Môc lôc
Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n
3
5
1
TÝnh chÊt tæng qu¸t nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh. . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
C«ng thøc Ostrogratski-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4
Bæ ®Ò Growall-Bellman vµ Bihari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh
13
1
C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2
C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t vÒ sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3
Sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4
Sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh víi ma trËn h»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5
Tiªu chuÈn Hurwits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3 Nghiªn cøu æn ®Þnh b»ng sè mò Liapunov
26
1
Sè mò ®Æc tr-ng cña hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2
Sè mò ®Æc tr-ng cña ma trËn hµm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3
Phæ cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4
HÖ c¬ b¶n chuÈn t¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5
§iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6
BÊt ®¼ng thøc Vazevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7
BÊt ®¼ng thøc Liapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
8
HÖ kh¶ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
9
TÝnh kh¶ quy vÒ hÖ tuyÕn tÝnh víi ma trËn kh«ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
10
HÖ chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1
11
§Þnh lý Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
12
TÝnh chÝnh quy cña hÖ tuyÕn tÝnh tam gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
13
LÝ thuyÕt Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
14
TÝnh kh¶ quy cña hÖ tuyÕn tÝnh tuÇn hoµn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2
Më ®Çu
I. LÝ do chän ®Ò tµi cña khãa luËn
LÝ thuyÕt æn ®Þnh to¸n häc lµ mét lý thuyÕt nghiªn cøu ®Þnh tÝnh ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng. Do hÇu hÕt
c¸c qu¸ tr×nh cã tÝnh chÊt biÕn ®æi ®Òu cã thÓ m« t¶ bëi mét hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n (PTVP), trong khi, vÒ mÆt
lÞch sö, viÖc gi¶i t×m nghiÖm chÝnh x¸c cña mét hÖ PTVP lµ ®iÒu rÊt khã thùc hiÖn, kÓ c¶ khi ®· cã sù trî gióp
cña m¸y tÝnh ®iÖn tö. ChÝnh v× vËy, c¸c nhµ to¸n häc ®· tËp trung vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n ®Þnh tÝnh trong
nghiªn cøu c¸c qu¸ tr×nh th«ng qua c¸c hÖ PTVP m« t¶ c¸c qu¸ tr×nh ®ã. §ã lµ viÖc nghiªn cøu ®Ó biÕt râ
c¸c tÝnh chÊt cña nghiÖm cña mét hÖ PTVP chØ dùa trªn c¸c yÕu tè ®Çu vµo thÓ hiÖn trong b¶n th©n hÖ ph-¬ng
tr×nh. Víi ý nghÜa nh- vËy, lý thuyÕt æn ®Þnh, ban ®Çu ®-îc hiÓu mÆc nhiªn lµ sù æn ®Þnh cña c¸c chuyÓn ®éng
c¬ häc thuÇn tóy, trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn nã ®-îc hiÓu mét c¸c réng r·i lµ sù æn ®Þnh cña c¸c qu¸ tr×nh biÕn
®æi nãi chung, bao gåm tõ c¸c qu¸ tr×nh vËt lý ®Õn c¸c qu¸ tr×nh kinh tÕ, biÕn ®æi m«i tr-êng, sinh th¸i häc vµ
nhiÒu lÜnh vùc kh¸c. Víi lÝ do ®ã, lý thuyÕt æn ®Þnh ®· vµ ®ang ®-îc nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn m¹nh c¶ vÒ lÝ
thuyÕt vµ øng dông trong suèt nhiÒu thËp kû qua.
Lµ mét sinh viªn ngµnh S- ph¹m To¸n häc, trong qu¸ tr×nh häc tËp häc phÇn Ph-¬ng tr×nh vi ph©n vµ lý
thuyÕt æn ®Þnh, víi thêi l-îng chñ yÕu cña häc phÇn tËp trung vµo nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña PTVP
vµ chØ giíi thiÖu hÕt søc kh¸i l-îc vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh, nªn b¶n th©n t«i ®· quyÕt ®Þnh t×m hiÓu, nghiªn cøu
mét c¸ch s©u s¾c, cã hÖ thèng vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh th«ng qua viÖc ®¨ng ký lµm khãa luËn tèt nghiÖp víi tªn
®Ò tµi cña khãa luËn lµ "B-íc ®Çu nghiªn cøu vÒ sù æn ®Þnh nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n". Bªn c¹nh
®ã, th«ng qua viÖc thùc hiÖn khãa luËn, t«i kú väng víi sù h-íng dÉn cña c¸c thÇy, c« gi¸o, t«i cã thÓ trang bÞ
thªm cho m×nh nh÷ng kü n¨ng tù häc, tù nghiªn cøu ®Ó sö dông nh- mét c«ng cô h÷u hiÖu trong suèt qu¸ tr×nh
häc tËp, c«ng t¸c tiÕp theo.
II. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô
1. Môc ®Ých
Khãa luËn ®Æt ra 2 môc tiªu:
1. Nghiªn cøu tµi liÖu, hÖ thèng hãa c¸c kiÕn thøc vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh, bao gåm c¸c kh¸i niÖm c¬ vµ
c¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ æn ®Þnh; nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh b»ng ph-¬ng ph¸p sè mò
Liapunov, tõ ®ã t×m hiÓu c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh æn ®Þnh cña c¸c hÖ gÇn tuyÕn tÝnh vµ c¸c hÖ cã nhiÔu t¸c ®éng
th-êng xuyªn.
2. Th«ng qua qu¸ tr×nh thùc hiÖn khãa luËn ®Ó cã ®iÒu kiÖn rÌn luyÖn kü n¨ng tù häc, tù nghiªn cøu tµi
liÖu. §ã lµ qu¸ tr×nh t×m hiÓu, lùa chän häc liÖu, nghiªn cøu ®Ó tËp hîp vµ hÖ thèng hãa, vËn dông vµ tr×nh bµy
l¹i nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch hÖ thèng theo môc tiªu ®Æt ra.
2. NhiÖm vô
NhiÖm vô c¬ b¶n khi thùc hiÖn khãa luËn lµ: Lùa chän tµi liÖu, häc liÖu, nghiªn cøu vÒ ®Ò tµi cña khãa
luËn; X©y dùng ®Ò c-¬ng tæng qu¸t vµ ®Ò c-¬ng chi tiÕt; Thùc hiÖn c¸c néi dung nghiªn cøu cña khãa luËn:
Tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm, c¸c ®Þnh lÝ cã chøng minh chi tiÕt cã liªn quan.
III. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu
Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ thuyÕt, tËp hîp, s-u tÇm, nghiªn cøu tµi liÖu, so s¸nh, ®èi chiÕu vµ sö dông c¸c
3
kiÕn thøc to¸n häc ®· biÕt ®Ó nhÊt qu¸n hãa vµ tr×nh bµy hoµn chØnh nh÷ng néi dung kiÕn thøc liªn quan trªn
thµnh mét chñ ®Ò trän vÑn. Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn ¸n cã th¶o luËn, xin ý kiÕn c¸c thÇy c« gi¸o vµ thùc
hiÖn sù chØ ®¹o trùc tiÕp cña gi¶ng viªn h-íng dÉn.
IV. CÊu tróc cña khãa luËn Khãa luËn bao gåm phÇn më ®Çu, ba ch-¬ng néi dung chÝnh vµ phÇn kÕt luËn.
Néi dung chÝnh cô thÓ lµ: Ch-¬ng 1: Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n: Tr×nh bµy v¾n t¾t nh÷ng
kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ lý thuyÕt PTVP cã sö dông trong ch-¬ng 2 vµ ch-¬ng 3 cña Khãa luËn. Ch-¬ng 2:
C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh: Tr×nh bµy mét c¸ch hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n
cña lý thuyÕt æn ®Þnh. Ch-¬ng 3: Nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh b»ng ph-¬ng ph¸p sè mò Liapunov: Ch-¬ng nµy
tr×nh bµy ph-¬ng ph¸p thø nhÊt cßn gäi lµ ph-¬ng ph¸p sè mò Liapunov vµ mét sè vÝ dô minh häa. PhÇn kÕt
luËn tæng kÕt nh÷ng kiÕn thøc ®· tr×nh bµy trong khãa luËn.
