Tài liệu Về sự tồn tại sóng chạy trong mô hình rời rạc của các quần thể sinh học

§¹i häc quèc gia Hµ néi Tr­êng §¹i Häc khoa häc tù nhiªn NguyÔn H÷u TrÝ VÒ sù tån t¹i sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c cña c¸c quÇn thÓ sinh häc LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Hµ Néi - 2012 §¹i häc quèc gia Hµ néi Tr­êng §¹i Häc khoa häc tù nhiªn NguyÔn H÷u TrÝ VÒ sù tån t¹i sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c cña c¸c quÇn thÓ sinh häc Chuyªn ngµnh: To¸n gi¶i tÝch M· sè: 60 46 01. LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: TS. §Æng Anh TuÊn Hµ néi - 2012 Môc lôc Môc lôc i Lêi c¶m ¬n ii Më ®Çu 1 Tæng Quan 1 3 . . . . 3 1.2 X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1 Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng tr­ëng d©n sè 1.3 Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n 1.4 X©y dùng tèc ®é sãng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y 2 36 2.1 Tèc ®é lan truyÒn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Sù héi tô ®Õn gi¸ trÞ c©n b»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 62 Më ®Çu QuÇn thÓ sinh häc lµ mét hÖ ®éng lùc trong thùc tÕ cã t¸c ®éng cña c¸c yÕu tè kh¸ch quan. Khi xem xÐt mét hÖ sinh th¸i chóng ta g¾n nã víi mét m« h×nh to¸n häc cho c¸c hÖ thèng tiÕn triÓn theo thêi gian, vµ ng­êi ta th­êng gi¶ thiÕt hÖ thèng ho¹t ®éng liªn tôc, hoÆc rêi r¹c ®Òu. Tõ ®ã, c¸c phÐp tÝnh gi¶i tÝch liªn tôc vµ rêi r¹c ®­îc nghiªn cøu ®Ó m« t¶ hÖ thèng t­¬ng øng víi c¸c gi¶ thiÕt thêi gian lý t­ëng ®­îc ®Æt ra. Trong luËn v¨n nµy chóng t«i tr×nh bµy mét nghiªn cøu vÒ sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y cña m« h×nh rêi r¹c trong di truyÒn häc vµ t¨ng tr­ëng d©n sè. §©y lµ m« h×nh ®­îc Weinberger nghiªn cøu vµ cho kÕt qu¶ trong bµi MATH. SIAM ANAL Vol. No. 3, May 1982. H." Long-time behavior of a class of biological models". Víi ®Ò tµi: VÒ sù tån t¹i sãng ch¹y trong m« h×nh rêi r¹c cña c¸c quÇn thÓ sinh häc LuËn v¨n gåm 2 ch­¬ng. Ch­¬ng 1. Tæng quan. Néi dung ch­¬ng nµy ®­îc viÕt thµnh 4 môc. Môc 1.1 Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng tr­ëng d©n sè. Môc 1.2. X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa. Môc 1.3 Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n. Môc 1.4 X©y dùng tèc ®é sãng. Ch­¬ng 2. Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y. thµnh 3 môc. Môc 2.1 Tèc ®é lan truyÒn Môc 2.2 Sù héi tô ®Õn gi¸ trÞ c©n b»ng. Môc 2.2 Sù tån t¹i nghiÖm sãng ch¹y. KÕt luËn. 1 Néi dung Ch­¬ng 2 ®­îc viÕt Trong phÇn nµy chóng t«i ®¸nh gi¸ ®ãng gãp cña luËn v¨n vµ ®Ò cÊp tíi h­íng nghiªn cøu trong thêi gian tiÕp theo ®ã lµ t×m hiÓu øng dông lý thuyÕt cña Wenberger cho c¸c líp m« h×nh trong ®ã to¸n tö Q[u] cã thÓ kh«ng compact.. Hµ Néi, ngµy 25 th¸ng 07 n¨m 2012 T¸c gi¶ NguyÔn H÷u TrÝ 2 Ch­¬ng 1 Tæng Quan Trong ch­¬ng nµy chóng ta tr×nh bµy mét sè thuËt ng÷ vµ ®Þnh nghÜa c¬ b¶n liªn quan ®Õn m« h×nh sinh th¸i vµ hÖ rêi r¹c cña mét sè c¸c quÇn thÓ sinh häc. 1.1 Mét sè m« h×nh trong di truyÒn häc vµ t¨ng tr­ëng d©n sè Chóng ta xem xÐt mét m« h×nh ®­îc gäi lµ b­íc ®Öm trong di truyÒn häc cña mét quÇn thÓ. Chóng ta ph©n lo¹i c¸ thÓ cña quÇn thÓ cña mét loµi l­ìng béi nhÊt ®Þnh. NÕu xÐt mét gen gåm hai alen kiÓu gen: AA, Aa, aa, hîp tö lµ: Aa. A vµ a. Th× trong quÇn thÓ sÏ cã ba trong ®ã kiÓu gen ®ång hîp tö lµ: AA, aa vµ kiÓu gen dÞ M«i tr­êng sèng tù nhiªn hoÆc nh©n t¹o ®­îc ph©n chia thµnh c¸c vïng ph©n biÖt gäi lµ " Hèc ". C¸c c¸ thÓ cña cïng mét loµi sèng trong mét vïng riªng biÖt ®ã ®­îc gäi lµ mét quÇn thÓ. Cã sù c¸ch ly sinh s¶n ë mét møc ®é nhÊt ®Þnh víi c¸c quÇn thÓ l©n cËn cïng loµi. Vµ sù di c­, nhËp c­ cña c¸c c¸ thÓ lµm thay ®æi tÇn sè alen, vµ thµnh 3 phÇn kiÓu gen cña quÇn thÓ. C¸c c¸ thÓ trong mét quÇn thÓ giao phèi ngÉu nhiªn víi nhau ®Ó sinh ra thÕ hÖ sau. Tû lÖ sè l­îng alen A víi tæng sè alen cña gen ®ã trong quÇn thÓ ®­îc gäi lµ tÇn sè alen cña alen A, gäi tÇn sè alen A ë thÕ hÖ thø n trong quÇn thÓ lµ: khi ®ã tÇn sè alen cña alen a lµ: 1 − un (i). thµnh phÇn kiÓu gen t­¬ng øng: un (i) Theo ®Þnh luËt Hardy- Weinberg th× AA; Aa; aa cña quÇn thÓ t­¬ng øng lµ (un (i))2 : 2un (1 − un ) : ((1 − un (i))2 trong ®iÒu kiÖn kh«ng cã sù t¸c ®éng cña chän läc tù nhiªn, kh«ng x¶y ra ®ét biÕn mµ chØ phô thuéc vµo kiÓu gen cña nã ®èi víi gen ®­îc xem xÐt. Sù ph©n ®«i trong giai ®o¹n di c­ cña ba kiÓu gen cã c¸c tû lÖ (1 + si ) : 1 : (1 + ti ) sau ®ã tû lÖ sèng sãt t¹i thêi ®iÓm di c­ lµ (1 + si )(un (i))2 : 2un (1 − un ) : (1 + ti )((1 − un (i))2 . Chóng ta gi¶ ®Þnh r»ng tæng sè c¸c c¸ thÓ trong c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi thø i sèng