Phương pháp tọa độ trong không gian
Chủ đề I
I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Vấn đề cần nắm:
I. Lí thuyết về hệ
tọa độ trong
không gian
II. Phương trình
mặt phẳng
III. Phương trình
đường thẳng
IV. Các dạng toán
mặt cầu
Trong không gian, cho ba trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz vuông góc với nhau từng đôi
một. Gọi i , j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz .
Định nghĩa
Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa
độ Đề các (Descartes) vuông góc Oxyz trong không gian (hình 7.1).
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Oxy , Oyz , Oxz đôi một vuông góc với nhau được gọi là các
Các mặt phẳng
mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz
2 2 2
i
j
k
1
Nhận xét:
và i. j j.k k .i 0
2. Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị i, j , k trên các trục Ox, Oy, Oz, cho
x, y, z sao cho
u
một vectơ . Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số thực
u x.i y. j z.k
x, y, z thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vectơ u đối
Bộ ba số thực
với hệ trục Oxyz.
u x; y; z
u x; y; z
Kí hiệu
hoặc
, trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao
độ của vectơ u .
Tính chất
u u1 ; u2 ; u3 , v v1 ; v2 ; v3
Cho các vectơ
. Khi đó
u v u1 v1 , u2 v2 , u3 v3 .
a.
u v u1 v1 ; u2 v2 ; u3 v3
b.
.
k .u ku1 ; ku2 ; ku3
c.
với mọi số thực k.
u.v u1.v1 u2v2 u3 .v3
d.
u u12 u22 u32
e.
u; v v 0
f. Hai vectơ
có phương trình vuông góc với nhau khi và chỉ khi
u1v1 u2v2 u3v3 0
g. Hai vectơ u , v cùng phương với nhau khi và chỉ khi có một số thực k sao
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không
gian
Thuvienhoclieu.com
cho u kv.
3. Tọa độ của một điểm
x; y; z là tọa độ của vectơ OM
x; y; z là tọa độ của điểm
Nếu
thì ta cũng nói
M với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2).
Kí hiệu
M x; y; z
hay
M x; y; z .
Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.
4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút
Trong không gian Oxyz cho hai điểm
độ của vectơ MN và độ dài của nó là:
MN
x2 x1
2
2
M x1 ; y1 ; z1
y2 y1 z2 z1
và
N x2 ; y2 ; z2
thì khi đó tọa
2
5. Tích có hướng của hai vectơ
Định nghĩa
u; v
u
v
a
Tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu
là vectơ xách định bởi
i. a có phương vuông góc với u và v
u , v, a
ii. Bộ ba
là bộ ba vectơ thuần (đọc thêm vì trong SGK cơ bản không
giải thích vấn đề này)
a u . v .sin
iii.
, tỏng đó là góc giữa hai vectơ u và v
STUDY TIP
Định lý
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
đó
u
u; v 2
v2
u3 u3
;
v3 v3
u u1 ; u2 ; u3
và
v v1 ; v2 ; v3
. Khi
u1 u1 u2
;
u2v3 u3v2 ; u3v1 u1v3 ; u1v2 u2 v1
v1 v1 v2
Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng cảu hai vectơ.
Cách 1: Viết hai tọa độ của hai vectơ song song sau đó nhớ nhanh như sau:
u u1; u2 ; u3
v v1; v2 ; v3
Ví dụ hai vectơ
và
ta viết tọa độ của hai vectơ song
song và ghép các định thức theo chiều tam giác mũi tên từ giữa sang phải rồi trái
như ở STUDY TIPS. Cách nhớ mẹo này để độc giả dùng khi không nhớ công thức.
Đến đây ta tìm được công thức tính tích có hướng
u; v u2 v3 u3v2 ; u3v1 u1v3 ; u1v2 u2 v1
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền
LB
Tôi xin nhắc lại cách tính tích có hướng bằng máy tính fx 570 VN Plus mà tôi đã
giới thiệu trong cuốn “Bộ đề tinh túy môn toán” như sau:
1. Vào MODE 8:VECTƠ (để chuyển máy tính sang chế độ tính toán với
vectơ).
