-I HÅC THI NGUYN
TR ÕNG -I HÅC S
PHM
L HIN HU
THUT TON SONG SONG GII BI TON
C
N BNG TRN TP -IM BT -ËNG
LUN VN THC S TON HÅC
THI NGUYN - 2020
TR ÕNG -I HÅC S
PHM
KHOA TON
L¶ Hi·n Hªu
T26B.228
THUT TON SONG SONG GII BI TON
C
N BNG TRN TP -IM BT -ËNG
Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i T½ch
M¢ sË: 8 46 01 02
LUN VN THC S TON HÅC
C¡n bÎ h˜Óng d¨n khoa hÂc
GS.TSKH. NGUYN XU
N TN
THI NGUYN - 2020
LÌi cam oan
TÊi xin cam oan Luªn v«n
"Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng" l cÊng tr¼nh
TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n.
nghi¶n c˘u khoa hÂc cıa ri¶ng tÊi d˜Ói s¸ h˜Óng d¨n tr¸c ti¸p cıa GS.
Ngo i ra, trong luªn v«n tÊi c·n s˚ dˆng mÎt sË k¸t qu£, nhªn x²t cıa mÎt sË t¡c
gi£ kh¡c ·u c‚ chÛ th½ch v tr½ch d¨n nguÁn gËc. Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n c˘u,
tÊi ¢ k¸ th¯a th nh qu£ khoa hÂc cıa c¡c nh khoa hÂc vÓi s¸ tr¥n trÂng v bi¸t Ïn.
N¸u ph¡t hi»n b§t k˝ s¸ gian lªn n o tÊi xin ho n to n ch‡u tr¡ch
nhi»m v· nÎi dung luªn v«n cıa m¼nh.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng n«m 2020
T¡c gi£
L¶ Hi·n Hªu
X¡c nhªn
cıa khoa chuy¶n mÊn
X¡c nhªn
cıa ng˜Ìi h˜Óng d¨n
GS. TSKH Nguy¹n Xu¥n T§n
i
LÌi c£m Ïn
Tr˜Óc khi tr¼nh b y nÎi dung ch½nh cıa luªn v«n, tÊi xin b y t‰ l·ng bi¸t Ïn s¥u sc
tÓi GS.
TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n ng˜Ìi ¢ tªn t¼nh h˜Óng d¨n, d¤y b£o º
tÊi ho n th nh tËt luªn v«n.
TÊi cÙng xin b y t‰ l·ng bi¸t Ïn ch¥n th nh tÓi to n thº c¡c th¦y cÊ gi¡o
trong khoa To¡n , -¤i hÂc S˜ ph¤m- -¤i hÂc Th¡i Nguy¶n ¢ d¤y b£o, t¤o
i·u ki»n thuªn lÒi cho tÊi trong suËt qu¡ tr¼nh hÂc tªp t¤i khoa.
Nh¥n d‡p n y tÊi cÙng xin ˜Òc g˚i lÌi c£m Ïn ch¥n th nh tÓi gia ¼nh, b¤n b± ¢ luÊn b¶n tÊi, cÍ vÙ, Îng vi¶n, giÛp Ô tÊi trong suËt
qu¡ tr¼nh hÂc tªp v th¸c hi»n luªn v«n tËt nghi»p.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng n«m 2020
T¡c gi£
L¶ Hi·n Hªu
ii
Danh mˆc c¡c k˛ hi»u vi¸t tt
R
Tªp sË th¸c.
2
ThuÎc cıa mÎt ph¦n t˚ Ëi vÓi tªp hÒp.
8x
n
R
H
KhÊng gian Euclid th¸c n-chi·u.
KhÊng gian Hilbert th¸c.
n
D¢y hÎi tˆ m¤nh tÓi x.
n
D¢y hÎi tˆ y¸u tÓi x.
x !x
kxk =
MÂi x.
x *x
q hx; xi
hx; yi
Chu©n cıa vectÏ x.
T½ch vÊ h˜Óng cıa hai vectÏ x v y.
