Së gi¸o dôc & ®µo t¹o thanh ho¸
trêng THPT Ba ®×nh nga s¬n
-------***-------
RÌn luyÖn
Cho häc sinh sö dông ®¹o hµm ®Ó
chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Hä vµ tªn t¸c gi¶ : NguyÔn V¨n KÕ
Chøc vô
: Gi¸o viªn
§¬n vÞ c«ng t¸c : Trêng THPT Ba §×nh
SKKN thuéc m«n:
To¸n
SKKN thuéc n¨m häc 2010 -2011
1
PhÇn I: ®Æt vÊn ®Ò
BÊt ®¼ng thøc lµ mét m¶ng kiÕn thøc khã , thêng gÆp trong c¸c ®Ò thi häc
sinh giái c¸c cÊp vµ ®Ò thi tuyÓn sinh vµo c¸c trêng §¹i häc vµ Cao ®¼ng.
Cïng víi ®Þnh nghÜa ®¹o hµm, c¸c kÕt qu¶ trong viÖc kh¶o s¸t sù biÕn thiªn
cña hµm sè ®îc sö dông ®Ó gi¶i quyÕt nhiÒu bµi to¸n to¸n häc vµ nhiÒu bµi
to¸n trong c¸c nghµnh khoa häc kh¸c. Do ®ã viÖc híng dÉn häc sinh sö dông
®¹o hµm ®Ó chøng minh bÊt d¼ng thøc lµ mét ®iÒu cÇn thiÕt, gióp häc sinh
hiÓu s©u s¾c, ch¾c ch¾n nh÷ng kiÕn thøc vÒ ®¹o hµm; ®ång thêi gióp c¸c em
kh«ng chØ gi¶i ®îc nh÷ng bµi to¸n cã s½n mét lîc ®å gi¶i chung, mµ cßn gi¶i
®îc nhiÒu bµi to¸n ®ßi hái nhiÒu ®Õn kü n¨ng t duy, tæng hîp c¸c kiÕn thøc
rót ra tõ c¸c néi dung kh¸c nhau. H¬n n÷a mét thùc tÕ lµ rÊt nhiÒu häc sinh
cha thÊy hÕt ®îc øng dông cña ®¹o hµm trong c¸c bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh,
bÊt ph¬ng tr×nh ,hÖ ph¬ng tr×nh vµ ®Æc biÖt lµ bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng
thøc. ViÖc sö dông viÖc kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè ®Ó chøng minh
mét sè bÊt ®¼ng thøc t¹o nªn sù phong phó vÒ thÓ lo¹i vµ ph¬ng ph¸p gi¶i
to¸n.
PhÇn II: c¸c gi¶i ph¸p c¶i tiÕn
1.Thùc tr¹ng vÊn ®Ò :
Bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc kh¸ ®a d¹ng phong phó vµ cã thÓ nãi lµ
khã ®èi víi häc sinh phæ th«ng . RÊt nhiÒu trêng hîp viÖc chøng minh bÊt
®¼ng thøc gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n , thËm chÝ kh«ng t×m ra ®îc lêi gi¶i ®óng
bëi mét nhÏ lµ do häc sinh cha ®îc trang bÞ tèt c¸c kiÕn thøc, ph¬ng ph¸p ,kü
n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n thuéc thÓ lo¹i nµy.
2.Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu.
§Ò tµi ®îc sö dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch , tæng hîp, so s¸nh.
3.§èi tîng:
¤n thi häc sinh giái vµ häc sinh thi vµo c¸c trêng §¹i häc , Cao ®¼ng.
4.C¸ch thøc thùc hiÖn:
§Ó thùc hiÖn ®Ò tµi nµy ,t«i ph©n thµnh 2 d¹ng bµi tËp t¬ng øng víi c¸c
d¹ng bÊt ®¼ng thøc chØ chøa mét biÕn vµ bÊt ®¼ng thøc cã chøa nhiÒu biÕn .
5.Néi dung:
A-C¬ së lý thuyÕt :
Trong nhiÒu bÊt ®¼ng thøc chøa biÕn cã thÓ chän mét hµm sè ®¹i diÖn ®Ó
kh¶o s¸t sù biÕn thiªn, qua ®ã t×m ®îc miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè ®¹i diÖn , tõ
®ã suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. Tuy nhiªn viÖc chän hµm sè ®¹i diÖn cÇn kÕt
hîp c¸c kiÕn thøc vÒ ®¹o hµm vµ vËn dông linh ho¹t c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n
kh¸c vÒ bÊt ®¼ng thøc .
B- Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n :
Sö dông ®¹o hµm ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc, trong nhiÒu trêng hîp ®· ®îc gi¶i quyÕt rÊt ng¾n gän, lêi gi¶i nhÑ nhµng, trong s¸ng vµ trong nhiÒu trêng hîp cã thÓ nãi lµ ®éc ®¸o, t¹o cho häc sinh høng thó, tù tin h¬n trong
häc tËp .Gióp ph¸t triÓn ãc t duy linh ho¹t s¸ng t¹o cho häc sinh .
C¸c bµi tËp ®îc chän trong ®Ò tµi nµy cã thÓ b¾t nguån tõ c¸c bµi tËp trong
s¸ch gi¸o khoa , s¸ch bµi tËp vµ trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái , c¸c ®Ò thi
tuyÓn sinh vµo c¸c trêng §¹i häc vµ Cao ®¼ng . c¸c bµi tËp ®îc chän híng
vµo yªu cÇu c¬ b¶n vµ bµi tËp cã nhiÒu kiÕn thøc cÇn khai th¸c , qua ®ã kh¾c
s©u , hÖ thèng vµ n©ng cao c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ øng dông cña ®¹o hµm
còng nh bÊt ®¼ng thøc .
2
D¹ng 1: BÊt ®¼ng thøc cã chøa mét biÕn
* Ph¬ng ph¸p : Chän lu«n biÕn ®ã lµm biÕn cña hµm sè cÇn kh¶o s¸t
* C¸c vÝ dô:
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi x thuéc ®o¹n 0;1 ta lu«n cã :
x2
1 x e 1 x
2
x
(TrÝch ®Ò tuyÓn sinh trêng §¹i häc KiÕn tróc n¨m 2000)
Bµi gi¶i:
2
Ta cÇn chøng minh 2 bÊt ®¼ng thøc e x x 1 0 (1), x x 1 e x 0 (2)
2
2
XÐt hµm sè f ( x) x x 1 e x víi x thuéc ®o¹n 0;1
2
f’(x) =x-1+e-x , f’’(x) =1-e-x
* Víi x thuéc ®o¹n 0;1 th× e x e0 0 f ''( x ) 0, x 0;1
Suy ra f’(x) ®ång biÕn trªn ®o¹n 0;1
Do ®ã víi x thuéc ®o¹n 0;1 th×:
f’(x) f’(0) x 1 e x 0 e x x 1
Do ®ã (1) ®îc chøng minh .
* Víi x thuéc ®o¹n 0;1 th× f’(x) f’(0), nªn f(x) ®ång biÕn trªn ®o¹n
0;1 .
Suy ra: víi x thuéc ®o¹n 0;1 th× f(x) f(0)
Do ®ã (2) ®îc chøng minh.
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi x ta ®Òu cã :
1
5
x5 1 x
16
Bµi gi¶i:
5
BÊt ®¼ng thøc ®· cho t¬ng ®¬ng víi : x 5 1 x
1
trªn
16
Ta cã f’(x) = 5x4-5(1-x)4 = 5[x2+(1-x)2](2x-1)
f’’(x) = 20[x3+(1-x)3]
1
1 1
f’(x) = 0 x f '' 0
2
2 16
5
XÐt hµm sè f ( x) x 5 1 x
3
1
0
16
1
1
Do vËy hµm sè f(x) ®¹t cùc tiÓu duy nhÊt t¹i x , fCT f 0
2
2
1
VËy f(x) 0 víi mäi x thuéc ,®¼ng thøc x¶y ra khi x=
2
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a ta lu«n cã:
3a
2
4
34 a 8 2
(TrÝch ®Ò tuyÓn sinh trêng §¹i häc Quy Nh¬n n¨m 1997)
Bµi gi¶i:
BÊt ®¼ng thøc ®· cho t¬ng ®¬ng víi :
XÐt hµm sè
2
3a 4 34a8 2 0
2
f (a) 3a 4 34 a8 2 trªn
2
Ta cã f '(a ) 2a.3a 4.ln3 4.34 a 8.ln3
f '(a ) 0 a 2
2
L¹i cã f ''(a ) 4a 2 .3a 4.ln 2 3 16.34 a 8.ln 2 3 0
Suy ra f’(a) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn ,nªn f’(a)>0 khi a>-2 vµ f’(a)< 0 khi
a< -2
Ta cã b¶ng biÕn thiªn:
a
f’(a)
-
f(a)
-2
0
+
0
Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra f (a ) 0, a , ®¼ng thøc x¶y ra a=-2
Bµi tËp t¬ng tù :
. Chøng minh r»ng :
2
2cos3C 4cos 2C 1
2
cosC
2.Chøng minh r»ng nÕu x lµ sè thùc d¬ng th× víi mäi n nguyªn d¬ng , ta
2
3
n
®Òu cã : e x 1 x x x ... x
2! 3!
n!