sãt sau khi di c­ lµ pi kh«ng phô thuéc vµo kiÓu gen cña chóng. Gi¶ sö r»ng lij lµ mét phÇn c¸ thÓ cña mçi kiÓu gen trong c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi thø i di c­ trë thµnh mét phÇn cña c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi thø j . Khi ®ã phÇn gen trong c¸c c¸ thÓ liªn quan ®Õn sù ph©n loµi thø j sau khi di c­ cho bëi c«ng thøc: un+1 (j) = X mji gi (un (i)) (1.1.1) i trong ®ã: gi (u) = 2(1 + si )u2 + 2u(1 − u) 2[(1 + si )u2 + 2u(1 − u) + (1 + σi )(1 − u)2 ] 4 (1.1.2) lµ phÇn gen cña deme thø i tr­íc thêi ®iÓm di c­ vµ lji pi mji = P k lji pi lµ mét phÇn c¸c c¸ thÓ cña deme thø Khi ®ã hµm j (1.1.3) di c­ ®Õn hèc thÝch hîp vµo ®êi thø i. {un (i) : i = 1; 2; ...} tháa m·n hÖ un+1 = Q[un ], (1) víi Q[u](j ) = X (1.1.4) mji gi (un (i)). i C«ng viÖc hiÖn t¹i chóng ta chØ xÐt víi m«i tr­êng sèng ®ång nhÊt. B»ng c¸ch nµy, ta xem xÐt tÊt c¶ c¸c "Hèc" gièng nhau nhËn ®­îc kÕt qu¶ b»ng c¸ch tÞnh tiÕn ®Õn thêi ®iÓm thÝch hîp, víi hÖ sè dÞch chuyÓn lij phï hîp vµ phô thuéc vµo thÕ hÖ thø i thÝch hîp cho thÕ hÖ thø j . Mét tr­êng hîp ®Æc biÖt, r»ng c¸c sinh vËt ®ang sèng trong mÆt ph¼ng R2 . BiÓu diÔn bëi b¶n ®å chia thµnh c¸c « vu«ng 1 1 1 1 {(x; y)|(k − )h < x < (k + )h, (l − )h < y < (l + )h, k, l = 0; 1; 2...} 2 2 2 2 víi ®é dµi h, ®ã lµ c¸c "Hèc". Täa ®é t©m cña h×nh vu«ng lµ béi cña nh­ mét vector. cña h. h vµ xem cã thÓ x¸c ®Þnh trªn c¬ së tõ hai vector cã thµnh phÇn lµ béi H Trªn thùc tÕ H thùc chÊt lµ sù ®ång nhÊt s vµ t, p c¸c d¹ng tr­ëng thµnh ®Òu gièng nhau ë tÊt c¶ c¸c "Hèc", vµ hÖ sè dÞch chuyÓn lij chØ phô thuéc vµo sù kh¸c biÖt cña vector ®Þnh r»ng xi − xj gi÷a trung t©m cña c¸c "Hèc". HiÖn t¹i ta chØ gi¶ s, t, p kh«ng phô thuéc vµo u, do ®ã chóng lµ mét h»ng sè. Sao cho X k lij = X l(xi − xj ) = X l(xi ) = i k Tõ (1.3) ta cã mij = lij ≡ m(xi − xj ). 5 X i li0 = 1. Ta ®Þnh nghÜa to¸n tö Q nh­ sau: Q[u](x) = X (1.1.5) m(x − y)g(u(y)), y∈H trong ®ã: X mji (x) = 1 y∈H vµ g(u) = su2 + u . 1 + su2 + σ(1 − u)2 (1.1.6) u(1 − u)[su − σ(1 − u)] . 1 + su2 + σ(1 − u)2 (1.1.7) Chóng ta thÊy r»ng: g(u) − u = §Þnh nghÜa cña u cho thÊy r»ng ta chØ ph¶i xÐt hµm u(x) sao cho 0 DÔ dµng nhËn thÊy r»ng g t¨ng tõ 0 ®Õn nhËn gi¸ trÞ trong ®o¹n [0; 1]. Tõ (1.7) ta thÊy r»ng cã ba tÝnh chÊt: (i) NÕu g 1 gièng nh­ u t¨ng tõ 0 ®Õn 6 u 5 1. 