ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HẢI HÀ
VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HẢI HÀ
VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN NGUYÊN AN
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
Mục lục
Mở đầu........................................................................................................1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị...................................................................2
1.1. Xây dựng vành K[X]...........................................................................2
1.2. Hàm đa thức........................................................................................6
1.3. Số học trong K[X]...............................................................................7
1.4. Không điểm của đa thức......................................................................10
1.5. Đa thức với hệ số phức và thực. ..........................................................12
Chương 2. Phân thức hữu tỷ......................................................................16
2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ ...............................................16
2.2. Phân tích thành phân thức đơn giản.....................................................22
2.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG).............28
2.4. Công thức nội suy Lagrange ...............................................................38
Chương 3. Một số bài toán liên quan ........................................................42
3.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ..............................42
3.2. Một số lớp phương trình, hệ phương trình với hàm phân thức hữu tỷ..45
3.3. Phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ .............................53
Kết luận.......................................................................................................58
Tài liệu tham khảo......................................................................................59
Mở đầu
Phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản của chương trình
Toán ở bậc học phổ thông. Đặc biệt, ở các trường THPT chuyên và các lớp chuyên
toán có rất nhiều dạng toán liên quan đến hàm phân thức. Hơn nữa phân thức hữu tỷ
còn xuất hiện ở cả bậc Đại học trong Đại Số, Giải Tích, Hình Học, Tổ Hợp. Để
phục vụ cho việc dạy học sau này cũng như làm tiền đề để nghiên cứu sâu về phân
thức hữu tỷ. Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “ Vành phân thức hữu tỷ và ứng
dụng”. Luận văn được chia ra làm ba chương.
Chương 1: Là kiến thức chuẩn bị về vành đa thức bao gồm cách xây
dựng vành đa thức K[X], hàm đa thức, số học trong vành K[X], không điểm
của đa thức và đa thức với hệ số phức và thực, đặc biệt chương này giới thiệu
một cách chứng minh của Định lý cơ bản Đại số (Định lý d’Alambert); giới
thiệu thuật toán chia theo lũy thừa tăng.
Chương 2: Trình bày về phân thức hữu tỷ. Cách xây dựng trường các
phân thức hữu tỷ, cách phân tích thành các phân thức đơn giản cũng như cách
thực hành phép phân tích đơn giản, Định lý Lagrange và ứng dụng trong phân
tích phân thức hữu tỷ
Chương 3: Chương này bao gồm các bài toán trên phân thức hữu tỷ và
một số phương trinh và phương trình hàm trên hàm phân thức hữu tỷ.
Để hoàn thành luân văn này, trước nhất em xin chân thành cảm ơn tới
T.S Trần Nguyên An đã dành thời gian hướng dẫn chỉ bảo tận tình giúp đỡ
trong suốt quá trình làm luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã đọc, kiểm
tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ và phong
phú hơn.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Lê Hải Hà
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận văn ta giả sử K là một trường.
1.1. Xây dựng vành đa thức K [ X ]
1.1.1. Định nghĩa.
(i). Với mọi dãy an n thuộc K n , ta gọi tập hợp các n thuộc sao cho
an 0 là giá của an n .
(ii). Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong K ) là dãy an n bất kỳ thuộc K n
có giá hữu hạn.
(iii). Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong K kí hiệu là K [ X ] .
Như thế, K [ X ] K và với mọi dãy an n thuộc K :
an n
K [ X ] N , n , n N an 0 .
Các phần tử của K [ X ] cũng được gọi là đa thức hình thức. Ta kí hiệu 0 là dãy
hằng không thuộc K (xác định bởi: n , an 0 ), được gọi là đa thức
không. Đa thức hằng là các đa thức an n thuộc K [ X ] sao cho:
n 1, an 0.
Đơn thức là đa thức an n thuộc K [ X ] bất kỳ sao cho tồn tại n0 thỏa
mãn:
n ,(n n0 an 0).
Nhận xét:
(i). Theo 1.1.1, hai đa thức an n , (bn ) n bằng nhau khi và chỉ khi:
n , an bn .
2
(ii). K [ X ] K vì dãy hằng (1) (xác định bởi: n , an 1 ) thuộc K ,
không thuộc K [ X ] .
Định nghĩa. Cho P (an ) n K [ X ].