(EP)
(SEP)
B i to¡n c¥n b¬ng.
Tªp nghi»m cıa b i to¡n c¥n b¬ng.
(DEP)
B i to¡n c¥n b¬ng Ëi ng¨u
(SDEP)
d(:; :)
P
C
NC (x)
domf
graf
epif
Tªp nghi»m cıa b i to¡n c¥n b¬ng Ëi ng¨u.
Kho£ng c¡ch gi˙a hai ph¦n t˚ trong khÊng gian Hilbert.
nh x¤ chi¸u l¶n mÎt tªp hÒp C.
N‚n ph¡p tuy¸n cıa C t¤i x.
Mi·n h˙u hi»u cıa h m f.
-Á th‡ cıa h m f.
Tr¶n Á th‡ cıa h m f.
lev f
Tªp m˘c d˜Ói cıa f t¤i .
lim ak
GiÓi h¤n d˜Ói cıa d¢y fakg.
GiÓi h¤n tr¶n cıa d¢y fakg.
limak
inf A
Cªn d˜Ói lÓn nh§t cıa tªp sË th¸c A.
iii
supA
Cªn tr¶n nh‰ nh§t cıa tªp sË th¸c A.
0
f (x; y) -¤o h m cıa h m f t¤i x theo h˜Óng y.
rf(x)
@f(x)
C
dH (A; B)
minH f
argminf
minC f
arg minC f
F ixT
-¤o h m Fr²chet cıa f t¤i x.
D˜Ói vi ph¥n cıa h m f t¤i x.
H m ch¿ cıa tªp C.
Kho£ng c¡ch Hausdorff gi˙a hai tªp A v B.
Gi¡ tr‡ c¸c tiºu cıa h m f tr¶n to n khÊng gian.
Tªp c¡c iºm c¸c tiºu cıa h m f tr¶n to n khÊng gian.
Gi¡ tr‡ c¸c tiºu cıa h m f tr¶n tªp C.
Tªp c¡c iºm c¸c tiºu cıa h m f tr¶n tªp C.
Tªp iºm b§t Îng cıa ¡nh x¤ T.
iv
Mˆc lˆc
1
M ¦u
1 L˛ do chÂn · t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Mˆc ½ch nghi¶n c˘u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3 -Ëi t˜Òng v ph¤m vi nghi¶n c˘u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4 Ph˜Ïng ph¡p nghi¶n c˘u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5 D¸ ki¸n k¸t qu£ nghi¶n c˘u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Ch˜Ïng I: Ki¸n th˘c chu©n b‡
1.1 C¡c kh¡i ni»m cÏ b£n cıa gi£i t½ch lÁi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1 Tªp lÁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
1.1.2 Tªp ‚ng, tªp ‚ng y¸u, tªp m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3 Tªp compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 MÎt sË kh¡i ni»m v· t½nh li¶n tˆc cıa h m sË trong khÊng gian Hilbert . . 8
1.3 D˜Ói vi ph¥n cıa h m sË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4 T½nh Ïn i»u cıa h m sË trong khÊng gian Hilbert . . . . . . . . . . .
11
Ch˜Ïng II: Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n
tªp iºm b§t Îng
15
2.1 B i to¡n c¥n b¬ng v s¸ tÁn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 GiÓi thi»u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
17
2.1.2 S¸ tÁn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.3 MÎt sË b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.4 MÎt sË thuªt to¡n ¢ bi¸t v tËc Î hÎi tˆ cho b i to¡n c¥n b¬ng . . .
23
v
2.2 Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng . . . 32
2.2.1 Thuªt to¡n v s¸ hÎi tˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.2 MÎt sË tr˜Ìng hÒp ri¶ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
K¸t luªn
43
T i li»u tham kh£o
44
vi
M– -U
1. L˛ do chÂn · t i.
Cho C l mÎt tªp kh¡c rÈng, f : CC ! R l mÎt h m sË th‰a m¢n f(x; x) =
0; 8x 2 C ( ˜Òc gÂi l song h m c¥n b¬ng).
