ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT CHUNG
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
sin 2 x 1 cos 2 x
sin 2 x cos 2 x 1 2
2
cos x 1 sin x
1
1
1 tan 2 x tan 2 x
1
2
cos x
cos 2 x
1
1
1 cot 2 x cot 2 x 2 1
2
sin x
sin x
1
tan x.cot x 1 cot x
tan x
4
4
sin x cos x 1 2sin 2 x cos 2 x
6
6
2
2
sin x cos x 1 3sin x cos x
sin 3 x cos3 x sin x cos x 1 sin x cos x
3
3
sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Góc I
Góc II
Góc III
+
+
sin x
cos x
+
tan x
+
+
cot x
+
+
III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
Hai cung đối nhau
cos x cos x
sin x sin x
tan x tan x
Hai cung bù nhau
sin x sin x
cot x cot x
tan x tan x
Hai cung phụ nhau
sin x cos x
2
tan x cot x
2
Hai cung hơn nhau
sin x sin x
cot x cot x
sin x cos x
2
+
cos x cos x
tan x tan x
Hai cung hơn nhau
Góc IV
cos x sin x
2
cot x tan x
2
cos x cos x
cot x cot x
2
cos x sin x
2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
tan x cot x
2
Với k là số nguyên thì ta có:
sin x k 2 sin x
Lượng giác Nâng Cao
cot x cot x
2
cos x k 2 cos x
tan x k tan x cot x k cot x
IV. CÔNG THỨC CỘNG
sin x y sin x cos y cos x sin y
sin x y sin x cos y cos x sin y
cos x y cos x cos y sin x sin y
cos x y cos x cos y sin x sin y
tan x y
tan x tan y
1 tan x tan y
tan x y
tan x tan y
1 tan x tan y
Đặc biệt:
sin 2 x 2sin x cos x
TH1: Công thức góc nhân đôi: cos 2 x cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x 1 1 2sin 2 x
2 tan x
tan 2 x
1 tan 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin 2 x
;cos2 x
2
2
3
sin 3x 3sin x 4sin x
TH2: Công thức góc nhân ba:
3
cos 3x 4 cos x 3cos x
V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
x y
x y
1
cos x cos y 2cos
cos
cos x cos y cos x y cos x y
2
2
2
x y
x y
1
cos x cos y 2sin
cos
sin x sin y cos x y cos x y
2
2
2
x y
x y
1
sin x sin y 2sin
cos
sin x cos y sin x y sin x y
2
2
2
x y
x y
1
sin x sin y 2cos
sin
cos x sin y sin x y sin x y
2
2
2
Chú ý:
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
u v 2k
u v k 2
sin u sin v
cos u cos v
u v k 2
u v k 2
u v k
tan u tan v
u 2 k
Đặc biệt:
u v k
cot u cot v
u k
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
sin x 0 x k
cos x 0 x
Lượng giác Nâng Cao
k
2
k 2
cos x 1 x k 2
2
sin x 1 x k 2
cos x 1 x k 2
2
Chú ý:
Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x m và cos x m là: 1 m 1
Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau
về phương trình cơ bản:
sin u cos v sin u sin v
cos u sin v cos u cos v
2
2
sin x 1 x
sin u sin v sin u sin v
cos u cos v cos u cos v
cos 2 x 1 cos x 1
Đối với phương trình 2
không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4
sin x 1
sin x 1
phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công
cos 2 x 1 sin x 0
thức sin 2 x cos2 x 1 để biến đổi như sau: 2
sin 2 x 0
cos x 0
sin x 1
1
2
cos x 2
2 cos 2 x 1 0
Tương tự đối với phương trình
cos 2 x 0
2
1
2sin
x
0
sin 2 x 1
2
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số sin
Hàm số y sin x xác định trên nhận giá trị trên 1;1 và:
Là hàm số lẻ vì sin x sin x , x
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y sin x nhận các giá trị đặc biệt
sin x 0 khi x k , k
sin x 1 khi x k 2 , k
2
sin x 1 khi x k 2 , k
2
Đồ thị hàm số y sin x :
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
2. Hàm số côsin
Hàm số y cos x xác định trên , nhận giá trị trên 1;1 và:
Là hàm số chẵn vì cos x cos x , x
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y cos x nhận các giá trị đặc biệt:
cos x 0 khi x k , k
2
cos x 1 khi x k 2 , k
cos x 1 khi x k 2 , k
Đồ thị hàm số y cos x :
3. Hàm số tang
sin x
