f (2α + 2) = f (2(2α−1 + 1)) = f (2).f (2α−1 + 1) = 2(2α−1 + 1)
= 2α + 2 = k + 2.
M°t kh¡c k − 1 = f (k − 1) < f (k) < f (k + 1) < f (k + 2) = k + 2.
Do â f (k) = k, f (k + 1) = k + 1.
Vîi k l sè l´ th¼ k + 1 l sè ch®n, ta x²t hai tr÷íng hñp sau:
• Tr÷íng hñp k + 1 = 2α (2l + 1), α, l ∈ N∗ .
α
Khi â 0 < 2 ≤ n, 0 < 2l + 1 ≤ n.
Theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ:
f ((k + 1) + 2) = f (2α + 2) = f (2(2α−1 + 1)) = f (2).f (2α−1 + 1).
M k − 1 = f (k − 1) < f (k) < f (k + 1) = k + 1 n¶n f (k) = k .
• Tr÷íng hñp k + 1 = 2α , α ∈ N∗ .
f ((k + 1) + 2) = f (2α + 2) = f (2(2α−1 + 1)) = f (2).f (2α−1 + 1)
= 2(2α−1 + 1) = 2α + 2 = (k + 1) + 2 = k + 3.
M k − 1 = f (k − 1) < f (k) < f (k + 1) < f (k + 2) < f (k + 3) = k + 3
n¶n f (k) = k, f (k + 1) = k + 1, f (k + 2) = k + 2.
Theo nguy¶n l½ quy n¤p, ta câ f (n) = n.
∗
Thû l¤i th§y f (n) = n, ∀n ∈ N thäa m¢n y¶u c¦u · b i.
V½ dö 1.9.
T¼m t§t c¡c h m sè
f (1) > 0
v
f :N→N
thäa m¢n c¡c i·u ki»n
f (m2 + n2 ) = f 2 (m) + f 2 (n).
f thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n.
2
Vîi m = n = 0 ta câ f (0) = 2f (0) n¶n f (0) = 0.
2
2
2
2
2
2
Vîi n = 0 ta câ f (m ) = f (m). Khi â f (m + n ) = f (m ) + f (n ).
2
Ta nhªn x²t r¬ng f (1) = f (1) ⇒ f (1)(1 − f (1)) = 0,
n¶n f (1) = 1 (v¼ f (1) > 0).
f (2) = f (12 + 12 ) = f 2 (1) + f 2 (1) = 2, f (4) = f (22 ) = f 2 (2) = 4,
f (5) = f (22 + 12 ) = 5; 25 = f (52 ) = f (32 + 42 ) n¶n f (3) = 3.
Líi gi£i.
Gi£ sû h m sè
10
f (6) = 6, f (7) = 7, f (8) = 8, f (9) = 9, f (10) = 10.
Vªy f (n) = n vîi n ≤ 10.
B¬ng quy n¤p ta chùng minh f (n) = n, ∀n ∈ N.
Gi£ sû f (k) = k, k ≥ 10. Ta chùng minh f (k + 1) = k + 1.
Ta th§y r¬ng (k + 1) câ d¤ng sau 5m + r, 0 ≤ r ≤ 4; m, r ∈ N.
Ta công t½nh ÷ñc
Ta l¤i câ c¡c ¯ng thùc sau:
(5m)2 = (4m)2 + (3m)2
(5m + 1)2 + 22 = (4m + 2)2 + (3m − 1)2
(5m + 2)2 + 12 = (4m + 1)2 + (3m + 2)2
(5m + 3)2 + 12 = (4m + 3)2 + (3m + 1)2
(5m + 4)2 + 22 = (4m + 2)2 + (3m + 4)2
• Vîi k + 1 = 5m th¼ f 2 (5m) = f ((5m)2 ) = f 2 (4m) + f 2 (3m) = (5m)2
n¶n f (5m) = 5m.
• Vîi k+1 = 5m+1 th¼ f ((5m + 1)2 +22 ) = f ((4m + 2)2 )+f ((3m − 1)2 )
n¶n f (5m + 1) = 5m + 1.
• Vîi k+1 = 5m+2 th¼ f ((5m + 2)2 +12 ) = f ((4m + 1)2 )+f ((3m + 2)2 )
n¶n f (5m + 2) = 5m + 2.