2. Khi máy hiện như ở góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, tiếp
theo máy hiện VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hoành độ, tung độ,
cao độ.
3. Tiếp theo, máy hiện như bên, ta sẽ nhập tọa độ vectơ thứ nhất vào.
4. Sau khi đã nhập tọa độ vectơ thứ nhất, ấn AC để xóa màn hình. Tiếp tục thực
hiện nhập vectơ thứ hai như các bước trên, tuy nhiên ở bước 2, ta không chọn 1
nữa bởi 1: VctA đã có tọa độ, nên ta chọm 2: VctB và tiếp tục thực hiện gán tọa độ
vectơ thứ hai.
5. Tiếp tục ấn AC để xóa màn hình.
6. Ấn SHIFT 5 máy hiện như bên, chọn 3 để hiện VctA, ấn nút nhân tiếp tục lần
nữa chọn 4 để hiện VctB. Máy hiện như bên.
7. Ấn = để nhận kết quả.
Tính chất
1.
2.
3.
4.
u; v 0 u || v
u; v v; u
ku ; v u; kv k u; v , k
u v , u; v; ; u, v u; v u;
Hệ quả
u
, v . 0
1. Ba vectơ u; v và đồng phẳng khi và chỉ khi
(tích hỗn tạp).
1
S ABD AB, AD
S AB, AD
2
2. Diện tích hình bình hành ABCD là
và
V AB, AD . AA '
3. Nếu ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình hộp có thể tích V thì
1
VABDA ' AB, AD . AA ' .
6
và do đó
Từ hệ quả trên, ta có thể tính nhanh các thể tích, diện tích mà không cần tìm các độ
dài.
II. Phương trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
n
0
n
Vectơ
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
nếu giá của
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không
gian
vuông góc với mặt phẳng
P
Thuvienhoclieu.com
(hình 7.4).
Chú ý
P k .n k 0
n
Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
cũng là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng
P .
P đi qua điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 và có vectơ pháp tuyến
Cho mặt phẳng
n a; b; c 0.
P có dạng
Khi đó phương trình mặt phẳng
P : a x x0 b y
y0 c z z0 0
Định nghĩa
Phương trình có dạng Ax By Cz D 0 , trong đó A, B, C không đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét
P
có phương trình tổng quát là Ax By Cz D 0 thì
n A; B; C
nó có vectơ pháp tuyến
.
i. Nếu mặt phẳng
M 0 x0 ; y0 ; z0
ii. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
n A; B; C
0
khác
làm
vectơ
pháp
tuyến
nhận vectơ
có
dạng
A x x0 B y y0 C z z0 0.
Các trường hợp đặc biệt
Trong không gian
a 2 b 2 c 2 0
Oxyz,
xét
mặt
phẳng
P : ax by cz d 0
P đi qua gốc tọa độ.
1. Trường hợp d 0 thì mặt phẳng
với
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền
LB
P
n 0; b; c
d
0
2. Trường hợp
thì mặt phẳng
có vtpt
khi đó mặt phẳng
P
khi
song song hoặc chứa trục Ox. Khi đó mặt phẳng
P
P
chứa trục Ox khi và chỉ
đi qua gốc tọa độ O, hay d 0.
P song song hoặc chứa trục Oy.
3. Trường hợp b 0 , mặt phẳng
P song song hoặc chứa trục Oz.
4. Trường hợp c 0 , mặt phẳng
P
n 0;0; c
a
b
0,
c
0.
5. Trường hợp
Khi đó mặt phẳng
có vtpt
. Trong
trường hợp này, mặt phẳng
đó
P Oxy
P
khi và chỉ khi
song song hoặc trùng với mặt phẳng
P
đi qua gốc tọa độ O, hay d 0.
