BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TUẤN THÁI HUỆ ANH
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
g -NAVIER-STOKES HAI CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TUẤN THÁI HUỆ ANH
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. ĐÀO TRỌNG QUYẾT
HÀ NỘI, 2017
i
Lời cảm ơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Đào Trọng Quyết, người đã chỉ bảo tận tình
và cho tác giả những nhận xét quí báu để tác giả có thể hoàn thành bản luận
văn này một cách tốt nhất.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở khoa Toán, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, những người đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập và nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn một
cách thuận lợi.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn học viên, những người
đã động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học của
mình.
Do khả năng và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên bản luận văn có thể
chưa đầy đủ và có những thiếu sót khó tránh khỏi. Tác giả rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn này
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả
Tuấn Thái Huệ Anh
ii
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn,
luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn được ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả
Tuấn Thái Huệ Anh
iii
Mục lục
MỞ ĐẦU
1
1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC
5
1.1
Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3
Cấu trúc của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4
Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục . . . . . . . . . 11
2 TẬP
HÚT
TOÀN
CỤC
CỦA
HỆ
PHƯƠNG
5
TRÌNH
g -NAVIER-STOKES HAI CHIỀU
13
2.1
Đặt bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
Sự tồn tại của tập hút toàn cục của hệ phương trình
g -Navier-Stokes hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
KẾT LUẬN
24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
25
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi
mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ...,
dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu
nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công
nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản
quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,
nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây
dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:
∂u
− ν∆u + (u · )u + p = f (x, t)
∂t
· (u)
(1)
=0
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất cần
tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực.
Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều
bài báo và sách chuyên khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy nhiên
những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn khá
khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục và tính
duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn đối
với các nhà toán học cũng như vật lý. Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoa học và
Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng và các
2
phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở
nên thời sự và cấp thiết.
Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, rất nhiều lớp phương trình và hệ
phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu hút được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng,
cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu
chúng. Một trong số đó là lớp hệ phương trình g -Navier-Stokes, được đưa ra lần
đầu tiên bởi J. Roh năm 2001. Hệ phương trình g -Navier-Stokes có dạng:
∂u
∂t
− ν∆u + (u ·
)u +
· (gu)
p
= f (x, t),
(2)
= 0.
ở đó g = g(x) là một hàm số dương cho trước. Như được đề cập trong [16], có
hai lí do chính dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g -Navier-Stokes, đặc
biệt là trong trường hợp hai chiều:
1. Hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều xuất hiện một cách tự nhiên
khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều trong miền mỏng
Ωg = Ω × (0, g), ở đó Ω là miền hai chiều, và các tính chất tốt của hệ phương
trình g -Navier-Stokes hai chiều sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương
trình Navier-Stokes trong miền mỏng ba chiều.
2. Về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổng quát của hệ phương
trình Navier-Stokes, cụ thể khi g = const, ta thu lại được hệ phương trình
Navier-Stokes cổ điển. Vì vậy nếu có một kết quả đối với lớp phương trình
này, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kết quả tương ứng đối với hệ
phương trình Navier-Stokes. Ngược lại, việc chuyển những kết quả đã biết
đối với hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g -Navier-Stokes
đặt ra những vấn đề toán học lí thú.
Chính vì những lí do trên, lớp hệ phương trình g -Navier-Stokes này đã thu
hút được sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước
3
trong những năm gần đây (xem, chẳng hạn, [2] - [6], [8] - [22]).
Khi nghiên cứu các lớp phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung và hệ
phương trình g -Navier-Stokes nói riêng, chúng ta thường bắt đầu với câu hỏi
chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm (nghiệm ở đây có thể là nghiệm
yếu hoặc nghiệm mạnh). Sau đó chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của
nghiệm khi thời gian dần ra vô cùng bằng cách chứng minh sự tồn tại tập hút.
Nếu biết được dáng điệu tiệm cận của nghiệm thì chúng ta sẽ biết được xu
hướng phát triển của hệ và từ đó có các điều chỉnh hợp lí theo mong muốn.
Với ý nghĩa như vậy nên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
“Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai
chiều.” Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận
văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Lý thuyết về tập hút toàn cục.
Trong chương này, chúng tôi trình bày lí thuyết cơ bản về tập hút toàn cục,
đây là công cụ được sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài
toán được xét trong chương 2.
Chương 2: Tập hút toàn cục của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều.
Trong chương này chúng tôi chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục đối với
hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều trong miền đa liên bị chặn.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn cục. Áp dụng kết
quả tổng quát này để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm
sinh bởi hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều.
4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a) Nghiên cứu sự tồn tại của tập hút toàn cục.
b) Áp dụng chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ
phương trình g -Navier-Stokes hai chiều.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều.
b) Phạm vi nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ phương trình g -Navier-Stokes
hai chiều.
5. Giả thuyết khoa học
Thiết lập được kết quả tổng quát về tập hút toàn cục. Áp dụng được kết quả
tổng quát này để chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục của hệ phương
trình g -Navier-Stokes hai chiều.
6. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại của tập hút: Các phương pháp của lí thuyết hệ động lực.
5
Chương 1
LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT
TOÀN CỤC
Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], chúng tôi trình bày lý thuyết
cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụ được sử dụng để nghiên cứu dáng
điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g -Navier-Stokes xét trong chương 2.
