Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Phần Tích Phân-Giải tích 12
Trang 1
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Tích Phân-Giải tích 12
ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F '(x) f (x) , x K
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
f (x)dx F(x) C , C R.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
f '(x)dx f (x) C
f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
kf (x)dx k f (x)dx (k 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)
1
dx
3)
x
5)
(ax b)
7)
2)
k.dx k.x C
2
1
1
C
x
1
C;
a(n 1)(ax b)n 1
sin x.dx cos x C
n
dx
1
9)
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
11)
cos
15)
e dx e
1
2
dx (1 tan 2 x)dx tan x C
x
1
1
13)
dx tan(ax b) C
2
cos (ax b)
a
17)
19)
21)
23)
25)
27)
x
x
C
1 (ax b)
(ax b)
e dx a e C
ax
x
a
dx
C
ln a
1
1 x 1
x 2 1 dx 2 ln x 1 C
1
1
x a
x 2 a 2 dx 2a ln x a C
1
x
a 2 x 2 dx arcsin a C
1
2
x a
2
dx ln x x 2 a 2 C
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
4)
6)
8)
10)
x n 1
x dx n 1 C
1
x dx ln x C
1
1
(ax b) dx a ln ax b C
cos x.dx sin x C
n
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
1
12)
sin
16)
e
2
dx (1 cot 2 x)dx cot x C
x
1
1
14)
dx cot(ax b) C
2
sin (ax b)
a
18)
20)
22)
24)
26)
28)
x
dx e x C
1 (ax b) n 1
n
(ax
b)
.dx
.
C (n 1)
a
n 1
1
x 2 1 dx arctan x C
1
x
x 2 a 2 dx arctan a C
1
1 x 2 dx arcsin x C
1
2
x 2 1 dx ln x x 1 C
x 2
a2
x
2
2
2
a
x
dx
a
x
arcsin C
2
2
a
Trang 2
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
29)
x 2 a 2 dx
Phần Tích Phân-Giải tích 12
x
a2
x 2 a 2 ln x x 2 a 2 C
2
2
B – BÀI TẬP
Câu 1: Nguyên hàm của 2x 1 3x 3 là:
A. x 2 x x 3 C
B. x 2 1 3x 2 C
Câu 2: Nguyên hàm của
A.
x4 x2 3
C
3x
1
1
x 2 là:
2
x
3
3
x 1 x
B. C
3 x 3
6x 3
D. x 2 1
C
5
C. 2x x x 3 C
C.
x 4 x 2 3
C
3x
D.
1 x3
C
x 3
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f x 3 x là:
33 x2
A. F x
C
4
B. F x
3x 3 x
C
4
là:
x x
2
C
B. F x
x
2
C
x
4x
C
33 x
C. F x
x
C
2
D. F x
4x
3
3 x2
C
1
Câu 4: Nguyên hàm của hàm số f x
A. F x
C. F x
D. F x
x
C
2
5
Câu 5: x 3 dx bằng:
x
2 5
2 5
2 5
2 5
A. 5ln x
x C
B. 5 ln x
x C C. 5 ln x
x C D. 5 ln x
x C
5
5
5
5
dx
Câu 6:
bằng:
2 3x
1
3
1
1
A.
B.
C. ln 2 3x C
D. ln 3x 2 C
C
C
2
2
3
3
2 3x
2 3x
Câu 7: Nguyên hàm của hàm số f x
A. F x
C. F x
2 x 1
x x x
là:
x2
C
B. F x
23 x
C
x
D. F x
x
Câu 8: Tìm nguyên hàm:
(
3
53 5
x 4 ln x C
3
3
C. 3 x 5 4 ln x C
5
B.
D.
(x
C
x 1
x2
1 2 x
C
x
4
x 2 )dx
x
A.
Câu 9: Tìm nguyên hàm:
2
2
33 5
x 4 ln x C
5
33 5
x 4 ln x C
5
3
2 x )dx
x
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 3
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x3
4 3
3ln x
x C
3
3
x3
4 3
C.
3ln x
x C
3
3
A.
5
Câu 10: Tìm nguyên hàm: ( x 3 )dx
x
2 5
2 5
A. 5ln x
x C
B. 5 ln x
x C
5
5
2
Câu 11: Tìm nguyên hàm: (x 3 x )dx
x
1 4
2 3
A. x 2 ln x
x C
4
3
1
2 3
C. x 4 2 ln x
x C
4
3
dx
Câu 12: Tính
, kết quả là:
1 x
C
A.
B. 2 1 x C
1 x
Phần Tích Phân-Giải tích 12
x3
4 3
3ln X
x
3
3
x3
4 3
D.
3ln x
x C
3
3
B.
C. 5 ln x
2 5
2 5
x C D. 5 ln x
x C
5
5
1 4
2 3
x 2 ln x
x C
4
3
1
2 3
D. x 4 2 ln x
x C
4
3
B.
2
C
1 x
C.
D. C 1 x
2
x2 1
Câu 13: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)
là hàm số nào trong các hàm số sau?
x
x3 1
x3 1
A. F(x) 2x C
B. F(x) 2x C
3 x
3 x
3
x3
x
C. F(x) 3 2 C
x
2
x3
x
D. F(x) 3 2 C
x
2
x(2 x)
Câu 14: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x)
(x 1) 2
x2 x 1
x2 x 1
B.
x 1
x 1
Câu 15: Kết quả nào sai trong các kết quả sao?