xác định trên / k , k , nhận giá trị trên và:
Hàm số y tan x
cos x
2
Là hàm số lẻ vì tan x tan x , x / k , k
2
Là hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số y tan x nhận giá trị đặc biệt
tan x 0 khi x k , k
tan x 1 khi x k , k
4
tan x 1 khi x k , k
4
Đồ thị hàm số y tan x :
4. Hàm số cô tang
cos x
Hàm số y cot x
xác định trên \ k , k , nhận giá trị trên và:
sin x
Là hàm số lẻ vì: cot x cot x , x \ k , k
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 5
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Là hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số y cot x nhận các giá trị đặc biệt
cot x 0 khi x k , k
2
cot x 1 khi x k , k
4
cot x 1 khi x k , k
4
Đồ thị hàm số y cot x :
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
1. Phương trình sin x a 1
a 1 : Phương trình vô nghiệm
a 1 : Gọi là một cung sao cho sin a . Khi đó 1 sin x sin và 1 có các nghiệm
x k 2 , k và x k 2 , k
Chú ý:
và sin a thì ta viết arcsin a
2
2
Phương trình sin x sin có các nghiệm:
Khi
x k 360 , k và x 180 360 , k
Trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác, hông dùng đồng thời hai đơn vị độ
và radian.
2. Phương trình cos x a 1
a 1 : Phương trình 2 vô nghiệm
a 1 : Gọi là một cung sao cho cos a . Khi đó 2 cos x cos vì 2 có các
nghiệm : x k 2 , k
Chú ý:
Khi 0 và cos a thì ta viết arccos a
Phương trình cos x cos có các nghiệm x k 360 , k
3. Phương trình tan x a 3
k , k
2
a , tồn tại cung sao cho tan a . Khi đó 3 tan x tan và 3 có nghiệm
Phương trình 3 xác định khi x
x k , k .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 6
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Chú ý:
và tan a thì ta viết arctan a
2
2
Phương trình tan x tan có các nghiệm x k180 , k
Khi
4. Phương trình cot x 4
Phương trình 4 xác định khi x k , k
a , tồn tại cung sao cho cot a . Khi đó 4 cot x cot và 4 có nghiệm
x k . k
Chú ý:
Khi 0 và cot a thì ta viết arc cot a
Phương trình cot x cot có các nghiệm x k180 , k
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình: a sin x b cos x c
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a 2 b 2
a
b
c
sin x
cos x
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
a
b
c
C1: Đặt
cos ,
sin . Khi đó PT sin x
x?
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
a
b
c
sin ,
cos . Khi đó PT cos x
x?
C2: Đặt
a 2 b2
a 2 b2
a2 b2
Điều kiện có nghiệm của phương trình: a 2 b 2 c 2
Chú ý: Khi phương trình có a c hoặc b c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép
nhóm nhân tử chung.
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình: a sin 2 x b sin x cos x c.cos 2 x d 0
Cách giải:
Cách 1:
+ Xét cos x 0 có là nghiệm phương trình không?
+ Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được:
a tan 2 x b tan x c d 1 tan 2 x 0 tan x x
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình:
a sin 3 x b cos3 x c sin 2 x cos x d cos 2 x sin x e sin x f cos x 0
Cách giải:
+ Xét cos x 0 có là nghiệm phương trình không?
1
+ Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x với chú ý:
1 tan 2 x
cos2 x
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
Dạng phương trình:
f sin x cos x, sin x cos x 0
Cách giải:
+ Đặt t sin x cos x sin x cos x
t 2 1
2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 7
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
1 t 2
+ Đặt t sin x cos x sin x cos x
. Đưa về phương trình ẩn t.
2
Chú ý: Nếu t sin x cos x 2 sin x thì 2 t 2
4
DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH
Dạng phương trình:
k2
k
A f 2 x 2
B f x
C 0 , với f x sin x, cos x (1)
f x
f x
hoặc A a 2 tan 2 x b 2 cot 2 x B a tan x b cot x C 0 (2).