1 vµ Q[u] s > 0 > σ , ®ång hîp tö AA lµ phï hîp víi ®ång hîp tö aa vµ g(u) > u, víi 0 < u < 1. (1.1.8) §iÒu ®ã cßn cho thÊy trong tr­êng hîp dÞ hîp tö trong vïng trung gian.( NÕu s < 0 < σ, nÕu thay thÕ biÕn (ii) NÕu s vµ σ th× g(u) < u, 0 < u < 1. Ta cã thÓ lo¹i bá tr­êng hîp trªn u thµnh 1 − u, vµ thay ®æi thuéc tÝnh cña A vµ a.) lµ c¸c sè ©m. Tõ (1.1.7) ta cã c¸c tÝnh chÊt: g(u) > u, víi 0 < u < π1 , g(u) < u, víi π1 < u < 1. 6 (1.1.9) Trong ®ã σ . s+σ π1 = (iii) Khi s vµ σ (1.1.10) lµ c¸c sè d­¬ng, khi ®ã: g(u) < u, víi 0 < u < π0 , g(u) > u, víi π0 < u < 1. (1.1.11) Trong ®ã: π0 = σ . s+σ Chó ý r»ng ch­a cã lý do cô thÓ ®Ó 1+s (1.1.10') vµ 1+σ kh«ng phô thuéc vµo u khi c¸c thµnh phÇn d©n sè c¹nh tranh. NÕu p lµ h»ng sè vÉn cã ®­îc c¸c c«ng thøc (1.5); (1.6), c«ng thøc (1.1.7) cho thÊy r»ng thËm chÝ vµo s vµ σ vÉn phô thuéc u vµ khi ®ã (1.1.8) vÉn tháa m·n. Quy m« d©n sè cì p tr­íc khi chuyÓn ®æi cã thÓ phô thuéc vµo thµnh phÇn cÊu t¹o di truyÒn cña d©n sè vµ do ®ã trªn u. Tõ (1.1.3) cho thÊy r»ng trong mét m«i tr­êng ®ång nhÊt mij lµ mét hµm cña u(xi ) còng nh­ cña xi − xj . Nãi chung c¸c m« h×nh di chó cã thÓ phô thuéc vµo kiÓu di truyÒn vµ kh¶ n¨ng sinh s¶n. NÕu ta gi¶ ®Þnh kh«ng cã sù t¸c ®éng sau di c­, khi ®ã ta cã thÎ ®o¸n ®­îc c¸c gi¸ trÞ lA (x hèc t¹i x − y, u) cña giao tö A vµ la (x bëi mét deme sinh ra t¹i y − y, u) cña mét giao tö sinh ra trong nÕu phÇn gen ban ®Çu lµ u. Trong tr­êng hîp nµy ta cã hÖ un+1 = Q[un ], (1) víi to¸n tö P Q[u](x) = P − y, u(y)) . y∈H [lA (x − y, u(y)) − la (x − y, u(y))] y∈H lA (x 7 (1.1.12) NÕu cã giao phèi kh«ng ngÉu nhiªn, phÇn gen míi lµ mét hµm nh­ vÕ ph¶i cña (1.1.12). §iÒu kiÖn trªn cã thÓ söa ®æi theo c¸c c¸ch kh¸c nhau. C¸c hèc nµy cã thÓ bao gåm h×nh b×nh hµnh, h×nh lôc gi¸c, hoÆc khu vùc kh¸c thay v× h×nh vu«ng. Chóng ta cã thÓ xem giíi h¹n gi÷a c¸c vïng lµ rÊt nhá, do ®ã un (x) sÏ trë thµnh c¸c hµm liªn tôc theo biÕn x vµ trong c«ng thøc (1.5) to¸n tö Q thay bëi Z m(x − y)g(u(y)). (1.1.13) Q[u](x) = R2 NÕu m(x) chØ phô thuéc vµo kho¶ng c¸ch Euclid |x|. Trong m«i tr­êng sèng rêi r¹c (kh«ng lu©n phiªn ®èi xøng), khi ®ã ta thay thÕ to¸n tö Q ®Ó cã ®­îc u víi c¸c mèi liªn hÖ vÒ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. NÕu ta ®Þnh nghÜa un (x) = u(nτ, x), trong ®ã u(t, x) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ∂u = D∆u + f (u). ∂t Khi ®ã un (*) tháa m·n un+1 = Q[un ], (1) trong ®ã Q[v](x) ®­îc ®Þnh nghÜa lµ u(τ, x) víi u(t, x) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: ∂u = D∆u + f (u), ∂t 1.2 u(0, x) = v(x). (1.1.14) X©y dùng c¸c ®Þnh nghÜa Trong phÇn nµy ta x©y dùng mét sè ®Þnh nghÜa vÒ c¸c hÖ sinh th¸i vµ c¸c c«ng thøc to¸n häc cña nã. §Þnh nghÜa 1.1. trong Rn Mét m«i tr­êng sèng víi c¸c tÝnh chÊt sau: NÕu H ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ lµ tËp c¸c ®iÓm x, y ∈ H 8 th× x + y, x − y ∈ H . NÕu Nh­ vËy H x, y ∈ H th× x + y, x − y ∈ H , ®iÒu nµy chøng tá phÇn tö 0 ∈ H. lµ mét nhãm ®èi víi phÐp céng. §Þnh nghÜa 1.2. Gäi B lµ tËp c¸c hµm sè liªn tôc trªn H [0; π+ ],( nÕu π+ = ∞ th× B lµ tËp c¸c hµm sè liªn tôc trªn H nhËn gi¸ trÞ trªn nhËn gi¸ trÞ trªn [0; ∞] ). Víi mçi y thuéc H ta ®Þnh nghÜa to¸n tö dÞch chuyÓn: Ty u(x) ≡ u(x − y). Mét hÖ tiÕn hãa ®­îc x¸c ®Þnh theo quy luËt un+1 = Q[un ], trong ®ã un+1 vµ un lµ c¸c phÇn tö cña B vµ Q lµ mét to¸n tö trong B. C¸c tÝnh chÊt cña hÖ tiÕn hãa lµ c¸c tÝnh chÊt cña Q. Tõ c¸c nhËn xÐt trªn ta gi¶ thiÕt to¸n tö To¸n tö Q nh­ sau: Q lµ liªn tôc víi sù thay ®æi cña u, vµ tháa m·n tÝnh chÊt: (i) Q[u] ∈ B, ∀u∈ B. (ii) Q[Ty [u]] = Ty [Q[u]], ∀u∈ B, y∈H. (iii) C¸c h»ng 0 5 π0 < π1 5 π+ sao cho Q[α] > α α ∈ (π0 ; π1 ), Q[π0 ] = π0 , Q[π1 ] = π1 , π1 < ∞. (iv) u 5 v suy ra Q[u] 5 Q[v]. (v) un → u khi n → ∞ lµ héi tô ®Òu trªn tËp bÞ chÆn trong H , khi ®ã Q[un ](x) → Q[u](x), víi mçi x ∈ H. 9 (1.2.1) Ngoµi ra to¸n tö Q cßn tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: α ∈ (π1 , π+ ) nÕu π1 < π+ . Q[α] < α, Hai tËp låi K1 vµ K2 trong Rn , vµ mét sè ε1 vµ nÕu vµ π1 = π+ u < π1 trong > 0. Gi¶ sö r»ng nÕu π1 < π+ vµ cïng víi c¸c tÝnh chÊt trªn, khi ®ã nÕu K1 hoÆc K2 (1.2.2) u < π1 + ε1 (1.2.3) b > 0 sao cho u(x) = 0, víi |x| 5 b ⇒ Q[u](0) = 0. Mäi d·y hµm vn trong B víi vn 5 π1 (1.2.4) cã mét d·y con vnk Q[vnk ] héi tô ®Òu trªn mäi tËp bÞ chÆn trong H . Chóng ta b¾t ®Çu víi hµm ®­îc d·y hµm un H th× ta cã Q[u](0) < π1 . Víi h»ng sè trong u0 trong B sao cho d·y (1.2.5) khi ®ã sÏ dù ®o¸n víi n ®ñ lín ta ®­îc x¸c ®Þnh theo quy t¾c: un+1 = Q[un ]. Chóng ta chØ quan t©m ®Õn nghiÖm sãng ch¹y cña ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng un (x) = W [x · ξ − nc], trong ®ã W kh«ng theo