A.
2x 1 5x 1
1
2
10x dx 5.2x.ln 2 5x.ln 5 C
x2
1 x 1
C.
dx ln
xC
2
1 x
2 x 1
A.
x 2 2x 3
Câu 16:
dx bằng:
x 1
x2
A.
x 2ln x 1 C
2
x2
C.
x 2ln x 1 C
2
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
x2 x 1
x 1
D.
x2
x 1
x 4 x 4 2
1
dx ln x 4 C
3
x
4x
B.
D.
tan
B.
x2
x ln x 1 C
2
2
xdx tan x x C
D. x 2 ln x 1 C
Trang 4
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 17:
x2 x 3
dx bằng:
x 1
A. x 5ln x 1 C
C.
Phần Tích Phân-Giải tích 12
B.
x2
2x 5ln x 1 C
2
x2
2x 5ln x 1 C
2
D. 2x 5ln x 1 C
20x 2 30x 7
3
; F x ax 2 bx x 2x 3 với x . Để hàm
2
2x 3
số F x là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì giá trị của a, b, c là:
A. a 4; b 2;c 1
B. a 4; b 2; c 1 C. a 4; b 2;c 1 . D. a 4; b 2; c 1
Câu 18: Cho các hàm số: f (x)
Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f x x 2 – 3x
1
là
x
x 3 3x 2
A. F(x) =
ln x C
3
2
x 3 3x 2
C. F(x) =
ln x C
3
2
2x
Câu 20: Cho f x 2
. Khi đó:
x 1
A. f x dx 2 ln 1 x 2 C
x 3 3x 2
B. F(x) =
ln x C
3
2
x 3 3x 2
D. F(x) =
ln x C
3
2
C. f x dx 4 ln 1 x 2 C
D. f x dx ln 1 x 2 C
B. f x dx 3ln 1 x 2 C
x 3 3x 2 3x 1
1
biết F(1)
2
x 2x 1
3
2
2
13
A. F(x) x 2 x
6
B. F(x) x 2 x
x 1
x 1 6
2
2
x
2
13
x
2
C. F(x)
x
D. F(x)
x
6
2
x 1 6
2
x 1
1
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số y 3x 1 trên ; là:
3
Câu 21: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)
3 2
2
2
3
3
x x C
B.
C.
D.
3x 1 C
3x 1 C
2
9
9
Câu 23: Tìm hàm số F(x) biết rằng F’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3
A. F(x) = x4 – x3 - 2x -3
B. F(x) = x4 – x3 - 2x + 3
C. F(x) = x4 – x3 + 2x + 3
D. F(x) = x4 + x3 + 2x + 3
A.
x ln x x 2 1
Câu 24: Một nguyên hàm của f (x)
x2 1
là:
A. x ln x x 2 1 x C
B. ln x x 2 1 x C
C. x ln x 2 1 x C
D.
Câu 25: Nguyên hàm của hàm số y
3 2
x x C
2
x 2 1 ln x x 2 1 x C
2x 4 3
là:
x2
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 5
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
2x 3 3
C
3 x
B. 3x 3
3
C
x
C.
Phần Tích Phân-Giải tích 12
2x 3 3
C
3
x
D.
x3 3
C
3 x
Câu 26: Cho f (x)dx F(x) C. Khi đó với a 0, ta có f (a x b)dx bằng:
A.
1
F(a x b) C
2a
B. F(a x b) C
C.
1
C
x2
C. F(x)
B. Đáp số khác
Câu 28: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)
D. F(a x b) C
1
là:
(x 2)2
Câu 27: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)
A. F(x)
1
F(a x b) C
a
1
C
x2
D. F(x)
1
C
(x 2)3
x2 x 1
là
x 1
x2
ln | x 1| C
2
1
C. F(x) x
C
x 1
B. F(x) x 2 ln | x 1| C
A. F(x)
D. Đáp số khác
Câu 29: Nguyên hàm F x của hàm số f x 2x 2 x 3 4 thỏa mãn điều kiện F 0 0 là
B. 2x 3 4x 4
A. 4
C.
2 3 x4
x 4x
3
4
D. x 3 x 4 2x
Câu 30: Nguyên hàm của hàm số f x x 3 trên là
A.
x4
xC
4
Câu 31: Tính
B. 3x 2 C
C. 3x 2 x C
D.
x4
C
4
D.
x3
1
2 C
3 2x
x5 1
x 3 dx ta được kết quả nào sau đây?
3
A. Một kết quả khác
B.
2
x x
C
3 2
x6
x
C. 6 4 C
x
4
Câu 32: Một nguyên hàm F(x) của f (x) 3x 2 1 thỏa F(1) = 0 là:
A. x 3 1
B. x 3 x 2
C. x 3 4
D. 2x 3 2
Câu 33: Hàm số f x có nguyên hàm trên K nếu
A. f x xác định trên K
B. f x có giá trị lớn nhất trên K
C. f x có giá trị nhỏ nhất trên K
D. f x liên tục trên K
Câu 34: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) x 3 x 4 x ?