( TrÝch ®Ò 101- Bé ®Ò tuyÓn sinh )
3.Chøng minh r»ng víi mäi x thuéc nöa kho¶ng 0; ta lu«n cã:
2
1.Cho tam gi¸c ABC cã 0 A B C
4
x3
tanx x
6
¸p dông: Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC ta cã :
A
B
C
tan tan tan 3
2
2
2
4. Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: a 6, b 8, c 3 .
Chøng minh r»ng víi mäi x 1ta lu«n cã : x 4 ax 2 bx c
( §Ò 15 – Bé ®Ò tuyÓn sinh)
D¹ng 2: BÊt d¼ng thøc cã chøa nhiÒu biÕn
* Ph¬ng ph¸p :
- C¸ch 1: Quy vÒ bÊt ®¼ng thøc cã Ýt biÕn h¬n nhê viÖc ®æi biÕn, ®¸nh gi¸,
chän hµm sè ®¹i diÖn, …
- C¸ch 2: Chän mét biÕn lµ biÕn cña hµm sè vµ c¸c biÕn cßn l¹i lµ tham
sè .
Chó ý : Sau khi t×m ®îc gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ cÇn thö l¹i
xem ®¼ng thøc trong bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh cã
x¶y t¹i ®óng gi¸ trÞ ®ã kh«ng vµ gi¸ trÞ ®ã cã tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña gi¶
thiÕt kh«ng.
* C¸c vÝ dô:
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi a,b lµ hai sè kh«ng ©m bÊt kú ta lu«n cã
3a 3 17b3 18ab 2
Bµi gi¶i:
C¸ch 1: (Quy vÒ B§T cã mét biÕn )
Ta xÐt hai trêng hîp :
+ NÕu b=0 : B§T trë thµnh a 3 0 , B§T ®óng víi mäi a kh«ng ©m
+ NÕu b>0: §Æt a=tb (víi t 0)
Ta ®îc 3t 3b 3 18tb3 17b3 0 3t 3 18t 17 0
XÐt hµm sè f(t) = 3t3-18t+17, t D 0;
f '(t ) 9t 2 18, f '(t ) 0 t 2
B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f(t) trªn D:
t
f’(t)
f(t)
0
2
-
0
+
17
17-12 2
Suy ra f(t) > 0 víi mäi thuéc D
VËy: B§T ®îc chøng minh , ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=0.
5
NhËn xÐt: Trong B§T ®· cho th× biÓu thøc tham gia bµi to¸n lµ biÓu thøc
®¼ng cÊp , nªn gîi cho ta c¸ch ®Æt a=tb, ®Ó ®a B§T ®· cho vÒ B§TchØ chøa
mét biÕn vµ khi ®ã viÖc chän hµm sè ®Ó kh¶o s¸t lµ dÔ dµng .
C¸ch 2: ( Chän mét biÕn lµ biÕn sè cña hµm sè cÇn kh¶o s¸t , biÕn cßn l¹i
xem lµ tham sè)
XÐt hµm sè f(a) =3a3-18b2a + 17b3 ,víi a thuéc D= 0; vµ b lµ tham sè
kh«ng ©m.
f’(a) = 9a2 -18b2, f’(a) = 0 a b 2
+ NÕu b=0 , ta cã b¶ng biÕn thiªn cña f(a) trªn D :
a
f’(a)
0
0
f(a)
0
+
Suy ra: f(a) 0 , víi mäi a thuéc D
+ NÕu b > 0 , Ta cã b¶ng biÕn thiªn cña f(a) trªn D:
a
f’(a)
f(a)
0
0
17b3
-
b 2
0
+
b3 (17 12 2)
Suy ra f(a)>0 víi mäi b > 0
C¶ hai trêng hîp
ta ®îc f(a) 0 víi mäi a thuéc D .Hay
3
3
2
3a 17b 18ab 0 víi mäi a,b kh«ng ©m , ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=0
NhËn xÐt : B»ng c¸ch gi¶i t¬ng tù, khi chän hµm sè víi b lµ biÕn sè vµ a lµ
tham sè ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn ta còng chøng minh ®îc B§T ®· cho.