• Vîi k+1 = 5m+3 th¼ f ((5m + 3)2 +12 ) = f ((4m + 3)2 )+f ((3m + 1)2 )
n¶n f (5m + 3) = 5m + 3.
• Vîi k+1 = 5m+4 th¼ f ((5m + 4)2 +22 ) = f ((4m + 2)2 )+f ((3m + 4)2 )
n¶n f (5m + 4) = 5m + 4.
Vªy f (k + 1) = k + 1. Do â f (n) = n, ∀n ∈ N.
Thû l¤i, ta th§y h m sè f (n) = n, ∀n ∈ N thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n.
V½ dö 1.10.
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f : N∗ → N∗
thäa m¢n i·u ki»n
f (n + f (n)) = f (n), ∀n ∈ N∗ , ∃x0 ∈ N∗ : f (x0 ) = 1.
f thäa m¢n c¡c
∗
Gåi x1 = min {x : x ∈ N , f (x) = 1} .
Suy ra f (x1 + 1) = f (x1 + f (x1 )) = f (x1 ) = 1.
∗
Do â f (n) = 1, ∀n ∈ N , n ≥ x1 .
Gi£ sû x1 > 1. Khi â
Líi gi£i.
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
y¶u c¦u cõa · b i.
f (x1 ) − 1 + f (x1 − 1) = f (x1 − 1).
11
(1.4)
•
•
x1 − 1 + f (x1 − 1) ≥ x1 th¼ tø (1.4) suy ra f (x1 − 1) = 1,
N¸u x1 − 1 + f (x1 − 1) < x1 th¼ f (x1 − 1) < 1, công væ lþ.
∗
Vªy f (n) = 1, ∀n ∈ N . Thû l¤i th§y óng.
N¸u
V½ dö 1.11.
[IMO-1977]Cho
f : N∗ → N∗
væ lþ.
l h m sè thäa i·u ki»n
f (n + 1) > f (f (n)), ∀n ∈ N∗ .
Chùng minh r¬ng
Líi gi£i.
f (n) = n, ∀n ∈ N∗ .
Gi£ sû tçn t¤i h m sè thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n.
d l ph¦n tû nhä nh§t trong mi·n gi¡ trà cõa h m sè f ,
d = min {f (n) : n ∈ N∗ } theo nguy¶n l½ sp thù tü tèt, d tçn t¤i v
Gåi
tùc l
l duy
nh§t.
m ∈ N∗ sao cho f (m) = d.
N¸u m > 1 th¼ d = f (m) > f (f (m − 1)) m¥u thu¨n.
Vªy m = 1. Do â f (n) ¤t gi¡ trà nhä nh§t duy nh§t mët iºm m = 1.
∗
B¥y gií ta x²t {f (n) : n ∈ N , n ≥ 2}.
∗
B¬ng lªp luªn t÷ìng tü ta công câ f (2) = min {f (n) : n ∈ N , n ≥ 2}.
Hìn núa f (2) > f (1). V¼ n¸u f (2) = f (1) th¼ f (1) = f (2) > f (f (1)), m¥u
Gåi
thu¨n.
L°p l¤i qu¡ tr¼nh lªp luªn nh÷ tr¶n ta thu ÷ñc:
f (1) < f (2) < f (3) < f (4) < · · · < f (n) < . . .
f (n) ∈ N∗ . Vîi f (1) ≥ 1, tø (1.5) ta
Gi£ sû f (k) > k khi â f (k) ≥ k + 1.
V¼
suy ra r¬ng
(1.5)
f (k) ≥ k .
M°t kh¡c theo i·u ki»n b i to¡n ta câ:
f (k + 1) > f (f (k)).
f (k + 1) ≤ f (f (k)), i·u n y
thu¨n vîi (1.6), vªy khæng thº câ f (k) > k .
∗
Do â f (k) = k, ∀k ∈ N , hay f (n) ≡ n.
∗
Thû l¤i, ta th§y: f (n) = n, ∀n ∈ N thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n.
Tø
f (k) ≥ k + 1
v tø (1.5) suy ra
12
(1.6)
m¥u
V½ dö 1.12.
f (1) = 1
Líi gi£i.
v
f : N∗ → N∗
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f (f (n))f (n + 2) + 1 = f (n + 1)f (f (n + 1)), ∀n ∈ N∗ .