2 32 3 43 4 54
x x x C
3
4
5
2
4
2
4
5 5
C. F(x) x 3 x 3 x 4 C
3
3
4
A. F(x)
2 23 3 43 4 54
x x x C
3
4
5
3
1
2
1
4 5
D. F(x) x 2 x 3 x 4 C
3
3
5
B. F(x)
Câu 35: Cho hàm số f (x) x 3 x 2 2x 1 . Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), biết rằng F(1) = 4 thì
A. F(x)
x 4 x3
49
x2 x
4 3
12
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B. F(x)
x 4 x3
x2 x 1
4 3
Trang 6
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. F(x)
x 4 x3
x2 x 2
4 3
D. F(x)
Phần Tích Phân-Giải tích 12
x 4 x3
x2 x
4 3
Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số y (2x 1)5 là:
1
1
1
A.
(2x 1) 6 C
B. (2x 1) 6 C
C. (2x 1) 6 C .
D. 10(2x 1)4 C
12
6
2
1
Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x)
x 9 x
2
3
A.
B. Đáp án khác
x 9 x3 C
27
2
2
3
C.
D.
x 9 x3 C
C
3
27
3( x 9 x 3 )
Câu 38: Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên a; b và C là hằng số thì f (x)dx F(x) C .
B. Mọi hàm số liên tục trên a;b đều có nguyên hàm trên a;b .
C. F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên a; b F(x) f (x), x a;b .
D.
f (x)dx f (x)
Câu 39: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x 2 x 2 biết F 2
7
3
x3 1
x3
x3
19
B. F x 2x x 3
C. F x 2x 1
D. F x 2x 3
3 3
3
3
3
Câu 40: Cho hai hàm số f (x), g(x) là hàm số liên tục,có F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của
f (x), g(x) . Xét các mệnh đề sau:
(I): F(x) G(x) là một nguyên hàm của f (x) g(x)
A. F x 2x
(II): k.F x là một nguyên hàm của kf x k R
(III): F(x).G(x) là một nguyên hàm của f (x).g(x)
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?
A. I
B. I và II
C. I,II,III
2
:
(x 1) 2
2
C.
x 1
D. II
Câu 41: Hàm nào không phải nguyên hàm của hàm số y
x 1
2x
B.
x 1
x 1
Câu 42: Tìm công thức sai:
A.
A. e x dx e x C
C. cos xdx sin x C
D.
x 1
x 1
ax
C 0 a 1
ln a
D. sin xdx cos x C
B. a x dx
Câu 43: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
sin 3 x
(I) : sin 2 x dx
C
3
4x 2
(II) : 2
dx 2 ln x 2 x 3 C
x x 3
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 7
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
(III) : 3x 2x 3 x dx
A. (III)
6x
xC
ln 6
B. (I)
C. Cả 3 đều sai.
Câu 44: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y
Phần Tích Phân-Giải tích 12
D. (II)
1
và F(2) 1 thì F(3) bằng
x 1
1
3
B. ln
C. ln 2
D. ln 2 1
2
2
Câu 45: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
x 1
dx
A.
ln x C
B. x dx
C 1
x
1
ax
dx
x
C. a dx
C 0 a 1
D.
tan x C
ln a
cos x
Câu 46: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
F x 1 tan x
f x 1 tan 2 x
A.
là một nguyên hàm của hàm số
A.
B. Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng
F x C
(C là hằng số)
u ' x
u x dx lg u x C
C.
F x 5 cos x
f x sin x
D.
là một nguyên hàm của
Câu 47: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
x4 x2
1
A. x 3 x dx
C
B. e 2x dx e x C
4
2
2
2
dx
4
C. sin xdx cos x C
D. 2
ln
3
1 x x
Câu 48: Trong các khẳng định sau, khăng định nào sai?
f x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx
A. 1
Fx
G x đều là nguyên hàm cùa hàm số f x thì F x G x C là hằng số
B. Nếu
và
F x x là một nguyên hàm của f x 2 x
C.
Fx x2
f x 2x
D.
là một nguyên hàm của
Câu 49: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
F x 7 sin 2 x
A.
f x sin 2x
là một nguyên hàm của hàm số
Fx
G x
F x G x dx có dạng
B. Nếu
và
đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì
h x Cx D (C,D là các hằng số, C 0 )
u ' x
C.
u x
D. Nếu
u x C
f t dt F t C thì f u x dt F u x C
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 8
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 50: Cho hàm số f (x)
Phần Tích Phân-Giải tích 12
5 2x 4
. Khi đó:
x2
2x 3 5
C
3
x
3
2x
5
C. f (x)dx
C
3
x
B. f (x)dx 2x 3
A. f (x)dx
D. f (x)dx
5
C
x
2x 3
5lnx 2 C
.
3
4
Câu 51: Cho hàm số f x x x 2 1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x); đồ thị hàm số y F x đi qua
điểm M 1;6 . Nguyên hàm F(x) là.