B i to¡n: T¼m x 2 C sao cho:
f(x ; y)
0; 8y 2 C;
(EP )
˜Òc gÂi l b i to¡n c¥n b¬ng, x ˜Òc gÂi l nghi»m. Tªp nghi»m cıa b i
to¡n (EP) ˜Òc k½ hi»u l (SEP).
"C¥n b¬ng" l thuªt ng˙ t¯ l¥u ¢ ˜Òc s˚ dˆng rÎng r¢i trong c£ th¸c ti¹n
v to¡n hÂc d˜Ói nhi·u h¼nh th˘c, quy mÊ kh¡c nhau. B i to¡n c¥n
b¬ng ¢ ˜Òc Nikaido v Isoda n¶u ra t¯ n«m 1955. N«m 1994, b i to¡n ˜Òc Blum v Oettli ph¡t biºu r§t Ïn gi£n nh˜ tr¶n.
Trong l¾nh v¸c to¡n hÂc, b i to¡n c¥n b¬ng bao h m nhi·u lÓp b i
to¡n li¶n quan nh˜ b i to¡n tËi ˜u, b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n, b i
to¡n iºm y¶n ng¸a, b i to¡n iºm b§t Îng, b i to¡n Nash,...
B i to¡n c¥n b¬ng °t ra v§n · quan trÂng c¦n gi£i quy¸t l t¼m i·u ki»n º b i
to¡n c‚ nghi»m v x¥y d¸ng thuªt to¡n t¼m nghi»m cıa b i to¡n n y. Kh£o s¡t c¡c
i·u ki»n º b i to¡n c‚ nghi»m, ta ph£i °t c¡c i·u ki»n l¶n tªp hÒp C h m sË f. C¡c
thuªt to¡n ˜Òc bi¸t hi»n nay cÏ b£n d¸a tr¶n k¾ thuªt t¼m nghi»m cıa b i to¡n tËi
˜u, nh˜ thuªt to¡n chi¸u, thuªt to¡n chi¸u t«ng c˜Ìng, ph˜Ïng ph¡p ¡nh gi¡ ( h m gap),
h m ph¤t, ph˜Ïng ph¡p h˜Óng gi£m, ho°c c¡c k¾ thuªt hi»u ch¿nh nh˜ ph˜Ïng ph¡p
1
iºm g¦n k· hay l˛ thuy¸t hi»u ch¿nh Tikhonow.
MÎt h˜Óng ti¸p cªn cÏ b£n º gi£i (EP) ˜Òc d¸a tr¶n k¸t qu£ : x
l mÎt nghi»m
cıa
b i to¡n c¥n b¬ng (EP) khi v ch¿ khi n‚ l mÎt nghi»m cıa b i to¡n tËi ˜u
min ff(x ; y) : y 2 Cg ;
hay l iºm b§t Îng cıa ¡nh x¤ a tr‡
(x) = arg min ff(x; y) : y 2 Cg :
-º t¼m hiºu s¥u sc v· b i to¡n n y, tÊi chÂn · t i luªn v«n cao hÂc cıa m¼nh
v· thuªt
to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng,
d˜Ói s¸ h˜Óng d¨n nghi¶m tÛc, tªn t¼nh cıa GS. TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n,
vÓi hy vÂng luªn v«n s³ l mÎt tÍng quan tËt v· ph˜Ïng ph¡p gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n
tªp iºm b§t Îng chung cıa h h˙a h¤n tr¶n cÏ s cıa gi£i t½ch lÁi, gi£i t½ch h m, v
nh˙ng thuªt to¡n ¢ c‚ trong l˛ thuy¸t tËi ˜u. NÎi dung cıa luªn v«n d¸a tr¶n mÎt sË thuªt
to¡n ¢ c‚ v hai b i b¡o mÓi ˜Òc cÊng bË cıa Phung M. Duc, Le D. Muu A splitting
algorithm for a class of bilevel equilibrium problems involving nonexpansive
mappings, Optimization, Vol 65( 2016), pages 1855-1866 v b i b¡o cıa Phung M.
Duc, Le D. Muu, Nguyen V. Quy: Solution-existence and algorithms with their
convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems , Pacific
Journal of Optimization, Vol 12 No.4, pages 833-845,2016.
2. Mˆc ½ch nghi¶n c˘u
Mˆc ½ch m · t i °t ra l t¼m i·u ki»n º b i to¡n c‚ nghi»m v nghi¶n c˘u
thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng chung cıa
mÎt h h˙u h¤n ¡nh x¤ khÊng gi¢n ( b i to¡n c¥n b¬ng c§p 2).
3. -Ëi t˜Òng v ph¤m vi nghi¶n c˘u
VÓi c¡c mˆc ½ch °t ra nh˜ tr¶n, trong luªn v«n n y chÛng tÊi x²t i·u ki»n ı º b i
to¡n c¥n b¬ng c‚ nghi»m, giÓi thi»u mÎt sË thuªt to¡n ¢ bi¸t v tr¼nh b y thuªt
2
to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng chung cıa
mÎt h h˙u h¤n c¡c ¡nh x¤ khÊng gi¢n trong khÊng gian Hilbert. X¥y
d¸ng thuªt to¡n t¼m nghi»m cıa b i to¡n.
4. Ph˜Ïng ph¡p nghi¶n c˘u
Thu thªp t i li»u v· b i to¡n c¥n b¬ng ¢ cÊng bË tr¶n c¡c t¤p ch½ v s¡ch gi¡o
khoa, s¡ch chuy¶n kh£o, x¥y d¸ng thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng
tr¶n tªp iºm b§t Îng d¸a tr¶n thuªt to¡n gi£i b i to¡n tËi ˜u li¶n quan.
5. D¸ ki¸n k¸t qu£ nghi¶n c˘u
Luªn v«n l mÎt tÍng quan v· b i to¡n c¥n b¬ng v mÎt sË k¸t qu£ cıa
thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng.
-· t i luªn v«n ˜Òc chia th nh 2 ch˜Ïng:
Ch˜Ïng 1. -˜a ra mÎt sË ki¸n th˘c chu©n b‡ v· khÊng gian Hilbert v
c¡c t½nh ch§t cıa tªp hÒp con, c¡c h m sË, t½nh li¶n tˆc, t½nh Ïn i»u
cıa h m sË tr¶n khÊng gian Hilbert.
Ch˜Ïng 2. GiÓi thi»u b i to¡n c¥n b¬ng v ˜a ra mÎt sË i·u ki»n ı v· s¸
tÁn t¤i nghi»m, giÓi thi»u mÎt sË thuªt to¡n ¢ bi¸t º t¼m nghi»m , tr¼nh
b y thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng.
3
CH ÌNG I: KIN THŸC CHUN
BÀ
-º ch˘ng minh s¸ tÁn t¤i nghi»m cıa b i to¡n c¥n b¬ng, ta ph£i nghi¶n
c˘u c¡c t½nh ch§t cıa tªp C v h m f. Ta ph£i trang b‡ tr¶n khÊng gian
ch˘a C, hai c§u trÛc tÊpÊ v ¤i sË, t¯ ‚ t¼m ra c¡c t½nh ch§t cıa tªp C h
m f º £m b£o b i to¡n c‚ nghi»m. Ta bt ¦u b¬ng ch˜Ïng: Ki¸n th˘c chu©n
b‡ º nhc l¤i c¡c ki¸n th˘c cÏ b£n cıa gi£i t½ch h m, gi£i t½ch lÁi.
C¡c k¸t qu£ cıa luªn v«n ˜Òc tr¼nh b y trong khÊng gian Hilbert, m°c
dÚ chÛng v¨n c·n Ûng trong c¡c khÊng gian tÍng qu¡t hÏn. Tr˜Óc h¸t, ta
nhc l¤i c¡c ki¸n th˘c cÏ b£n v mÎt sË bÍ ·, ‡nh l˛ c¦n thi¸t ˜Òc s˚ dˆng trong
ch˘ng minh s¸ tÁn t¤i nghi»m cÙng nh˜ s¸ hÎi tˆ cıa thuªt to¡n song song
gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng trong c¡c ch˜Ïng sau.
