TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
NGUYỄN THỊ HẰNG
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐỀU DẠNG
KHÔNG BẢO TOÀN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
HÀ NỘI – 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
NGUYỄN THỊ HẰNG
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐỀU DẠNG
KHÔNG BẢO TOÀN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
HÀ NỘI – 2018
Líi c£m ìn
º ho n th nh khâa luªn n y, em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh
v tri ¥n s¥u sc ¸n c¡c th¦y cæ gi¡o trong Khoa To¡n nâi chung hay
tê Gi£i t½ch nâi ri¶ng ¢ h÷îng d¨n, gi£ng d¤y trong suèt qu¡ tr¼nh
em håc tªp v r±n luy»n t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2.
°c bi»t, em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi th¦y gi¡o TS. Tr¦n V«n B¬ng ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o v gióp ï em r§t
nhi·u trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n khâa luªn n y.
M°c dò ¢ câ nhi·u cè gng nh÷ng do thíi gian v ki¸n thùc cán
h¤n ch¸ n¶n b i khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. V¼ vªy
r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa quþ th¦y cæ v c¡c b¤n
º khâa luªn ÷ñc ho n ch¿nh hìn.
Em xin ch¥n th nh c£m ìn!
H Nëi, th¡ng 05 n«m 2018
Sinh vi¶n
Nguy¹n Thà H¬ng
Líi cam oan
Em xin cam oan khâa luªn n y l k¸t qu£ cõa qu¡ tr¼nh t¼m hiºu,
nghi¶n cùu cõa b£n th¥n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o TS. Tr¦n V«n B¬ng.
Ngo i ra, º ho n th nh khâa luªn em ¢ tham kh£o mët sè t i
li»u khoa håc v ¢ ÷ñc ghi rã trong ph¦n T i li»u tham kh£o. Em
xin cam oan b i khâa luªn n y khæng sao ch²p b§t cù mët · t i
khoa håc n o kh¡c, n¸u sai em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m v· líi
cam oan cõa m¼nh.
H Nëi, th¡ng 05 n«m 2018
Sinh vi¶n
Nguy¹n Thà H¬ng
Möc löc
Líi nâi ¦u
2
1 Ki¸n thùc chu©n bà
4
1.1 Mët sè k½ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2 Ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3 B i to¡n bi¶n èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . . .
9
2 Ph÷ìng tr¼nh Elliptic ·u d¤ng khæng b£o to n
12
2.1 ¡nh gi¡ mªt ë tîi h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2 ¡nh gi¡ h m ph¥n phèi nghi»m . . . . . . . . . . . .
22
2.3 B§t ¯ng thùc Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
K¸t luªn
30
T i li»u tham kh£o
31
TI LIU THAM KHO
32
ii
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
BNG K HIU
R
Tªp sè thüc
Rn
Khæng gian Euclide thüc n chi·u
P(Rn )
Hå t§t c£ c¡c tªp con cõa Rn
x = (x1 , · · · , xn ) Ph¦n tû cõa Rn
Chu©n cõa ph¦n tû x, b¬ng
x·y
p
x21 + · · · + x2n
P
T½ch væ h÷îng cõa x v y, b¬ng ni=1 xi yi
BR (x0 )
H¼nh c¦u mð t¥m x0 ∈ Rn b¡n k½nh R
A
Bao âng cõa tªp con A
dist(x, A)
Kho£ng c¡ch tø iºm x ¸n tªp A
trace M
V¸t cõa ma trªn M
C k (Ω)
Tªp c¡c h m kh£ vi li¶n töc ¸n c§p k tr¶n Ω
Du(x), D2 u(x)
Gradient v Hessian cõa h m u t¤i x
∆u(x)
Laplace cõa h m u t¤i x
∂u(x)
nh x¤ ph¡p hay d÷îi vi ph¥n cõa h m u t¤i x
χE (x)
H m °c tr÷ng cõa tªp hñp E
|E|
ë o Lebesgue n chi·u cõa tªp hñp E ⊂ Rn
h.k.n.