4
Ch-¬ng 1
Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph-¬ng tr×nh
vi ph©n
1
TÝnh chÊt tæng qu¸t nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh.
XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh:
n
X
dyj
ajk(t)yk + fj (t) (j = 1, n)
=
dt
(1.1)
k=1
Trong ®ã ajk (t), fj (t) ∈ C(I + ) víi I + = (a; +∞). Chóng ta lu«n gi¶ thiÕt ajk(t), fj (t) ∈ R cã nghiÖm
yj (t) ∈ C. Víi ký hiÖu A(t) = [ajk (t)]n×n , y(t) = col [y1 , ..., yn] , f(t) = col [f1 (t), ..., fn(t)], hÖ (1.1) ®-îc
viÕt d-íi d¹ng ma trËn sau:
dy
= A(t)y + f(t)
dt
(1.2)
HÖ (1.2) víi A(t), f(t) ∈ C(I + ) lu«n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy:
Víi mäi (t0 , y0 ) ∈ I + × Kn hÖ (1.2) cã duy nhÊt nghiÖm y(t) x¸c ®Þnh trong I + vµ tho¶ m·n y(t0 ) = y0.
XÐt hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng víi hÖ (1.2):
dx
= A(t)x
dt
(1.3)
Cho xj (t) = col [x1j (t), x2j (t), . . . , xnj (t)] , j = 1, n lµ n nghiÖm cña (1.3) trªn kho¶ng I + , khi ®ã:
§Þnh nghÜa 1.1. Ma trËn X(t) = [x1(t) x2(t) . . . xn(t)] lµ ma trËn vu«ng cÊp n lËp nªn bëi n nghiÖm ®ã sao
cho mçi cét thø j lµ cét to¹ ®é cña nghiÖm xj (t) ®-îc gäi lµ ma trËn nghiÖm cña hÖ (1.3). NÕu hÖ nghiÖm
{xj (t)} lµ hÖ nghiÖm c¬ b¶n (tøc lµ hÖ n nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn I + ), th× X(t) ®-îc gäi lµ ma trËn
nghiÖm c¬ b¶n.
MÖnh ®Ò 1.2. Ma trËn nghiÖm X(t) bÊt k× cña hÖ (1.3) tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh ma trËn sau:
Ẋ(t) = A(t)X(t)
(1.4)
MÖnh ®Ò 1.3. NÕu X(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ (1.3) th× mäi nghiÖm cña hÖ ®Òu ®-îc biÓu diÔn d-íi
d¹ng:
x(t) = X(t)c, c = col(c1, . . . , cn) ∈ Kn lµ ma trËn cét h»ng sè nµo ®ã
5
(1.5)
ThËt vËy, v× c¸c hµm sè xjk(t) tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh thø j cña hÖ (1.3) nªn:
n
dxjk X
ajs(t)xsk (t)
=
dt
s=1
(1.6)
Theo quy t¾c nh©n ma trËn ta ®-îc:
#
"X
n
dxjk
Ẋ(t) =
ajs(t)xsk (t) ≡ A(t)X(t).
=
dt
s=1
Ng-îc l¹i b»ng c¸ch nh©n lÇn l-ît hai vÕ cña hÖ (1.4) víi c¸c vector ei trong c¬ së chÝnh t¾c cña Kn ta
®-îc: NÕu X(t) lµ ma trËn bÊt k× tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh (1.4), th× mçi cét cña nã lµ mét nghiÖm cña hÖ (1.3).
H¬n n÷a nÕu ®Þnh thøc det X(t) 6= 0 th× X(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ.
Gi¶ sö x = x(t) lµ nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu x(t0 ) = x0. ta ®-îc x(t0) = X(t0 )c. Do ®ã
c = X −1 (to )x(to ). V× vËy:
x(t) = X(t)X −1 (t0 )x(t0)
(1.7)
§Þnh nghÜa 1.4. Ta gäi ma trËn K(t, t0 ) = X(t)X −1 (t0 ) lµ ma trËn Cauchy cña hÖ (1.3).
Ta thÊy, mäi nghiÖm cña hÖ ®Òu cã d¹ng: x(t) = K(t, t0)x(t0 ). §Æc biÖt, nÕu ma trËn nghiÖm c¬ b¶n X(t)
chuÈn t¾c t¹i t0 , tøc X(t0 ) = E, th× c«ng thøc (1.7) cã d¹ng:
x(t) = X(t)x(to )
(1.8)
e
Ma trËn Cauchy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän ma trËn nghiÖm c¬ b¶n X(t). ThËt vËy, gi¶ sö X(t)
lµ mét
e = X(t)C, trong ®ã C lµ ma trËn h»ng kh«ng suy biÕn. Do ®ã:
ma trËn c¬ b¶n kh¸c cña (1.3) th× ta cã X(t)
e t0) = X(t)
e X
e −1 (t0) = X(t)CC −1 X −1 (t0 ) = K(t, t0 ).
K(t,
NÕu y(t) lµ mét nghiÖm nµo ®ã cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (1.2), th× nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ (1.2) cã thÓ viÕt
d-íi d¹ng: y(t) = ye(t) + X(t)c, trong ®ã ye(t) lµ mét nghiÖm riªng nµo ®ã cña hÖ vµ c lµ ma trËn cét h»ng sè.
NÕu ye(t0 ) = 0 th× c = X −1 (t0 )y(t0 ). Do ®ã:
y(t) = ye(t) + K(t, t0)y(t0 ).
2
C«ng thøc Ostrogratski-Liouville
Gi¶ sö X(t) = [xjk (t)] lµ ma trËn c¬ b¶n cña hÖ vi ph©n thuÇn nhÊt (1.3). §Þnh thøc W (t) = det X(t)
®-îc gäi lµ ®Þnh thøc Wronski cña hÖ:
W (t) = det X(t)
¸p dông quy t¾c lÊy ®¹o hµm ®Þnh thøc, ta ®-îc:
x11(t) . . .
..
..
.
n
X
0.
dW (t)
=
xj1(t) · · ·
dt
j=1
..
...
.
x (t) · · ·
n1
6
x1k (t)
..
.
0
xjk (t)
..
.
xnk(t)
(2.1)
...
..
.
···
..
.
···
x1n(t)
..
.
0
xjn(t) .
..
.
x (t)
nn
0
Do xjk(t) =
Pn
s=1 ajs (t)xsk (t)
(j, k = 1, n) vµ do tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc ta ®-îc:
x11(t) . . . x1k (t) . . . x1n(t)
..
..
..
..
..
.
.
.
n
n
.
.
dW (t) X X
ajs(t) xs1(t) · · · xsk (t) · · · xsn(t) .
=
dt
..
..
..
..
..
j=1 s=1
.
.
.
.
.
xn1(t) · · · xnk (t) · · · xnn(t)
=
n
n X
X
ajs(t)δjs W (t) = W (t)
j=1 s=1
n
X
ajj (t) = Sp A(t)W (t).
j=1
LÊy tÝch ph©n ph-¬ng tr×nh sau cïng trªn [t0; t] ⊂ I + ta ®-îc c«ng thøc Ostrogratski-Liouville sau ®©y:
Rt
Sp A(τ )dτ
t0
W (t) = W (t0 ).e
(2.2)
Sau ®©y chóng ta nªu ra mét c«ng thøc t×m ma trËn nghiÖm c¬ b¶n trong tr-êng hîp kh«ng t×m ®-îc hÖ
nghiÖm c¬ b¶n. §ã lµ c«ng thøc cho phÐp t×m ma trËn nghiÖm c¬ b¶n th«ng qua tæng cña mét chuçi ma trËn
khi chØ biÕt mét nghiÖm kh«ng tÇm th-êng cña hÖ.