(i). Nếu P 0 , số tự nhiên n lớn nhất sao cho an 0 gọi là bậc của P, và
kí hiệu là deg( P) . Phần tử adeg( P ) được gọi là hệ tử của hạng tử có bậc cao
nhất (hoặc hệ tử cao nhất) của P. Ta nói rằng P là chuẩn tắc khi và chỉ
khi P 0 và adeg( P ) =1. Ta kí hiệu deg(0) .
(ii). Nếu P 0 , định giá của P, kí hiệu là val ( P) , là số tự nhiên n bé nhất
sao cho an 0 . Ta quy ước val (0) .
Nhận xét:
P K [ X ]\{0}, val ( P) deg( P ).
Định nghĩa. Cho P (an ) n K [ X ].
(i). Ta nói rằng P là chẵn khi và chỉ khi:
p , a2 p 1 0.
(ii). Ta nói rằng P là lẻ khi và chỉ khi:
p , a2 p 0.
1.1.2. Mệnh đề (Phép cộng).
(i). Cho P (an ) n , Q bn n K [ X ].
Khi đó P Q an bn n K [ X ], xác định phép cộng trên K[X].
(ii). Ta có, với P, Q bất kì thuộc K [ X ] :
deg( P Q ) Max(deg( P),deg(Q)).
deg( P) deg(Q) deg( P Q) Max(deg( P),deg(Q)).
val ( P Q) Min(val ( P), val (Q)).
val ( P) val (Q) val ( P Q) Min(val ( P), val (Q)).
(iii). ( K [ X ] ,+) là một nhóm Abel.
1.1.3. Mệnh đề (Phép nhân).
3
(i). Cho P (an ) n , Q bn n K [ X ].
Kí hiệu PQ là dãy cn n K n xác định bởi:
n
n , cn ak bnk
k 0
a b .
i
j
i j n
Khi đó PQ K [ X ] , xác định phép nhân trên K[X].
(ii). Ta có:
deg( PQ) deg( P) deg(Q)
( P, Q) ( K [ X ]) 2 ,
val ( PQ) val ( P ) val (Q).
Ta quy ước ở đây rằng:
N , N , N .
, .
(iii). ( K [ X ] ,+, ) là một miền nguyên.
(iv). Các phần tử nghịch đảo của vành K [ X ] là các dãy ( ,0,...,0,...) với
K \ 0.
1.1.4. Mệnh đề (Luật ngoài).
(i). Cho K , P an n K [ X ]. Ta kí hiệu P ( an ) n , và ta có:
P K [ X ].
(ii). Ta có:
deg( P) deg( P)
K \ 0 , P K [ X ],
.
val
(
P
)
val
(
P
)
(iii). K [ X ] , được trang bị các luật +, (ngoài), (trong) là một K - đại số
kết hợp, giao hoán, có đơn vị.
(iv). Ánh xạ : K K [ X ] là đơn cấu các K - đại số.
1
Mệnh đề trên cho phép “đồng nhất” một phần tử thuộc K với một đa thức
1 thuộc K [ X ] , tức là “nhúng” K vào K [ X ] . Ta kí hiệu X (0,1,0,...,0,...)
4
là ẩn. Ta sẽ kí hiệu X 0 1 , và với n
, X n 1 X n X . Đặc biệt: X 1 X .
Một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ răng:
n
*
, X n (0,,0,1,0,,0,),
trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị trí thứ 0).
Cho P an n K [ X ], N
sao cho N deg P , ta có:
P a0 , a1 ,, aN ,0,,0,
a0 1,0,,0, a1 0,1,0,,0, aN 0,,0,1,0,,0,
N
a0 a1 X aN X N an X n .
n 0
Bây giờ ta bỏ kí hiệu ( an ) n đối với một đa thức, và thay vào đó là kí hiệu
N
an X n (trong đó N deg P ), hoặc an X n , hoặc an X n (để tránh chỉ rõ
n0
n
n0
N
bậc của đa thức). Đối với P an X n K [ X ] và n , phần tử an của K
n 0
được gọi là hệ tử của X n trong P, và đơn thức an X n là hạng tử bậc n của P.
(v). Họ vô hạn ( X n ) n , tức là 1, X , X 2 ,, X n , là một cơ sở K - kgv
K [ X ] , gọi là cơ sở chính tắc của K [ X ] . Với n cố định, tập hợp
P K [ X ];deg( P) n rõ ràng là một K - không gian vector con của K [ X ] ,
thường được kí hiệu K n [X ] . Họ hữu hạn 1, X , X 2 ,, X n , là một cơ sở của
K n [X ] , gọi cơ sở chính tắc của K n [X ] . Vậy ta có: dim( K n [X ]) n 1 .