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
f
n = 1.
(1.7)
thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n.
Ta chùng minh b¬ng quy n¤p r¬ng vîi
* Vîi
thäa m¢n
n ∈ N∗
th¼
f (n + 1) > f (f (n)).
Hiºn nhi¶n (1.7) óng.
n = k, (k ≥ 1).
Ta chùng minh (1.7) óng vîi n = k + 1.
Thªt vªy, ta câ f (f (k))f (k + 2) = f (k + 1)f (f (k + 1)) − 1.
* Gi£ sû (1.7) óng vîi
Do â
f (k + 1) =
f (k + 1)f (f (k + 1)) − 1 (f (f (k)) + 1)f (f (k + 1)) − 1
≥
f (f (k))
f (f (k))
f (f (k))f (f (k + 1))
= f (f (k + 1)).
>
f (f (k))
f (n + 1) > f (f (n)), ∀n ∈ N∗ .
∗
Vªy ta câ f (n) = n, ∀n ∈ N .
∗
Thû l¤i ta th§y f (n) = n, ∀n ∈ N thäa m¢n
Tø â suy ra
i·u ki»n b i to¡n.
1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Jensen tr¶n tªp sè tü
nhi¶n
1.2.1. C¡c d¤ng to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü
nhi¶n
X²t b i to¡n x¡c ành h m sè
f(
f ∈ C(R)
thäa m¢n i·u ki»n
x+y
f (x) + f (y)
)=
, ∀x, y ∈ R.
2
2
C¡c c¡ch cho b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m Jensen tr¶n tªp sè tü nhi¶n:
l
• T¼m h m f : X → Y thäa m¢n
N, N∗ ; Y câ thº l N, N∗ , Z, R)
• T¼m sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y
i·u ki»n n o â (trong â
sè cho tr÷îc.
13
X
câ thº
1.2.2. C¡c v½ dö minh håa
V½ dö 1.13. f : N → Z
T¼m
thäa m¢n i·u ki»n
f (m + f 2 (m + 1)) = −f 2 (m + 1) − (m + 1), ∀m ∈ N.
f (n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra.
2
°t k = f (m + 1) suy ra k ∈ N do f (m + 1) ∈ Z.
Ta ÷ñc f (m + k) = −k − m − 1 = −(m + k) − 1 n¶n f (n) = −n − 1.
Líi gi£i.
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
Thû l¤i, h m sè n y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho.
Vªy
f (n) = −n − 1(n ∈ N)
V½ dö 1.14.
T¼m
f :N→N
l h m sè c¦n t¼m.
thäa m¢n i·u ki»n
f (f (n)) + f (n) = 2n + 3, ∀n ∈ N.
f (n) thäa m¢n y¶u c¦u b i ra.
Cho n = 0 ta ÷ñc f (f (0)) + f (0) = 3 suy ra f (0) ≤ 3.
N¸u f (0) = 0 ta ÷ñc 0 = 3 l i·u væ l½.
N¸u f (0) = 2 ta ÷ñc f (f (0)) = 1 ⇒ f (2) = 1 n¶n
f (1) = f (f (2)) = 2.2 + 3 − f (2) = 6.
Cho n = 1 suy ra f (f (1)) = 2.1 + 3 − f (1) = −1 do â f (6) = −1.
â l i·u væ l½ v¼ theo gi£ thi¸t f (n) ∈ N.
N¸u f (0) = 3 suy ra f (3) = f (f (0)) = 2.0 + 3 − f (0) = 0 n¶n f (3) = 0.
Ta ÷ñc 2.3 + 3 = f (f (3)) + f (3) = f (0) + 0 = 3 suy ra 9 = 3 l i·u
Líi gi£i.
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
væ l½.
Vªy
f (0) = 1.
Ta s³ chùng minh
f (n) = n + 1, ∀n ∈ N.
(1.8)
n = 0.
Gi£ sû (1.8) óng ¸n n = k, (k ≥ 0). Tùc l f (k) = k + 1. Khi â
f (k + 1) = f (f (k)) = 2k + 3 − f (k) = 2k + 3 − (k + 1) = k + 2 n¶n
f (k + 1) = k + 1 + 1.