XÐt hÖ PTVP tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt:
dx
= A(t)x,
dt
A(t) ∈ C(I + )
(2.3)
Gi¶ sö t0 ∈ I + vµ x = x(t) lµ mét nghiÖm cña hÖ (2.3) x¸c ®Þnh bëi ®iÒu kiÖn ®Çu:
x(t0 ) = x0
(2.4)
§Ó biÓu diÔn gi¶i tÝch nghiÖm x(t), ta dïng ph-¬ng ph¸p xÊp xØ liªn tiÕp: HÖ (2.3) víi ®iÒu kiÖn ®Çu (2.4)
t-¬ng ®-¬ng víi ph-¬ng tr×nh tÝch ph©n:
x(t) = x(t0 ) +
Zt
A(t1 )x(t1)dt1 .
t0
Thay thÕ x(t1) trong ph-¬ng tr×nh trªn bëi x(t1 ) = x(t0 ) +
Rt1
A(t2 )x(t2 )dt2 ta ®-îc:
t0
Zt
x(t) = x(t0) +
A(t1 )x(t0 )dt1 +
t0
Zt
A(t1 )dt1
t0
Zt1
A(t2 )x(t2)dt2
t0
LÆp l¹i qu¸ tr×nh ®ã v« h¹n lÇn ta sÏ ®-îc c«ng thøc biÓu diÔn nghiÖm:
x(t) = x(t0) +
Zt
A(t1 )x(t0)dt1 +
t0
Zt
A(t1 )dt1
t0
Zt1
A(t2 )x(t2 )dt2 + . . .
t0
KÝ hiÖu:
Ωtt0
=E+
Zt
t0
A(t1 )dt1 +
Zt
t0
7
A(t1 )dt1
Zt1
t0
A(t2 )dt2 + . . .
(2.5)
§Þnh nghÜa 2.1. Ma trËn Ωtt0 gäi lµ ph-¬ng trËn cña hÖ vi ph©n (2.3).
Ta cã:
x(t) = Ωtt0 x(t0)
(2.6)
Chuçi vÕ ph¶i (2.5) héi tô tuyÖt ®èi vµ héi tô ®Òu trªn mäi ®o¹n [α, β] ⊂ I + . ThËt vËy
kΩtt0 k
6 kEk +
Zt
kA(t1)k|dt1| +
t0
Zt
kA(t1)k|dt1|
t0
Zt1
kA(t2)k|dt2| + . . .
(2.7)
t0
Gi¶ sö [α, β] ⊂ [t0 − A, t0 + B] ⊂ I + , C = max(A, B), M =
max
t0 −A6t6t0 +B
kA(t)k. Víi t ∈ [α, β], ta cã
c¸c ®¸nh gi¸ sau:
Zt
kA(t1 )kdt1 6 M | t − t0 |,
t0
Zt
t0
Zt1
kA(t1 )kdt1
Zt
kA(t2 )kdt2 6 M 2
t0
|t1 − t0 |dt1 6
M2
|t − t0 |2, . . .
2!
t0
V× |t − t0 | 6 C nªn chuçi vÕ ph¶i cña (2.7) ®-îc lµm tréi bëi chuçi sè d-¬ng héi tô
k E k +M C +
M C2
+ . . . =k E k −1 + exp(M C).
2
(2.8)
Do ®ã nhê dÊu hiÖu Weierstrass, chuçi hµm (2.7) héi tô ®Òu trªn [α, β] ⊂ I + . V× vËy chuçi ma trËn (2.5)
còng héi tô tuyÖt ®èi vµ héi tô ®Òu trªn [α, β].
LÊy vi ph©n tõng sè h¹ng cña chuçi (2.5), ta nhËn ®-îc chuçi héi tô ®Òu trªn [α, β] :
dΩtt0
= A(t) + A(t)
dt
Zt
A(t2 )dt2 + A(t)
t0
Zt
A(t2 )dt2
t0
Zt2
A(t3 )dt3 + . . . ≡ A(t)Ωtt0 ,
t0
Ngoài ra Ωtt00 = E nªn ph-¬ng trËn Ωtt0 là ma trËn c¬ b¶n chuÈn t¾c cña hÖ vi ph©n thuÇn nhÊt (2.3) vµ mét
nghiÖm x(t) bÊt k× cña hÖ ®ã ®-îc biÓu diÔn theo c«ng thøc:
x(t) = Ωtt0 x(t0 ) ≡ K(t, t0 )x(t0 )
Nhê tÝnh chÊt duy nhÊt nghiÖm ta nhËn ®-îc tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph-¬ng trËn:
Ωtt1 Ωtt10 = Ωtt0
3
víi (t0, t1) ∈ I + .
Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange
XÐt hÖ vi ph©n kh«ng thuÇn nhÊt:
dy
= A(t)y + f(t)
dt
(3.1)
HÖ vi ph©n sau gäi lµ hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng víi hÖ (3.1):
dx
= A(t)x
dt
8
(3.2)
Chóng ta sÏ t×m nghiÖm cña hÖ b»ng ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange. Gi¶ sö hÖ (3.1) cã nghiÖm
y(t) d¹ng:
y(t) = X(t)u(t)
(3.3)
ë ®ã X(t) lµ ma trËn c¬ b¶n cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng và u = u(t) lµ hµm vector míi ch-a biÕt. Thay y(t)
trong (3.3) vµo (3.1) ta ®-îc:
X(t)
V× Ẋ(t) = A(t)X(t) nªn X(t)
du
+ Ẋ(t)u = A(t)X(t)u + f(t)
dt
Rt
du
= f(t). Do ®ã u(t) = c + X −1 (t1 )f(t1 )dt1. KÕt hîp víi (3.3) cã:
dt
t0
y(t) = X(t)c +
Zt
K(t, t1)f(t1 )dt1
(3.4)
t0
Trong ®ã K(t, t1 ) = X(t)X −1 (t1 ) là ma trËn Cauchy cña hÖ (3.2). §Ó x¸c ®Þnh vector h»ng c ta thay t = t0
vào c«ng thøc (3.4) ta ®-îc: c = X −1 (t0 )y(t0 ). Tõ ®ã:
Zt
y(t) = K(t, t0 )y(t0 ) +
K(t, t1)f(t1 )dt1
(3.5)
t0
§Æc biÖt, nÕu X(t) chuÈn t¾c t¹i t0, th× tõ c«ng thøc (3.5) ta cã:
y(t) = X(t)y(t0 ) +
Zt
K(t, t1 )f(t1 )dt1
t0
Tõ c«ng thøc (3.5) ta suy ra hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (3.1) cã mét nghiÖm riªng:
ye(t) =
Zt
K(t, t1)f(t1 )dt1
t0
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu y(t0 ) = 0
Chó ý r»ng ma trËn A(t) = A là ma trËn h»ng sè vµ X(t0 ) = E th×:
X(t)X −1 (t1) và X(t − t1 + t0)
®Òu lµ ma trËn c¬ b¶n cña hÖ thuÇn nhÊt (3.2) vµ chóng b»ng nhau khi t = t1 . Do vËy:
X(t)X −1 (t1 ) ≡ X(t − t1 + t0 )
NÕu ®Æt t0 = 0 th× ta nhËn thÊy hÖ vi ph©n:
dy
= Ay + f(t)
dt
(3.6)
Trong ®ã A là ma trËn h»ng sè, cã nghiÖm tæng qu¸t:
y(t) = X(t)y(0) +
Zt
t0
9
X(t − t1)f(t1 )dt1
(3.7)
§Æc biÖt, khi y(0) = 0, th× hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (3.6) cã mét nghiÖm riªng:
ye(t) =
4
Zt
X(t − t1)f(t1 )dt1.