(vi). Cho I là một bộ phận của
, ( Pi )iI là một học những đa thức thuộc
K [ X ] \{0} sao cho:
i, j I 2 , i j deg( Pi deg( Pj ) .
Thế thì ( Pi )iI độc lập trong K - kgv K [ X ] .
1.1.5. Định nghĩa (Phép hợp đa thức).
5
N
Cho P an X n K [ X ] và Q K [ X ] . Ta định nghĩa đa thức hợp P Q
n 0
N
(hoặc P(Q) ) là: P Q = P(Q) = anQ n .
n0
Như vậy, ta được P (Q) bằng cách thế Q vào chỗ X trong P .
N
1.1.6. Định nghĩa (Phép đạo hàm). Với mọi P an X n K [ X ] , đa thức
n 0
đạo hàm của P , và kí hiệu là P ' , là đa thức được định nghĩa bởi:
N
N 1
P ' nan X n1 n 1 an1 X n .
n 1
n0
'
Ta kí hiệu P P, P P '' P ' , và với k bất kỳ thuộc
0
1
, P k ( P k 1 )' .
Với những kí hiệu trên, nếu N 0 thì P 0 .
1.2. Hàm đa thức
N
1.2.1. Định nghĩa. Với mọi P an X n K [ X ] .
n 0
Ta kí hiệu
P : K K
N
x an x n
n0
hàm này gọi là hàm đa thức liên kết với P .
1.2.2. Mệnh đề. Với mọi K và P, Q K [ X ] :
P Q P Q .
PQ PQ .
P Q PQ
1.2.3. Mệnh đề. Ánh xạ K [ X ] K K là đơn ánh khi và chỉ khi K vô hạn.
P P
6
Nhận xét: Vậy khi K là vô hạn, ta có thể đồng nhất P với P , tức là kí hiệu
P thay P .
1.2.4. Định lí (Định lí Taylor đối với đa thức). Cho P [X ], N
thỏa
mãn deg( P) N , a . Ta có:
N
Pa X
n0
P
n
a X n.
n!
1.3. Số học trong K [ X ]
1.3.1. Định nghĩa (Tính chia hết). Cho ( A, P ) ( K [ X ]) 2 . Ta nói rằng A chia
hết P (trong K [ X ] ) và kí hiệu A | P , nếu tồn tại Q K [ X ] sao cho P AQ .
Thay cho A chia hết P , ta cũng nói: A là một ước của P , hoặc P là một bội
của A .
Nhận xét:
A K [ X ], A|0.
P K [ X ], (0|P P 0).
Nếu kí hiệu AK [ X ] P K [ X ]; Q K [ X ],P=AQ , với mọi A K [ X ]
thì ta có với mọi ( A, P ) ( K [ X ])2 , A | P AK [ X ] PK [ X ].
1.3.2. Mệnh đề.
A K [ X ], A | A.
A| P
( K 0 , P A) .
( A, P) ( K [ X ]) 2 ,
P | A
A| B
A | C .
( A, B, C ) ( K [ X ])3 ,
B | C
( A, B, C ) ( K [ X ])3 , A | B A | BC .
A| B
A | B C ) .
( A, B, C ) ( K [ X ])3 ,
A| C
7
A| B
AP | BQ .
( A, B, C , Q ) ( K [ X ]) 4 ,
P | Q
A, B, n ( K [ X ])2
, A | B An | B n .
1.3.3. Định lý - Định nghĩa (Phép chia Euclide).
2
Cho ( A, B ) K [ X ] K [ X ]\ 0 . Tồn tại một cặp duy nhất (Q, R ) K [ X ]
sao cho:
A BQ R
deg(
R
)
deg(
B
).
Đa thức Q (tương ứng: R ) gọi là thương (tương ứng: dư) của phép chia
Euclide A cho B .
1.3.4. Mệnh đề.
P K [ X ], a K , X a | P P a 0 .
1.3.5. Mệnh đề - Định nghĩa (Phép chia theo lũy thừa tăng).
Cho n , A K [ X ], B K [ X ] sao cho val B 0 (tức là B 0 0 ). Tồn
2
tại một cặp duy nhất (Q, R) thuộc K X sao cho
A BQ X n 1 R và deg Q n .