H¦u khp nìi
Id
To¡n tû çng nh§t trong Rn
|x|
1
Líi nâi ¦u
Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l mët trong nhúng l¾nh vüc câ vai trá
quan trång trong nhi·u ùng döng. Trong ch÷ìng tr¼nh håc ð ¤i håc,
c¡c lîp ph÷ìng tr¼nh elliptic, parabolic v hyperbolic ¢ ÷ñc nghi¶n
cùu thæng qua c¡c ¤i di»n t÷ìng ùng cõa chóng l ph÷ìng tr¼nh
Laplace, ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t v ph÷ìng tr¼nh truy·n sâng, xem
[1]-[4]. Tuy nhi¶n c¡c ph÷ìng tr¼nh â ·u câ h» sè h¬ng v câ d¤ng
b£o to n, i·u n y khæng ph£i lóc n o công câ ÷ñc trong thüc t¸,
xem [5], [6] v c¡c t i li»u trong â. V¼ vªy º t¼m hiºu v nghi¶n cùu
s¥u hìn v· v§n · n y, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o - TS. Tr¦n
Ph÷ìng tr¼nh Elliptic ·u d¤ng
V«n B¬ng em ¢ lüa chån · t i "
khæng b£o to n" cho b i khâa luªn tèt nghi»p cõa m¼nh. Cö thº
khâa luªn n y t¼m hiºu v· mët sè k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc èi vîi ph÷ìng
tr¼nh elliptic vîi h» sè bi¸n thi¶n v câ d¤ng khæng b£o to n
n
X
aij (x)Dij u(x) = 0,
x ∈ Ω,
i,j=1
trong â Ω ⊂ Rn l mët h¼nh c¦u ho°c h¼nh lªp ph÷ìng cö thº.
Nëi dung ch½nh cõa khâa luªn gçm hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y
c¡c ki¸n thùc c¦n thi¸t cho vi»c tr¼nh b y c¡c nëi dung cõa ch÷ìng
sau, nh÷ c¡c k½ hi»u cì b£n v mët sè k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh Laplace.
2
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
Ch÷ìng 2 · cªp tîi mët sè k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh elliptic ·u d¤ng
khæng b£o to n nh÷ c¡c ¡nh gi¡ mªt ë tîi h¤n, ¡nh gi¡ h m ph¥n
phèi nghi»m v b§t ¯ng thùc Harnack.
Do tr¼nh ë câ h¤n n¶n khâa luªn khæng tr¡nh khäi câ nhúng thi¸u
sât. R§t mong nhªn ÷ñc þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v c¡c b¤n
º khâa luªn ÷ñc ho n thi»n hìn.
3
Ch֓ng 1
Ki¸n thùc chu©n bà
1.1 Mët sè k½ hi»u
Cho Ω l mët tªp con mð cõa Rn v u : Ω → R l h m sè x¡c ành
tr¶n Ω. Vîi x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , th¼
chu©n cõa x x¡c ành bði
q
|x| = x21 + · · · + x2n
v biºu thùc
x · y = x 1 y1 + · · · + x n yn
l
t½ch væ h÷îng cõa c¡c v²c tì x, y ∈ Rn. Tªp hñp
BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R}
l
h¼nh c¦u t¥m x0 b¡n k½nh R trong Rn.
C k (Ω) l khæng gian t§t c£ c¡c h m câ ¤o h m ¸n c§p k li¶n töc
tr¶n Ω, k = 0, 1, 2, · · · . Khi k = 0 ta th÷íng vi¸t ìn gi£n C 0 (Ω) bði
C(Ω). N¸u u ∈ C 1 (Ω) th¼ Du(x) = (ux1 , · · · , uxn ) l gradient cõa h m
u t¤i iºm x ∈ Ω. N¸u u ∈ C 2 (Ω) th¼ D2 u(x) = [uxi xj ]n×n l (ma trªn)
4
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
Hessian cõa h m u t¤i x ∈ Ω, Dij = ∂x∂ ∂xu
2
i
j
l ¤o h m ri¶ng c§p hai
theo c¡c bi¸n xi v xj .