Oxy . Khi
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không
gian
Thuvienhoclieu.com
P song song hoặc trùng với mặt
6. Trường hợp a c 0, b 0 , mặt phẳng
phẳng
Oxz .
7. Trường hợp b c 0, a 0 , mặt phẳng
phẳng
Oyz .
P
song song hoặc trùng với mặt
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền
LB
8. Trường hợp abcd 0 . Đặt
d
d
d
, ,
a
b
c , phương tình mặt phẳng
x y z
1
được đưa về dạng
. Mặt phẳng lần lượt cắt các trục tọa độ
Ox, Oy , Oz tại các điểm A ;0; 0 , B 0; ;0 , C 0;0; và phương trình mặt
phẳng viết dưới dạng này được gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Đến đây ta có bài toán tổng quát:
Mặt phẳng
P
phương trình
(hình 7.5) đi qua ba điểm
P :
M a;0;0 , N 0; b;0 , P 0;0; c
có
x y z
1
a b c
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng
P1 ; P2
lần lượt có phương trình
P1 : a1 x b1 y c1z d 0, P2 : a2 x b2 y c2 z d 0 ,
với
a12 b12 c12 0 i 1; 2
. Khi đó
n1 kn2
a1 ; b1 ; c1 k a2 ; b2 ; c2
d1 kd 2
d1 kd 2
P1 // P2
n1 kn2
a1 ; b1 ; c1 k a2 ; b2 ; c2
d1 kd 2
d1 kd2
P1 P2
P1
cắt
P2 n1 kn2 a1 ; b1 ; c1 k a2 ; b2 ; c2
P P2 a1a2 b1b2 c1c2 0
3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Trong không gian
Oxyz cho mặt phẳng
P : ax by cz d 0 ,
với
a 2 b 2 c 2 0 và điểm M x0 ; y0 ; z0 . Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng
P
là độ dài đoạn MH, với MH là đoạn thẳng vuông góc với
Độ dài MH được tính bằng công thức
Hệ quả
Với
P : ax by cz d 0 và
d M ; P MH
P
tại H (hình 7.6).
ax0 by0 cz0 d
a 2 b2 c2
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không
gian
a
P ' : ax by cz d ' 0
khoảng
cách
d P ; P '
giữa
2
b 2 c 2 0; d d '
P
P ' được
và
Thuvienhoclieu.com
là hai mặt phẳng song song thì
tính
bằng
công
thức:
d d'
2
a b2 c 2
4. Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng
thẳng a và b mà
a P
P
và
Q , kí hiệu P , Q
và
b Q
.
0 P , Q .
2
Từ đó suy ra
cos P ; Q
Từ đây ta có
n P .n Q
cos n P , n Q
n P . n Q
là góc giữa hai đường
Công Phá Toán – Lớp 12
Ngọc Huyền LB
Dạng toán viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
M x0 ; y0 ; z0
Dạng 1: Cho mặt phẳng
đi qua
và
chứa hai đường thẳng phân biệt (không cùng phương)
a
b
có vectơ chỉ phương lần lượt là và
M x0 ; y0 ; z0
Dạng 2: Cho mặt phẳng
song song với mặt phẳng
: ax by cz d 0.
Dạng 3: Cho mặt phẳng
không thẳng hàng.
đi qua
và
đi qua ba điểm A; B; C
n a, b
là vectơ pháp tuyến của
.
: a x x0 b y y0 c z z0 0
n AB, AC
là vectơ pháp tuyến của
.
.
d lấy điểm A và tìm vectơ chỉ phương của d là
đi qua điểm M và một Trên
Dạng 4: Cho mặt phẳng
u n AM , u
đường thẳng d không chứa M.
là một vectơ pháp tuyến của
Dạng 5: Cho mặt phẳng
với đường thẳng d.
Dạng 6: Cho mặt phẳng
nhau d1 ; d 2 .
đi qua M và vuông góc
vectơ chỉ phương của đường thẳng d là vectơ pháp
tuyến của
.
a
; b của d1 ; d 2 .