A. F x
C. F x
x
x
2
1
4
2
5
4
2
1
5
B. F x
x
D. F x
x
5
2
5
2
1
5
5
2
1
4
2
5
2
5
4
3
x 1
biết F(1) = 0
x2
x2 1 3
x2 1 1
B. F(x)
C. F(x)
2 x 2
2 x 2
Câu 52: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của f (x)
A. F(x)
x2 1 1
2 x 2
D. F(x)
Câu 53: Một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 2x là:
3
3
3
A. (2x 1) 1 2x
B. (2x 1) 1 2x
C. (1 2x) 1 2x
4
2
2
D.
x2 1 3
2 x 2
3
(1 2x) 1 2x
4
1
Câu 54: Cho f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên . Khi đó giá trị tích phân
f (x)dx
là:
1
A. 2
B. 0
C. 1
D. -2
Câu 55: Cho hàm số y f x thỏa mãn y ' x 2 .y và f(-1)=1 thì f(2) bằng bao nhiêu:
A. e3
B. e2
C. 2e
Câu 56: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số
A. ln 2 1
B.
1
2
Câu 57: Nguyên hàm của hàm số
A.
1
C
2 4x
B.
1
2x 1
1
3
2x 1
2
D. e 1
1
và F(2)=1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:
x 1
3
C. ln
D. ln 2
2
là
C
C.
1
C
4x 2
D.
1
C
2x 1
Câu 58: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 4x 3 3x 2 2x 2 thỏa mãn F(1) 9 là:
A. F(x) x 4 x 3 x 2 2
B. F(x) x 4 x 3 x 2 10
C. F(x) x 4 x 3 x 2 2x
D. F(x) x 4 x 3 x 2 2x 10
Câu 59: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A. 0dx C ( C là hằng số)
C.
x
dx
1 1
x C ( C là hằng số)
1
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B.
1
x dx ln x C ( C là hằng số)
D. dx x C ( C là hằng số)
Trang 9
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 60: Một nguyên hàm của f x
Phần Tích Phân-Giải tích 12
x 2 2x 3
là
x 1
x2
x2
x2
3x 6ln x 1 B.
3x-6ln x 1
C.
3x+6ln x 1
2
2
2
Câu 61: Cho f (x)dx x 2 x C . Vậy f (x 2 )dx ?
A.
x5 x3
A.
C
5 3
B. x 4 x 2 C
C.
2 3
x xC
3
D.
x2
3x+6ln x 1
2
D. Không được tính
Câu 62: Hãy xác định hàm số f(x) từ đẳng thức: x 2 xy C f (y)dy
A. 2x
B. x
C. 2x + 1
u
D. Không tính được
v
Câu 63: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: e e C f (v)dv
A. ev
B. eu
C. e v
4 1
Câu 64: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: 3 2 C f (y)dy
x y
1
3
2
A. 3
B. 3
C. 3
y
y
y
D. e u
D. Một kết quả khác.
Câu 65: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: sin u.cos v C f (u)du
A. 2cosucosv
B. -cosucosv
C. cosu + cosv
D. cosucosv
x 3 3x 2 3x 7
với F(0) = 8 là:
(x 1) 2
x2
8
x2
8
x2
8
A.
x
B.
x
C.
x
D. Một kết quả khác
2
x 1
2
x 1
2
x 1
Câu 67: Tìm nguyên hàm của: y sin x.sin 7x với F 0 là:
2
sin 6x sin 8x
sin 6x sin 8x
sin 6x sin 8x
sin 6x sin 8x
A.
B.
C.
D.
12
16
12
16
12
16
16
12
2x 3
Câu 68: Cho hai hàm số F(x) ln(x 2 2mx 4) vaø f (x) 2
. Định m để F(x) là một nguyên
x 3x 4
hàm của f(x)
3
3
2
2
A.
B.
C.
D.
2
2
3
3
1
Câu 69: 2
dx bằng:
sin x.cos 2 x
A. 2 tan 2x C
B. -2 cot 2x C
C. 4 cot 2x C
D. 2 cot 2x C
Câu 66: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)
2
Câu 70: sin 2x cos2x dx bằng:
A.
sin 2x cos2x
3
3
2
C
1
C. x sin 2x C
2
2x
Câu 71: cos 2
dx bằng:
3
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
1
B. cos2x sin 2x C
2
2
1
D. x cos4x C
4
Trang 10
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x 3
4x
x 4
4x
sin
C
D. cos
C
2 8
3
2 3
3
1
Câu 72: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y
và F 0 1 . Khi đó, ta có F x là:
cos 2 x
A. tan x
B. tan x 1
C. tan x 1
D. tan x 1
A.
3
2x
cos 4
C
2
3
B.
1
2x
cos 4
C
2
3
Phần Tích Phân-Giải tích 12
C.
Câu 73: Hàm số F(x) ln sin x 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:
cos x 3sin x
sin x 3cos x
cos x 3sin x
C. f (x)
sin x 3cos x
A. f (x)
Câu 74: Tìm nguyên hàm:
B. f (x) cos x 3sin x
D. f (x)
sin x 3cos x
cos x 3sin x
2
(1 sin x) dx
2
1
2
1
x 2 cos x sin 2x C ;
B. x 2 cos x sin 2x C ;
3
4
3
4
2
1
2
1
C. x 2 cos 2x sin 2x C ;
D. x 2 cos x sin 2x C ;
3
4
3
4
4m
Câu 75: Cho f (x)
sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F
4 8
4
3
3
4
m
m
m
m
3
4
4
3
A.
B.
C.
D.
A.