1.2 Ph÷ìng tr¼nh Laplace
Trong möc n y chóng ta t¼m hiºu v· mët ¤i di»n cõa lîp ph÷ìng tr¼nh
elliptic, â l ph÷ìng tr¼nh Laplace, bao gçm c¡c t½nh ch§t nghi»m,
t½nh °t ch¿nh cõa mët sè b i to¡n èi vîi ph÷ìng tr¼nh â. Nhi·u
k¸t qu£ ành t½nh èi vîi ph÷ìng tr¼nh n y câ thº mð rëng èi vîi c¡c
ph÷ìng tr¼nh elliptic nâi chung.
Ph÷ìng tr¼nh Laplace l ph÷ìng tr¼nh:
∆u := ux1 x1 + ux2 x2 + . . . + uxn xn = 0.
(1.1)
Ph÷ìng tr¼nh n y mæ t£ h¦u h¸t c¡c h» (hi»n t÷ñng) cì b£n cõa Vªt
l½ ð tr¤ng th¡i ên ành (tùc l khi h» khæng phö thuëc v o thíi gian),
ch¯ng h¤n, c¡c qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t, dao ëng, truy·n sâng, khu¸ch
t¡n ð tr¤ng th¡i ên ành.
H m u(x) ÷ñc gåi l
h m i·u háa t¤i iºm x0 n¸u u câ c¡c ¤o
h m ri¶ng ¸n c§p hai li¶n töc t¤i x0 v thäa m¢n
∆u(x0 ) = 0.
H m u ÷ñc gåi l
h m i·u háa trong mi·n giîi nëi Ω ⊂ Rn n¸u
u l h m i·u háa t¤i måi iºm thuëc Ω.
V½ dö 1.2.1. Gåi ωn l thº t½ch h¼nh c¦u ìn và trong Rn. Vîi méi
5
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
ξ ∈ Rn , h m Γ(x, ξ) x¡c ành bði
Γ(x, ξ) = Γ(|x − ξ|) :=
1
n(2−n)ωn |x
− ξ|2−n , n¸u n > 2,
n¸u n = 2
1 ln |x − ξ|,
2π
l h m i·u háa t¤i måi x ∈ Rn \ {ξ} v ÷ñc gåi l
(1.2)
nghi»m cì b£n
cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace.
ành lþ 1.1. Gi£ sû Ω l mët mi·n giîi nëi trong Rn vîi bi¶n ∂Ω õ
trìn, u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) l i·u háa trong Ω. Khi â ta câ
Z
u(ξ) =
[u
∂Γ
∂u
(x, ξ) − Γ(x, ξ) ]dS.
∂ν
∂ν
(1.3)
∂Ω
D÷îi ¥y l mët sè t½nh ch§t quan trång cõa h m i·u háa. C¡c
ành lþ n y câ thº xem l c¡c h» qu£ cõa c¡c cæng thùc Green. Gi£ sû
Ω ⊂ Rn l mët tªp mð.
ành lþ 1.2 (Gi¡ trà trung b¼nh). Gi£ sû h m u ∈ C 2(Ω) thäa m¢n
h» thùc ∆u = 0 (∆u ≥ 0, ∆u ≤ 0) trong Ω. Khi â, vîi måi h¼nh c¦u
B = BR (ξ) ⊂⊂ Ω ta câ c¡c ¯ng thùc (b§t ¯ng thùc sau)
Z
1
u(ξ) = (≤, ≥)
nωn Rn−1
u(x)dS,
(1.4)
∂B
1
u(ξ) = (≤, ≥)
ωn R n
Z
u(x)dx,
(1.5)
B
trong â ωn l thº t½ch h¼nh c¦u ìn và trong Rn.
Chóng ta ¢ bi¸t r¬ng h m u i·u háa t¤i iºm x n¸u ∆u(x) = 0.