Cách giải:
Đối với phương trình (1): Đặt t f x
k
f x
Đối với phương trình (2): Đặt t a tan x b cot x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 8
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
B – BÀI TẬP
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 1:
1
A. m 1; M .
2
Câu 2:
B. m 1; M 2.
Hàm số y tan x cot x
1
1
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng
sin x cos x
sau đây?
A. k 2 ; k 2 .
2
C. k 2 ; k 2 .
2
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Câu 8:
sin x cos x
lần lượt là:
2sin x cos x 3
1
C. m ; M 1.
D. m 1; M 2.
2
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y
3
B. k 2 ;
k 2 .
2
D. k 2 ;2 k 2 .
Tìm tập xác định D của hàm số y 5 2 cot 2 x sin x cot x .
2
k
k
B. D \
A. D \ , k .
, k .
2
2
C. D .
D. D \ k , k .
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
1
.
B. y sin x .
C. y 2 cos x .D. y sin 2 x .
A. y
2
sin x
4
4
Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một
hàm số y 4 sin
t 60 10 , với t Z và 0 t 365 . Vào ngày nào trong năm thì
178
thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.
A. 28 tháng 5 .
B. 29 tháng 5 .
C. 30 tháng 5 .
D. 31 tháng 5 .
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước
trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức
t
h 3cos
12 . Mực nước của kênh cao nhất khi:
78 4
A. t 13 (giờ).
B. t 14 (giờ).
C. t 15 (giờ).
D. t 16 (giờ).
2
3 1 tan x
Hàm số y 4 cot 2 2 x
đạt giá trị nhỏ nhất là
tan x
A. 0 .
B. 3 2 3 .
C. 2 2 2 .
D. 1 .
Hàm số y 2 cos x sin x đạt giá trị lớn nhất là
4
A. 5 2 2 .
B. 5 2 2 .
C. 5 2 2 .
4
4
Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x sin x cos x là
9
5
A. .
B. .
C. 1.
8
4
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x cos x sin x là
A. 0 .
B.
2.
C.
4
2.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D.
D.
D.
5 2 2 .
4
.
3
6.
Trang 9
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 11: Hàm số y
A. 1.
Lượng giác Nâng Cao
2sin 2 x cos 2 x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
sin 2 x cos 2 x 3
B. 2.
C. 3.
4
D. 4.
4
Câu 12: Cho hàm số h x sin x cos x 2m sin x.cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là
1
1
1
1
1
A. m .
B. 0 m .
C. m 0 .
D. m .
2
2
2
2
2
3x
Câu 13: Tìm m để hàm số y
xác định trên .
2
2 sin x m sin x 1
A. m [ 2 2; 2 2 ] .
B. m 2 2; 2 2 .
C. m ; 2 2 2 2; .
D. m 2
2 .
2; 2
1
1
5 2sin 2 x
Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 1 cos 2 x
2
2
5
22
11
.
C.
.
D. 1 5 .
A. 1
.
B.
2
2
2
1
1
Câu 15: Cho hàm số y
với x 0; . Kết luận nào sau đây là đúng?
2 cos x 1 cos x
2
4
2
A. min y khi x k , k T
B. min y khi x
3
3
3
3
0;
0;
2
C. min y
0;
2
2
2
khi x k 2 , k
3
3
D. min y
0;
2
4
khi x .
3
3
. Tìm giá trị lớn nhất của
2
y 1 tan x. tan y 1 tan y.tan z 1 tan z.tan x
Câu 16: Cho x, y , z 0 và x y z
A. ymax 1 2 2 .
B. ymax 3 3 .
C. ymax 4 .
D. ymax 2 3 .
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 17: Hỏi trên đoạn 2017; 2017 , phương trình sin x 1 sin x 2 0 có tất cả bao nhiêu
nghiệm?
A. 4034.
B. 4035.
C. 641.
D. 642.
3
Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3 x
4 2
bằng:
A. .
B. .
C. .
D. .
9
6
6
9
7
Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin 6 x cos 6 x
là:
16
5
7
A.
,
B. .
C.
.
D. .
6
2
6
6
2
2
Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos x sin 2 x 2 sin x trên khoảng 0; 2 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 10
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
7
21
11
3
.