MÎt sË kh¡i ni»m cÏ b£n trong ch˜Ïng n y ˜Òc l§y t¯ t i li»u [1].
1.1 MÎt sË kh¡i ni»m v· tªp hÒp trong khÊng
gian Hilbert
1.1.1 Tªp lÁi
Ta bi¸t r¬ng mÎt khÊng gian Hilbert l mÎt khÊng gian tuy¸n t½nh tr¶n ‚ ˜Òc
x¡c ‡nh mÎt h m song tuy¸n t½nh h:; :i (˜Òc gÂi l t½ch vÊ h˜Óng) th‰a m¢n:
hx; xi
0 vÓi mÂi x 2 H:
4
Cho H l mÎt khÊng gian Hilbert th¸c vÓi t½ch vÊ h˜Óng h:; :i. Chu©n v
kho£ng
c¡ch li¶n k¸t vÓi t½ch vÊ h˜Óng ‚ k˛ hi»u l k:k v d (:; :), ˜Òc x¡c ‡nh :
q
8x; y 2 H : kxk =
hx; xi v d(x; y) = kx
y j:
Ta th§y r¬ng tr¶n khÊng gian Hilbert c‚ hai c§u trÛc tÊpÊ v ¤i sË, ta c‚ thº s˚ dˆng
hai c§u trÛc n y º ˜a ra c¡c kh¡i ni»m mÓi v· tªp hÒp trong khÊng gian Hilbert.
Trong khÊng gian Hilbert, ta c‚ kh¡i ni»m ˜Ìng th¯ng.
Cho hai iºm a; b 2 H. -˜Ìng th¯ng i qua hai iºm a v b c‚ d¤ng
fx 2 H : x = a + (1
)b; 2 Rg :
Tªp
[a; b] = fx 2 H : x =
a + (1
)b; 2 [0; 1]g
˜Òc gÂi l o¤n th¯ng nËi hai iºm a v b.
Cho u 2 Hn f0g v 2 R. MÎt si¶u ph¯ng vÓi v²c-tÏ ph¡p tuy¸n u trong
H l tªp c‚ d¤ng
fx 2 H : hx; ui = g :
MÈi si¶u ph¯ng chia khÊng gian th nh hai n˚a, c¡c tªp
fx 2 H : hx; ui
g
v
fx 2 H : hx; ui < g ;
l¦n l˜Òt ˜Òc gÂi l n˚a khÊng gian ‚ng v n˚a khÊng gian m vÓi v²c-tÏ
ph¡p tuy¸n ngo i u:
D˜Ói ¥y c‚ c¡c kh¡i ni»m cıa gi£i t½ch lÁi. Trong ph¦n n y ta ·u gi£ s˚
C l tªp con lÁi, ‚ng, kh¡c rÈng cıa khÊng gian Hilbert H.
-‡nh ngh¾a 1.1.1. MÎt tªp con C cıa H ˜Òc gÂi l lÁi n¸u vÓi mÂi
x; y 2 C, [x; y] C, t˘c l
x + (1
)y 2 C; 8 2 [0; 1] :
5
V½ dˆ: H¼nh tr·n, h¼nh tam gi¡c,...