đi qua 2 đường thẳng cắt - Xác định các vtcp
n
là a, b .
- vtpt của
- Lấy một điểm M thuộc một trong hai đường thẳng
trên từ đó viết phương trình mặt phẳng
a
; b của d1 ; d 2 .
d
Dạng 7: Cho mặt phẳng
chứa 1 và song song - Xác định các vtcp
n
với d 2 (hai đường thẳng này chéo nhau).
là a, b .
- vtpt của
- Lấy một điểm M d1 (Vì d 2 không nằm trong
).
a
; b của d1 ; d 2 .
Dạng 8: Cho mặt phẳng
song song với hai đường - Xác định các vtcp
n
thẳng d1 ; d 2 chéo nhau và đi qua điểm M.
là a, b .
- vtpt của
đi qua M và có vtpt n .
- Viết phương trình
n
Dạng 9: Cho mặt phẳng
song song với hai đường - Xác định vtcp u của d và vtpt của .
.
thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
n u , n .
- Một vtpt của
là
.
- Lấy M d và viết phương trình mặt phẳng
Dạng 10: Cho mặt phẳng
với hai mặt phẳng cắt nhau
đi qua M và vuông góc
; .
- Xác định ctpt của
và
lần lượt là
là n n ; n .
- Một vtpt của
n ; n
Dạng 11: Cho mặt phẳng
đi qua đường thẳng d Giả
sử
có
phương
2
2
2
cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k.
ax by cz d 0, a b c 0 .
.
trình
A; B d A; B
- Lấy hai điểm
ta được hai
phương trình (1);(2).
- Từ điều kiện khoảng cách ta được phương trình (3).
Dạng 12: Cho mặt phẳng
S I; R
tại điểm A.
tiếp xúc với mặt cầu
- Giải hệ phương trình ta được a; b; c; d.
: n IA.
Vtpt của
III. Phương trình đường thẳng
1. Hai dạng biểu diễn của phương tình đường thẳng trong không gian
M x0 ; y0 ; z 0
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ
2
2
2
u a; b; c
chỉ phương
(do u 0 nên a b c 0 ), Khi đó phương trình tham
x x0 at
y y0 bt
z z ct
0
số của đường thẳng có dạng
với t là tham số.
x x0 y y0 z z0
b
c
Khi abc 0 , khử t từ hệ ta được : a
Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
u1
M
1
1
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
đi qua
có vectơ chỉ phương
và
u
đường thẳng 2 đi qua M 2 có vectơ chỉ phương 2 .
u
1 ; u2 ; M 1M 2 đôi một cùng phương, tức là
2 khi và chỉ khi ba vectơ
1. 1
u1 , u2 u1 , M 1M 2
=0 (hình 7.7).
u
//
u
MM
//
2. 1 2 khi và chỉ khi 1 2 nhưng không cùng phương với 1 2 , tức là
u1 , u2 0
u , M M 0
1 1 2
(hình 7.8)
u
u
1
1
2
3.
và
cắt nhau khi và chỉ khi
không cùng phương với 2 , đồng thời
u1 , u2 0
u1 , u2 .M 1M 2 0
u ,u
MM
ba vectơ 1 2 và 1 2 đồng phẳng, tức là
(hình 7.9)
u ,u
MM
4. 1 và 2 chéo nhau khi và chỉ khi ba vectơ 1 2 và 1 2 không đồng
u1 , u2 .M 1M 2 0
phẳng, tức là
(hình 7.10)
Ta cũng có thể xét tính tương đối của hai đường thẳng dựa trên hệ phương trình hai
x0 ta1 x0 ' t ' a1 '
y0 ta2 y0 ' t ' a2
z ta z ' t ' a '
3
0
3 (1)
ẩn như sau: 0
1. Hai đường thẳng d và d ' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có
đúng một nghiệm.
2. Hai đường thẳng d và d ' chéo nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) vô
u
u
1
nghiệm và
không cùng phương với 2 .