B. T
.
C. T
.
D. T
.
8
8
4
4
Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin 3 x 3 cos 9 x 1 4sin 3 3 x.
B. x0 .
C. x0 .
D. x0 .
A. x0 .
2
18
24
54
Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5 x 3 cos 5 x 2sin 7 x trên khoảng 0; là?
2
B. 1.
C. 3.
D. 4.
A. 2.
Câu 23: Giải phương trình 3 cos x sin x 2 sin 2 x.
2
2
5
7
x 6 k 2
x 6 k 2
B.
A.
, k .
, k .
x k 2
x k 2
18
3
18
3
5
2
x 6 k 2
x 18 k 3
C.
D.
, k .
, k .
x 7 k 2
x k 2
6
18
3
Câu 24: Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9 x 3 cos 7 x sin 7 x 3 cos 9 x . Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
B. x0 ; . C. x0 ; .
D. x0 ; .
A. x0 ; 0 .
12
6 12
3 6
2 3
Câu 25: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2 x 3 sin 2 x 3 sin x cos x 2. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
B. x0 ; .
C. x0 ; .
D. x0 ; .
A. x0 0; .
12
12 6
6 3
3 2
Câu 26: Gọi a, b lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình
cos x sin 2 x
3 , ta có:
2 cos 2 x s inx 1
11 2
11 2
2
A. ab 0 .
B. ab
.
C. ab
.
D. ab
.
6
6
36
3
1
Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8sin x
ở cung phần tư thứ I và
cos x sin x
thứ III của đường tròn lượng giác là:
A. 2 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 8 .
1
Câu 28: Số nghiệm của phương trình
3 1 cot x 3 1 0 trên 0; là?
sin 2 x
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 29: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2 x 2 cos x 2 0 trên đoạn
0;3 .
A. T
A. T
17
.
4
B. T 2 .
C. T 4 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. T 6 .
Trang 11
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
5
Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 x 4 cos x thuộc 0; 2 là?
3
6
2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
x
x
Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; 2018 của phương trình sin 4 cos 4 1 2 sin x là:
2
2
A. 207046 .
B. 206403 .
C. 205761 .
D. 204603 .
Câu 32: Phương trình 3sin 3 x 3 cos 9 x 2 cos x 4 sin 3 3 x có số nghiệm trên 0; là:
2
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
2
2
2
2
Câu 33: Phương trình sin 3x cos 4 x sin 5x cos 6 x không phải là phương trình hệ quả của
phương trình nào sau đây?
A. sin x 0 .
B. cos x 0 .
C. sin 9 x 0 .
D. cos 2 x 0 .
5
7
Câu 34: Phương trình sin 2 x
3cos x
1 2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc
2
2
;3 ?
2
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7 .
Câu 35: Phương trình sin x 4 cos x 2 sin 2 x có số nghiệm trên 0; 2 là:
A. 0.
C. 2.
B. 1.
D. 4.
Câu 36: Phương trình 2 sin x 1 4 cos 4 x 2sin x 4 cos3 x 3 nhận các giá trị x arccos m k
2
m
(k ) làm nghiệm thì giá trị
là:
1
1
1
1
A. m .
B. .
C. m
D. m .
4
4
16
16
sin 5 x
1 có số nghiệm là:
Câu 37: Phương trình
5sin x
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
2
2
Câu 38: Phương trình 3 cot x 2 2 sin x (2 3 2 ) cos x có các nghiệm dạng
x k 2 ; x k 2 , k Z , 0 , thì . bằng:
2
2
2
7
2
A.
B. C.
D. 2
12
12
12
12
1
1
1
Câu 39: Phương trình
có tổng các nghiệm trên (0; ) là:
cos x sin 2 x sin 4 x
2
A.
B.
C.
D.
6
6
3
sin 2 x 2cos x sin x 1
0 có bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ?
Câu 40: Phương trình
tan x 3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
(1 sin x cos 2 x) sin( x )
4 1 cos x có các nghiệm dạng
Câu 41: Phương trình
1 tan x
2
x k 2 ; x k 2 , ; k Z , , thì 2 2 là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 12
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
2
A.
36
35 2
13 2
15 2
B.
C.
D.