0
Bæ ®Ò Growall-Bellman vµ Bihari
1.Bæ ®Ò Growall-Bellman
Bæ ®Ò 4.1. (Growall-Bellman). Gi¶ sö u(t) > 0, f(t) > 0 víi t > t0 vµ u(t), f(t) ∈ C[t0, +∞).
NÕu
u(t) 6 c +
Zt
f(τ )u(τ )dτ víi t > t0 (c lµ h»ng sè d-¬ng)
(4.1)
t0
Th×
u(t) 6 c exp
Zt
f(τ )dτ,
(4.2)
t0
Chøng minh. Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc (4.1) ta nhËn ®-îc:
u(t)
c+
Rt
61⇒
f(τ )u(τ )dτ
f(t)u(t)
6 f(t)
Rt
c + f(τ )u(τ )dτ
t0
(4.3)
t0
Rt
d
c + f(τ )u(τ )dτ = f(t)u(t) nªn khi lÊy tÝch ph©n bÊt ®¼ng thøc (4.3) tõ t0 ®Õn t ta ®-îc:
dt
t0
Rt
Rt
ln[c + f(τ )u(τ )dτ ] − ln c 6 f(τ )dτ
Chó ý 1.
t0
Tõ ®ã ta cã u(t) 6 c +
t0
Rt
Rt
f(τ )u(τ )dτ 6 c exp
t0
f(τ )dτ.
t0
Chó ý 2. NÕu chuyÓn qua giíi h¹n c¸c c«ng thøc (4.1) vµ (4.2) khi c → +0, ta thÊy r»ng Bæ ®Ò vÉn ®óng nÕu
h»ng sè c b»ng 0.
2.Bæ ®Ò Growall-Bellman më réng
Bæ ®Ò 4.2. Gi¶ sö u(t) liªn tôc, d-¬ng trªn kho¶ng (a; b) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
u(t) 6 u(t1 ) + |
Zt
f(τ )u(τ )dτ |, ∀t1, t ∈ (a; b)
(4.4)
t1
trong ®ã f(t) ∈ C(a; b). Khi ®ã, víi a < t0 6 t < b ta cã:
u(t0) exp[−
Zt
Zt
f(τ )dτ ] 6 u(t) 6 u(t0 ) exp[ f(τ )dτ ]
t0
t0
10
(4.5)
Chøng minh. Víi t > t1 ®iÒu kiÖn (4.4) trë thµnh: u(t) 6 u(t1 ) +
Rt
f(τ )u(τ )dτ . Tõ ®ã, theo Bæ ®Ò Growall-
t1
Bellman cã:
u(t) 6 u(t1) exp
Zt
f(τ )dτ
(4.6)
t1
Víi t 6 t1 ®iÒu kiÖn (4.4) trë thµnh: u(t) 6 u(t1) +
Rt1
f(τ )u(τ )dτ. Do ®ã:
t
u(t)
−f(t)u(t)
61⇒
> −f(t)
Rt1
Rt1
u(t1 ) + f(τ )u(τ )dτ
u(t1 ) + f(τ )u(τ )dτ
t
t
LÊy tÝch ph©n bÊt ®¼ng thøc cuèi cïng tõ t ®Õn t1 ta ®-îc:
ln u(t1 ) − ln[u(t1) +
Zt1
Zt1
f(τ )u(τ )dτ ] > −
t
f(τ )dτ
t
Suy ra:
u(t) 6 u(t1 ) +
Zt1
f(τ )u(τ )dτ 6 u(t1) exp
Zt1
t
f(τ )dτ
t
Thay ®æi vai trß cña t vµ t1 víi t > t1 ta ®-îc: u(t1 ) 6 u(t) exp
Rt
f(τ )dτ. Suy ra
t1
Zt
u(t) > u(t1 ) exp − f(τ )dτ .
(4.7)
t1
Trong (4.6) vµ (4.7) thay t1 bëi t0 th× khi a < t0 6 t < b ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh (4.5).
Bæ ®Ò 4.3. (Bihari). Gi¶ sö u(t), f(t) liªn tôc, kh«ng ©m trong kho¶ng [t0, +∞) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
u(t) 6 c +
Zt
f(τ )Φ(u(τ ))dτ
(4.8)
t0
trong ®ã c lµ h»ng sè d-¬ng vµ Φ(u) lµ hµm d-¬ng, liªn tôc, t¨ng trªn kho¶ng 0 < u 6 u, (u 6 ∞) vµ gi¶ sö:
Ψ(u) =
Zu
du1
, (0 < u < u).
Φ(u1 )
(4.9)
c
NÕu:
Zt
f(τ )dτ < Ψ(u − 0), (t0 6 t < ∞),
(4.10)
t0
Th×:
u(t) 6 Ψ−1 [
Zt
f(τ )dτ ], (t0 6 t < ∞)
(4.11)
t0
−1
trong ®ã Ψ
(u) lµ hµm ng-îc cña hµm Ψ(u). §Æc biÖt, nÕu u = ∞ vµ Ψ(∞) = ∞, th× ®iÒu kiÖn (4.10) lu«n
tho¶ m·n cho nªn (4.11) còng lu«n tho¶ m·n.
11
Chøng minh. Xem trong [2]
HÖ qu¶ 4.4. NÕu Φ(u) = u th× cã bÊt ®¼ng thøc Growall- Bellman (4.2).
HÖ qu¶ 4.5. NÕu Φ(u) = um , (m > 0, m 6= 1), tøc lµ ta cã gi¶ thiÕt:
u(t) 6
Zt
f(τ )[u(τ )m ]dτ víi t > 0
t0
Th×
1
Zt
1−m
u(t) 6 c1−m + (1 − m) f(τ )dτ
víi 0 < m < 1
t0
vµ
c
u(t) 6
1
m−1
Rt
m−1
1 − (m − 1)c
f(τ )dτ
t0
víi m > 1 vµ
Rt
t0
f(τ )dτ <
1
, (t0 6 t)
(m − 1)cm−1
12
(4.12)
Ch-¬ng 2
C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn
®Þnh
1
C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt æn ®Þnh
XÐt hÖ PTVP
dyj
(1.1)
= fj (t, y1, y2 , ..., yn) (j = 1, n)
dt
trong ®ã t lµ biÕn ®éc lËp, y1 , ..., yn lµ c¸c hµm sè ph¶i t×m, fj (t, y1 , ..., yn) lµ c¸c hµm x¸c ®Þnh trong
miÒn Z = It+ × Dy , It+ = (a < t < +∞), víi a ∈ R hoÆc a = −∞, Dy là tËp më trong Kn , (K = R hoÆc
K = C). KÝ hiÖu:
y1
y2
y = . ,
..
yn
f1 (t, y)
f2 (t, y)
f(t, y) = . ,
.
.
fn (t, y)
dy1
dt
d
y2
dy
dt
=
.
dt
.
.
dy
n
dt
th× hÖ ph-¬ng tr×nh (1.1) ®-îc viÕt d-íi d¹ng ma trËn sau:
dy
= f(t, y)
dt
(1.2)
Hµm vector y = y(t) ∈ Dy ⊂ Kn thuéc líp C 1 trªn kho¶ng (a, b) ⊂ It+ nµo ®ã vµ tho¶ m·n ph-¬ng
tr×nh (1.2) trªn kho¶ng ®ã gäi lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1.1).