3. Hai đường thẳng d và d ' song song khi hệ phương trình (l) vô nghiệm và
u1 cùng phương với u2 .
4. Hai đường thẳng d và d ' trùng nhau khi hệ (l) có vô số nghiệm.
3. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau
a. Khoảng cách từ mọi điểm đến một đường thẳng
STUDY TIP
Khoảng cách giữa điểm M
đếến đường thẳng trong
không gian được tnh bằằng
công thức
Trong đó N là một điểm
thuộc
Trong không gian cho điểm M và đường thẳng đi qua điểm N, với vectơ chỉ
phương u . Khoảng cách từ M đến là độ dài đoạn vuông góc MH kẻ từ M đến
(hình 7.11)
Cách 1: Lấy điểm P trên sao cho NP u . Khi đó MH là độ dài đường cao kẻ từ
u.NM
d M ;
2S MNP
MH
u
NP nên
M của tam giác MNP. Vì
Cách 2: Để tính khoảng cách từ M đến đường thẳng , ta có thể xác định tọa độ
hình chiếu H của M trên rồi tính độ dài MH.
Chú ý: Ở cách 2, để tính được tọa độ điểm H ta phải đưa phương trình đường
thẳng về dạng tham số, từ đó tham số hóa tọa độ điểm H.
Dựa vào dữ kiện MH ta sẽ tìm được tọa độ điểm H.
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm
A 1; 2;1
đến đường thẳng
d :
x y 1
z 3.
3
4
Lời giải
Cách 1: Lấy điểm
STUDY TIP
Cả hai cách làm đếằu khá là
nhanh, tùy theo lựa chọn
của độc giả mà áp dụng,
tuy nhiến để nhớ công
thức nhanh, cầằn nằếm
vững cách để suy luận ra
công thức đó.
thẳng
B 0;1; 3
trên
d . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến đường
d A; d
d
u; BA
.
u
được tính bằng công thức:
u
; BA 15; 11; 1
BA 1;1; 4
Ta có
. Khi đó
2
d A; d
152 11 1
32 42 12
2
Cách 2: Gọi H là hình chiếu của A lên
AH 3t 1; 4t 1; t 4
Mà
AH d
, do vậy
347
.
26
d . Khi đó
H 3t;1 4t; 3 t
3t 1 .3 4t 1 .4 t 4 0 t
AH
Khi đó
11
7 9 93
AH ; ;
.
26
26 13 26
347
.
26
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 là độ dài đoạn vuông góc
chung của chúng.
STUDY TIP
Khoảng cách giữa hai
đường thẳng và trong
không gian được tnh
bằằng công thức
trong đó A, B là hai điểm
lầằn lượt thuộc và .
Lấy điểm A thuộc 1 , điểm B thuộc 2 .
u1 ; u2
Gọi
lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 và 2 .
AM u1 ; BN u2 . Khi đó
1
2
Trên
và
lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho
khoảng cách giữa 1 và 2 là khoảng cách giữa hai đáy của hình hộp đựng trên ba
cạnh MA, AB, BN (hình 7.12).
Mặt khác ở phần hệ quả của bài hệ tọa độ trong không gian ta có công thức của
u1 , u2 . AB
d 1 ; 2
u1 , u2 . AB .
u1 , u2
hình hộp bằng
Do vậy
4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
a. Góc giữa hai đường thẳng
d 1 , d2
d
,
d
1
2
Góc giữa hai đường thẳng
được kí hiệu là
, được xác định bởi các
trường hợp:
- Nếu d1 cùng phương với d 2 thì
d , d 0.
1
2
d 1 , d 2
- Nếu d1 và d 2 cắt nhau tại I thì
bằng số đo góc nhỏ nhất tròn bốn góc tạo
thành.
d 1 , d 2 a , b
a b 1 .
d
d
1
2
- Nếu và
chéo nhua thì
trong đó a //d1 , b //d 2 và
(Hình 7.13)
Do góc giữa hai đường thằng là số đo góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo được.
