ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
LÂM QUANG TÀI
TÍNH DUY NHẤT
CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: : 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS-TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU
Thái Nguyên, năm 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luân văn này là trung thực và
không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015
Tác giả
Lâm Quang Tài
Xác nhận
Xác nhận
của trƣởng khoa chuyên môn
của ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GS. TSKH. Nguyễn Quang Diệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn
Quang Diệu người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình hoàn
thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Giải Tích trường
ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ những kiến thức quan trọng cho tôi, tạo điều kiện
thuận lợi, cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu giúp đỡ tôi nghiên cứu và hoàn
thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn ĐHSP Thái Nguyên khoa toán - tin nơi mà tôi đã
được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sỹ.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người luôn ủng hộ tôi
trong suốt quá chình hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên tháng 10 năm 2015
Tác giả
Lâm Quang Tài
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan .............................................................................................................. i
Lời cảm ơn .................................................................................................................ii
Mục lục ..................................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN .......................................................................... 3
1.1. Phân bố ............................................................................................................. 3
1.2. Dạng vi phân ..................................................................................................... 3
1.3. Dòng.................................................................................................................. 4
1.4. Hàm nửa liên tục ............................................................................................... 8
1.5. Hàm điều hòa dưới.......................................................................................... 11
1.6. Hàm đa điều hòa dưới ..................................................................................... 13
1.7. Hàm đa điều hòa dưới cực đại. ....................................................................... 16
1.8. Toán tử Monge-Ampère phức ........................................................................ 18
Chƣơng 2. TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI ................... 34
2.1. Bài toán ........................................................................................................... 34
2.2. Tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới........................................................ 34
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tính duy nhất của một hàm nào đó có vai trò quan trọng trong toán học.
Ở phổ thông ta thường gặp bài toán giải phương trình, việc tìm ra lời giải không
hề dễ dàng nhưng bằng những cách thông thường ta lại tìm được một nghiệm của
nó. Công việc của chúng ta là chứng minh hàm số đó có nghiệm duy nhất trên miền
xác định.
Tương tự trong giải tích hàm ta có: Giả sử dãy hàm f1 ( x) , f 2 ( x) …, f n ( x ) xác
f n ( x) f(x) thì ta có f(x) là duy nhất.
định trên miền D thỏa mãn lim
n
Tính duy nhất của một hàm được các nhà toán học rất quan tâm, đặc biệt trong
giải tích phức. Trong lớp các dãy hàm chỉnh hình chúng ta đã biết Định lí sự tồn tại
duy nhất của hàm chỉnh hình. Cụ thể: Giả sử cho f ( z ) , g ( z ) là các hàm chỉnh
hình trong miền
zn
mở trong n . Nếu f ( zn )
mà hội tụ tới một điểm a
g ( zn ) trên một dãy điểm khác nhau
thì f ( z )
g ( z ) với mọi z
Thế còn lớp hàm đa điều hòa dưới xác định trên miền
.
mở trong n thì sao?
Chúng có là duy nhất hay không, nếu không duy nhất thì chúng phải thỏa mãn điều
kiện gì để trở thành duy nhất?
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài này là trình bày một số kết quả gần đây của Nguyễn Quang
Diệu về tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở
trong n nhằm làm
sáng tỏ vấn đề trên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Cho
là miền siêu lồi bị chặn trong n . Cho K
chỉnh hình trong
. Cho u1, u2
chúng bằng nhau trên
là tập compact lồi
PSH ( ), u1, u2 phải thỏa mãn các điều kiện gì để
. Đây là nhiệm vụ hàng đầu mà ta cần giải quyết.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
1
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Ta nghiên cứu trên tập các hàm đa điều hòa dưới, âm trên tập mở
là miền siêu
lồi bị chặn trong n.
5. Nội dụng của luận văn
Nội dung chính của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của Nguyễn
Quang Diệu về tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở
trong n .
Chương I. Trình bày các kiến thức cơ sở như hàm nửa liên tục, đa điều hòa
dưới, toán tử Monge-Ampère ... làm cơ sở lí thuyết cho chương sau.