Câu 76: Cho hàm f x sin 4 2x . Khi đó:
1
1
A. f x dx 3x sin 4x sin 8x C
8
8
1
1
C. f x dx 3x cos 4x sin 8x C
8
8
1
1
B. f x dx 3x cos 4x sin 8x C
8
8
1
1
D. f x dx 3x sin 4x sin 8x C
8
8
Câu 77: Một nguyên hàm của hàm số y sin 3x
1
1
A. cos3x
B. 3cos3x
C. 3cos3x
D. cos3x
3
3
1
Câu 78: Cho hàm y 2 . Nếu F x là nguyên hàm của hàm số và đồ thị hàm số y F x đi qua
sin x
điểm M ; 0 thì F x là:
6
3
3
cot x
A.
C. 3 cot x
cot x
3
B.
D. 3 cot x
3
Câu 79: Nguyên hàm của hàm số f (x) tan 3 x là:
A. Đáp án khác
tan 4 x
C.
C
4
B. tan 2 x 1
1
D. tan 2 x ln cos x C
2
Câu 80: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) sin 2 x là
1
A. F(x) (2x sin 2x) C
B. Cả (A), (B) và (C) đều đúng
4
1
1
sin 2x
C. F(x) (x sinx .cosx) C
D. F(x) (x
)C
2
2
2
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 11
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Tích Phân-Giải tích 12
Câu 81: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
1
A. sin 2x và cos 2 x
B. tan x 2 và
C. ex và e x
D. sin 2 x và sin 2 x
2 2
cos x
Câu 82: Gọi F1(x) là nguyên hàm của hàm số f1 (x) sin 2 x thỏa mãn F1(0) =0 và F2(x) là nguyên hàm
của hàm số f 2 (x) cos 2 x thỏa mãn F2(0)=0.
Khi đó phương trình F1(x) = F2(x) có nghiệm là:
k
2
3
Câu 83: Nguyên hàm F x của hàm số f x sin 4 2x thỏa mãn điều kiện F 0 là
8
3
1
1
3
3
1
1
A. x sin 2x sin 4x
B. x sin 4x sin 8x
8
8
64
8
8
8
64
3
1
1
3
C. x 1 sin 4x sin 8x
D. x sin 4x sin 6 x
8
8
64
8
4
Câu 84: Một nguyên hàm của hàm số f (x)
là:
cos 2 x
4x
4
A.
B. 4 tan x
C. 4 tan x
D. 4x tan 3 x
2
sin x
3
A. x k2
B. x k
C. x
k
2
D. x
Câu 85: Biểu thức nào sau đây bằng với sin 2 3xdx ?
1
1
(x sin 3x) C
2
3
14
Câu 86: Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và F ( ) thì
2
3
1
13
1
A. F ( x) sin 3x
B. F ( x) sin 3x 5
3
3
3
1
1
13
C. F ( x) sin 3x 5
D. F ( x) sin 3x
3
3
3
Câu 87: Một nguyên hàm của f (x) cos 3x cos 2x bằng
1
1
1
1
1
1
1
A. sin x sin 5x
B. sin x sin 5x
C. cos x cos 5c
D. sin 3x sin 2x
2
2
2
10
2
10
6
A.
1
1
(x sin 6x) C
2
6
B.
1
1
(x sin 6x) C
2
6
C.
1
1
(x sin 3x) C
2
3
D.
Câu 88: Tính cos 3 xdx ta được kết quả là:
cos4 x
C
x
cos4 x.sin x
C.
C
4
1
3sin x
sin 3x
C
12
4
1 sin 3x
D.
3sin x C
4 3
A.
B.
Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x) tan 2 x
A.
tan 3 x
C
3
B. Đáp án khác
Câu 90: Hàm số nào là nguyên hàm của f(x) =
C. tanx-1+C
D.
sin x x cos x
C
cos x
1
:
1 sin x
x
A. F(x) = 1 + cot
2 4
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B. F(x) =
2
1 tan
x
2
Trang 12
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. F(x) = ln(1 + sinx)
D. F(x) = 2tan
Phần Tích Phân-Giải tích 12
x
2
Câu 91: Họ nguyên hàm của f(x) = sin 3 x
cos3 x
cos3 x
1
A. cos x
C
B. cos x
C C. cos x
c
3
3
cos x
x
Câu 92: Cho hàm số f x 2 sin 2 Khi đó f (x)dx bằng ?
2
A. x sin x C
B. x sin x C
C. x cos x C
Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f x 2sin x cos x là:
A. 2cos x s inx C
B. 2cos x s inx C
C. 2cos x s inx C
D.
sin 4 x
C
4
D. x cos x C
D. 2cos x s inx C
2
Câu 94: Họ nguyên hàm của sin x là:
1
1
sin 2x
A. x 2 cos 2x C B. x
2
2
2
C.
x sin 2x
C
2
4
D.
1
x 2 cos 2x C
2
Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số f x sin 2x là
1
A. F x cos 2x C
B. F x cos 2x C
2
1
C. F x cos 2x C
D. F x cos 2x C
2
Câu 96: Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x. cosx là:
A. F(x) = cos6x
B. F(x) = sin6x
1 sin 6x sin 4x
11
1
C.
D. sin 6x sin 4x
2 6
4
26
4
Câu 97: Tính cos 5x.cos 3xdx
1
1
sin 8x sin 2x C
8
2
1
1
C.
sin 8x sin 2x
16
4
A.