-‡nh ngh¾a 1.1.2. Cho u 2 H. Kho£ng c¡ch t¯ x ¸n C, k˛ hi»u l
dC (x), ˜Òc x¡c ‡nh :
dC (x) = inf fd(x; y) : y 2 Cg = inf fkx
yk : y 2 Cg :
N¸u c‚ iºm p 2 C sao cho kx pk = dC (x) th¼ p ˜Òc gÂi l mÎt h¼nh chi¸u cıa x
tr¶n C. N¸u mÂi iºm trong H ·u c‚ duy nh§t mÎt h¼nh chi¸u tr¶n C, C ˜Òc
gÂi l tªp Chebyshev. Trong tr˜Ìng hÒp n y, quy tc ˘ng vÓi mÈi iºm
trong H mÎt h¼nh chi¸u duy nh§t cıa n‚ tr¶n C cho ta mÎt to¡n t˚ gÂi l
to¡n t˚ chi¸u tr¶n C, ˜Òc k˛ hi»u l PC :
Ta c‚ mÎt k¸t qu£ cÏ b£n cho h¼nh chi¸u cıa mÎt iºm tr¶n mÎt tªp lÁi
‚ng kh¡c rÈng sau ( xem ch˘ng minh trong [1]).
-‡nh l˛ 1.1.1. Tªp C l mÎt tªp Chebyshev v vÓi mÂi x v p
trong H; n¸u:
p = Pc(x) , p 2 C v (8y 2 C) hx p; y pi 0 :
-‡nh ngh¾a 1.1.3. N‚n ph¡p tuy¸n cıa C t¤i x, k˛ hi»u
NC x, ˜Òc x¡c ‡nh
l
bi
n¸u x 2= C:
;;
NC x =
i
fu 2 H jhu; y
8 2 g
0; y C ;
x
n¸u x 2 C;
1.1.2 Tªp ‚ng, tªp ‚ng y¸u, tªp m
-‡nh ngh¾a 1.1.4. MÎt d¢y fxng trong H ˜Òc gÂi l
(i) hÎi tˆ m¤nh ¸n iºm x n¸u lim kxk
k!1
xk = 0, k˛ hi»u l xn ! x;
(ii) hÎi tˆ y¸u ¸n iºm x n¸u vÓi mÂi u 2 H, hxn x; ui ! 0 khi n ! 1, k˛
hi»u l xn * x:
-‡nh ngh¾a 1.1.5.
Tªp A H ˜Òc gÂi l tªp ‚ng n¸u mÂi d¢y fxng A
hÎi tˆ ¸n x th¼ x 2 A.
6
-‡nh ngh¾a 1.1.6.
Tªp A H ˜Òc gÂi l tªp ‚ng y¸u n¸u fxngn 0 hÎi
tˆ y¸u ¸n x th¼ x 2 A:
-‡nh ngh¾a 1.1.7. Tªp A
fxngn
H ˜Òc gÂi l tªp compact n¸u mÂi d¢y
0
A ·u c‚ d¢y con
x
nj
j
0
hÎi tˆ tÓi
x 2 A:
-‡nh ngh¾a 1.1.8. Tªp B
H ˜Òc gÂi l tªp m n¸u HnB l tªp -
‚ng.
BÍ · 1.1.1. Cho fx g
n n0
v
fu g
n n0
l c¡c d¢y trong
H, x v u l c¡c
-
iºm trong H. Gi£ s˚ xn * x, un ! u khi n ! 1. Khi ‚ hxn; uni ! hx; ui khi
n ! 1:
BÍ · 1.1.2. Cho fx g
‚ c‚ mÎt d¢y con fx g
n n 0
n n0
l mÎt d¢y b‡ ch°n trong
H. Khi -
hÎi tˆ y¸u.
1.1.3 Tªp compact
-‡nh ngh¾a 1.1.9. Cho c¡c khÊng gian metric (X; d)
(i) MÎt h fGi : i 2 Ig c¡c tªp con cıa X ˜Òc gÂi l mÎt phı m cıa tªp A X
n¸u A
S
Gi
i2I
N¸u I l tªp h˙u h¤n th¼ ta n‚i phı l h˙u h¤n.
N¸u mÂi G
il
tªp m
th¼ ta n‚i phı l
phı m .
(ii) Tªp A X ˜Ïc gÂi l tªp compact n¸u mÈi phı m cıa A ta luÊn c‚ thº
l§y ra ˜Òc mÎt phı h˙u h¤n.
