Mô tả:
Công thức tính nhanh thể tích mặt cầu
Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
CÔNG THỨC TÍNH NHANH
THỂ TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
Sưu tầm và biên soạn: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Hải Dương.
FB:
https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko
CASIO TRẮC NGHIỆM
https://tinyurl.com/casiotracnghiem
https://tinyurl.com/casiotracnghiem
HỌC CASIO FREE TẠI:
Group: THỦ THUẬT CASIO THPT
https://fb.com/groups/casiotracnghiem
Công thức và bài tập áp dụng từ thầy Hoàng Trọng Tấn, TP.HCM
Diêṇ tích và thể tích mă ̣t cầ u
• Diê ̣n tích mă ̣t cầ u: SC 4 R 2 .
4
• Thể tích mă ̣t cầ u: VC R 3 .
3
A. KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p khố i đa diêṇ
1/ Các khái niêm
̣ cơ bản
Tru ̣c của đa giác đáy: là đường thẳ ng đi qua tâm đường tròn ngoa ̣i tiế p của đa giác đáy và
vuông góc với mă ̣t phẳ ng chứa đa giác đáy.
Bấ t kì mô ̣t điể m nào nằ m trên tru ̣c của đa giác thì cách đề u các đin̉ h của đa giác đó.
Đường trung trưc̣ của đoa ̣n thẳ ng: là đường thẳ ng đi qua trung điể m của đoa ̣n thẳ ng và
vuông góc với đoa ̣n thẳ ng đó.
Bấ t kì điể m nào nằ m trên đường trung trực thì cách đề u hai đầ u mút của đoa ̣n thẳ ng.
Mă ̣t trung trực của đoa ̣n thẳ ng: là mă ̣t phẳ ng đi qua trung điể m của đoa ̣n thẳ ng và vuông
góc với đoa ̣n thẳ ng đó.
Bấ t kì mô ̣t điể m nào nằ m trên mă ̣t trung trực thì cách đề u hai đầ u mút của đoa ̣n thẳ ng.
2/ Tâm và bán kính mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hin
̀ h chóp
Tâm mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hin
̀ h chóp: là điể m cách đề u các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách
khác, nó chính là giao điể m I của tru ̣c đường tròn ngoại tiế p mặt phẳ ng đáy và mặt phẳ ng
trung trực của một cạnh bên hiǹ h chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đế n các đin̉ h của hình chóp.
3/ Cách xác đinh
̣ tâm và bán kính mă ̣t cầ u của mô ̣t số hin
̀ h đa diêṇ cơ bản
Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
a/ Hin
̀ h hô ̣p chữ nhâ ̣t, hin
̀ h lâ ̣p phương.
- Tâm: trùng với tâm đố i xứng của hiǹ h hô ̣p chữ nhâ ̣t (hiǹ h lâ ̣p phương).
Tâm là I , là trung điể m của AC ' .
- Bán kính: bằ ng nửa đô ̣ dài đường chéo hình hô ̣p chữ nhâ ̣t (hình lâ ̣p phương).
Bán kiń h: R
AC '
.
2
A
B
D
A
C
A’
I
D’
I
B’
C’
An
C’
A1
b/ Hin
̀ h lăng tru ̣ đứng có đáy nô ̣i tiế p đường tròn.
O
A2
A3
Xét hình lăng tru ̣ đứng A1 A2 A3 ... An . A1' A2' A3' ... An' , trong đó có 2 đáy
I
A1 A2 A3 ... An và A1' A2' A3' ... An' nô ̣i tiế p đường tròn O và O ' . Lúc đó,
A’n
A’1
mă ̣t cầ u nô ̣i tiế p hiǹ h lăng tru ̣ đứng có:
O’
A’2
- Tâm: I với I là trung điể m của OO ' .
A’3
- Bán kính: R IA1 IA2 ... IAn' .
c/ Hin
̉ h nhin
̉ h còn la ̣i dưới 1 góc vuông.
̀ h chóp có các đin
̀ đoa ̣n thẳ ng nố i 2 đin
- Hình chóp S. ABC có SAC SBC 900 .
S
S
+ Tâm: I là trung điể m của SC .
+ Bán kiń h: R
SC
IA IB IC .
2
- Hiǹ h chóp S. ABCD có SAC SBC SDC 900 .
+ Tâm: I là trung điể m của SC .
+ Bán kính: R
I
I
A
S
SC
IA IB IC ID .
2
B
D
C
B
∆
M
d/ Hin
̀ h chóp đề u.
Cho hình chóp đề u S. ABC...
- Go ̣i O là tâm của đáy SO là tru ̣c của đáy.
A
C
I
A
- Trong mă ̣t phẳ ng xác đinh
̣ bởi SO và mô ̣t ca ̣nh bên,
D
O
chẳ ng ha ̣n như mp SAO , ta vẽ đường trung trực của ca ̣nhBSA
là cắ t SA ta ̣i M và cắ t SO ta ̣i I I là tâm của mă ̣t cầ u.
C
Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
- Bán kiń h:
Ta có: SMI
R IS
SOA
SM
SI
Bán kin
́ h là:
SO SA
SM .SA SA2
IA IB IC ...
SO
2 SO
e/ Hin
̀ h chóp có ca ̣nh bên vuông góc với mă ̣t phẳ ng đáy.