Vªy (1.8) óng vîi n = k + 1.
Theo nguy¶n l½ quy n¤p ta ÷ñc(1.8) óng vîi måi n ∈ N.
Thªt vªy, (1.8) ¢ óng vîi
14
f (n) = n + 1, ∀n ∈ N thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh
f (n) = n + 1, ∀n ∈ N.
M°t kh¡c, d¹ th§y h m sè
d¢ cho n¶n ta câ ¡p sè
V½ dö 1.15.
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f :N→N
thäa m¢n i·u ki»n
f (f (n)) + f (n) = 2n + 3k, ∀n ∈ N,
(trong â
k
Líi gi£i.
°t
(1.9)
l sè tü nhi¶n cho tr÷îc).
f thäa m¢n y¶u c¦u b i
°t an+1 = f (an ), khi â tø
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
a1 = n
v vîi
n≥1
ta
to¡n.
(1.9) ta ֖c
2an + 3k = an+1 + an+2 ,
(1.10)
2an+1 + 3k = an+2 + an+3 .
(1.11)
L§y (1.11) trø (1.10) v¸ theo v¸ ta câ
an+3 − 3an+1 + 2an = 0.
Suy ra
an = λ1 + nλ2 + λ3 (−2)n , ∀n ∈ N∗ .
Nh÷ng tø (1.12), n¸u
λ3 > 0
ta cho
n
(1.12)
l´ v õ lîn s³ câ
λ3 < 0 ta cho n ch®n v õ lîn s³ câ an < 0, væ l½.
Do â λ3 = 0. Hay an = λ1 + nλ2 . Thay v o (1.10), ta
an < 0 ,
væ l½,
n¸u
֖c:
2λ1 + 2nλ2 + 3k = λ1 + (n + 1)λ2 + λ1 + (n + 2)λ2 .
λ2 = k . B¥y gií ta chó þ tîi
a2 − a1 = λ1 + 2k − (λ1 + k) = k n¶n f (n) − n = k .
Vªy f (n) = n + k, ∀n ∈ N.
Thû l¤i th§y f (n) = n + k, ∀n ∈ N thäa m¢n i·u ki»n
Tø â
V½ dö 1.16.
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f :N→N
b i to¡n.
thäa m¢n i·u ki»n:
f (f (f (n))) + 6f (n) = 3f (f (n)) + 4n + 2007, ∀n ∈ N.
Líi gi£i.
Gi£ sû h m sè
f
thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n. Vîi
(xn ) nh÷ sau x0 = k
n bði xn , ta ÷ñc:
nhi¶n b§t k¼, x²t d¢y
Tø (1.13) thay
Ph֓ng
v
(1.13)
k
l sè tü
xn+1 = f (xn ).
xn+3 = 3xn+2 − 6xn+1 + 4xn + 2007, ∀n ∈ N.
(1.14)
n
√ o
3
2
tr¼nh °c tr÷ng λ − 3λ + 6λ − 4 = 0 ⇔ λ ∈ 1, 1 ± i 3 .
Sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y
(xn )
l
15
xn = A + 2
Ta câ
n
nπ
nπ
B cos
+ C sin
+ Dn, ∀n ∈ N.
3
3
k = x0 = A + B ,
suy ra
√
√
f (k) = f (x0 ) = x1 = A + B + C 3 + D ⇒ f (k) = k + C 3 + D. (1.15)
√
Thay (1.15) v o (1.14) ÷ñc D + C 3 = 669 v (1.15) trð th nh
f (n) = n + 669, ∀n ∈ N.
Thû l¤i th§y thäa m¢n.
V½ dö 1.17.
T¼m t§t c£ c¡c h m sè t«ng thüc sü
f : N∗ → N∗
thäa m¢n
f (n + f (n)) = 2f (n), ∀n ∈ N∗ .
f thäa m¢n i·u ki»n b i to¡n.
Do f t«ng thüc sü n¶n f (n + 1) ≥ f (n) + 1 n¶n
f (n + 1) − n − 1 ≥ f (n) − n, ∀n ∈ N∗ .
Suy ra f (n) − n l mët h m sè t«ng.
M°t kh¡c, °t a0 = 1, an+1 = an + f (an ).