0 d 1 , d 2 .
d , d
2 Do vạy nếu đặt 1 2
Do vậy
thì ta có
u1 , u2
cos cos d 1 , d 2
u1 . u2
b. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
P , kí hiệu là d , P , xác định bởi:
Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng
- Nếu
d P
d , P 90
thì
.
- Nếu d không vuông góc với
d trên
P
P
d , P
thì
bằng góc giữa d và hình chiếu của
(hình 7.14).
0 d , P
2
Ta có
u
Gọi , n lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
P . Khi đó nếu đặt d , P
thì
u, n
sin cos u, n
u. n
Dạng toán viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
- Vtcp của d là u AB
Dạng 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A; B.
Dạng 2: Cho đường thẳng d đi qua
song song với
Dạng 3: Cho đường thẳng d đi qua
vuông góc với mặt phẳng cho trước.
M x0 ; y0 ; z0
d // nên vtco của cũng là vtcp của d.
và - Vì
M x0 ; y0 ; z0
P cũng là vtcp của d.
và - Vì d nên vtpt của
Dạng 4: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt - Cách 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp
phẳng
P ; Q .
+ Tìm một điểm A trên d bằng cách giải hệ phương
P
Q
trình
+ Tìm 1 vtcp của d:
u nP , nQ .
- Cách 2: Tìm hai điểm A; B d , rồi viết phương
trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó.
Dạng 5: Cho đường thẳng d đi qua điểm
M x0 ; y0 ; z0
và vuông góc với 2 đường thẳng d1 ; d 2 .
Dạng 6: Cho đường thẳng d đi qua điểm
M x0 ; y0 ; z0
, vuông góc và cắt đường thẳng d1.
Dạng 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm
M x0 ; y0 ; z0
và cắt 2 đường thẳng d1 ; d 2 .
- Vì d d1 ; d d 2
u ud1 , ud2 .
nên một vtcp của d là
- Gọi H là hình chiếu của M trên d1.
Khi đó d là đường thẳng đi qua M; H.
- Cách 1: Gọi M 1 d1 ; M 2 d 2 . Từ điều kiện
M ; M 1 ; M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1 ; M 2
phương trình d.
- Cách 2: Gọi
P M , d1 ; Q M ; d2 .
ud nP , nQ .
d P Q .
Do đó
Dạng 8: Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
P
và cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 .
A d1 P ; B d 2 P d
Khi đó
đi qua A;B.
Dạng 9: Cho đường thẳng d // và cắt hai đường Viết phương trình mặt phẳng P chứa và d1 , mặt
thẳng d1 ; d 2 . (Biết luôn cắt d1 ; d 2 )
Q chứa và d2 . Khi đó d P Q .
phẳng
Dạng 10: Cho đường thẳng d là đường thẳng vuông
Cách 1: Gọi M 1 d1 ; M 2 d 2 . Từ điều kiện
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 ; d 2 .
M 1M 2 d1
M 1M 2 d 2 ta tìm được M 1 ; M 2 . Khi đó d là đường
thẳng M 1M 2 .
Cách 2: - Vì d d1; d d 2 nên có một vtcp là
u ud1 , ud2 .
- Lập phương trình mặt phẳng
P
chứa d và d1 :
+ Lấy một điểm A trên d1 .
P là nP u, ud1 .
+Một vtcp của
- Lập phương trình mặt phẳng
- Khi đó
Dạng 11: Cho đường thẳng d là hình chiếu của đường
thẳng
P .
lên mặt phẳng
Q
và chứa d 2 .
d P Q .
- Lập phương trình mặt phẳng
vuông góc với
Q
chứa
và
P .
+ Lấy M .
Q chứa và vuông góc với
+ Vì
nQ u , uP .
- Khi đó
P
nên
d P Q .