quy luËt mét hµm sè cña c¸c biÕn, ξ lµ mét vector cè ®Þnh, (®­îc gäi ph­¬ng sãng), vµ c ®­îc gäi lµ tèc ®é sãng. Hµm ®Þnh nghÜa lÊy gi¸ trÞ theo W (s) ®­îc s d­íi d¹ng x · ξ − nc víi x ∈ H, n = 0, 1, 2, ... Ta thÊy r»ng Q[u](x0 ) = Q[T−x0 [u]](0), ∀x0 ∈ Rn . Hai tÝnh chÊt cña to¸n tö Q suy ra tõ tõ c¸c gi¶ thiÕt trªn. 10 (1.2.6) (vi) NÕu α lµ mét hµm h»ng khi ®ã Q[α] còng lµ mét hµm h»ng. ThËt vËy: α lµ hµm h»ng khi vµ chØ khi α(x − y) = α(x) = α víi mäi y ∈ H. Ta cã Ty [Q[α]](x) = Q[α](x − y). Mµ Q[Ty [α]](x) = Q[α(x − y)](x) = Q[α](x), víi mäi y ∈ H. Tõ Ty [Q[α]](x) = Q[Ty [α]](x), suy ra Q[α](x − y) = Q[α](x) víi mäi y. VËy Q[α] lµ hµm h»ng. (vii) D·y sè ®Õn hµm h»ng α. αn héi tô ®Õn α ®­îc xem nh­ mét d·y hµm h»ng héi tô ®Òu Qua t¸c ®éng cña Q th× d·y hµm h»ng Q[αn ](x) héi tô ®Õn Q[α]. 1.3 Hai mÖnh ®Ò c¬ b¶n Trong phÇn nµy chóng ta ®­a ra hai ®Ò xuÊt c¬ b¶n ®­îc sö dông trong c¸c chøng minh cña phÇn sau. 11 MÖnh ®Ò 1.1. tö (Nguyªn lý so s¸nh). Cho R lµ mét to¸n tö tõ B vµo B. To¸n R ®­îc gäi lµ b¶o toµn thø tù nÕu tháa m·n: v = w ⇒ R[v] = R[w] NÕu d·y vn Vµ víi d·y vµ nÕu (1.3.1) tháa m·n bÊt ®¼ng thøc: wn (1.3.2) wn+1 5 R[wn ], (1.3.3) tháa m·n: v0 = w0 Chøng minh. vn+1 = R[vn ]. vn = wn , ∀n ∈ N . th× Tõ v0 = w0 suy ra R[v0 ] = R[w0 ]. MÆt kh¸c ta cã v1 = R[v0 ], w1 5 R[w0 ] do ®ã v1 = R[v0 ] = R[w0 ] = w1 . T­¬ng tù: v2 = R[v1 ] = R[w1 ] = w2 ............................... vn = R[vn−1 ] = R[wn−1 ] = wn , ∀n ∈ N. MÖnh ®Ò 1.2. Cho R lµ mét to¸n tö tõ B vµo B. To¸n tö R tháa m·n(1.3.1),vµ R[w0 ] = w0 . NÕu d·y wn x¸c ®Þnh wn+1 = R[wn ], th× wn+1 = wn , ∀n ∈ N . 12 Chøng minh. Chän vn = wn+1 , ∀n ∈ N th× v0 = w1 = R[w0 ] = w0 , vµ ¸p dông (1.3.1) tÝnh chÊt cña R ta cã: v1 = w2 = R[w1 ] = R[w0 ] = w1 = v0 v2 = w3 = R[w2 ] = R[w1 ] = w2 = v1 ....................................... vn = wn+1 = R[wn ] = R[wn−1 ] = wn = vn−1 suy ra 1.4 wn+1 = wn , ∀n ∈ N . X©y dùng tèc ®é sãng Trong phÇn nµy ta sÏ x¸c ®Þnh tèc ®é sãng c∗ (ξ) t­¬ng øng víi to¸n tö Q tháa m·n ®iÒu kiÖn (1.2.1). Tèc ®é sãng sÏ ®­îc ®iÒu chØnh trong c¸c kÕt qu¶ ®Þnh lý ë ph©n tiÕp theo. Ta sÏ ®Þnh nghÜa c∗ (ξ) - tèc ®é sãng, vµ ®­a ra mét sè kÕt qu¶ liªn quan. Tèc ®é sãng c∗ (ξ) ®­îc ®Þnh nghÜa lµ gi¸ trÞ v« h­íng nh­ lµ hµm cña ®¬n vÞ vector ξ . Chóng ta cã thÓ hiÓu c∗ (ξ) lµ tèc ®é sãng theo ph­¬ng ξ . §Ó x¸c ®Þnh c∗ (ξ) ta chän hµm ϕ cã tÝnh chÊt ®­îc ®Þnh nghÜa theo ®Þnh nghÜa (1.4). Nh÷ng hµm cã tÝnh chÊt trªn sau nµy ta ký hiÖu lµ hµm ϕ(s). Ta chän hµm ϕ(s) nh­ sau: Hµm ϕ(s) lµ mét hµm sè nhËn gi¸ trÞ thùc tháa m·n c¸c tÝnh chÊt: (i) ϕ lµ mét hµm liªn tôc kh«ng t¨ng. (ii) ϕ(−∞) ∈ (π0 , π1 ). (1.4.1) 13 (iii) ϕ(s) = 0, ∀s = 0. §Þnh nghÜa 1.3. Víi sè thùc c vµ vector ξ, to¸n tö ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: Rc,ξ [a](s) ≡ max{ϕ(s), Q[a(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)}. Hai tÝnh chÊt cña (i) Víi (1.4.2) R suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Q th¶o m·n tÝnh chÊt (1.2.1) khi ®ã ta cã: Rc,ξ [α](s) > α(c, ξ; x · ξ + s + c) = α, víi α ∈ (π0 , π1 ). (1.4.3) ThËt vËy: Rc,ξ [α](s) ≡ max{ϕ(s), Q[α(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} = Q[α(c, ξ; x · ξ + s + c)](0) = Q[α](0) > α, theo tÝnh chÊt (1.2.1) cña Q, víi α ∈ (π0 , π1 ), ∀x ∈ H. (ii) Víi Q th¶o m·n tÝnh chÊt (iv) trong ®Þnh nghÜa 1.3, khi ®ã nÕu u 5 v th× Rc,ξ [u](s) 5 Rc,ξ [v](s). ThËt vËy: Tõ tÝnh chÊt (iv) cña Q nÕu u 5 v th× Q[u(c, ξ; x · ξ + s + c)](0) 5 Q[v(c, ξ; x · ξ + s + c)](0). MÆt kh¸c Rc,ξ [u](s) ≡ max{ϕ(s), Q[u(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} 5 max{ϕ(s), Q[v(c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} ≡ Rc,ξ [u](s). 14 VËy: Nãi c¸ch kh¸c §Þnh nghÜa 1.4. NÕu u 5 v th× Rc,ξ [u](s) 5 Rc,ξ [v](s). Rc,ξ lµ ®¬n ®iÖu. Víi sè thùc c vµ vector ξ , d·y an (c, ξ, s) ®­îc x¸c ®Þnh bëi: (1.4.4) an+1 = Rc,ξ [an ], a0 = ϕ. D­íi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt cña d·y Bæ ®Ò 1.1. tôc theo D·y an (c, ξ, s) an : kh«ng gi¶m theo n, kh«ng t¨ng theo s vµ c, vµ liªn c, ξ , vµ s. Chøng minh. +) Ta chøng minh an kh«ng gi¶m theo n. Ta cã a0 (c, ξ; s) = ϕ(s), suy ra a1 (c, ξ; s) = Rc,ξ [a0 ](s) = max{ϕ(s), Q[a0 (c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} = ϕ(s) = a0 (c, ξ; s). Do Rc,ξ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, tõ mÖnh ®Ò 1.2 ta cã an+1 (c, ξ; s) = an (c, ξ; s). Suy ra d·y an (c, ξ; s) lµ d·y kh«ng gi¶m theo +) Ta chøng minh an kh«ng t¨ng theo Víi cña hµm n. s vµ c theo ph­¬ng ph¸p quy n¹p. n = 0 th× a0 (c, ξ; s) = ϕ(s) lµ mét hµm kh«ng t¨ng theo ®Þnh nghÜa ϕ(s), suy ra nÕu ∀c0 5 c; ∀s0 5 s th× ϕ(s0 ) = ϕ(s). 