Chương II. Phát biểu và chứng minh chi tiết bài toán về “tính duy nhất của hàm
đa điều hòa dưới”.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu là dựa vào tính chất của toán tử Monge-Ampère cùng
với đặc trưng hình học của tập lồi phân hình và lồi chỉnh hình làm công cụ để chứng
minh tính duy nhất của hàm đa điều hòa dưới, âm thỏa mãn một số điều kiện cho
trước trên tập mở
trong n .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
2
Chƣơng 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Phân bố
Định nghĩa. Giả sử U
n là tập mở. Một phân bố trên
U là dạng tuyến
tính liên tục trên D(U ) , với D(U ) là các hàm khả vi vô hạn trên U . Ta kí hiệu các
phân bố trên U là D (U ) .
Ví dụ : Giả sử U
bố u f
n là tập mở và f C(U ) khi đó f xác định một phân
D (U ) cho bởi
uf ( )
f dV ,
D(U ) .
U
Thật vậy, rõ ràng u f là dạng tuyến tính trên D(U ) . Giả sử K Ð U . Chọn k
f liên tục trên U . Khi đó với mọi
uf ( )
D(U ) , sup p
c
K
0 , ., do
K , ta có:
.
Vậy u f ( ) là một phân bốtrên U .
1.2. Dạng vi phân
Giả sử n là không gian vector n-chiều với cơ sở chính tắc e j =
(0,…,1,0,…,0), ở đó 1 ở vị trí thứ j. Giả sử với mỗi 1≤ j ≤ n kí hiệu u j là hàm tọa
độ thứ j :
u j ( x) x j .
Một ánh xạ
n
f :
... n
p
gọi là p - tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định. Một
ánh xạ p - tuyến tính sao cho f (v1,..., v p ) 0 mỗi khi v j
v j 1 , 1≤ j < p gọi là p -
tuyến tính thay dấu. Tập các p - tuyến tính thay dấu từ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
3
n
... n
p
n
p
kí hiệu là
n
( , ) . Bằng cách thay mỗi v j
uk (v j )ek , ta có thể biểu diễn mỗi
k 1
ánh xạ p - tuyến tính thay dấu bằng công thức
f (v1, v2,..., v p )
f j (u j1
1 j1
u j p )(v1, , v p )
jp n
ở đó:
(u j1
u j p )(v1, , v p ) det u jk (v j ) và f J
Định nghĩa : Giả sử
.
n là tập mở. Một p - dạng vi phân trên Ω là một
ánh xạ
p
:
Nếu đặt dxk ( x) uk , 1 ≤ k ≤ n, x
vi phân
( n, ) .
thì từ lí luận trên ta có thể viết mỗi p - dạng
dưới dạng :
trên
(x)
I
(x)dxI
I
ở đó
I
(i1, , i p ) , 1 i1
dxI
I
( x) là các hàm trên
n
dxi1 ... dxip
. Tùy thuộc vào các hàm
khả vi lớp nào hay trơn… ta nói
ip
I
I
( x) là các hàm bị chặn, liên tục
( x) là dạng bị chặn, liên tục khả vi lớp nào hay
trơn…
1.3. Dòng
1.3.1. Định nghĩa
Một dòng bậc p hay có chiêu (n-p) trên tập mở
T : D(n p) ( )
compact trong
n là dạng tuyến tính liên tục
, với D(n p) ( ) là không gian các (n- p) - dạng trơn có giá
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
4
là dạng trong D(n p) ( ) , giá trị của T tại
Nếu
, kí hiệu T ( ) hay T ,
.
Thông thường các dòng thường được xét với tôpô yếu. Như vậy với tôpô này, một
dãy Tn các dòng bậc p trên
gọi là hội tụ tới dòng T bậc p trên
Tn hội tụ tới T trong không gian ( D( n
p)
nếu dãy
( )) ,
nghĩa là với mọi
a D( n
)
I ,J
T ( dxJ )
được chọn sao cho
I ,J
dxI
dxJ
là dạng thể tích trong n . Từ T ( D( n
bố trên
.