(iii) Tªp A ˜Òc gÂi l compact t˜Ïng Ëi n¸u A l tªp compact.
V½ dˆ: Tªp h˙u h¤n l
mÎt tªp compact.
-‡nh ngh¾a 1.1.10. Cho A ˜Òc gÂi l compact t˜Ïng Ëi n¸u bao ‚ng A l tªp compact.
-‡nh ngh¾a 1.1.11. MÎt khÊng gian tÊpÊ X ˜Òc gÂi l ¸m ˜Òc
n¸u X c‚ mÎt d¢y fxng trÚ mªt trong X, t˘c l bao ‚ng cıa fxng b¬ng X.
7
-‡nh ngh¾a 1.1.12.
MÎt khÊng gian tÊpÊ X ˜Òc gÂi l compact ‡a ph˜Ïng
n¸u vÓi mÂi x 2 X c‚ mÎt l¥n cªn U cıa x th‰a m¢n U l mÎt khÊng gian con
compact cıa X. MÂi khÊng gian compact ‡a ph˜Ïng l khÊng gian Tychonoff.
-‡nh l˛ 1.1.2.(-‡nh l˛ Weierstrass)
Trong khÊng gian metric X, c¡c m»nh · sau t˜Ïng ˜Ïng:
(i) Tªp A X l compact.
(ii) T¯ mÈi d¢y fxng A c‚ thº l§y ra mÎt d¢y con hÎi tˆ v· ph¦n t˚
thuÎc A:
1.2 MÎt sË kh¡i ni»m v· t½nh li¶n tˆc cıa h m
sË trong khÊng gian Hilbert
Cho C l mÎt tªp con kh¡c rÈng cıa H v h m f : C ! [
Mi·n h˙u hi»u (mi·n x¡c ‡nh) cıa f l tªp
; +1].
domf = fx 2 Cjf(x) < +1g ;
Á th‡ cıa f l tªp:
graf = f(x; ) 2 C
Rjf(x) = g ;
tr¶n Á th‡ cıa f l tªp
epif = f(x; ) 2 C
Rjjf(x)
g:
Tªp m˘c d˜Ói cıa f t¤i 2 R l tªp
lev f = fx 2 C jf(x)
H m f ˜Òc gÂi l ch½nh th˜Ìng n¸u
g:
2= f(C) v domf 6= :
-‡nh ngh¾a 1.2.1. MÎt h m f : C ! [ ; +1] ˜Òc gÂi l lÁi tr¶n C n¸u
tr¶n Á th‡ cıa n‚ l mÎt tªp lÁi.
8
-‡nh ngh¾a 1.2.2. Cho
6= C
n
)y] <
n
lÁi.
h m lÁi ch°t tr¶n C n¸u
(i) H m f : R ! R [ f+1g ˜Òc gÂi l
f [ x + (1
R
f(x) + (1
)f(y); 8x; y 2 C; 8
n
2 (0; 1):
h m lÁi m¤nh tr¶n C vÓi h» sË
(ii) H m f : R ! R [ f+1g ˜Òc gÂi l
> 0, n¸u 8x; y 2 C; 8 2 (0; 1) ta c‚:
f [ x + (1 )y] < f(x) + (1 )f(y)
(iii) H m f ˜Òc gÂi l h m l„m tr¶n C n¸u
-‡nh ngh¾a 1.2.3. MÎt h m f gÂi l
1 (1 )kx yk2:
2
f l h m lÁi tr¶n C:
n+1
‚ng, n¸u epif l mÎt tªp ‚ng trong R
:
-‡nh ngh¾a 1.2.4. H m f : C ! R [ f+1g ˜Òc gÂi l n˚a li¶n tˆc
n
d˜Ói ( n˚a li¶n tˆc d˜Ói y¸u ) t¤i iºm x 2 C n¸u vÓi mÂi d¢y fx g C
n
limf(x ):
n
n
limf(x )):
x ! x ) f(x)
n
(x * x ) f(x)
H m f ˜Òc gÂi l n˚a li¶n tˆc d˜Ói ( n˚a li¶n tˆc d˜Ói y¸u) tr¶n C n¸u
n‚ n˚a li¶n tˆc d˜Ói (n˚a li¶n tˆc d˜Ói y¸u) t¤i mÂi iºm trong C:
H m f ˜Òc gÂi l n˚a li¶n tˆc tr¶n ( n˚a li¶n tˆc tr¶n y¸u ) t¤i iºm x 2 C
n
n¸u vÓi mÂi d¢y fx g C,
n
limf(x ):
n
n
limf(x )):
x ! x ) f(x)
n
(x * x ) f(x)
H m f ˜Òc gÂi l n˚a li¶n tˆc tr¶n ( n˚a li¶n tˆc tr¶n y¸u ) tr¶n C n¸u
n‚ n˚a li¶n tˆc tr¶n ( n˚a li¶n tˆc tr¶n y¸u) t¤i mÂi iºm trong C.