Đa thức Q (tương ứng R) gọi là thương (tương ứng dư) của phép chia A cho B
tho lũy thừa tăng đến cấp n
Chứng minh
(i). Sự tồn tại. Quy nạp theo n
Trường hợp n = 0
Ta kí hiệu a0 , b0 là các hạng tử hằng tương ứng của A, B (tức là
a0 A 0 , b0 B 0 0 ), Q a0b0 1 . Hạng tử hằng của A – BQ là không, vậy
tồn tại R K [ X ] sao cho A – BQ = XR.Vậy A BQ XR và deg Q 0 .
8
2
Giả sử n và giả sử tồn tại Q, R K X sao cho A BQ X n 1 R
và deg Q n . Theo sự khảo sát trường hợp n = 0, áp dụng cho R thay vì A,
tồn tại
q, R K X
2
1
sao cho R Bq XR1 và deg q 0 . Đặt
Q1 Q X n 1q ta suy ra
A BQ X n1 Bq XR1 BQ1 X n 2 R1.
deg Q1 n 1.
(ii). Tính duy nhất
Giả sử Q1 , R1 , Q2 , R2 thích hợp. Suy ra B Q1 Q2 X n 1 R2 R1 , do đó
bằng cách chuyển sang các định giá
val Q1 Q2 n 1 val R2 R1 n 1 .
Nếu Q1 Q2 0 , thì n deg Q1 Q2 val Q1 Q2 n 1 , mâu thuẫn.
Vậy Q1 Q2 , nên R1 R2 .
Ví dụ
Thực hiện phép chia A 2 X 3 X 2 X 3 cho B 1 4 X X 2 X 3 (trong
X ) theo lũy thừa tăng đến cấp 2.
2 X 3X 2 X 3
1 4X X 2 X 3
7X X 2 X 3
2 7 X 27 X 2
27 X 2 8 X 3
116 X 3 34 X 4 27 X 5
Suy ra thương Q 2 7 X 27 X 2 và dư R 116 34 X 27 X 2
1.3.5. Định nghĩa (UCLN, BCNN). Cho n
*
Tập hợp tất cả các bậc của đa thức P thuộc K [ X ]\ 0 sao cho:
i 1,..., n , P | P
i
9
n
, P1 ,..., Pn K [ X ]\ 0 .
là một bộ phận khác rỗng của
(vì: i 1,..., n ,1| Pi ), bị chặn trên bởi
deg( Pi ) .
Vậy tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc , khác không, là ước chung
của P1 ,..., Pn , và có bậc cao nhất trong các ước chung của P1 ,..., Pn . Tương tự
tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc M , khác không, là bội chung của
P1 ,..., Pn và có bậc thấp nhất trong các bội chung của P1 ,..., Pn .
1.3.6. Định lý (UCLN, BCNN).
n
n
i 1
i 1
PK
i [ X ] K [ X ], PK
i [ X ] MK [ X ].
2
P Q UCLN ( P, Q)
Ký hiệu: Với ( P, Q ) K [ X ]\ 0 , ta kí hiệu:
P
Q
BCNN
(
P
,
Q
).
1.3.7. Định lý Bezout.
Cho n
*
n
, P1 , , Pn K X \ 0 . Để P1 , , Pn nguyên tố cùng nhau
n
trong toàn thể, điều kiện cần và đủ là tồn tại U1 , , U n K X sao cho
n
PU
i
i
1.
i 1
1.3.8. Định lý Gauss.
3
A | BC
A, B, C K X \ 0 ,
A | C.
A B 1
1.4. Không điểm của đa thức
1.4.1. Định nghĩa. Cho P K [ X ], a K . Ta nói rằng a là một không điểm
(hoặc một nghiệm ) của P khi và chỉ khi P a 0 .
1.4.2. Mệnh đề. Cho P K [ X ], n
, x1 ,..., xn K từng đôi khác nhau. Nếu
n
x1 ,..., xn là các không điểm của P thì X xi | P .
i 0
1.4.3. Hệ quả.
10
(i). Cho P K [ X ], n
. Nếu deg( P) n và nếu P có ít nhất n không
điểm từng đôi khác nhau, thì P 0 .
(ii). Nếu một đa thức P thuộc K [ X ] triệt tiêu tại một số vô hạn các phần
tử thuộc K , thì P 0 .