D(U ) xác định
TI (
I ,J
T,
( j1,..., jn p ) là dãy tăng các chỉ số là phần bù của I
n . Giả sử J
trong tâp 1,2,...,n . Khi đó
ở đó
( ) , Tn ,
n , T ( D( n p ) ( )) . Giả sử I (i1,..., i p ) là dãy tăng với
Giả sử T bậc p trên
1 i1 ... i p
p)
dV
p)
dx1 ... dxn
( )) nên TI
( D( )) , nghĩa là các phân
.
Do đó dòng T bậc p có thể viết
'
T
TI dxI
I
và như thế mọi dòng bậc p trên
phân bố. Nếu coi Dn ( )
D( ) thì dòng bậc 0 trên
T
với u là một phân bố trên
dòng bậc p trên
có thể xem như p
dạng vi phân với hệ số là
có thể viết:
udx1 ... dxn
. Lúc đó ta cần thống nhất T với u có thể nói rằng các
và ngược lại.
là một phân bố trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
5
Dòng T bậc p trên
trên không gian D0( n
compact trong
gọi là cấp 0 nếu nó thác triển tới dạng tuyến tính liên tục
p)
( ) các (n p)
dạng với hệ số là các hàm liên tục có giá
. Trong trường hợp này nếu
'
T
TI dxI
I
thì TI là các dạng tuyến tính liên tục trên C0 ( ) với giá trị trong , do đó TI là độ
đo Borel chính quy phức trên
Ví dụ : Giả sử
.
n là tập mở và E
một dòng bậc 0 , kí hiệu E , trên
là tập Borel. Khi đó E xác định
cho bởi
E ,
Dn ( ) .
,
E
Dòng E được gọi là dòng tích phân trên
.
Khi xét các dạng vi phân cũng như các dòng trên tập mở trong n
phát biểu các khái niệm này theo tọa độ phức z
dx j
1 (dz dz )
j
j
2
dy j
1 (dz dz )
j
j
2i
2n ta sẽ
(z1, z2, , zn ) n . Bằng cách thay
và
và do đó sẽ xuất hiện các khái niệm dạng phức song bậc (p, q) cũng như các dòng
song bậc (p, q).
1.3.2. Dòng song bậc
Định nghĩa. Mỗi phần tử T
( D( n
p .n q )
( )) gọi là một dòng song bậc ( p,q)
hay ( p,q) dòng (tương ứng với song chiều (n
( D0( n
p.n q )
p, n q) ). Những phần tử của
( )) gọi là dòng cấp 0 , song bậc (hay ( p,q) dòng cấp 0 ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
6
. Các (n, n) dòng là cấp 0 là các độ đo
Rõ ràng (n, n) dòng là các phân bố trên
Borel chính quy trên
Ví dụ : Giả sử
trên
. Khi đó
,
D( n
p. n q)
là tác động của T lên
( ) , ta kí hiệu T ,
.
là ( p,q) dạng với hệ số là các hàm khả tích địa phương
xác định một ( p,q) dòng T trên
bởi :
T ( )
với
D(n
p .n q )
( ).
Các phép toán trên dòng song bậc. Giả sử
(k,l) - dạng trong
là (p, q) - dòng trong
với hệ thống trong ( , ) và max p k, q l
D (n
là (p+k, q+l) - dòng được xác định: nếu
p k,n q l )
(T
,
n, khi đó
( ) thì:
),
T,
.
Chúng ta nhắc lại toán tử vi phân
: D( p,q) ( )
D( p
1,q)
( )
cho bởi:
I ,J
I ,J
1 k n
zk
dzk dz I
dz J
nếu
I ,J
dz I
dz J
I ,J
và
: D( p,q)( )
I,J
I,J
zk
1 k n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
dzk dzI
D( p,q 1)( )
dz J .
http://www.lrc.tnu.edu.vn
7
là
. Khi đó ta xác định :
Giả sử T là (p, q) - dòng trên
T,
( 1) p
q 1
T,
T,
( 1) p
q 1
T,
và
dT
T
T,
d cT
i( T
T)
như vậy
ddcT
2i T
và
dd cT ,
,dd cT ,
D (n
p 1,n q 1)
( ).
c
Do đó dd T là (p+1, q+1) - dòng .
Dòng T gọi là đóngnếu dT
0 và T
0 , hay T
0.