36
18
18
4
4
sin 2 x cos 2 x
Câu 42: Phương trình
cos 4 x 1 có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường
tan x tan x
4
4
tròn lượng giác là:
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
2
x
x
Câu 43: Phương trình sin cos 3 cos x 2 có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm
2
2
lớn nhất là b thì a b là:
A. .
B.
.
2
C.
.
3
D.
.
3
3
Câu 44: Phương trình cos 4 x sin 4 x cos x sin 3 x 0 có tổng 2 nghiệm âm lớn
4
4 2
nhất liên tiếp là:
3
5
A.
.
B. .
C. .
D.
.
2
2
2
cos 2 x cos3 x 1
2
cos
2
x
tan
x
có bao nhiêu nghiệm trên 1;70 ?
Câu 45: Phương trình
cos2 x
A. 32 .
B. 33 .
C. 34 .
D. 35 .
Câu 46: Phương trình cos x cos 3 x 2 cos 5 x 0 có các nghiệm là x k và
2
1
x arc cos m k . Giá trị của m là:
2
1 17
1 17
1 17
1 17
A. m
.
B. m
.
C. m
.
D. m
.
8
16
8
16
Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3 x sin x sin 2 x 0 trên đường tròn lượng
giác là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
1
Câu 48: Phương trình sin 4 x cos 4 x có bao nghiêu nghiệm trên 2 ;3 ?
4 4
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
3
Câu 49: Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 4sin x sin x cos x 0 bằng:
5
5
5
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
2
2
4
Câu 50: Phương trình 1 3 tan x 2 sin 2 x có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác
là:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
3
Câu 51: Từ phương trình 1 sin 3 x cos3 x sin 2 x , ta tìm được cos x có giá trị bằng:
2
4
2
2
2
A. 1.
B.
C.
D.
.
.
.
2
2
2
Câu 52: Các nghiệm của phương trình tan x cot x 2 sin 2 x cos 2 x là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 13
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
x 4 k 2
A.
k .
x 1 arc cot 1 k
2
2
2
x 4 k 2
C.
k .
x 1 arctan 1 k
2
2
2
Câu 53:
Câu 54:
Câu 55:
Câu 56:
Câu 57:
Câu 58:
Câu 59:
x 2 k
B.
k .
x 1 arc cot 1 k
2
2
x 4 k 2
D.
k .
x arctan 1 k
4
2
Phương trình 1 sin x cos x sin 2 x 0 có bao nhiêu nghiệm trên 0; ?
2
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
2
Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình.
3
3
A. cot x 3 .
B. cot 3x 3 .
C. tan x 3 .
D. tan 3 x 3 .
Phương trình 2 cot 2 x 3cot 3x tan 2 x có nghiệm là:
A. x k .
B. x k .
C. x k 2 .
D. Vô nghiệm.
3
4x
Giải phương trình cos
cos2 x .
3
x k 3
x k
x k 3
x k 3
B. x k .
C.
.
D.
.
A. x k 3 .
x 5 k 3
4
4
x k 3
4
4
5
5
x
x
k 3
k
4
4
cos 2 x
Phương trình cos x sin x
có nghiệm là:
1 sin 2 x
3
5
x 4 k 2
x 4 k 2
x 4 k
x 4 k
3
.
B. x k .
C. x k 2 .
D. x
A. x k
k .
8
2
2
8
x k
x k 2
x k
x k
2
4
1
1
2cos 3 x
có nghiệm là:
Phương trình 2sin 3x
sin x
cos x
3
3
A. x k .
B. x k .
C. x
k .
D. x
k .
4
12
4
4
Phương trình 2sin 3 x 1 8sin 2 x.cos 2 2 x có nghiệm là:.
4
x 6 k
x 12 k
x 12 2k
x 24 k
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
5
5
7
5
x
x
x
x
k
k
2k
k
6
12
12
24
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 14
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
2
Câu 60: Phương trình: 4sin x.sin x .sin x
cos 3 x 1 có các nghiệm là:
3
3
2
x 6 k 3
x 4 k
x 2 k 2
x
k
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
2
x k
x k
x k
x k
3
3
4
10
10
6
6
sin x cos x
sin x cos x
Câu 61: Giải phương trình
.