Khi â, a0 < a1 < . . . , v f (an+1 ) = 2f (an ), do â
f (an+1 ) − an+1 = f (an ) − an .
Suy ra câ væ h¤n bë (m, n) sao cho f (n) − n = f (m) − m, m f (n) − n
∗
h m t«ng thüc sü n¶n tø ¥y suy ra f (n) − n l h m t«ng tr¶n N .
∗
Vªy f (n) = n + k, ∀n ∈ N (vîi k l h¬ng sè nguy¶n d÷ìng).
Líi gi£i.
l
Gi£ sû tçn t¤i h m sè
Thû l¤i th§y thäa m¢n.
V½ dö 1.18.
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f : N∗ → N∗
thäa m¢n
f (2x + 3y) = 2f (x) + 3f (y) + 4, ∀x, y ∈ N∗ .
Líi gi£i.
K½ hi»u
p(x + 3, y)
P (u, v)
ch¿ vi»c thay
x
bði
u,
thay
y
bði
v
v o (1.16),
n¶n
f (2(x + 3) + 3y) = 2f (x + 3) + 3f (y) + 4, ∀x, y ∈ N∗ .
p(x, y + 2)
(1.16)
(1.17)
n¶n
f (2x + 3(y + 2)) = 2f (x) + 3f (y + 2) + 4, ∀x, y ∈ N∗ .
16
(1.18)
L§y (1.17) trø (1.18) theo v¸ ta ÷ñc:
2 [f (x + 3) − f (x)] = 3 [f (y + 2) − f (y)] , ∀x, y ∈ N∗ .
Tø (1.19) cho
y=1
(1.19)
ta ֖c:
2 [f (x + 3) − f (x)] = 3 [f (3) − f (1)] , ∀x ∈ N∗ .
Do
2
v
3
nguy¶n tè còng nhau n¶n tø (1.20), suy ra:
(1.20)
f (x + 3) − f (x)
l h¬ng sè v chia h¸t cho 3:
f (x + 3) − f (x) = 3c, ∀x ∈ N∗ (c - const). Thay v o (1.19), ta ÷ñc:
3 [f (y + 2) − f (y)] = 6c, ∀y ∈ N∗ hay f (y + 2) − f (y) = 2c, ∀y ∈ N∗ .
Tâm l¤i:
f (x + 2) = f (x) + 2c, ∀x ∈ N∗
f (x + 3) = f (x + 1) + 2c, ∀x ∈ N∗
n¶n
f (x + 3) − f (x) + 3c, ∀x ∈ N∗
f (x + 3) = f (x) + 3c, ∀x ∈ N∗
∗
Suy ra f (x + 1) = f (x) + c, ∀x ∈ N .
+∞
Vªy d¢y sè {f (x)}x=1 lªp th nh c§p sè cëng.
∗
Do â f (x) = cx + d, ∀x ∈ N , thay v o (1.16) ta ÷ñc:
c(2x + 3y) + d = 2(cx + d) + 3(cy + d) + 4, ∀x ∈ N∗ hay d = −1
∗
Vªy h m sè c¦n t¼m d¤ng f (x) = cx−1, ∀x ∈ N vîi c l h¬ng sè nguy¶n
(c > 1).
V½ dö 1.19.
T¼m t§t c£ c¡c h m sè
f :N→N
thäa m¢n
f (0) = 1
v
f (f (n)) + 3f (n) = 4n + 5, ∀n ∈ N.
Líi gi£i.
Ta s³ chùng minh b¬ng quy n¤p r¬ng vîi måi
f (n) = n + 1.
n∈N
th¼:
(1.22)
n = 0.
Gi£ sû (1.22) óng khi n = k, (k ∈ N), tùc l f (k) = k +1. Ta c¦n chùng
minh (1.22) công óng khi n = k + 1, tùc l chùng minh f (k + 1) = k + 2.
Do
f (0) = 1 = 0 + 1
(1.21)
Ta câ
n¶n (1.22) óng khi
do(1.22)
f (k +1) = f (f (k)) =
Theo nguy¶n l½ quy n¤p suy
4k +5−3f (k) = 4k +5−3(k +1) = k +2.
ra: f (n) = n + 1, ∀n ∈ N.
Thû l¤i th§y thäa m¢n y¶u c¦u b i ra.
17
- Xem thêm -