N¸u ∆u(x) ≤ 0 (t÷ìng ùng: ∆u(x) ≥ 0) th¼ ta nâi h m u
6
d÷îi i·u
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
háa
(t÷ìng ùng:
Nguy¹n Thà H¬ng
tr¶n i·u háa ) t¤i x. Theo ành lþ 1.2, n¸u u i·u
háa (t÷ìng ùng: d÷îi i·u háa, tr¶n i·u háa) t¤i måi x ∈ Ω th¼ gi¡
trà cõa u t¤i måi iºm x ∈ Ω b¬ng (t÷ìng ùng: lîn hìn ho°c b¬ng,
nhä hìn ho°c b¬ng) gi¡ trà trung b¼nh cõa h m â tr¶n måi h¼nh c¦u,
m°t c¦u t¥m x n¬m trong Ω. i·u n y gi£i th½ch cho thuªt ngú "i·u
háa".
ành lþ 1.3 (Nguy¶n lþ cüc trà m¤nh). Gi£ sû h m u ∈ C 2(Ω) thäa
m¢n h» thùc ∆u
trong Ω v tçn t¤i ξ ∈ Ω sao cho
u(ξ) = supΩ u (u(ξ) = inf Ω u). Khi â h m u l h¬ng sè.
Do â måi h m i·u háa trong Ω, kh¡c h¬ng sè ·u khæng thº ¤t
gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t t¤i c¡c iºm trong Ω.
≥ 0 (∆u ≤ 0)
Tø nguy¶n lþ cüc trà m¤nh ta nhªn ÷ñc nguy¶n lþ cüc trà tr¶n
mi·n bà ch°n sau ¥y:
ành lþ 1.4 (Nguy¶n lþ cüc trà tr¶n mi·n bà ch°n). Cho Ω ⊂ Rn l
mët mi·n bà ch°n. Gi£ sû u ∈ C 2(Ω) ∩ C(Ω) l h m i·u háa trong Ω.
Khi â
inf u ≤ u(x) ≤ sup u,
∂Ω
x ∈ Ω.
∂Ω
H» qu£ 1.1. Cho Ω ⊂ Rn l mët mi·n bà ch°n. Gi£ sû u, v ∈ C 2(Ω) ∩
thäa m¢n c¡c ¯ng thùc ∆u = ∆v trong Ω v u = v tr¶n ∂Ω.
Khi â u = v trong Ω.
C(Ω)
H» qu£ 1.2. Cho Ω ⊂ Rn l mët mi·n bà ch°n. Gi£ sû u ∈ C 2(Ω) ∩
C(Ω)
v ∆u ≥ 0 (t÷ìng ùng: ∆u ≤ 0) trong Ω. Khi â
sup u = sup u (t֓ng
Ω
∂Ω
7
ùng:
inf u = inf u).
Ω
∂Ω
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
Theo H» qu£ 1.2, n¸u u l h m i·u háa tr¶n mi·n bà ch°n th¼ gi¡
trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa u s³ ¤t ÷ñc tr¶n bi¶n cõa Ω.
i·u n y câ ùng döng r§t quan trång trong thüc ti¹n, ch¯ng h¤n x²t
mæ h¼nh truy·n nhi»t ð tr¤ng th¡i ên ành. Khi â ta ch¿ c¦n kiºm
so¡t nhi»t ë ð tr¶n bi¶n cõa mi·n l bi¸t ÷ñc kho£ng bi¸n thi¶n cõa
nhi»t ë trong mi·n ang x²t.
ành lþ 1.5 (B§t ¯ng thùc Harnack). Gi£ sû u l mët h m i·u háa
khæng ¥m trong mi·n Ω. Khi â vîi méi mi·n con bà ch°n Ω0 ⊂⊂ Ω
tçn t¤i mët h¬ng sè C = C(n, Ω0, Ω) sao cho
sup u ≤ C inf0 u.