0,1
Sau nµy ta th-êng gi¶ thiÕt r»ng f(t, y) ∈ Ct,y
(Z), tøc lµ f liªn tôc theo t vµ cã ®¹o hµm riªng cÊp
mét liªn tôc theo c¸c biÕn y1 , ..., yn trong miÒn Z. NÕu xÐt hÖ (1.2) víi yt ∈ Dy ⊂ Rn th× c¸c ®¹o hµm
®-îc hiÓu theo nghÜa th«ng th-êng. Tr-êng hîp y(t) ∈ Dy ⊂ Cn th× cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng hµm f(t, y) gi¶i
∂fj
tÝch theo c¸c biÕn y1 , ..., yn. Khi ®ã c¸c ®¹o hµm
(t, y1, ..., yn) lµ ®¹o hµm hµm sè phøc.
∂yk
Chó ý 3. Víi c¸c gi¶ thiÕt ®· cho hÖ (1.2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cña ®Þnh lÝ Cauchy. Sau
nµy chóng ta lu«n gi¶ thiÕt hÖ (1.2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm.
NghiÖm y = y(t) cã thÓ xem nh- quü ®¹o cña kh«ng gian Rn hoÆc Cn , trong ®ã t ®ãng vai trß tham sè.
13
NÕu hÖ (1.2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm vµ vÕ ph¶i liªn tôc th× nghiÖm cña hÖ cã tÝnh chÊt
liªn tôc tÝch ph©n, nghÜa lµ, nÕu y(t) lµ nghiÖm cña hÖ (1.2) trªn kho¶ng (a, b) th× víi mäi ε > 0 cho tr-íc, vµ
víi mäi ®o¹n [α; β] ⊂ (a, b) lu«n tån t¹i δ > 0 sao cho mäi nghiÖm z(t) trong l©n cËn cña γ ∈ [α; β] tho¶ m·n
®iÒu kiÖn z(γ) = z0 vµ ||z(γ) − y(γ)|| < δ ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ (1.2) trªn [α; β] vµ tho¶ m·n ||z(t) − y(t)|| < ε
víi mäi t ∈ [α; β].
§Þnh nghÜa 1.1. NghiÖm η(t) cña hÖ (1.2) trªn (a, +∞) cña hÖ (1.2) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh theo Liapunov khi
t → ∞ nÕu víi mäi sè d-¬ng ε cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ (a, +∞), ®Òu tån t¹i δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho mäi
nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ||y(t0 )−η(t0 )|| < δ ®Òu x¸c ®Þnh trong kho¶ng (t0 6 t < +∞)
(nghÜa lµ y(t) ∈ Dy víi mäi t ∈ [t0; +∞)) vµ tho¶ m·n ky(t) − η(t)k < ε víi mäi t ∈ [t0; +∞).
H×nh 2.1:
NhËn xÐt 1. NghiÖm η(t) lµ æn ®Þnh nÕu t¹i bÊt k× thêi ®iÓm ban ®Çu t0 c¸c nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) ®ñ gÇn
víi nã ®Òu n»m trong h×nh cÇu B(η(t), ε)
f(t, 0) ≡ 0 trªn It+ th× hÖ ph-¬ng tr×nh (1.2) cã nghiÖm tÇm th-êng (hay tr¹ng th¸i c©n b»ng) η(t) ≡ 0 trªn
It+ . Trong tr-êng hîp nµy nghiÖm tÇm th-êng η(t) ≡ 0 ®-îc gäi lµ æn ®Þnh Liapunov khi t → ∞ nÕu víi mäi
sè d-¬ng ε vµ víi mäi t0 ∈ (a; +∞), tån t¹i sè δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho mäi nghiÖm y(t) cña hÖ () tho¶ m·n
®iÒu kiÖn ky(t0 )k < δ x¸c ®Þnh trong kho¶ng t0 6 t < +∞ vµ tho¶ m·n ky(t)k < ε víi mäi t ∈ [t0; +∞).
§Þnh nghÜa 1.2. NghiÖm η(t) cña hÖ (1.2) trong kho¶ng (a; +∞) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh ®Òu theo t0 khi t → +∞
nÕu víi mäi sè d-¬ng ε cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ (a; +∞) lu«n tån t¹i sè δ = δ(ε) > 0 sao cho mäi nghiÖm
y(t) cña hÖ () tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ky(t0 ) − η(t0 )k < δ ®Òu x¸c ®Þnh trong kho¶ng t0 6 t < +∞ vµ tho¶ m·n
ky(t) − η(t)k < ε víi mäi t ∈ [t0; +∞).
§Þnh nghÜa 1.3. NghiÖm η(t) cña hÖ (1.2) trong kho¶ng (a; +∞) kh«ng æn ®Þnh Liapunov khi t → ∞ nÕu
∃ε0 > 0 vµ ∃t0 ∈ (a; +∞) sao cho víi mäi δ > 0 ®Òu tån t¹i Ýt nhÊt nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) vµ tån t¹i thêi
®iÓm t1 > t0 sao cho ky(t0 ) − η(t0 )k < δ nh-ng ky(t1 ) − η(t1 )k > ε0 .
§Þnh nghÜa 1.4. NghiÖm η(t) trªn kho¶ng (a; +∞) cña hÖ (1.2) gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞ nÕu nã
æn ®Þnh theo Liapunov khi t → ∞ vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: Víi mäi t0 ∈ (a; +∞) ®Òu tån t¹i ∆ = ∆(t0 ) > 0
sao cho mäi nghiÖm y(t) trªn [t0; +∞) cña hÖ (1.2) mµ ky(t0 ) − η(t0 )k < ∆ ta ®Òu cã ky(t) − η(t)k → 0 khi
t→∞
NghiÖm tÇm th-êng (nÕu cã) η(t) ≡0 trªn kho¶ng (a, +∞) cña hÖ (1.2) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn nÕu nã æn ®Þnh
theo Liapunov khi t → ∞ vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: Víi mäi t0 ∈ (a; +∞) ®Òu tån t¹i ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho
mäi nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) trªn kho¶ng [t0 ; +∞) mà ky(t0 )k < ∆ ta ®Òu cã ky(t)k → 0 khi t → +∞
14
H×nh 2.2:
§Þnh nghÜa 1.5. Gi¶ sö hÖ (1.2) x¸c ®Þnh trong kh«ng gian Ω = It+ × Kn . Khi ®ã nghiÖm y(t) cña hÖ (1.2) trªn
kho¶ng (a; +∞) gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn trong toµn thÓ nÕu nã æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞ vµ mäi nghiÖm
y(t) trong kho¶ng [t0 ; +∞) cña hÖ (1.2) ®Òu tho¶ m·n ky(t) − η(t)k → 0 khi t → +∞
XÐt hÖ vi ph©n cã nhiÔu t¸c ®éng th-êng xuyªn sau ®©y ®ång thêi víi hÖ (1.2):
dy
= f(t, y) + ϕ(t, y)
dt
(1.3)
Lu«n gi¶ thiÕt:
(0,1)
(0,1)
f(t, y) ∈ C(t,y) (Z), ϕ(t, y) ∈ C(t,y) (Z).
§Þnh nghÜa 1.6. NghiÖm η(t) trong kho¶ng (a; +∞) cña hÖ (1.2) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh víi nhiÔu t¸c ®éng th-êng
xuyªn ϕ(t, y) nÕu víi mäi ε > 0 cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ (a; +∞) ®Òu tån t¹i sè δ(ε; t0 ) > 0 sao cho khi
ϕ(t, y) < δ th× mäi nghiÖm y(t) cña hÖ (1.3) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ky(t0 ) − η(t0 )k < δ ®Òu x¸c ®Þnh trong kho¶ng
[t0; +∞) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ky(t) − η(t)k < ε víi mäi t ∈ [t0; +∞).