H m f ˜Òc gÂi l li¶n tˆc ( li¶n tˆc y¸u ) t¤i iºm x n¸u n‚ Áng thÌi n˚a li¶n tˆc
tr¶n ( n˚a li¶n tˆc tr¶n y¸u ) v n˚a li¶n tˆc d˜Ói ( n˚a li¶n tˆc d˜Ói y¸u ) t¤i ‚. H m
9
f ˜Òc gÂi l li¶n tˆc ( li¶n tˆc y¸u) tr¶n C n¸u n‚ li¶n tˆc ( li¶n tˆc y¸u ) t¤i
mÂi iºm trong C.
H m f ˜Òc gÂi l b¡n li¶n tˆc tr¶n tr¶n C n¸u vÓi mÂi x; y 2 C v 2 [0;
+
1], h m sË ( ) = f [ x + (1 )y] l n˚a li¶n tˆc tr¶n t¤i 0 :
1.3 D˜Ói vi ph¥n cıa h m sË
N¸u h m f x¡c ‡nh tr¶n C th¼ ta c‚ thº th¡c triºn l¶n to n khÊng gian b¬ng c¡ch
°t
f(x); x 2 C;
F (x) =
+1; x 2= C:
Do ‚, d˜Ói ¥y ta c‚ thº x²t vÓi h m x¡c ‡nh tr¶n to n khÊng gian. Ta nhc l¤i kh¡i ni»m ¤o h m theo h˜Óng.
-‡nh ngh¾a 1.3.1. Cho f : H ! R [ f+1g h m ch½nh th˜Ìng, x 2 domf
l
v y 2 H. Ta gÂi ¤o h m theo h˜Óng cıa h m f t¤i x l ¤i l˜Òng
f(x + x) f(x)
0
f (x; y) = lim
:
#0
n¸u giÓi h¤n n y tÁn t¤i.
0
N¸u h m f c‚ ¤o h m t¤i x theo mÂi h˜Óng v f (x; :) l mÎt ¡nh x¤ tuy¸n
t½nh li¶n tˆc tr¶n H th¼ f ˜Òc gÂi l kh£ vi G¥teaux t¤i x, v theo biºu
di¹n Riesz-Fr²chet, tÁn t¤i duy nh§t mÎt v²c-tÏ rf(x) 2 H sao cho:
0
(8y 2 H)f (x; y) = hy; rf(x)i :
N¸u c‚
lim f(x + y)
06=y!0
f(x) h y; r(x)i
kyk
= 0;
ta n‚i f l kh£ vi Fr²chet t¤i x, v rf(x) ˜Òc gÂi l ¤o h m Fr²chet cıa f t¤i x. MÎt h
m c‚ thº khÊng kh£ vi t¤i mÎt iºm, ta c‚ thº ˜a ra kh¡i ni»m g¦n vÓi kh¡i
ni»m kh£ vi nh˜ sau:
-‡nh ngh¾a 1.3.2. Cho f : H ! R [ f+1g l
10
h m ch½nh th˜Ìng.
- Xem thêm -