1.3.3. Dòng dƣơng
Định nghĩa. Giả sử T là (p, q) - dòng trên tập mở
. T được gọi là dòng
dương nếu với mỗi dạng dương sơ cấp
i
2
ta có T
1
, ,i
2
1
n p
n p
(n
p, n p)
là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel dương trên
.
1.3.4. Dòng dƣơng đóng
Định nghĩa. Dòng T là (p, q) - dòng trên tập mở
. T thỏa mãn hai điều
kiên dương và đóng thì T được gọi là dòng dương đóng.
1.4. Hàm nửa liên tục
1.4.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u: X
liên tục trên trên X nếu với mỗi
X
;
gọi là nửa
thì tập
x X : u( x )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
8
là mở trong X.
Ta có định nghĩa tương đương.
;
Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u: X
gọi là nửa liên tục trên
trên X nếu
lim supu(x) u(x 0 ) với mọi x0
x
x
0
X.
Tương tự ta có khái niệm nửa liên tục dưới trên X.
gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu -u là hàm nửa liên
;
Hàm u: X
tục trên trên X.
Dễ thấy định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính chất địa phương sau.
Giả sử u : X
,
. Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x X nếu với
0 tồn tại lân cận U x của x0 trong X sao cho x U x0 ta có:
0
u ( x) u ( x0 )
1
u ( x)
nếu u ( x0 )
nếu u ( x0 )
.
Hàm u được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u là nửa liên tục trên tại
mọi x0
X . Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau.
Giả sử E
X và u : E
,
là hàm trên E . Giả sử x0
E . Ta định nghĩa
lim sup u ( x) inf sup u ( y ) : y V
x
x0 x E
ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x0 . Khi đó có thể thấy rằng hàm
u: X
,
là nửa liên tục trên tại x0
X nếu
lim sup u ( x) u ( x0 ) .
x
x0
Ta có kết quả sau.
1.4.2. Định lí. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên trên không gian tôpô X và
K Ð X là tập compact. Khi đó u đạt cực đại trên K .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
9
Chứng minh. Các tập x X : u ( x) n với n 1 tạo nên phủ mở của K . Do
đó có phủ con hữu hạn phủ K . Vậy u bị chặn trên K . Giả sử M
1
không thể phủ K . Vậy có x0
n
Khi đó các tập mở x X : u ( x) M
u ( x0 ) M
sup u ( x) : x K .
K sao cho
1
với mọi n . Vậy u ( x0 ) M . Ta có điều phải chứng minh.
n
1.4.3. Định lí. Giả sử
u
là hàm nửa liên tục trên và bị chặn trên không gian metric
( X , d ) . Khi đó tồn tại các dãy giảm các hàm liên tục
:X
với
lim n ( x) u( x) , x X .
n
Chứng minh. Có thể giả sử u
bởi vì trái lại chỉ cần lấy
n
n . Với
mỗi n 1, xác định
sup(u( y) nd ( x, y)) ở đó x X .
n
y X
Khi đó với mỗi n ta có
n
Vậy
n
( x)
liên tục trên X . Dễ thấy
n
n
( z ) nd ( x, y) , x, y X .
là dãy giảm và
n
u trên X với mọi n . Do đó
lim n ( x) u ( x) với x X .
n
Giả sử
B( x, r )
y X : d ( x, y ) r
là hình cầu tâm x bán kính r . Khi đó
n
( x) max( sup u,sup(u nr )) , x X , r
B ( x ,r )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
0.
X
http://www.lrc.tnu.edu.vn
10
Do đó
lim n ( x)
sup u
n
cho r
B ( x ,r )
0 và dùng tính nửa liên tục trên của hàm u tại x ta được
n
( x) u ( x) .
Định lí được chứng minh.
Rõ ràng hàm liên tục thì nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
1.5. Hàm điều hòa dƣới
1.5.1.Định nghĩa. Giả sử
dưới trên
trên
là tập mở trong . Hàm u :
nếu nó nửa liên tục trên trên
, nghĩa là với mọi
gọi là điều hòa
;
và thỏa mãn bất đẳng thức trung bình
0 sao cho với mọi 0 r
tồn tại
ta có
u( )
1
2
2
u(
reit )dt .