NÕu nghiÖm η(t), t ∈ It+ cña hÖ (1.2) víi vÕ ph¶i liªn tôc æn ®Þnh t¹i thêi ®iÓm t0 ∈ It+ th× còng æn
0
®Þnh t¹i thêi ®iÓm t0 ∈ It+ . Do ®ã ta cã thÓ giíi h¹n viÖc kiÓm tra tÝnh æn ®Þnh còng nh- tÝnh æn ®Þnh tiÖm
cËn cña nghiÖm chØ ®èi víi thêi ®iÓm ban ®Çu t0 ®· cho nµo ®ã. Tõ ®ã ta còng cã thÓ suy ra r»ng nghiÖm
η(t), (a < t < b) kh«ng æn ®Þnh ®èi víi thêi ®iÓm ban ®Çu t0 ∈ It+ th× nã còng kh«ng æn ®Þnh ®èi víi thêi
0
®iÓm bÊt k× t0 ∈ It+ .
2
C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t vÒ sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh
XÐt c¸c hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh:
dy
= A(t)y + f(t),
dt
A(t), f(t) ∈ C(I + )
(2.1)
vµ hÖ thuÇn nhÊt ®èi víi nã:
dx
= A(t)x
dt
(2.2)
§Þnh nghÜa 2.1. HÖ (2.1) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh (kh«ng æn ®Þnh) nÕu tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ ®Òu æn ®Þnh (kh«ng
æn ®Þnh) Liapunov khi t → +∞.
15
Chó ý 4. C¸c nghiÖm cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh hoÆc tÊt c¶ ®Òu æn ®Þnh hoÆc tÊt c¶ ®Òu kh«ng æn ®Þnh. §èi
víi hÖ vi ph©n phi tuyÕn cã thÓ cã c¶ nghiÖm æn ®Þnh vµ nghiÖm kh«ng æn ®Þnh.
§Þnh lý 2.2. HÖ (2.1) æn ®Þnh víi mäi f(t) ∈ C(I + ) khi vµ chØ khi nghiÖm tÇm th-êng η(t) ≡ 0 cña hÖ thuÇn
nhÊt t-¬ng øng (2.2) æn ®Þnh Liapunov khi t → +∞.
Chøng minh. (§iÒu kiÖn cÇn). Gi¶ sö η(t) (t0 6 t < +∞) là nghiÖm æn ®Þnh nµo ®ã cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt
(2.1). Theo ®Þnh nghÜa: Víi mäi ε > 0 cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ I + , ∃δ > 0 sao cho mäi nghiÖm y(t) cña hÖ
(2.1) ®Òu x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (t0 6 t < +∞), nÕu tho¶ m·n
ky(t0 ) − η(t0)k < δ
(2.3)
ky(t) − η(t)k < ε, (∀t > t0)
(2.4)
ta ®Òu cã
Do z(t) = y(t) − η(t) lµ nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) vµ ng-îc l¹i mäi nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2)
®Òu biÓu diÔn d-íi d¹ng z(t) = y(t) − η(t), trong ®ã y(t) lµ nghiÖm cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1), nªn ta suy
ra ∀ε > 0 cho tr-íc vµ víi mäi t0 ∈ I + , ∃δ > 0 sao cho mäi nghiÖm z(t) cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) nÕu tho¶ m·n
®iÒu kiÖn kz(t0 )k < δ, ta ®Òu cã kz(t)k < ε, ∀t > t0 . §iÒu nµy chøng tá nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.2) æn
®Þnh.
(§iÒu kiÖn ®ñ.) Gi¶ sö nghiÖm tÇm th-êng z(t) ≡ 0 cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) æn ®Þnh Liapunov khi t → +∞.
Theo ®Þnh nghÜa: (∀ε > 0 cho tr-íc , ∀t0 ∈ I + , ∃δ > 0) sao cho mäi nghiÖm x(t) cña hÖ thuÇn nhÊt
x¸c ®Þnh trªn [t0, +∞) nÕu tho¶ m·n kx(t0)k < δ, ta ®Òu cã kx(t)k < ε, (∀t > t0 ). Do hiÖu hai nghiÖm
bÊt k× cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) lµ nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt (2.2) nªn ta suy ra: NÕu η(t) là mét
nghiÖm bÊt k× cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) th× víi mäi nghiÖm y(t) cña hÖ ®ã, nÕu ||y(t0 ) − η(t0 )|| < δ th×
||y(t) − η(t)|| < ε, (∀t > t0 ). §iÒu nµy chøng tá mäi nghiÖm cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) æn ®Þnh nªn hÖ ®ã
æn ®Þnh .
Chó ý 5. Trong chøng minh trªn ta thÊy tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ thuÇn nhÊt ®-îc suy ra tõ
tÝnh æn ®Þnh cña Ýt nhÊt mét nghiÖm cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt t-¬ng øng víi sè h¹ng tù do f(t) bÊt k×.
HÖ qu¶ 2.3. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh æn ®Þnh nÕu cã Ýt nhÊt mét nghiÖm æn ®Þnh, kh«ng æn ®Þnh nÕu cã mét
nghiÖm kh«ng æn ®Þnh.
HÖ qu¶ 2.4. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt æn ®Þnh khi và chØ khi hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt
t-¬ng øng æn ®Þnh.
Víi hÖ qu¶ trªn, sau nµy ®Ó nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh ta chØ cÇn nghiªn cøu tÝnh
æn ®Þnh cña nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng.
§Þnh nghÜa 2.5. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh (2.1) æn ®Þnh ®Òu nÕu tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ ®ã æn ®Þnh ®Òu ®èi víi
t0 ∈ It+ khi t → +∞.
§Þnh lý 2.6. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh (2.1) æn ®Þnh ®Òu khi và chØ khi nghiÖm tÇm th-êng x(t) ≡ 0 cña hÖ thuÇn
nhÊt t-¬ng øng (2.2) æn ®Þnh ®Òu khi t → +∞.
ViÖc chøng minh ®Þnh lý (2.6) t-¬ng tù chøng minh ®Þnh lý (2.2)
16
§Þnh nghÜa 2.7. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh (2.1) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞ nÕu tÊt c¶ c¸c nghiÖm
cña hÖ ®ã æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞.
§Þnh lý 2.8. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh (2.1) æn ®Þnh tiÖm cËn khi và chØ khi nghiÖm tÇm th-êng x(t) ≡ 0 cña hÖ
thuÇn nhÊt t-¬ng øng (2.2) æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞.
ViÖc chøng minh ®Þnh lý (2.8) ®-îc suy ra trùc tiÕp tõ chó ý hiÖu hai nghiÖm bÊt k× cña hÖ kh«ng thuÇn
nhÊt lµ nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng.
HÖ qu¶ 2.9. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) æn ®Þnh tiÖm cËn khi và chØ khi hÖ vi ph©n tuyÕn
tÝnh thuÇn nhÊt t-¬ng øng (2.2) æn ®Þnh tiÖm cËn.
3
Sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt
XÐt hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt:
dx
= A(t)x(t),
dt
A(t) ∈ C(I + )
(3.1)
§Þnh lý 3.1. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (3.1) æn ®Þnh khi và chØ khi mäi nghiÖm x(t) víi (t0 6 t < +∞)
cña hÖ ®Òu bÞ chÆn trªn nöa trôc t0 6 t < +∞
Chøng minh. (§iÒu kiÖn ®ñ.) Gi¶ sö X(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ, X(t) chuÈn t¾c t¹i t0. Do mäi
nghiÖm x(t) cña hÖ (3.1) bÞ chÆn nªn ma trËn nghiÖm c¬ b¶n X(t) bÞ chÆn, tøc tån t¹i h»ng sè d-¬ng M sao
cho: k X(t) k6 M (∀t > t0). V× X(t) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n nªn mäi nghiÖm x(t) cña hÖ (3.1) trªn kho¶ng
(t0 6 t < +∞) ®Òu biÓu diÔn ®-îc d-íi d¹ng: x(t) = X(t)x(t0 ). Tõ ®ã ta cã:
kx(t)k =k X(t)x(t0 ) k6k X(t) k · k x(t0 ) k6 M k x(t0) k .