Ω
Ω0
ành lþ 1.6. Gi£ sû B = BR(ξ) l h¼nh c¦u t¥m ξ b¡n k½nh R v
l h m i·u háa kh¡c h¬ng sè trong B v nhªn gi¡ trà nhä
∂u
nh§t t¤i mët iºm x0 ∈ ∂B. N¸u t¤i iºm x0 tçn t¤i ¤o h m ∂µ
vîi
µ l h÷îng hñp vîi v²c tì ph¡p tuy¸n ngo i cõa ∂B t¤i x0 mët gâc
nhån th¼
u ∈ C(B̄)
∂u
(x0 ) < 0.
∂µ
ành lþ 1.7. Gi£ sû Ω l mi·n bà ch°n vîi bi¶n trìn, u ∈ C 1(Ω) l
h m i·u háa trong Ω. Khi â
Z
∂u
dS = 0.
∂ν
∂Ω
ành lþ n y cho th§y, n¸u u l ph¥n bè nhi»t ð tr¤ng th¡i ên ành
th¼ têng dáng nhi»t truy·n ra ngo i bi¶n Ω theo h÷îng v²c tì ph¡p
tuy¸n ngo i tr¶n to n ∂Ω luæn b¬ng 0.
8
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
Hìn núa, n¸u R1 , R2 l c¡c sè d÷ìng sao cho c¡c h¼nh c¦u BR1 (y)
v BR2 (y) chùa trong mi·n Ω v R1 < R2 . Khi â ¡p döng ành lþ
1.6 èi vîi h m u(x) = −Γ(x, y) v mi·n Ω l mi·n BR2 (y) \ BR1 (y)
ta nhªn ÷ñc
Z
∂Γ(x, y)
dS =
∂ν
Z
∂Γ(x, y)
dS.
∂ν
∂BR2 (y)
∂BR1 (y)
i·u n y câ ngh¾a l : têng l÷ñng nhi»t i qua mët m°t c¦u b§t k¼
vîi t¥m t¤i y theo h÷îng v²c tì ph¡p tuy¸n ngo i, vîi ph¥n bè nhi»t
trong Ω \ {y} l h m −Γ(x, y), l mët h¬ng sè. Bði vªy iºm y vîi
ph¥n bè nhi»t −Γ(x, y) câ thº ÷ñc x²t nh÷ nguçn nhi»t täa ra mët
l÷ñng nhi»t b¬ng
Z
∂Γ(x, y)
dS = 1.
∂ν
∂Bρ (y)
1.3 B i to¡n bi¶n èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace
Gi£ sû Ω l mi·n bà ch°n trong Rn .
1,
B i to¡n bi¶n thù nh§t (Dirichlet): l b i to¡n t¼m nghi»m u ∈
C 2 (Ω) ∩ C(Ω) cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace trong Ω thäa m¢n i·u ki»n
bi¶n
u |∂Ω = ψ,
ð â ψ l h m li¶n töc ¢ cho tr¶n ∂Ω.
2,
B i to¡n bi¶n thù hai (Neumann): l b i to¡n t¼m nghi»m u ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace trong Ω thäa m¢n i·u ki»n
9
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
bi¶n
∂u
|∂Ω = ψ,
∂ν
ð â ψ l h m li¶n töc ¢ cho tr¶n ∂Ω.
3,
B i to¡n bi¶n thù ba (hén hñp):
l b i to¡n t¼m nghi»m u ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace trong Ω thäa m¢n i·u ki»n
bi¶n
(
∂u
+ au) |∂Ω = ψ,
∂ν
ð â a v ψ l h m li¶n töc ¢ cho tr¶n ∂Ω.
èi vîi c¡c b i to¡n n y, ta câ mët sè k¸t qu£ sau:
ành lþ 1.8. Gi£ sû u ∈ C 2(Ω) ∩ C(Ω) l nghi»m cõa b i to¡n bi¶n
thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace trong Ω. Khi â ta câ ¡nh gi¡
|u(x)| ≤ max |ψ|,
∂Ω
∀x ∈ Ω.