0
Chú ý rằng với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất
hàm điều hòa dưới trên
SH(
dưới trên
được xem là
. Ta ký hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên
). Sau đây là ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới trên
là hàm chỉnh hình trên
Ví dụ: Nếu f :
là
.
thì log f là hàm điều hòa
.
Chứng minh: trường hợp f
trên
trên
0 trên
thì kết quả là rõ ràng. Giả sử f
. Khi đó rõ ràng log f là hàm nửa liên tục trên trên
f ( ) 0 thì chọn
0 sao cho f
log f là hàm điều hòa trên B( , )
bình được thỏa mản trên
0 trên B( , )
z
. Trường hợp f
:z
z
. Giả sử
:z
. Nếu
. Khi đó
nên Bất đẳng thức trung
0 . Khi đó log f
và do đó Bất
đẳng thức trung bình cộng luôn đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
11
0
1.5.2.Mệnh đề. Giả sử u , v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở
trong .
Khi đó
(i) Max(u, v) là hàm điều hòa dưới trên
(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên
u, v SH ( ) và
0,
0 thì u
là mộtnónsiêu lồi, nghĩa là nếu
v cũng thuộc SH ( ) .
Chứng minh.Dễ thấy từ Định nghĩa 1.5.1.
Bây giờ ta đi đến Nguyên lí cực đại của hàm điều hòa dưới.
1.5.3.Định lí.Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn
(i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên
(ii) Nếu limsup u ( z ) 0 thì với mỗi
thì u là hằng số trên
thì u
z
trên . Khi đó:
0 trên
Chứng minh. (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm z0
.
.
.
Đặt
A
z
: u( z) M
B
z
: u( z) M .
và
Khi đó A là tập mở vì u là hàm nửa liên tục trên.Từ Bất đẳng thức dưới
trung bình ta dễ thấy B cũng là tập mở. Ta có
A B , A B
Do đó hoặc A
, hoặc B
.
. Nhưng theo giả thiết B
nên B
(i) được chứng minh.
(ii) Mở rộng u lên
nhờ đặt
u ( ) limsup u ( z ) (
z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
).
http://www.lrc.tnu.edu.vn
12
và
Do đó
là tập compact nên u đạt cực đại tại
. Do đó u
giả thiết u ( ) 0 trên
. Trường hợp
0 trên
. Do đó là hằng số trên
u là hằng số trên
. Nếu
. Vậy u
thì do
thì theo (i) thì
0 trên
.
Định lí sau cho ta thấy giới hạn của dãy hàm điều hòa dưới là hàm điều hòa dưới.
1.5.4.Định lí. Giả sử un là dãy các hàm điều hòa dưới trên tập mở
u lim un . Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên
trên và
.
n
Chưng minh.Đầu tiên ta chứng minh u là hàm nửa liên tục trên trên
mỗi a
. Với
, tập
z
: u( z)
z
: un ( z )
.
n 1
Do đó nó là tập mở. Vậy u là hàm nửa liên tục trên trên
. Do đó với mỗi
u n thỏa mãn Bất đẳng thức dưới trung bình nên dùng Định lí hội tụ đơn điệu suy ra
u cũng thỏa mãn Bất đẳng thức dưới trung bình trên
dưới trên
. Do đó u là hàm điều hòa
.
1.6. Hàm đa điều hòa dƣới
1.6.1. Định nghĩa. Giả sử
n là tập mở, hàm u :
trên, không đồng nhất bằng
thông của tập
b
1.6.2. Định lí. Giả sử u :
bằng
(viết u
,
và b
a
và
trên mọi thành phần liên
.
là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất
trên mọi thành phần liên thông của
vàchỉ khi với mọi a
. Hàm u
PSH ( ) ) nếu với mọi a
u(a b ) là hàm điều hòa dưới hoặc
:a
là hàm nửa liên tục
trên mọi thành phần liên thông của
được gọi là đa điều hòa dưới trên
b n , hàm
;
n . Khi đó u
PSH ( ) khi
n sao cho
b:
,
1
ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
13
2
1
2
u (a)
u (a rei b)d : l (u , a, b).