V× thÕ ∀ε > 0, chän δ = εM −1 th× víi mäi nghiÖm x(t) tho¶ m·n kx(t0)k < δ ta lu«n cã kx(t)k < ε,
∀t > t0,
nghÜa lµ nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (3.1) æn ®Þnh Liapunov khi t → +∞ vµ do ®ã hÖ æn ®Þnh.
(§iÒu kiÖn cÇn). Gi¶ sö hÖ (3.1) æn ®Þnh nh-ng cã Ýt nhÊt mét nghiÖm z(t) kh«ng bÞ chÆn trªn [t0, +∞), râ
z(t)δ
δ
ràng z(t0 ) 6= 0. Cè ®Þnh hai sè d-¬ng ε, δ và xÐt nghiÖm x(t) =
th× x(t0 ) = < δ. Theo gi¶ thiÕt z(t)
z(t0)2
2
kh«ng bÞ chÆn nªn tån t¹i thêi ®iÓm t1 > t0 sao cho:
x(t1 ) =
z(t1)δ
>ε
z(t0 )2
§iÒu nµy chøng tá nghiÖm tÇm th-êng x ≡ 0 cña hÖ (3.1) kh«ng æn ®Þnh. Vµ do ®ã hÖ kh«ng æn ®Þnh, tr¸i
víi gi¶ thiÕt.
HÖ qu¶ 3.2. NÕu hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt æn ®Þnh th× mäi nghiÖm cña nã hoÆc ®Òu bÞ chÆn hoÆc
®Òu kh«ng bÞ chÆn khi t → +∞.
dy
= 1 + t − y cã nghiÖm kh«ng bÞ chÆn y0 = t. Bëi v× mäi nghiÖm cña hÖ
dt
−t
®Òu cã d¹ng: y(t) = t + y(0)e
nªn |y(t) − y0 (t)| → 0 khi t → +∞. Chøng tá nghiÖm y0 (t) æn ®Þnh
VÝ dô 1. Ph-¬ng tr×nh v« h-íng
tiÖm cËn khi t → +∞.
17
Chó ý 6. Víi hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh th× tõ tÝnh bÞ chÆn cña c¸c nghiÖm kh«ng suy ra ®-îc tÝnh æn ®Þnh cña hÖ.
VÝ dô 2. XÐt ph-¬ng tr×nh:
dx
= sin2 (x). TÝch ph©n ph-¬ng tr×nh ®ã, ta cã:
dt
x = arctan(c tan x0 − t) víi x0 6= kπ
(3.2)
x = kπ víi x0 = kπ, k = ±1, ±2, . . .
(3.3)
vµ
TÊt c¶ c¸c nghiÖm cña (3.2), (3.3) ®Òu bÞ chÆn nh-ng x ≡ 0 kh«ng æn ®Þnh khi t → +∞, v× víi x0 ∈ (0, π)
bÊt k× ta cã: lim x(t) = π.
t→+∞
§Þnh lý 3.3. HÖ PTVP tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (3.1) æn ®Þnh tiÖm cËn khi vµ chØ khi mäi nghiÖm x(t) víi
(t0 6 t < +∞) cña hÖ ®Òu dÇn tíi 0 khi t → +∞ hay lim x(t) = 0.
t→+∞
Chøng minh. (§iÒu kiÖn cÇn). Gi¶ sö hÖ (3.1) æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞, khi ®ã nghiÖm tÇm th-êng
x0(t) ≡ 0 æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞, v× thÕ, víi mäi t0 ∈ It+ th× mäi nghiÖm y(t) nÕu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
ky(t0 )k < ∆ víi ∆ > 0 nào ®ã ta ®Òu cã lim ky(t)k = 0 ⇔ lim y(t) = 0.
t→+∞
t→+∞
XÐt mét nghiÖm x(t) tuú ý tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu x(t0 ) = x0 6= 0. §Æt y(t) =
∆x(t)
. Ta cã
2kx(t0)k
ky(t0 )k < ∆ nªn lim y(t) = 0. Suy ra lim x(t) = 0.
t→+∞
t→+∞
(§iÒu kiÖn ®ñ ). Gi¶ sö x(t) (víi t0 6 t < +∞) là nghiÖm bÊt k× tho¶ m·n x(t) → 0 khi t → +∞. Do
x(t) liªn tôc trªn [t0; +∞) và x(t) → 0 khi t → +∞ nªn x(t) bÞ chÆn trªn [t0 ; +∞). Nh- vËy mäi nghiÖm cña
hÖ (3.1) ®Òu bÞ chÆn nªn hÖ æn ®Þnh Liapunov khi t → +∞. H¬n n÷a, theo gi¶ thiÕt mäi nghiÖm x(t) ®Òu tho¶
m·n lim kx(t) − 0k = 0 nªn nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞. Suy ra hÖ æn ®Þnh
t→+∞
tiÖm cËn khi t → +∞.
HÖ qu¶ 3.4. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn th× æn ®Þnh tiÖm cËn trªn toàn thÓ khi t → +∞.
Chó ý 7. §èi víi hÖ vi ph©n phi tuyÕn mµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm dÇn tíi kh«ng kh«ng suy ra ®-îc nghiÖm tÇm
th-êng æn ®Þnh .
dx
dy
x
y
= −t2 xy2 ,
= − cã nghiÖm tÇm th-êng x = 0, y = 0. TÝch ph©n hÖ ph-¬ng tr×nh trªn ta
dt
t
dt
t
C2
2
®-îc x(t) = C1(t) exp(−C2 ), y(t) =
. NÕu chän t0 = 1 ta sÏ cã: x(t) = x(t0)t exp(−y2 t0 (t − 1)), y(t) =
t
y(t0 )
. Râ ràng x(t) → 0, y(t) → 0 khi t → +∞ ta sÏ cã x 1 + δ12 > e−1 . Do ®ã nghiÖm (x, y) ≡ (0, 0)
t
kh«ng æn ®Þnh và do ®ã kh«ng æn ®Þnh tiÖm cËn khi t → +∞.
VÝ dô 3. HÖ
4
Sù æn ®Þnh cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh víi ma trËn h»ng
XÐt hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi ma trËn hÖ sè h»ng A = [ajk]n×n:
dx
= Ax
dt
(4.1)
§Þnh lý 4.1. HÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (4.1) víi ma trËn h»ng sè A lµ æn ®Þnh khi vµ chØ khi tÊt c¶ c¸c
gi¸ trÞ riªng λj cña ma trËn A ®Òu cã phÇn thùc Re λj 6 0 và c¸c λj víi Re λj = 0 lµ nghiÖm ®¬n cña ®a thøc
®Æc tr-ng A.
18
Chøng minh. (§iÒu kiÖn ®ñ.) Gi¶ sö λj = αj + iβj , j = 1, p lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng cña ma trËn A cã
phÇn thùc αj 6 0 và λk = iγk , k = 1, q lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng cña ma trËn A cã phÇn thùc b»ng 0.
H¬n n÷a p + q = m là sè « jordan chuÈn t¾c cña ma trËn A. Khi ®ã nghiÖm x(t) bÊt k× cña (4.1) cã d¹ng:
x(t) =
p
X
αj t
e
(cos βj t + i sin βj t)Pj (t) +
j=1
q
X
(cos γk t + i sin γk t)ck
(4.2)
k=1
trong ®ã Pj (t) là ®a thøc vector hàm cã bËc nhá h¬n béi cña nghiÖm ®Æc tr-ng λj . Cßn ck là c¸c vector cét
h»ng sè. Bëi v× αj < 0 nªn lim eαj t Pj (t) = 0. Ngoài ra | cos γk t + i sin γk t| = 1 nªn tõ c«ng thøc (4.2) ta
t→+∞
suy ra mçi nghiÖm x(t) cña hÖ (4.1) bi chÆn trªn nöa trôc (t0 6 t < +∞). Theo ®Þnh lý (3.1), hÖ (4.1) æn ®Þnh.