1.4.4. Định nghĩa. Cho P K [ X ], a K ,
.Ta nói rằng a là một không
điểm cấp bội không thấp hơn của P khi và chỉ khi:
X a
| P .
Ta nói rằng a là một không điểm cấp bội đúng bằng của P khi và chỉ
khi:
1
X a
| P và X a | P .
Nếu 1 (tương ứng: 2, tương ứng: 3), ta nói là không điểm đơn (tương
ứng: kép, tương ứng: bội ba).
1.4.5. Mệnh đề - Định nghĩa. Cho P K [ X ]\ 0 , a K . Nếu là không
điểm của P , thì tồn tại
duy nhất sao cho a là không điểm cấp bội
đúng bằng của P , và ta nói rằng là cấp bội của không điểm a trong
(hoặc của) P .
1.4.6. Mệnh đề. Cho n
, x1 ,..., xn K từng đôi khác nhau.
n
A X xk , B K [ X ].
k 1
Thế thì ta có:
A | B k 1,..., n , B xk 0 .
1.4.7. Định nghĩa (Đa thức tách). Một đa thức P của K [ X ] được gọi là đa
thức tách (hay: tách được) trên K khi và chỉ khi tồn tại
K \ 0 , n
, x1 ,..., xn K sao cho:
n
P X xi .
i 1
Ở đây x1 ,..., xn không nhất thiết khác nhau từng đôi.
11
1.4.8. Định nghĩa (Hàm đối xứng cơ bản). Cho n
, x1 ,..., xn K . Các
biểu thức sau:
n
1 xi x1 x2 ... xn.
i 1
2
xi1 xi2 x1 x2 x1 x3 ... x1 xn x2 x3 ... x2 xn
1i1 i2 n
... xn 2 xn1 xn2 xn xn 1 xn .
k
xi1 xi2 ...xik (1 k n).
1i1 i2 ...ik n
n x1 x2 ...xn .
gọi là các hàm cơ bản của x1 ,..., xn .
1.4.9. Mệnh đề (Hệ thức giữa hệ tử và không điểm).
n
Cho n
*
, a0 ,..., an K n 1 sao cho an 0 và P ai X i . Giả thiết P
i 0
tách được trên K và ký hiệu x1 ,..., xn là các không điểm của P (không nhất
thiết từng đôi khác nhau), sao cho:
n
P an X xi .
i 1
Thế thì ta có:
1
an 1
k a
n a
,..., k 1 nk ,..., n 1 0 .
an
an
an
trong đó 1 ,..., n chỉ các hàm đối xứng cơ bản của x1 ,..., xn .
1.5. Đa thức với hệ số phức và thực
Do trường
là vô hạn, nên ta đồng nhất đa thức P thuộc [X ] và hàm
đa thức P . Tương tự do trường vô hạn nên ta cũng đồng nhất P [X ] và
hàm đa thức P .
1.5.1. Định lí (Định lí d’Alembert). Mọi đa thức khác hằng thuộc [X ] có ít
nhất một không điểm trong . Ta nói rằng trường là đóng đại số.
12
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử tồn tại P [X ] ,
khác hằng và không có một không điểm nào trong
. Ta ký hiệu
n
n deg( P) 1, P ai X i , và :
i 0
z P z
(i). Vì z , ta có:
z
A 0, B 0, z , z B z A .
Đặc biệt tồn tại B
*
, sao cho:
z , z B z 0 .
Mặt khác, liên tục trên tập compact z ; z B , nên bị chặn và đạt
các biên trên tập compact này, vậy tồn tại z0 sao cho:
( z0 )= Inf (z) .
z B
Vì hơn nữa:
z , z B z 0 z0 .
nên ta kết luận:
z0 Inf z .
z
(ii). Theo công thức Taylor đối với đa thức ta có:
h , P z0 h P ( z0 ) hP ' ( z0 ) ...
hn n
P z0 .
n!
Ta sẽ chứng minh rằng có thể chọn h sao cho P( z0 h) P z0 .
Tức là z0 h ( z0 ) , điều này sẽ cho ta một mâu thuẫn.
Vì P
n
z0 n!, an 0 , nên tồn tại k
13
*
sao cho:
P k z0 0
.
l
l 1,, k , l k P z0 0
Nói khác đi, k là số nguyên bé nhất 1 sao cho P
k
z0 0 .