0
Chứng minh.Điều kiện cần là hiển nhiên suy ra từ Định nghĩa 1.6.1.
Điều kiện đủ. Giả sử a
n và xét
và b
:a
U
b
.
Khi đó U là tập mở trên . Đặt
v( ) u ( a
b) ,
U.
Ta cần chứng minh v( ) là hàm điều hòa dưới trên U . Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ
nếu
0
0 sao cho với 0 r
U tồn tại
1
2
v( 0 )
Từ a
0
Với 0 r
b U nếu có
thì
2
v(
rei )d .
0
0
0 sao cho
thì a
0
b
b
.
ta có
a
0
b
rb :
0
1
2
1
.
Do đó từ giả thiết ta có
u (a
b)
2
v(a
0
b rbei b)d .
0
Vậy
v( 0 )
1
2
2
v(
0
rei )d .
0
Điều phải chứng minh.
1.6.3. Định lí.Giả sử
(i) Nếu u, v
u
là tập mở trong n .
PSH ( ) thì max u, v
PSH ( ) và nếu ,
0 thì
v PSH ( ) . Nghĩa là PSH (U ) là một nón siêu lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
14
(ii) Nếu u j
hòa dưới trên
uj
(iii)
j 1
PSH ( ) là dãy giảm thì u
hoặc bằng
j 1
lim u j hoặc là hàm đa điều
.
PSH ( ) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của
tới
thì u PSH ( ) .
hàm u :
(iv) Giả sử u
I
I là bị chặn địa
PSH ( ) sao cho u sup u ,
phương. Khi đó chính quy hóa nửa liên tục trên u* PSH ( ) .
Chứng minh. Các khẳng định (i), (ii), (iii) được suy ra từ Định nghĩa 1.6.1và
Định lí hội tụ đơn điệu hay Định lí qua giới hạn dưới dấu tích phân trong trường
hợp dãy hội tụ đều. Ta cần chứng minh (iv). Chỉ cần chứng tỏ a
cho a
b:
,
1
và b
Từ z
, chọn dãy zn
b,
1
2
1
2
u * ( a ei b) d .
0
n sao cho z
u (z)
Với a
n sao
thì
u * (a)
Dễ thấy a
và b
b,
1
2
1
2
u * ( z ei b)d .
0
sao cho zn
a và u( zn )
nên với n đủ lớn thì zn
u (z n )
thì
1
2
b,
u * (a) .
1
. Khi đó
2
u * ( zn ei b) d .
0
Nên ta có
u *(a) limsup u ( zn )
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
15
1
2
2
1
2
2
lim sup u * ( zn ei b)d
0
0
n
lim sup u * ( a ei b) d .
n
Ta có điều phải chứng minh.
1.6.4. Mệnh đề. (Nguyên lí cực đại) Giả sử D là một miền trong n và
u PSH ( D) , u const . Khi đó u không đạt cực đại toàn thể trên D . Hơn nữa
nếu D là miền bị chặn thì với mọi z D ta có
u ( z ) sup
D z
D sao cho u ( z0 ) max u ( z ) : z
Chứng minh.Giả sử z0
D0
u 1 (u ( z0 )) . Khi đó
lim sup u ( z ) .
,z D
D . Giả sử a D0
D0
D . Đặt
D.
Khi đó
u( z0 )
z
Vậy a
cho z
z
lim sup u( z)
a , z D0
lim sup u ( z ) u(a) u ( z0 ) .
a,z D
D0 và D0 đóng trong D . Nếu a
b,
r
D0 và với mọi b
n , chọn r
0 sao
D . Khi đó
u (z 0 ) u (a )
1
2
2
u ( a ei b) d
0
Từ đó do tính nửa liên tục trên của hàm u nên suy ra u
của a . Vậy D0 là mở, do đó D0
u (z 0 ) .
u ( z0 ) là một dãy lân cận
D . Điều này kéo theo u u ( z0 ) trên D . Mâu
thuẫn với Giả thiết.
1.7. Hàm đa điều hòa dƣới cực đại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
http://www.lrc.tnu.edu.vn
16
- Xem thêm -