VÝ dô 2 :
Cho hai sè kh¸c 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (a+b)ab = a 2+b2 – ab. Chøng minh
1 1
r»ng:
16
a 3 b3
Bµi gi¶i:
a b a 2 b 2 ab
1
1
C¸ch 1 : §Æt T
a3 b3
a 3b3
6
§Æt S = a+b, P = ab víi ®iÒu kiÖn S 2 4 P
(1)
. Khi ®ã theo gi¶ thiÕt bµi to¸n
2
S
ta cã SP=S -3P , dÔ thÊy S 0, S 3 , do ®ã P
vµ ®iÒu kiÖn (1) trë
S 3
S 1
4S 2
S1
thµnh S 2
0
S 3
S 3
S 3
2
2
Ta biÓu diÔn T theo S : T S 62S 9 .
S
2
XÐt hµm sè f ( S ) S 62S 9 , S D ; 3 1;
S
6( S 3)
f '( S )
S3
B¶ng biÕn thiªn cña f(S) trªn D
S
f’(S)
f(S)
-3
1
-
-
1
16
0
1
1
Tõ ®ã suy ra: T 16 , §¼ng thøc x¶y ra khi a=b= .
2
C¸ch 2 :
a b a 2 b2 ab a b 2 1 1 2
§Æt T 13 13
a b
a 3b3
ab a b
§Æt a=tb (t 0) , tõ gi¶ thiÕt suy ra (t+1)tb3=(t2-t+1)b2
t 2 t 1
t2 t 1
b
,a
t (t 1)
t 1
2
2
1 1 t 2 2t 1
Do ®ã T 2
a b t t 1
t 2 2t 1
3t 2 3
, f '(t )
XÐt hµm sè f (t ) 2
2
t t 1
t 2 t 1
B¶ng biÕn thiªn cña f(t):
t
f’(t)
f(t)
-1
0
1
0
Suy ra f(t) 4
7
+
1
0
4
-
1
1
Do ®ã: T 16 , §¼ng thøc x¶y ra khi a=b= .
2
VÝ dô 3 :
Chøng minh r»ng ,nÕu a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 3
th× : 3a2+3b2+3c2+4abc 13.
( TrÝch ®Ò tuyÓn sinh trêng §¹i häc Vinh n¨m 2001)
Bµi gi¶i : §Æt T= 3a2+3b2+3c2+4abc -13
C¸ch 1 : (§¸nh gi¸ ®Ó íc lîng bÊt ®¼ng thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc cã chøa mét
biÕn).
Do vai trß cña a,b,c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö a b c ,suy ra
a+b 2c (1)
L¹i cã a+b+c=3 vµ a+b>c (2)
3
Tõ (1) ,(2) suy ra 3-c 2cvµ 3-c>c 1 c<
2
Ta biÕn ®æi T = 3(a2+b2)+3c2+4abc -13
= 3[(a+b)2-2ab] +3c2+4abc -13
= 3(3-c)2+3c2-2ab(3-2c)-13
2
a
b
Do 3-2c>0 vµ tõ bÊt ®¼ng thøc ab
suy ra :
2
1
3
1
2
2
T 3 3 c c 2 a b 3 2c -9 = c3 c 2
2
2
2
3
1
3
§Æt f(x)= x 3 x 2 víi 1 x< .
2
2
2
3
3
f’(x)=3x2-3x=3x(x-1) 0 víi 1 x< suy ra f(x) ®ång biÕn trªn 1;
2
2
VËy: T f(x) f(1) = 0 ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1.
NhËn xÐt: Nhê sù ®¸nh gi¸ ta ®· íc lîng ®îc mét bÊt ®¼ng thøc chØ chøa
mét biÕn.