Vậy ta có:
z0
z0 .
P ( z0 h )
k P
n P
h ,
1 h
... h
P ( z0 )
k ! P ( z0 )
n ! P ( z0 )
k
n
Theo sự khảo sát của các căn bậc k trong , tồn tại w
*
sao cho:
P ( z0 )
.
k ! P ( zo )
k
wk
Vậy ta có (với t ):
t
P z0
w
1 t k (r k ) .
t 0
P ( z0 )
Vậy tồn tại >0 sao cho:
t
P z0
w
t 0, ,
1 .
P ( z0 )
điều này mâu thuẫn với định nghĩa z0 .
1.5.2. Hệ quả.
(i). Mọi đa thức khác hằng trong [X ] đều tách được trên .
(ii). Các đa thức bất khả quy thuộc [X ] là các đa thức bậc 1.
1.5.3. Mệnh đề (Đa thức với hệ số thực).
(i). Cho P
X . Ta có:
P
X z
14
, P ( z ) P z .
(ii). Cho P
X , a
,
. Để cho a là không điểm cấp bội không
thấp hơn (tương ứng: đúng bằng ) của P , cần và đủ là a là không điểm
cấp bội không thấp hơn (tướng ứng: đúng bằng ) của P .
(iii). Các đa thức bất khả quy của
X là:
Các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức bội hai biệt thức <0.
15
Chương 2
Phân thức hữu tỷ
2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ
Ta ký hiệu E = K [ X ] x ( K [ X ] \{0}) và xét quan hệ xác định trong E bởi
A, S B,T AT BS .
Quan hệ là một quan hệ tượng đương trong E .
Thật vậy , tính phản xạ và tương đối xứng là hiển nhiên , còn về tính bắc cầu
thì với mọi A, S , B, T , C ,U thuộc E
( A, S )( B, T )
AT BS
(
B
,
T
)
(
C
,
U
)
BU
CT
.
( AU )T ( AT )U ( BS )U ( BU ) S (CT ) S (CS )T AU CS ,vì
T 0 và K X là vành nguyên.
Tập thương E / được ký hiệu là K [ X ] và các phần tử của nó được gọi là
E , ta ký
các phân thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong K . Với A, S
hiệu
A
là lớp modun của A, S . Như thế với mọi A, S , B, T thuộc E
S
ta có
A B
AT BS .
S T
2.1.1. Phép cộng trọng K(X).
Ta định nghĩa một luật trong , ký hiệu + , trong E bởi
A, S B,T AT BS , ST .
(ta có ST 0 , vì S 0 và T 0 ).
Luật + này tương thích với (C.1.1) tức là:
( A, S ),( B, T ),(C ,U ) E ,( A, S )( B, T ) (( A, S ) (C ,U ))(( B, T ) (C ,U )).
Thật vậy nếu A, S B, T , thì AT BS từ đây
16
( AU CS )TU ATU 2 CSTU BSU 2 CSTU ( BU CT ) SU .
Vậy
( AU CS , SU )( BU CT , TU ).
Tức là
(( A, S ) (C ,U ))(( B, T ) (C ,U )).1
Vậy ta có thể định nghĩa một luật cộng , vẫn ký hiệu là + , trong K X bởi
( A, S ),( B, T ) E ,
A B AT BS
.
S T
ST
2.1.2. Phép nhân trong K(X).
Tương tự như ở 2.1.1 ta chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một luật nhân
trong K(X) , ký hiệu (hoặc bằng cách không viết dấu nào cả ) như sau
( A, S ),( B, T ) E ,
A B AB
.
S T ST
2.1.2.1. Định lý – Định nghĩa. K X , ,
là một, gọi là trường các phân
thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong K .
Chứng minh:
Ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau :
0
(i). Kết hợp , giao hoán có (ký hiệu 0) là phẩn tử trung hòa , và mọi phẩn tử
1
A
A
A
thuộc K X đều có một phần tử đối là
, ký hiệu là - .
S
S
S
1
(ii). Kết hơp, giao hoán , phân phối đối với +, có (ký hiệu 1 ) là phần tử
1
trung hòa , và với mọi phần tử
một phần tử nghịch đảo , đó là
A
A
thuộc K X –{0} , ta có A 0 và có
S
S
S
.
A
2.1.3. Luật ngoài trong K(X).
17
- Xem thêm -