4
4 cos2 2 x sin 2 2 x
A. x k 2 , x
C. x
2
k .
2
k 2 .
B. x
k
2
.
D. x k , x
2
k 2 .
sin 3 x cos 3 x 3 cos 2 x
Câu 62: Cho phương trình: sin x
. Các nghiệm của phương trình
1 2 sin 2 x
5
thuộc khoảng 0;2 là:
5
5
5
5
, .
B. ,
.
C. ,
.
D. ,
.
12 12
6 6
4 4
3 3
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình 1 cos x cos 2 x cos3x 0 có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác
là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Cho phương trình cos x cos5x cos 2 x cos 4 x số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là:
A. 3 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 8 .
Sử dụng công thức nhân ba
Cho phương trình cos 3x 4 cos 2 x 3cos x 4 0 có bao nhiêu nghiệm trên 0;14 ?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt
5
7
Phương trình sin 2 x
3cos x
1 2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc
2
2
;3 ?
A.
Câu 63:
Câu 64:
Câu 65:
Câu 66:
2
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7 .
Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao
Cho các phương trình sau:
17
1 sin8 x cos8 x cos 2 2 x
16
17
2 sin8 x cos8 x
32
97
3 sin8 x cos8 x
128
1
4 sin8 2 x cos8 2 x
8
Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 15
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm
Phương trình cos 2 x cos 6 x 4 3sin x 4sin3 x 1 0 có phương trình tương đương là:
A. cos x 0 .
B. sin 3x 1 0 .
C. cos x(sin 3x 1) 0 .
D. sin x 1 0 .
Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba
3 x 1 3x
sin có tổng các nghiệm trên 0; 2 là:
Phương trình sin
10 2 2 10 2
9
9
10
10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
15
3
6
Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
4 x
2 x
Phương trình sin sin sin x 3 sin x 2 0 có các nghiệm là:
2
2
A. x k 2 ; k . .
C. x 2 k 1 ; k . D. x k
B. x k ; k . .
; k . .
2
Câu 71: Phương pháp đánh giá
2
Với phương trình 3cos 4 x cos 2 x sin x 7 (*) thì:
A. trên đoạn 0; 2 phương trình có 1 nghiệm.
B. trên đoạn 0; 2 phương trình có 2 nghiệm
C. trên đoạn 0; 2 phương trình có 3 nghiệm.
Câu 72:
Câu 73:
Câu 74:
Câu 75:
D. trên đoạn 0; 2 phương trình có 4nghiệm.
Phương pháp hàm số
2
2
Phương trình sin x 1 2 sin x cos x 1 (*) có tổng các nghiệm trong
4
khoảng 0; là:
2
A. 0 .
B. .
C.
D. .
2
4
3
Phương trình 1 cos x sin x cos 2 x sin 2 x 0 có các nghiệm dạng
x1 a k 2 , x2 b k 2 , x3 c k 2 , x4 d k 2 . Với 0 a, b, c, d 2 thì
a b c d là:
7
5
9
B.
.
C.
D.
.
A. 0 .
2
4
2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos3 2 x cos 2 2 x a sin 2 x 0 có
nghiệm x 0; ?
6
A. 0 .
B. 1 .
C. 2
D. 3 .
Phương trình sin 2 x 2 cos x cos 2 x sin x là phương trình hệ quả của phương trình:
1
1
A. sin( x )
B. sin 2 x 0
C. sin x cos x
D.
4
2
2
1
sin x cos x
2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 16
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức
Lượng giác Nâng Cao
1
1
k
2 1 2 đúng với x (0; )
2
sin x x
2
. Khi đó giá trị của k là
A. 5
B. 2
C. 4
D. 6
Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của trong 0; 2 để ba phần tử của S sin ,sin 2 ,sin 3 trùng
với ba phần tử của T cos , cos 2 , cos 3 .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ
Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x m cot x 8 có nghiệm.
A. m 16.
B. m 16.
C. m 16.
D. m 16.
Câu 79: Biến đổi phương trình cos3x sin x 3 cos x sin 3x về dạng sin ax b sin cx d
với b , d thuộc khoảng ; . Tính b d .
2 2
A. b d .
B. b d .
C. b d .
D. b d .
12
4
3
2
Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
sin x 3 cos x 2m vô nghiệm.