(1.6)
Do â, b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace câ khæng
qu¡ mët nghi»m trong C(Ω) v nghi»m phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n
bi¶n ψ.
ành lþ 1.9. Gi£ sû ∂Ω trìn v vîi méi x0 ∈ ∂Ω ·u tçn t¤i mët
h¼nh c¦u BR b¡n k½nh R sao cho x0 ∈ ∂BR v BR ⊂ Ω (t½nh ch§t
c¦u trong). Khi â hai nghi»m b§t k¼ cõa b i to¡n bi¶n thù hai èi vîi
ph÷ìng tr¼nh Laplace ch¿ sai kh¡c nhau mët h¬ng sè.
ành lþ 1.10. Gi£ sû Ω l mi·n thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa ành
lþ 1.9 v u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) l nghi»m cõa b i to¡n bi¶n thù hai èi
vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace. Khi â tçn t¤i c¡c h¬ng sè C = C(Ω), M =
10
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
M (Ω)
Nguy¹n Thà H¬ng
sao cho
|u(x) − C| ≤ M max |ψ|,
∂Ω
∀x ∈ Ω.
(1.7)
èi vîi b i to¡n bi¶n thù ba ta câ k¸t qu£ sau:
ành lþ 1.11. Gi£ sû ∂Ω trìn v tçn t¤i h¬ng sè a0 > 0 sao cho
tr¶n ∂Ω, u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω) l nghi»m cõa b i to¡n bi¶n thù
ba èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace. Khi â ta câ ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m
a(x) ≥ a0
|u(x)| ≤
1
max |ψ|,
a0 ∂Ω
∀x ∈ Ω.
(1.8)
V· sü tçn t¤i nghi»m ta câ
ành lþ 1.12. Gi£ sû ψ l h m li¶n töc tr¶n ∂BR. Khi â h m u x¡c
ành bði
u(ξ) =
2
2 R
Rnω−|ξ|
nR
∂BR
udS
|x−ξ|n ,
n¸u ξ ∈ BR
n¸u ξ ∈ ∂BR
ψ(ξ),
(1.9)
thuëc C 2(BR) ∩ C(B̄R) v thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ∆u = 0 trong BR
hay u l nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace
trong h¼nh c¦u BR.
11
Ch֓ng 2
Ph÷ìng tr¼nh Elliptic ·u d¤ng
khæng b£o to n
Trong ch÷ìng n y chóng ta x²t to¡n tû tuy¸n t½nh câ d¤ng
Lu =
n
X
aij (x)Dij u(x),
i,j=1
trong â ma trªn c¡c h» sè A(x) = (aij (x)) l èi xùng v elliptic ·u,
ngh¾a l
λ|ξ|2 ≤ hA(x)ξ, ξi ≤ Λ|ξ|2 ,
vîi måi ξ ∈ Rn v x ∈ Ω ⊂ Rn . Chóng ta gi£ sû r¬ng c¡c h» sè aij l
c¡c h m trìn, nh÷ng c¡c ÷îc l÷ñng chóng ta s³ thi¸t lªp ëc lªp vîi
t½nh ch½nh quy cõa c¡c h» sè v ch¿ phö thuëc v o c¡c h¬ng sè elliptic
λ, Λ v sè chi·u n. Khi â ta nâi
c¡c h¬ng sè â ch¿ phö thuëc v o
c§u tróc. D¹ th§y l , n¸u A l ma trªn ìn và th¼ Lu = ∆u l to¡n tû
Laplace. Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø t i li»u
[6].
12
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
2.1 ¡nh gi¡ mªt ë tîi h¤n
ành lþ 2.1. Tçn t¤i c¡c h¬ng sè M0 > 1 v 0 < < 1, ch¿ phö thuëc
v o c§u tróc, sao cho vîi b§t k¼ u ≥ 0 l nghi»m cõa Lu ≤ 0 trong
h¼nh c¦u B2R(x0) thäa m¢n
inf u ≤ 1,
BR (x0 )
chóng ta câ
|{x ∈ B7R/4 (x0 ) : u(x) < M0 }| ≥ |B7R/4 (x0 )|.