15 Gi¶ sö an (c, ξ; s) lµ kh«ng t¨ng theo Tøc lµ c, s lµ ®óng. ∀c0 5 c; ∀s0 5 s th× an (c0 , ξ; s0 ) = an (c, ξ; s). Ta chøng minh an+1 (c0 , ξ; s0 ) = an+1 (c, ξ; s), ∀c0 5 c; ∀s0 5 s. ThËt vËy: ∀c0 5 c; ∀s0 5 s suy ra x · ξ + s0 + c0 5 x · ξ + s + c, vµ tõ tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña an ta cã: an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c0 ) = an (c, ξ; x · ξ + s + c), nªn theo tÝnh chÊt (iv) cña Q ta cã Q[an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c)](0) = Q[an (c, ξ; x · ξ + s + c)](0). Khi ®ã an+1 (c0 , ξ; s0 ) = Rc0 ,ξ [an (c0 , ξ; s0 )] = max{ϕ(s0 ), Q[an (c0 , ξ; x · ξ + s0 + c0 )](0)} = max{ϕ(s), Q[an (c, ξ; x · ξ + s + c)](0)} = an+1 (c, ξ; s). Nh­ vËy an (c, ξ; s) kh«ng t¨ng theo +) Ta chøng minh s vµ c víi mäi n. an (c, ξ; s) liªn tôc theo c¸c biÕn c, s, ξ b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p. Víi hµm n = 0 th× a0 (c, ξ; s) = ϕ(s) lµ mét hµm liªn tôc theo ®Þnh nghÜa cña ϕ(s). Suy ra a0 (c, ξ; s) liªn lôc theo c¸c biÕn c, s, ξ . Gi¶ sö an (c, ξ; s) liªn tôc theo c¸c biÕn Tøc lµ mäi d·y c, s, ξ lµ ®óng. (cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn (c, ξ; s) khi υ → ∞ th× an (cυ , ξυ ; sυ ) héi 16 tô ®Õn an (c, ξ; s) khi υ → ∞. Ta chøng minh an+1 (cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn an+1 (c, ξ; s) khi υ → ∞. ThËt vËy: XÐt mçi cho x thuéc mét tËp bÞ chÆn B1 trong H , suy ra tån t¹i sè d­¬ng R sao |x| 6 R, ∀x ∈ B1 . Gi¶ sö (cυ , ξυ , sυ ) héi tô ®Õn (c, ξ; s) khi υ → ∞, suy ra d·y (cυ , ξυ , sυ ) bÞ chÆn, tøc lµ cã c¸c sè M1 > 0; M2 > 0; M3 > 0 tån t¹i υ0 > 0 sao cho ∀υ > υ0 th× |c| 6 M1 , |ξ| 6 M2 , |s| 6 M3 , vµ |cυ | 6 M1 , |ξυ | 6 M2 , |sυ | 6 M3 . Suy ra |x · ξ + c + s| 5 |x|.|ξ| + |c| + |s| = M1 + RM2 + M3 vµ |x · ξυ + cυ + sυ | 5 |x|.|ξυ | + |cυ | + |sυ | = M1 + RM2 + M3 . Khi ®ã tËp M = [−M1 ; M1 ] × [−M2 ; M2 ] × [−(M1 + RM2 + M3 ); M1 + RM2 + M3 ] lµ tËp ®ãng vµ bÞ chÆn, ®iÓm M lµ tËp h÷u h¹n suy ra M lµ mét tËp compact, vµ hai (cυ , ξυ , x · ξυ + sυ + cυ ), (c, ξ, x · ξ + s + c) n»m trong M . V× an lµ hµm liªn tôc theo tÊt c¶ c¸c biÕn trªn tËp compact M suy ra an liªn tôc ®Òu trªn thuéc M , nghÜa lµ ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀(c1 , ξ1 , s1 ), ∀(c2 , ξ2 , s2 ) M tháa m·n |(c1 , ξ1 , s1 ) − (c2 , ξ2 , s2 )| < δ th× |an (c1 , ξ1 , s1 ) − an (c2 , ξ2 , s2 )| < . 17