3
3
A. 21.
B. 20.
C. 18.
D. 9.
Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x sin x 2 m 2 1 vô
nghiệm.
A. m ; 1 1; .
B. m 1;1 .
C. m ;
D. m ;0 0; .
Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
m 1 sin x m cos x 1 m
có nghiệm.
A. 21.
B. 20.
C. 18.
D. 11.
Câu 83: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trình
m 1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x 0
có nghiệm.
A. 4037.
B. 4036.
C. 2019.
D. 2020.
3
2
Câu 84: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos 2 x cos 2 x a sin 2 x 0 có
nghiệm x 0; ?
6
A. 0 .
B. 1.
C. 2
D. 3 .
3
Câu 85: Giá trị của m để phương trình cos2 x 2m 1 cos x m 1 0 có nghiệm trên ; là
2 2
m a; b thì a b là:
A. 0 .
B. 1 .
C. 1.
D. 2 .
6
6
Câu 86: Phương trình sin x cos x 3sin x cos x m 2 0 có nghiệm khi m a; b thì tích a.b
bằng:
9
9
75
15
A. .
B. .
C.
.
D.
.
4
2
16
4
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 87: phương trình m sin x (m 1) cos x
Lượng giác Nâng Cao
m
. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10
cos x
để phương trình có nghiệm là:
A. 9 .
B. 8 .
C. 10 .
D. 7
Câu 88: Phương trình sin 4 x tan x có nghiệm dạng x k và x m arc cos n k k thì
m n bằng:
1 3
1 3
3
3
.
B. m n
.
C. m n
. D. m n
.
2
2
2
2
Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2 x 2m 1 cos x m 1 0
A. m n
3
có nghiệm trên khoảng ; .
2 2
1
.
2
Câu 90: Biết rằng khi m m0 thì phương trình 2sin 2 x 5m 1 sin x 2m2 2m 0 có đúng 5
A. 1 m 0 .
Câu 91:
Câu 92:
Câu 93:
Câu 94:
Câu 95:
B. 1 m 0 .
C. 1 m 0 .
D. 1 m
nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
1
3 7
3 2
B. m .
C. m0 ; .
D. m0 ; .
A. m 3.
2
5 10
5 5
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2cos 2 3x 3 2m cos 3x m 2 0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; .
6 3
A. 1 m 1.
B. 1 m 2.
C. 1 m 2.
D. 1 m 2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
sin x cos x sin x cos x m 0 có nghiệm?
B. 2.
C. 3.
D. 4.
A. 1.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: sin 2 x 2 sin x m 0 có
4
nghiệm.
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
3
3
Phương trình cos x sin x cos 2 x có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất
là:
5
7
A. .
B.
.
C.
.
D. .
2
4
2
4
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
11sin 2 x m 2 sin 2 x 3cos2 x 2 có nghiệm?
A. 16.
B. 21.
C. 15.
D. 6.
Câu 96: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình
sin 2 x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos2 x m có nghiệm?
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. Vô số.
2
2
Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình a sin x a sin x cos x b cos x 0 với a 0 có nghiệm.
4b
4b
A. a 4b .
B. a 4b .
C.
1.
D.
1.
a
a
Câu 98: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin 2 x m sin 2 x 2m vô nghiệm.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 18
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
4
4
4
4
.
B. m 0 , m .
C. 0 m .
D. m , m 0 .
3
3
3
3
Câu 99: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 3;3 để phương trình
A. 0 m
m
2
2 cos 2 x 2 m sin 2 x 1 0 có nghiệm.
A. 3 .
B. 7 .
C. 6 .
D. 4 .
6
6
Câu 100: Để phương trình sin x cos x a | sin 2 x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
1
1
3
1
1
A. 0 a .
B. a .
C. a .
D. a .
8
8
8
4
4
Câu 101: Cho phương trình: sin x cos x sin x cos x m 0 , trong đó m là tham số thực. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:.
1
1
1
1
A. 2 m 2 . B. 2 m 1 . C. 1 m 2 .
D. 2 m 1
2
2
2
2
.