Chùng minh. L§y y ∈ BR/4(x0) v ành ngh¾a h m sè
|x − y|2
R2
u(x) +
.
φy (x) =
4
2
5
N¸u x ∈ BR (x0 ), th¼ |x − y| ≤ R v bði vªy
4
2
R2
5
1
φy (x) ≤
u(x) +
R
, vîi måi x ∈ BR (x0 ).
4
4
2
Do â
R2
inf φy (x) ≤
+
4
BR (x0 )
5
R
4
2
1 33 2
= R.
2 32
M°t kh¡c, n¸u x ∈ B2R (x0 )\B7R/4 (x0 ), th¼ |x−y| ≥ |x−x0 |−|x0 −y| ≥
6
R, v v¼ u ≥ 0,
4
36
φy (x) ≥ R2 .
32
13
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
Suy ra
inf
B2R (x0 )\B7R/4 (x0 )
φy (x) ≥
36 2 33 2
R > R ≥ inf φy (x),
32
32
BR (x0 )
v h» qu£ l
inf φy (x) =
B2R (x0 )
inf
B7R/4 (x0 )
φy (x).
Nh÷ vªy, tçn t¤i z ∈ B7R/4 (x0 ) sao cho
inf φy (x) = φy (z).
B2R (x0 )
Chóng ta x²t tªp
H = {z ∈ B7R/4 (x0 ) : ∃y ∈ BR/4 (x0 ) sao cho φy (z) = inf φy (x)}.
B2R (x0 )
Nâi c¡ch kh¡c, H l tªp t§t c£ c¡c iºm z ∈ B7R/4 (x0 ) sao cho gi¡
trà nhä nh§t cõa φy (x) trong B2R (x0 ) ¤t ÷ñc t¤i z vîi mët sè y ∈
BR/4 (x0 ). B¥y gií º þ r¬ng
Dφy (z) = 0
D2 φy (z) ≥ 0.
R2
R2
Du(z) + z − y, suy ra y =
Du(z) + z.
Do â, 0 = Dφy (z) =
4
4
Chóng ta x¡c ành ¡nh x¤
R2
Φ(z) =
Du(z) + z.
4
14
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Nguy¹n Thà H¬ng
N¸u y ∈ BR/4 (x0 ), th¼ tçn t¤i z ∈ H sao cho Φ(z) = y. Khi â
Z
Z
|BR/4 (x0 )| ≤
dx ≤
Φ(H)
|JΦ (x)|dx.
H
R2 2
D u(x) + Id v v¼ D2 φy (x) ≥ 0 vîi x ∈ H,
B¥y gií JΦ (x) = det
4
chóng ta câ
R2 2
2
D u(x) + Id ≥ 0,
D φy (x) =
4
vîi x ∈ H. Do â
R2 2
|BR/4 (x0 )| ≤
det
D u(x) + Id dx
4
H
2
Z
det A(x)
R 2
=
det
D u(x) + Id dx
4
H det A(x)
2
n
Z
R
1
trace A(x)
D2 u(x) + Id
dx
≤n−n
det
A(x)
4
H
2
+ !n
Z
R
1
=n−n
Lu(x) + trace A(x)
dx.
4
H det A(x)
Z
Chóng ta ÷îc l÷ñng tªp H. Vîi z ∈ H; tçn t¤i y ∈ BR/4 (x0 ) vîi
φy (z) =
min
x∈B2R (x0 )
φy (x).
V¼ inf BR (x0 ) u ≤ 1, n¶n tçn t¤i x1 ∈ BR (x0 ) sao cho u(x1 ) ≤ 1. Khi â
R2
|z − y|2
R2
u(z) ≤ u(z) +
= φy (z)
4
4
2
R2
|x1 − y|2
≤φy (x1 ) =
u(x1 ) +
4
2
2
2
R
5
1 33 2
≤
+
R
= R.
4
4
2 32
15
- Xem thêm -