1
1
sin 8x sin 2x
2
2
1
1
D.
sin 8x sin 2x
16
4
B.
Câu 98: Họ nguyên hàm của hàm số f x cos2 x là:
x cos 2x
x cos 2x
x sin 2x
x sin 2x
C
B.
C
C.
C
D.
C
2
4
2
4
2
4
2
4
dx
Câu 99: Tính:
1 cos x
x
x
1
x
1
x
A. 2 tan C
B. tan C
C. tan C
D. tan C
2
2
2
2
4
2
Câu 100: Cho f (x) 3 5sin x và f (0) 10 . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
3
A. f (x) 3x 5 cos x 2
B. f
2 2
C. f 3
D. f x 3x 5cos x
A.
Câu 101: cos4x.cos x sin 4x.sin x dx bằng:
A.
1
sin 5x C
5
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B.
1
sin 3x C
3
Trang 13
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.
1
1
sin 4x cos4x C
4
4
D.
Phần Tích Phân-Giải tích 12
1
sin 4x cos4x C
4
Câu 102: cos8x.sin xdx bằng:
1
sin 8x.cosx C
8
1
1
C.
cos7x cos9x C
14
18
1
B. sin 8x.cosx C
8
1
1
D.
cos9x cos7x C
18
14
A.
Câu 103: sin 2 2xdx bằng:
1
1
1
1
1
1
1
x sin 4x C
B. sin 3 2x C
C. x sin 4x C
D. x sin 4x C
2
8
3
2
8
2
4
Câu 104: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) x sin x thỏa mãn F(0) 19 là:
A.
x2
A. F(x) cosx
2
2
x
C. F(x) cosx 20
2
x2
B. F(x) cosx 2
2
x2
D. F(x) cosx 20
2
Câu 105: Tìm nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn điều kiện: f x 2x 3cos x, F 3
2
2
2
A. F(x) x 2 3sin x 6
B. F(x) x 2 3sin x
4
4
2
2
C. F(x) x 2 3sin x
D. F(x) x 2 3sin x 6
4
4
1
Câu 106: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 2x 2 thỏa mãn F( ) 1 là:
sin x
4
2
2
A. F(x) cotx x 2
B. F(x) cotx x 2
4
16
2
C. F(x) cotx x 2
D. F(x) cotx x 2
16
Câu 107: Cho hàm số f x cos 3x.cos x . Nguyên hàm của hàm số f x bằng 0 khi x 0 là hàm số
nào trong các hàm số sau ?
sin 4x sin 2x
sin 4x sin 2x
cos 4x cos 2x
A. 3sin 3x sin x
B.
C.
D.
8
4
2
4
8
4
Câu 108: Họ nguyên hàm F x của hàm số f x cot 2 x là:
A. cot x x C
B. cot x x C
Câu 109: Tính nguyên hàm I
a 2 b là:
A. 8
B. 4
C. 0
Câu 110: Nguyên hàm của hàm số f x e
3
13x
e
B. F x
e
3
C
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. 2
là:
1 3x
C
D. tan x x C
dx
x
được kết quả I ln tan 2 C với a; b; c . Giá trị của
cosx
a b
1 3x
A. F x
C. cot x x C
C. F x
3e
C
e3x
D. F x
e
C
3e3x
Trang 14
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1
Câu 111: Nguyên hàm của hàm số f x
A. F x
5
e 25x
C
B. F x
e
5
là:
2 5x
e 25x
Phần Tích Phân-Giải tích 12
C
C. F x
e 25x
C
5
D. F x
e5x
C
5e2
Câu 112: 3x 4 x dx bằng:
A.
3x
4x
C
ln 3 ln 4
B.
3x
4x
C
ln 4 ln 3
C.
4x
3x
C
ln 3 ln 4
D.
3x
4x
C
ln 3 ln 4
C.
2x
2 3
x C
3.ln 2 3
D. 3.
Câu 113: 3.2x x dx bằng:
A.
2x 2 3
x C
ln 2 3
B. 3.
2x 2 3
x C
ln 2 3
2x
x3 C
ln 2
Câu 114: Nguyên hàm của hàm số f x 23x.32x là:
23x 32x
.
C
3ln 2 2ln 3
23x.32x
C. F x
C
ln 6
72
C
ln 72
ln 72
D. F x
C
72
A. F x
B. F x
Câu 115: Nguyên hàm của hàm số f x
x
4
3
A. F x 3 C
3
ln
4
3x 1
là:
4x
x
x
3
4
B. F x C
3
ln
4
C. F x
22x.3x.7 x
C
ln 4.ln 3.ln 7
C. 84 x C
x
C
2
3
4
D. F x 3 C
3
ln
4
Câu 116: 22x.3x.7 x dx là
A.
84x
C
ln 84
B.
D. 84 x ln 84 C
Câu 117: Hàm số F(x) e x e x x là nguyên hàm của hàm số
1
B. f (x) e x e x x 2
2
1
D. f (x) e x e x x 2
2
A. f (x) e x e x 1
C. f (x) e x e x 1
Câu 118: Nguyên hàm của hàm số f x
A. ln e x e x C
B.
e x e x
ex ex
1
C
e ex
C. ln e x e x C
x
D.