C¸ch 2: (Kh¶o s¸t lÇn lît tõng biÕn)
Do vai trß cña a,b,c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö a b c ,suy
ra: a+b 2c
(1)
L¹i cã a+b+c=3 vµ a+b>c (2)
3
Tõ (1) ,(2) suy ra 3-c 2c vµ 3-c>c 1 c<
2
Víi mçi gi¸ trÞ b ®· chän , thay b=3-a-c vµo T ta ®îc :
T=(6-4c)a2 -2(2c2-9c+9)a +6c2-18c+16=f(a)
V× f(a) lµ hµm sè bËc hai ®èi víi a cã hÖ sè cña a 2 lµ (6-4c)>0 víi mäi c
3 c
3
Suy
ra
f(a)
nhá
nhÊt
khi
a=
1;
2
2
8
3 2 1
3 c
3
Do ®ã T f
c c =g(c)
2
2
2
3
L¹i cã g’(c)=3c2-3c =3c(c-1) 0 víi mäi c 1;
2
VËy: T g(c) g(1)=0
NhËn xÐt :
- NÕu ba sè thùc d¬ng cã tæng b»ng a th× Ýt nhÊt mét trong c¸c sè ®ã thuéc
a
a 2a
nöa kho¶ng 0; , mét sè thuéc ®o¹n ; .
3
3 3
- Khi gÆp bÊt ®¼ng thøc T=T(a;b;c) 0 víi a,b,c tho¶ m·n mét ®iÒu kiÖn
nµo ®ã , trong nhiÒu trêng hîp ta cã thÓ lµm nh sau :
+ TÝnh b theo a vµ c
+ ViÕt T = f(a) , coi c lµ tham sè .
+ Chøng minh f(a) g(c).
+ Chøng minh g(c) 0 , suy ra T 0
VÝ dô 4: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän . Chøng minh r»ng :
sinA+sinB + sinC + tanA+ tanB + tanC >2
Bµi gi¶i :
B§T ®· cho t¬ng ®¬ng víi B§T :
(sinA+ tanA -2A)+ (sinB + tanB -2B)+( sinC+ tanC-2C) > 0
(1)
(v× A+B+C= )
XÐt hµm sè f(x)= sinx+tanx -2x trªn D= 0; ,
2
(cosx 1)(cos 2 x cosx 1
f '( x)
cos 2 x
cosx 1 0
Do x D 2
f '( x) 0
2
cos
x
cosx
1
sin
x
cosx
0
Suy ra: f(x) ®ång biÕn trªn D f(x)> f(0) =0
Víi x=A , x=B,x=C ta cã : f(A)>0, f(B)>0, f(C)>0
Céng ba B§T trªn ta cã (1)
VËy B§T ®îc chøng minh
NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn ta ®· chän hµm sè ®¹i diÖn lµ f(x)= sinx+tanx
-2x trªn D= 0; .
2
9
VÝ dô 5 :
Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n a2+b2+c2 = 1 Chøng minh r»ng:
a
b
c
3 3
2
2
2
2
2
b c c a
a b
2
2
( TrÝch ®Ò 26- Bé ®Ò TuyÓn sinh).
Bµi gi¶i :
B§T (1) ®· cho t¬ng ®¬ng víi B§T:
a
b
c
3 3
a2
b
c
3 3
2
2
2
2
2
2
1 a 1 b 1 c
2
2
a 1 a b1 b c 1 c
XÐt hµm sè f x
f ' x
3x 2 1
2 2
1
trªn (0;1)
x 1 x2
, f ' x 0 x
3
(do x thuéc kho¶ng (0;1))
3
x2 1 x
B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (0;1).
x
0
f’(x)
-
f(x)
Suy ra
3
3
0
1
+
3 3
2
min f x
x 0;1
3 3
3
3 3
khi x
f x
, x 0;1 .
2
3
2
3 3
a2
3 3a 2
Víi x=a f a
(1).
2
2
a 1 a2
b2
3 3b 2
c2
3 3c 2
T¬ng tù víi x=b,x=c ta còng cã
2 ,
3
2
2
b 1 b2
c 1 c2
Céng (1) , (2),(3) c¸c vÕ t¬ng øng vµ chó ý a2+b2+c2=1,ta ®îc ®iÒu cÇn chøng
minh , ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c= 3
3
Bµi tËp t¬ng tù:
10
1-Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n a+b+c=3. Chøng minh r»ng:
a b c ab bc ca
2-Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a>c, b>c, c>0 . Chøng minh r»ng:
c(a c) c(b c ) ab
( TrÝch ®Ò thi §¹i häc khèi A n¨m 1980).