Dạng 12: Cho đường thẳng d đi qua M, vuông góc với
- Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d 2 . Từ điều
d1 và cắt d 2 .
kiện MN d1 , ta tìm được N. Khi đó d là đường
thẳng MN.
- Cách 2:
+ Viết phương trình mặt phẳng
vuông góc với d1
+ Viết phương trình mặt phẳng
Khi đó
d P Q
.
P đi
Q
qua M và
chứa M và d 2 .
Đọc thêm: Bài toán cực trị trong không gian
1. Bài toán cực trị về mặt phẳng, đường thẳng quanh xung quanh một điểm
cố định
Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm vị trí của mặt phẳng
và cách A một khoảng lớn nhất.
chứa B
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
vuông tại H và
khi đó
d A; AH AB.
. Khi đó tam giác ABH
Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B,
là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB.
Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất.
2. Bài toán cực trị về mặt phẳng quay xung quanh một đường thẳng cố định
Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng không đi qua A. Tìm vị trí của mặt
phẳng
chứa sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó là lớn nhất.
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
trên đường thẳng .
Ta thấy
Vậy
là
d A; AH AK
d A;
, K là hình chiếu vuông góc của A
(quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
cần tìm
lớn nhất khi và chỉ khi H K , hay vị trí mặt phẳng
chứa và vuông góc với AK.
n u , MA , u
trong đó
Lúc này mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến
M .
Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
x 1 2t
d : y t
t
z 2 t
A.
10;17;37
và cách
B.
A 1; 2;5
9; 14; 4
chứa đường thẳng
một khoảng lớn nhất là
C.
10; 17;37
D.
9;14; 4
Đáp án A.
Ta có
Lời giải
ud 2;1; 1 , M 1; 0; 2 MA 0; 2;7 .
n ud , MA , ud 10;17;37 .
chứng minh ta có
Bài tập áp dụng
Vậy áp dụng công thức vừa
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
M 2;1;1
d:
x 1 y z 2
2
1
1 cách
một khoảng lớn nhất.
A.
: x y 3z 5 0
B.
: 4 x 7 y z 0
C.
: 6 x 6 y 18 z 5 0
D.
: 4x 7 y
2. Viết phương trình mặt phẳng
Q : 2x
y z 1 0
P
và cách điểm
z 0
đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng
M 1;0;1
một khoảng lớn nhất.
A. x 2 y z 0
B. y z 0
C. x y z 0
D. x y z 0
Đáp án: 1.A; 2.B
Bài toán 3*: Cho hai đường thẳng 1 , 2 phân biệt và không song song với nhau.
Viết phương trình mặt phẳng
chứa 1 và tạo với một góc lớn nhất.
Lời giải
Vẽ một đường thẳng bất kì 3 song song với 2 và cắt 1 tại K. Gọi A là điểm cố
. Ta có góc giữa 2 và
định trên 3 và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng
AT 1 T 1
chính là góc AKH . kẻ
.
Khi đó HKT vuông tại T, nên:
cos AKH
HK KT
AK AK (không đổi).
Vậy góc AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK KT hay H T .
Góc lớn nhất đó chính bằng góc
AKH
,
1
2
cần tìm chứa 1 và vuông góc với mặt phẳng
u , u .
nó có một vectơ chỉ phương là 1 2
n
là u1 , u1 , u2
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Khi đó mặt phẳng
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng
đường thẳng
d ':
P
chứa
d:
hay
x 1 y 1 z 2
2
1
2 và tạo với
x 1 y z 1
1
2
1 một góc lớn nhất.
A. x 4 y z 7 0
B. x 4 y z 7 0
C. 2 x 5 y 10 0
D. 2 x 5 y 10 0
Đáp án A.
1 , 3
n ud , ud ' ud 3; 12;3 .
Ta có
Lời giải
3. Bài toán cực trị về họ đường thẳng quay xung quanh một điểm cố định
trong mặt phẳng cố định
Bài toán 4*: Cho mặt phẳng
và điểm A thuộc
,
điểm B khác A. Tìm
đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
đường thẳng nằm trong
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên .
Ta thấy
d B; BH AB.
Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi H A .
u n ; AB
Khi đó là đường thẳng qua A và có một vectơ chỉ phương là
.
Gọi T là hình chiếu của B trên
. Ta thấy
BH BT .
Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi H A hay đường thẳng
đi qua A và T.
Để viết phương trình đường thẳng ta có 2 cách:
- Tìm hình chiếu vuông góc T của B trên , từ đó viết phương trình đường thẳng
đi qua A và T.
: u n , n , AB .
- Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Bài toán 5*: Cho mặt phẳng
song song với
và điểm A thuộc
, đường thẳng d không
, khồn nằm trên , không đi qua A. Tìm đường thẳng
trong mặt phẳng
lớn nhất.
nằm
đi qua A sao cho khoảng cách giữa và đường thẳng d là
Lời giải
Gọi d ' là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao điểm của d với mặt
phẳng
. Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa B trên mặt phẳn d '; . Khoảng
cách giữa d và bằng BH. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên d ' .
Ta thấy BH BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H C .
u n , BC .
Khi đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương
Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
hai điểm
A 1; 2;1 , B 3;0; 1
P : x y
z 1 0.
A. 2 3
và mặt phẳng
Gọi M và N lần lượt là hình
chiếu của A và B trên
là
4 2
B. 3
P .
Độ dài đoạn thẳng MN
A 1; 2;1
P : x 2 y 2 z 1 0.
2
C. 3
D. 4
C. 5
x 1 y 2 z
1
1 1.
và đường thẳng
Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d
là
A. x y z 1 0
B. x y z 1 0
C. x y z 0
D. x y z 2 0
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
hai
mặt
phẳng
P : 2x y
z 1 0
2
và
và mặt cầu
2
y 2 z 1 2
4
B. 3
. Hai mặt phẳng
6
C.
D. 4
A 3;3;1 , B 0;2;1
P : x y z 7 0.
và mặt
Đường thẳng d nằm
P sao cho mọi điểm của d và cách đều hai
trên
điểm A,B có phương trình là
A.
x t
y 7 3t t
z 2t
C.
x t
y 7 3t t
z 2t
Câu 9: Cho bốn điểm
B.
x t
y 7 3t t
z 2t
D.
x 2t
y 7 3t t
z t
A a; 1; 6 , B 3; 1; 4 ,
C 5; 1;0 , D 1; 2;1
và thể tích của tứ diện ABCD
bằng 30. Giá trị của a là:
A. 1
B. 2
C. 2 hoặc 32
D. 32
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
Q : x 2 y z 5 0 . Khi đó giao tuyến của P
mặt phẳng
Q
và
đây thuộc
có một vectơ chỉ phương là
u 1;3;5
u 1;3; 5
A.
B.
u 2;1; 1
u 1; 2;1
C.
D.
2
x 2 y z
2
1 4
Q chứa d và tiếp xúc với S . Gọi M và
và
N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN là
D. 4
d:
d:
P
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm
A 1; 2;1
D. 18
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
phẳng
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
a 1; 2;1 b 2;3; 4 c 0;1; 2
,
,
và
d 4; 2;0
. Biết d xa yb zc . Tổng x y z
là
B. 3
C. 9
Câu 8: Cho hai điểm
đoạn thẳng AB là
A. 2
B. 6
A. 2 2
P . Độ dài
Gọi B là điểm đối xứng với A qua
A. 2
A. 54
S : x 1
D. 4
và mặt phẳng
4
B. 3
M 1; 2;1 .
P thay đổi đi qua M
điểm
Mặt phẳng
lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O.
Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là
đường thẳng
2
C. 3
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm
The best or nothing
P : x 2 y z 5 0 .
Điểm nào dưới
P ?
A.
Q 2; 1; 5
B.
P 0; 0; 5
C.
N 5; 0;0
D.
M 1;1; 6
- Xem thêm -