1
C
e e x
x
1
Câu 119: Một nguyên hàm của f x 2x 1 e x là
1
A. x.e x
1
B. x 2 1 e x
1
1
C. x 2 e x
D. e x
Câu 120: Xác định a,b,c để hàm số F(x) (ax 2 bx c)e x là một nguyên hàm của hàm số
f (x) (x 2 3x 2)e x
A. a 1, b 1,c 1
B. a 1, b 1, c 1
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. a 1, b 1,c 1
D. a 1, b 1, c 1
Trang 15
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Tích Phân-Giải tích 12
2x 1 5x 1
. Khi đó:
10x
2
1
2
1
A. f (x).dx x
C.
B. f (x).dx x
C
x
x
5 .ln 5 5.2 .ln 2
5 ln 5 5.2 .ln 2
5x
5.2x
5x
5.2 x
C. f (x).dx
C
D. f (x).dx
C
2 ln 5 ln 2
2 ln 5 ln 2
Cho hàm số f (x)
Câu 121:
Câu 122: Nếu f (x) dx e x sin 2 x C thì f (x) bằng:
A. e x 2 sin x
B. e x sin 2x
C. e x cos 2 x
D. e x 2 sin x
Câu 123: Nếu f (x)dx e x sin 2 x C thì f (x) là hàm nào ?
A. e x cos 2 x
B. e x sin 2x
C. e x cos 2x
D. e x 2 sin x
1
x
Câu 124: Một nguyên hàm của f (x) (2x 1).e là:
1
1
1
1
A. F(x) x.e x
B. F(x) e x
C. F(x) x 2 .e x
D. F(x) x 2 1 .e x
Câu 125: Nếu F x là một nguyên hàm của f (x) e x (1 e x ) và F(0) 3 thì F(x) là ?
A. e x x
B. e x x 2
Câu 126: Một nguyên hàm của f (x)
C. e x x C
D. e x x 1
e3x 1
là:
ex 1
1 2x
e ex x
2
1
C. F(x) e2x e x
2
1
B. F(x) e2x ex
2
1
D. F(x) e2x e x 1
2
A. F(x)
Câu 127: Nguyên hàm của hàm số f x
A. F x 2e x tanx
e x
e (2
) là:
cos2 x
B. F x 2e x - tanx C
x
C. F x 2e x tanx C
D. Đáp án khác
Câu 128: Tìm nguyên hàm: (2 e3x ) 2 dx
4
1
A. 3x e3x e6x C
3
6
4 3x 1 6x
C. 4x e e C
3
6
ln 2
dx , kết quả sai là:
Câu 129: Tính 2 x
x
A. 2 2
x
1 C
B. 2
x
4
5
B. 4x e3x e6x C
3
6
4 3x 1 6x
D. 4x e e C
3
6
C. 2
C
x 1
D. 2 2
C
x
1 C
2
Câu 130: Hàm số F(x) e x là nguyên hàm của hàm số
2
A. f (x) 2xe
x2
B. f (x) e
2x
ex
C. f (x)
2x
2
D. f (x) x 2e x 1
Câu 131: 2x 1 dx bằng
A.
2 x 1
ln 2
B. 2 x 1 C
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
2 x 1
C
ln 2
D. 2 x 1.ln 2 C
Trang 16
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Tích Phân-Giải tích 12
Câu 132: Nguyên hàm của hàm số f x 312x.23x là:
x
8
9
A. F x C
8
ln
9
x
9
8
B. F x 3 C
8
ln
9
x
8
9
C. F x 3 C
8
ln
9
x
8
9
D. F x 3 C
9
ln
8
Câu 133: Nguyên hàm của hàm số f x e3x .3x là:
3 x
3.e C
A. F x
ln 3.e
B. F x 3.
3
C. F x
3.e
e3x
C
ln 3.e3
3 x
x
ln 3.e3
D. F x
C
3.e
ln 3
C
2
1
Câu 134: 3x x dx bằng:
3
2
3
3x ln 3
A.
x C
ln 3 3
9x
1
C.
2x C
x
2 ln 3 2.9 ln 3
1 3x
1
B.
x
C
3 ln 3 3 ln 3
D.
1 x 1
9 x 2x C
2 ln 3
9
Câu 135: Gọi 2008x dx F x C , với C là hằng số. Khi đó hàm số F x bằng
A. 2008 x ln 2008
B. 2008 x 1
Câu 136: Họ nguyên hàm của hàm số f x
C. 2008 x
D.
2008x
ln 2008
1
là
1 8x
1
8x
ln
C
ln12 1 8x
1
8x
C. F x
ln
C
ln 8 1 8x
A. F x
1
8x
ln
C
12 1 8x
8x
D. F x ln
C
1 8x
B. F x
Câu 137: Nguyên hàm của hàm số f (x) e x (1 3e2x ) bằng:
A. F(x) e x 3e x C
C. F(x) e x 3e2x C
B. F(x) e x 3e 3x C
D. F(x) e x 3e x C
Câu 138: Hàm số F(x) e x tan x C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
1
A. f (x) e x 2
B. Đáp án khác
sin x
1
ex
x
x
C. f (x) e 2
D. f (x) e 1
2
sin x
cos x
cosxesinx ; x 0
Câu 139: Cho f x 1
. Nhận xét nào sau đây đúng?