(§iÒu kiÖn cÇn). Gi¶ sö hÖ (4.1) æn ®Þnh. Tr-íc hÕt ta chøng tá tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng λj cña ma
trËn A cã phÇn thùc kh«ng d-¬ng. ThËt vËy, Gi¶ sö cã mét gi¸ trÞ riªng λs = σ + iτ cña ma trËn A mà
Re λs = σ > 0. Khi ®ã hÖ (4.1) cã nghiÖm kh«ng tÇm th-êng ξ(t) = eλs t c, víi c 6= 0 là vector h»ng. Do ®ã
kξ(t)k = |eλst |kck = eσt kck → +∞
khi t → +∞
Nh- vËy nghiÖm ξ(t) kh«ng bÞ chÆn, ®iÒu ®ã m©u thuÉn víi tÝnh æn ®Þnh cña hÖ. VËy nÕu (4.1) æn ®Þnh th×
tÊt c¶ c¸c nghiÖm ®Æc tr-ng λj cña ma trËn A ph¶i cã Re λj 6 0 víi mäi (j = 1, . . . , n).
B©y giê ta chøng tá mçi nghiÖm ®Æc tr-ng λj víi Re λj = 0 là nghiÖm ®¬n cña ®a thøc ®Æc tr-ng A. ThËt
vËy, gi¶ sö r»ng ma trËn A ®-îc chuyÓn vÒ d¹ng jordan:
A = S −1 diag[j1λ1 , . . . , jm λm ]S
trong ®ã det S 6= 0. H¬n n÷a, gi¶ sö ng-îc l¹i, A cã nghiÖm ®Æc tr-ng nào ®ã víi phÇn thùc b»ng kh«ng
λs = iµs là nghiÖm béi es > 1. Khi ®ã λs øng
λs
0
..
.
0
0
víi « jordan js (λs ) cã h¹ng es > 1 sau ®©y:
1 ... 0
0
λs . . . 0
0
.. . .
..
..
.
.
.
.
0 . . . λs 1
0 . . . 0 λs
th× θ(t) = S −1 diag[0, . . ., etjs(λs ) , . . . , 0]S sÏ là mét ma trËn nghiÖm cña hÖ (4.1).
ThËt vËy, do
0
θ (t) = S −1 diag[0, . . ., js (λs )etjs(λs ) , . . . , 0]S
= S −1 diag[j1(λ1 ), . . . , js (λs ), . . . , jm (λm )]SS −1 diag[0, . . ., etjs(λs ) , . . . , 0]S
= Aθ(t).
Tõ biÓu thøc cña θ(t) ta cã: diag[0, . . ., etjs(λs ) , . . . , 0] = Sθ(t)S −1 . Suy ra:
k diag[0, . . ., etjs(λs ) , . . ., 0]k = ketjs (λs) k 6 kSkkθ(t)kkS −1 k.
Do
etjs(λs )
1
λs t 0
=e
..
.
0
t
1!
...
1
...
..
.
0
..
19
.
...
tes−1
(es − 1)!
tes−2
,
(es − 2)!
..
.
1
(4.3)
nªn víi t > 0 ta cã: ketjs (λs) k > eRe λs t
kθ(t)k > slant
tes −1
tes −1
=
. KÕt hîp víi (4.3) ta ®-îc:
(es − 1)!
(es − 1)!
ketjs (λs) k
tes −1
>
→ +∞ khi t → +∞.
kSkkS −1 k
(es − 1)!kSkkS −1 k
Nh- vËy, θ(t) → +∞ khi t → +∞. §iÒu nµy kh«ng x¶y ra ®èi víi hÖ æn ®Þnh. §Þnh lý ®-îc chøng
minh.
5
Tiªu chuÈn Hurwits
Mét trong nh÷ng ph-¬ng ph¸p chøng minh tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn cña hÖ vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (4.1)
là ph¶i chØ ra ®-îc tÊt c¶ c¸c nghiÖm λ1 , . . . , λn cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng det(A − λE) = 0 ®Òu cã phÇn
thùc ©m. Trong môc này chóng ta sÏ ®-a ra ®iÒu kiÖn cÇn và ®ñ ®Ó ph-¬ng tr×nh ®¹i sè víi hÖ sè thùc cã c¸c
nghiÖm víi phÇn thùc ©m.
XÐt ®a thøc bËc n > 1 : f(z) = a0 + a1z + . . . + an z n ,
z = x + iy ∈ C; a0 , a1, . . ., an ∈ K.
§Þnh nghÜa 5.1. §a thøc f(z) bËc n > 1 ®-îc gäi là ®a thøc Hurvits nÕu tÊt c¶ c¸c nghiÖm λ1 , . . . , λn cña nã
®Òu cã phÇn thùc ©m. tøc: Re(λj ) < 0 ∀j = 1, . . ., n.
§a thøc f(z) víi c¸c hÖ sè thùc a0 , a1, . . . , an ∈ R và a0 > 0 ®-îc gäi là ®a thøc chuÈn bËc n.
§Þnh lý 5.2. NÕu ®a thøc chuÈn bËc n là ®a thøc Hurvits th× tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña nã ®Òu d-¬ng.
Chøng minh. Gi¶ sö zj = −αj + iβj là c¸c nghiÖm phøc (βj 6= 0), j = 1, . . ., p và zk = −γk (k = 1, . . ., q)
là c¸c nghiÖm thùc cña ®a thøc chuÈn Hurvits f(z) = a0 + a1 z + . . . + anz n . V× f(z) là ®a thøc Hurvits nªn
αj > 0, γk > 0. Gäi σj là béi cña nghiÖm zj . Khi ®ã, do c¸c hÖ sè cña f(z) là thùc nªn nghiÖm liªn hîp
p
q
P
P
zj = −αj − iβj còng cã béi là σj . Gäi sk là béi cña nghiÖm thùc γk . Râ ràng
2σj +
sk = n khai triÓn
j=1
k=1
®a thøc f(z) thành nh©n tö:
f(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n ≡ an
n
Y
(z + αj − iβj )σj
j=1
(z + αj + iβj )σj
q
Y
(z + γk )sk
(5.1)
k=1
≡ an
n
Y
(z 2 + 2αj z + α2j + βj2 )σj
j=1
q
Y
(z + γk )sk
k=1
C¸c hÖ sè trong khai triÓn vÕ ph¶i cña (5.1) cïng dÊu víi an . So s¸nh và ®ång nhÊt c¸c hÖ sè víi vÕ tr¸i
ta suy ra c¸c hÖ sè a0 , a1, . . . , an cña f(z) trong vÕ tr¸i cña (5.1) ®-¬ng nhiªn ph¶i cïng dÊu và cïng dÊu víi
a0 > 0. Do vËy a0 > 0, a1 > 0, . . ., an > 0.
Chó ý 8. DÔ dµng thÊy r»ng ®a thøc chuÈn bËc hai f(z) = a0 + a1 z + a2z 2 là ®a thøc Hurwitz khi và chØ khi
tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña nã ®Òu d-¬ng. §èi víi ®a thøc chuÈn bËc cao h¬n 2 cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè ®Òu d-¬ng kh«ng
suy ra ®-îc ®a thøc ®ã là ®a thøc Hurwitz. Ch¼ng h¹n ®a thøc f(z) = 30 + 4z + z 2 + z 3 cã c¸c nghiÖm là 3,
1+3i, 1-3i nªn kh«ng là ®a thøc Hurwitz.
20
- Xem thêm -