3-Cho tam gi¸c ABC kh«ng tï . Chøng minh r»ng :
1
1
cos3 A cos3B cos3C cos 2 A cos 2 B cos 2C
3
2
5
cosA cosB cosC
4
4- Cho c¸c sè thùc d¬ng a,b,c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = 3 . Chøng minh r»ng :
1 1 1 3
15
a b c
a b c 2
2
PhÇn III: KÕt qu¶ nghiªn cøu vµ bµi häc kinh nghiÖm
1. KÕt qu¶ nghiªn cøu
®Ó kiÓm tra hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi t«i tiÕn hµnh kiÓm tra trªn hai ®èi tîng cã
chÊt lîng t¬ng ®¬ng lµ häc sinh líp 12B vµ líp 12I. Trong ®ã líp
12B cha ®îc híng dÉn sö dông ®¹o hµm kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm
sè ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc . Víi h×nh thøc kiÓm tra lµ lµm bµi tù luËn
víi thêi gian 60 phót víi ®Ò bµi nh sau:
®Ò kiÓm tra 60’
C©u 1: ( 5 ®iÓm)
a. Chøng ming r»ng nÕu x lµ sè thùc d¬ng th× ta lu«n cã : ln x x
3
b. Chøng minh r»ng: 2cosx cotx 3x
0, x 0;
2
2
C©u 2: ( 3 ®iÓm)
Cho a, b lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m. Chøng minh r»ng : 3a 3 7b 3 9ab 2
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
Cho ba sè thùc d¬ng a,b,c tho¶ m·n x+y+z=3 . Chøng minh r»ng:
x 2 y 2 z 2 xyz 4
KÕt qu¶ thu ®îc nh sau:
§iÓm < 5
Líp
Sü sè
Sè lîng
%
§iÓm 5 <8
§iÓm 8
Sè lîng
Sè lîng
12 B
45
11
24,4%
30
12I
44
3
6,7%
27
11
%
66,7%
60,9%
%
4
8,9%
14
32,4%
2.Bµi häc kinh nghiÖm:
Qua ®Ò tµi nµy , t«i thu ®îc mét sè bµi häc sau:
- Ph¶i cho häc sinh tiÕp cËn víi nhiÒu bµi to¸n víi nh÷ng c¸ch kh¸c nhau .
- RÌn luyÖn cho häc sinh ph©n tÝch bµi to¸n theo nhiÒu híng kh¸c nhau ®Ó
t×m ra lêi gi¶i tèi u nhÊt.
- RÌn luyÖn kü n¨ng tr×nh bµy ng¾n gän, chÆt chÏ ,hîp logic.
- Ph¸t huy tèi ®a tÝnh tÝch cùc ,chñ ®éng ,s¸ng t¹o cña häc sinh.
- T¹o ®iÒu kiÖn tèi ®a ®Ó häc sinh chñ ®éng gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n dùa
trªn c¬ së lý thuyÕt t¬ng øng.
KÕt luËn
Sö dông kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc t¹o
cho häc sinh ph¸t triÓn tÝnh tÝch cùc , trÝ th«ng minh s¸ng t¹o , kü n¨ng vËn
dông linh ho¹t c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo trong gi¶i to¸n ; gióp c¸c em thÊy ®îc sù gÇn gòi vµ tù tin víi m¶ng kiÕn thøc khã nµy.
Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy trªn c¸c buæi «n thi häc sinh giái vµ «n thi §¹i
häc t¹i c¸c líp 12B, 12I vµ ®éi tuyÓn häc sinh giái cña trêng THPT Ba §×nh
®· cho kÕt qu¶ tèt . Häc sinh cã thÓ sö dông linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c
nhau ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, t×m gi¸ trÞ
lín nhÊt , gi¸ trÞ nhÊt cña hµm sè, ®Æc biÖt lµ c¸c bµi to¸n chøng minh bÊt
®¼ng thøc . ®ång thêi qua ®ã gióp häc sinh ph¸t triÓn t duy tÝch cùc , ®éc
lËp, s¸ng t¹o vµ tiÒm n¨ng vËn dông tri thøc vµo nh÷ng t×nh huèng míi .
V× nhiÒu lÝ do kh¸c nhau , nªn trong bµi viÕt nµy, t«i còng chØ míi nªu
ra c¸ch gi¶i quyÕt mét sè d¹ng bÊt ®¼ng thøc nhê sö dông c«ng cô ®¹o hµm.
RÊt mong ®îc sù ®ãng gãp, cïng trao ®æi cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó cã thÓ
khai th¸c tèt nhÊt c¸c bµi to¸n thuéc thÓ lo¹i nµy .
T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n!
Nga S¬n, ngµy 28 th¸ng 4 n¨m 2011
Ngêi thùc hiÖn
NguyÔn V¨n KÕ
12
- Xem thêm -