; x 0
1 x
cosx
e
; x 0
A. F x
là một nguyên hàm của f x
2 1 x 1 ; x 0
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 17
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Tích Phân-Giải tích 12
sinx
; x 0
e
B. F x
là một nguyên hàm của f x
2 1 x ; x 0
cosx
; x 0
e
C. F x
là một nguyên hàm của f x
2 1 x ; x 0
sinx
; x 0
e
D. F x
là một nguyên hàm của f x
2 1 x 1 ; x 0
Câu 140:
3
dx bằng:
2x 5
A. 2ln 2x 5 C
Câu 141:
A.
1
5x 3
2
B.
3
ln 2x 5 C
2
C. 3ln 2x 5 C
1
C
5 5x 3
C.
D.
3
ln 2x 5 C
2
dx bằng:
1
C
5 5x 3
B.
3x 1
dx bằng:
x2
A. 3x 7 ln x 2 C
B. 3x ln x 2 C
1
C
5x 3
D.
1
C
5 5x 3
Câu 142:
Câu 143:
1
x 1 x 2
C. 3x ln x 2 C
D. 3x 7 ln x 2 C
dx bằng:
x 1
C
x2
A. ln x 1 ln x 2 C
B. ln
C. ln x 1 C
D. ln x 2 C
x 1
dx bằng:
x 3x 2
A. 3ln x 2 2ln x 1 C
B. 3ln x 2 2ln x 1 C
C. 2ln x 2 3ln x 1 C
D. 2ln x 2 3ln x 1 C
Câu 144:
2
1
dx bằng:
x 4x 5
x 5
x 5
A. ln
C
B. 6 ln
C
x 1
x 1
Câu 145:
2
Câu 146: Tìm nguyên hàm:
A.
1
x
ln
C
3 x 3
Câu 147:
1 x 5
ln
C
6 x 1
1 x 5
D. ln
C
6 x 1
C.
1
x
ln
C
3 x 3
D.
1 x 3
ln
C
3
x
1
C
x 3
D.
1
C
3 x
1
x(x 3)dx .
B.
1 x 3
ln
C
3
x
1
dx bằng:
x 6x 9
2
1
C
x 3
1
Câu 148: Cho hàm f x 2
. Khi đó:
x 3x 2
A.
C.
1
C
x 3
B.
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
Trang 18
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x 1
C
x2
x2
C. f x dx ln
C
x 1
Phần Tích Phân-Giải tích 12
x 1
C
x 2
x 2
D. f x dx ln
C
x 1
A. f x dx ln
B. f x dx ln
1
là
x 4x 3
1
x 3
1
x 1
A. F(x) ln |
| C
B. F(x) ln |
| C
2
x 1
2
x 3
x 3
C. F(x) ln | x 2 4x 3 | C
D. F(x) ln |
| C
x 1
1
Câu 150: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 2
thỏa mãn F(3/2) =0. Khi đó F(3) bằng:
x 3x 2
A. 2ln2
B. ln2
C. -2ln2
D. –ln2
2x 3
Câu 151: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x) 2
x 4x 3
2
x 3x
A.
B. (2x 3) ln x 2 4x 3 C
C
2
2
x 4x 3
Câu 149: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)
C.
x 2 3x
C
x 2 4x 3
Câu 152: Tính
A.
x
2
2
D.
1
ln x 1 3ln x 3 C
2
C.
1 x 3
ln
C
4 x 1
dx
2x 3
1 x 1
ln
C
4
x 3
B.
1 x 3
ln
C
4
x 1
Câu 153: Họ nguyên hàm của f(x) =
x 1
C
x
1
x
C. F(x) = ln
C
2 x 1
B. F(x) = ln
x
C
x 1
D. F(x) = ln x(x 1) C
x 3
, F(0) 0 thì hằng số C bằng
x 2x 3
2
3
C. ln 3
D. ln 3
3
2
Câu 154: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f (x)
B.
3
ln 3
2
Câu 155: Nguyên hàm của hàm số: y =
a
2
2
dx
là:
x2
1
ax
1 xa
1 xa
ln
+C
C. ln
+C
D. ln
+C
2a a x
a xa
a xa
dx
Câu 156: Nguyên hàm của hàm số: y = 2 2 là:
x a
1
x a
1
xa
1 xa
1 xa
A.
ln
+C
B.
ln
+C
C. ln
+C
D. ln
+C
2a x a
2a x a
a xa
a xa
1
Câu 157: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 2
. Một học sinh trình bày như sau:
x 6x 5
A.
1
ax
ln
+C
2a a x
1 x 1
ln
C
4 x 3
1
là:
x(x 1)
A. F(x) = ln
2
A. ln 3
3
D.
B.
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 19
Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Tích Phân-Giải tích 12
1
1
1 1
1
x 6x 5 (x 1)(x 5) 4 x 5 x 1
1
1
(II) Nguyên hàm của các hàm số
,
theo thứ tự là: ln x 5 , ln x 1
x 5 x 1
1
1 x 1
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: (ln x 5 ln x 1 C
C
4
4 x 5
(I) f (x)
2
Nếu sai, thì sai ở phần nào?
A. I
B. I, II
Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. II, III
D. III
Trang 20