Cho hình chóp S. ABC... có ca ̣nh bên SA đáy ABC... và đáy ABC... nô ̣i tiế p đươ ̣c trong
đường tròn tâm O . Tâm và bán kính mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hình chóp S. ABC... đươ ̣c xác đinh
̣
như sau:
- Từ tâm O ngoa ̣i tiế p của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳ ng d vuông góc với
mp ABC... ta ̣i O .
- Trong mp d , SA , ta dựng đường trung trực của ca ̣nh SA , cắ t SA ta ̣i M , cắ t d ta ̣i I .
I là tâm mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hin
̀ h chóp
S
và bán kính R IA IB IC IS ...
d
- Tìm bán kính:
M
Ta có: MIOB là hiǹ h chữ nhâ ̣t.
I
∆
Xét MAI vuông ta ̣i M có:
2
R AI MI MA
2
2
SA
AO
.
2
2
O
A
B
C
Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
f/ Hin
̀ h chóp khác.
- Dựng tru ̣c của đáy.
- Dựng mă ̣t phẳ ng trung trực của mô ̣t ca ̣nh bên bấ t ki.̀
-
I I
là tâm mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hình chóp.
- Bán kiń h: khoảng cách từ I đế n các đin̉ h của hiǹ h chóp.
g/ Đường tròn ngoa ̣i tiế p mô ̣t số đa giác thường gă ̣p.
Khi xác đinh
̣ tâm mă ̣t cầ u, ta cầ n xác đinh
̣ tru ̣c của mă ̣t phẳ ng đáy, đó chiń h là đường thẳ ng
vuông góc với mă ̣t phẳ ng đáy ta ̣i tâm O của đường tròn ngoa ̣i tiế p đáy. Do đó, viê ̣c xác đinh
̣
tâm ngoa ̣i O là yế u tố rấ t quan tro ̣ng của bài toán.
O
Hình vuông: O là giao điểm
2 đườ ng chéo.
O
Hình chữ nhật: O là giao
điểm của hai đườ ng chéo.
O
∆ đều: O là giao điểm của 2
đườ ng trung tuyến (trọ ng tâm).
O
O
II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S . A1 A2 ... An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để
xác định mặt
cầu ngoại
tiếp điê
hình
̉m chóp ta thực hiện theo hai bước:
∆ vuông:
O là trung
∆ thườ ng: O là giao điểm của hai
củca cđaịnh
n
uyêc̀ nủ. a đường tròn ngoại tiếp đa giácđư đáơỳ n. g Dtrự
unngg trư:c̣ trcụủca h đư
Bước 1:Xá
̣ h htâm
ng
nnh
̣ ∆. goại
ai ờtròn
ca
S
tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên.
Lúc đó :
- Tâm O của mặt cầu: mp( ) O
I
O
- Bán kính: R SA SO . Tuỳ vào từng trường hợp.
Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
D
A
C
H
B
Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất: M : MA MB MC
M
Suy ra: MA MB MC M
2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
A
- Bước 2: Qua H dựng vuông góc với mặt phẳng đáy.
VD: Một số trường hợp đặc biệt
B
b. Tam giác đều
a. Tam giác vuông
c. Tamgiác bất kì
H
B
C
H
B
B
C
C
H
C
H
A
A
A
S
3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
SMO đồng dạng với SIA
SO SM
.
SA
SI
M
O
4. Nhận xét quan trọng:
MA MB MC
M , S :
SM là trục
SA SB SC
I
A
đường tròn ngoại tiếp
ABC .
5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
CÔNG THỨC:
R
SC
2
Trong đó SC là cạnh huyền được nhìn bởi các đỉnh còn lại dưới
góc vuông
Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
SA ABC
Ví dụ: Cho S . ABC :
. Theo đề bài:
ABC B
BC AB gt
BC SA SA ABC
BC (SAB) BC SB
Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông
nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.
Gọi I là trung điểm SC I là tâm MCNT khối chóp S. ABC và bán kính R SI .
Dạng 2: Chóp đều.
CÔNG THỨC
k2
R
2h
Trong đó :
k: Chiều dài cạnh bên
h: Chiều cao hình chóp
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC .
+ Vẽ SG ABC thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
+ Trên mặt phẳng SGC , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt SG tại I thì I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp S. ABC và bán kính R IS .
+ Ta có SGC
SKI g g
SG SC
SC.SK SC 2
R
SK SI
SG
2SG
Dạng 3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:
CÔNG THỨC
h
R Rd
2
2
2
Trong đó:
Rd: Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy
h:Chiều cao hình chóp
Ví dụ: Cho chóp SABCD có SA vuông góc với đáy ABCD là hình chữ nhật có đường chéo là a 5
; SA =2a; Tính S và V mặt cầu ngoại tiếp chóp.
Giải:
Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
2
2
2
a 5 2a 2 3a
AC SA
R đáy = AC/2 và SA =h . áp dụng công thức: R
2
2
2 2
2
Dạng 4: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
CÔNG THỨC
R Rb 2 Rd 2
GT 2
4
Rb: Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên
Rd: Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy
GT: Độ dài giao tuyến giữa mặt bên vuông góc và mặt đáy
Ví dụ: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Mặt bên SAB ABC và
SAB đều. Gọi H , M lần lượt là trung điểm của AB, AC .
Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (do MA MB MC ).
Dựng d1 là trục đường tròn ngoại tiếp ABC ( d1 qua M và song song
SH ).
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB và d 2 là trục đường tròn ngoại
tiếp SAB , d 2 cắt d1 tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
S. ABC
2
2
Bán kính R SI . Xét SGI SI GI SG .
Sưu tầm và chia sẻ.!
- Xem thêm -