Câu 102: Cho phương trình: 4 sin 4 x cos 4 x 8 sin 6 x cos 6 x 4 sin 2 4 x m trong đó m là tham
số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
3
3
A. m 4 hay m 0 . B. m 1 .
C. 2 m .
2
2
m 2 hay m 0 .
D.
sin 6 x cos 6 x
2m.tan 2 x , trong đó m là tham số. Để phương trình có
Câu 103: Cho phương trình:
cos2 x sin 2 x
nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:
1
1
1
1
1
1
A. m hay m . B. m hay m . C. m hay m . D. m 1 hay m 1
8
8
8
8
2
2
.
1
4 tan x
Câu 104: Cho phương trình cos 4 x
m . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m
2
1 tan 2 x
phải thỏa mãn điều kiện:.
5
3
A. m 0 .
B. 0 m 1 .
C. 1 m .
D.
2
2
5
3
m hay m .
2
2
Câu 105: Để phương trình: 4sin x .cos x a 2 3 sin 2 x cos 2 x có nghiệm, tham số a
3
6
phải thỏa điều kiện:
1
1
A. 1 a 1 .
B. 2 a 2 .
C. a .
D. 3 a 3 .
2
2
a2
sin 2 x a 2 2
Câu 106: Để phương trình
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
1 tan 2 x
cos 2 x
A. | a | 1 .
B. | a | 2 .
C. | a | 3 .
D. a 1, a 3 .
Câu 107: Tìm m để phương trình cos x 1 cos 2 x m cos x m sin 2 x có đúng 2 nghiệm
x 0;
2
3
.
A. 1 m 1 .
B. 0 m
1
.
2
1
C. 1 m .
2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
D. m 1 .
2
Trang 19
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác Nâng Cao
Câu 108: Tìm m để phương trình cos2 x 2m 1 cosx m 1 0 có đúng 2 nghiệm x ; .
2 2
A. 1 m 0 .
B. 0 m 1 .
C. 0 m 1.
D. 1 m 1.
Câu 109: Tìm m để phương trình 2sin x m cos x 1 m có nghiệm x ; .
2 2
B. 2 m 6 .
C. 1 m 3
D. 1 m 3 .
A. 3 m 1 .
Câu 110: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m sin m sin 3x sin 3sin x 4sin 3 x có
nghiệm thực?
A. 9
B. 5
C. 4
D. 8
2
Câu 111: Cho phương trình: cos x 1 cos 2 x m cos x m sin x . Phương trình có đúng hai nghiệm
2
thuộc đoạn 0; khi:
3
A. m 1.
B. m 1.
Câu 112: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
1
D. 1 m .
2
C. 1 m 1.
3sin 2 x cos 2 x
m 1 đúng với mọi
sin 2 x 4 cos2 x 1
x
3 5
3 5 9
65 9
65 9
B. m
C. m
D. m
4
4
2
4
2
Câu 113: Số các giá trị nguyên của m để phương trình cos x 1 4 cos 2 x m cos x m sin x có
A. m
2
đúng 2 nghiệm x 0; là:
3
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
0
0
0
Câu 114: Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn 1 tan1 1 tan 2 ... 1 tan 43 2 a. 1 tan b0
đồng thời a, b 0;90 . Tính P a b ?
A. 22
B. 46
C. 27
D. 44
Câu 115: Tìm m để phương trình m 1 cos x m 1 sin x 2m 3 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
.
3
B. m 2 3
C. m 2 3
D. Không tồn tại m
A. m 2 3
2
Câu 116: Các giá trị của m a; b để phương trình cos 2 x sin x 3cos x m 5 có nghiệm thì:
A. a b 2 .
B. a b 12 .
C. a.b 8 .
D. a.b 8 .
m
Câu 117: Cho phương trình m sin x m 1 cos x
. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ
cos x
hơn 10 để phương trình có nghiệm là:
B. 9 .
C. 10 .
D. 7 .
A. 8 .
Câu 118: Phương trình cos 2 x 2m 1 sin x m 1 0 có nghiệm trên ; khi tất cả các giá
x1 x2
2
trị thỏa mãn:
A. m .
B. m .
C. m 1;1 .
Câu 119: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình
3
3tan 2 x tan x cot x m có nghiệm?
2
sin x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. m 1;1 .
Trang 20
.PDF 
76 
1 
98 