1.1
1.1.1
Các khái niệm cơ bản
Khái niệm hệ động lực
Định nghĩa 1.1.1. Hệ động lực là một cặp (X; S(t)) gồm một không gian metric
đủ X và một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn:
a) S(0) = I;
b) S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ≥ 0;
c) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C 0 (X, X);
d) với mọi u ∈ X, t → S(t)u ∈ C 0 ((0; +∞), X).
Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên X . Khi đó X gọi
là không gian pha (hay không gian trạng thái). Nếu khái niệm số chiều có thể
định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính)
thì giá trị dim X gọi là số chiều của hệ động lực.
6
1.1.2
Quỹ đạo và tập bất biến
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X; S(t)) là một hệ động lực.
a) Quỹ đạo dương của x ∈ X là tập hợp
γ + (x) = {S(t)x | t ≥ 0}.
Nếu E ⊂ X , quỹ đạo dương của E là tập hợp
γ + (E) =
γ + (z).
S(t)E =
t≥0
z∈E
Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ của E bởi
+
γτ (E) = γ + (S(τ )E).
b) Quỹ đạo của S(t) trên khoảng I ⊂ R là một ánh xạ u : I → X thỏa mãn:
u(t + s) = S(t)u(s),
với mọi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t + s ∈ I .
Đặc biệt, nếu I = (−∞, 0] và u(0) = z ∈ X , thì u gọi là quỹ đạo âm xuyên
qua z và kí hiệu là γ − (z). Nếu I = R và u(0) = z , thì u gọi là quỹ đạo đầy
đủ xuyên qua z và kí hiệu là γ(z).
c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈ R} gọi là quỹ đạo tuần hoàn nếu có số τ > 0
sao cho:
u(t + τ ) = u(t),
∀t ∈ R.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực. Tập con Y của không
gian pha X được gọi là
a) bất biến dương nếu S(t)Y ⊂ Y với mọi t ≥ 0;
b) bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y với mọi t ≥ 0;
7
c) bất biến nếu nó vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức là S(t)Y = Y với
mọi t ≥ 0.
1.1.3
Tập ω-giới hạn và tập α−giới hạn
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A ⊂ X .
a) Tập ω -giới hạn của A được định nghĩa bởi
ω(A) =
,
S(t)A
s≥0
t≥s
X
ở đó S(t)A = {ν = S(t)u : u ∈ A} và [Y ]X là bao đóng của Y trong X .
b) Tập α−giới hạn của A được định nghĩa bởi
S(t)−1 A
α(A) =
s≥0
,
X
t≥s
ở đó S −1 (t)A = {ν : S(t)ν ∈ A}.
Bổ đề sau đây đưa ra đặc trưng của các tập ω -giới hạn và tập α−giới hạn
theo giới hạn của dãy.
Bổ đề 1.1.5. Giả sử A là một tập con khác ∅ của X . Khi đó
n→+∞
n→+∞
ω(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, yn ∈ A sao cho tn − − → +∞ và S(tn )yn − − → y ,
−−
−−
α(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, xn ∈ A sao cho tn → +∞, xn → y
với xn = uzn (−tn ) và uzn là một quỹ đạo âm xuyên qua z .
1.1.4
Tập hút toàn cục
Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lý thuyết các hệ động lực tiêu
hao vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.1.6. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn
cục đối với hệ động lực (X, S(t)) nếu:
a) A là một tập đóng và bị chặn;
8
b) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0;
c) A hút mọi tập con bị chặn B của X , tức là
lim dist(S(t)B, A) = 0,
t→+∞
ở đó dist(E, F ) = sup inf d(a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
a∈E b∈F
con E và F của X .
Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.
Mệnh đề 1.1.7. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi đó:
a) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại);
b) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì B ⊃ A (tính cực
tiểu);
c) A là duy nhất.
1.1.5
Tính tiêu hao
Định nghĩa 1.1.8. Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu
hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm (tương ứng, hút
các tập bị chặn) của X .
Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0 ⊂ X sao
cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T .
Tập B0 như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)). Một hệ
động lực tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực tiêu hao.
Dễ thấy một hệ động lực tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại
nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các hệ động lực hữu hạn chiều.
1.1.6
Tính compact tiệm cận
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là một không gian Banach. Hệ động lực (X, S(t))
gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng
9
S(t) = S (1) (t) + S (2) (t),
(1.1)
ở đó S (1) (t) và S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau đây:
a) với bất kì tập bị chặn B ⊂ X ,
rB (t) = sup
S (1) (t)y
X→
0, t → +∞;
y∈B
b) với bất kì tập bị chặn B trong X , tồn tại t0 sao cho tập hợp
γ (2) (t0 )B =
S (2) (t)B
(1.2)
t≥t0
là compact trong X , ở đây [γ] là bao đóng của γ .
Một hệ động lực là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy
S (1) (t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1). Rõ ràng bất kì một hệ động lực tiêu hao hữu
hạn chiều cũng là compact.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập
compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại t0 (B) sao cho
S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B).
Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact.
Bổ để sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận.
Bổ đề 1.1.10. Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập
compact K sao cho
lim dist(S(t)B, K) = 0,
t→+∞
với mọi tập B bị chặn trong X.
10
1.2
Sự tồn tại của tập hút toàn cục
Để đơn giản trong mục này ta giả sử không gian pha X là một không gian
Banach, mặc dù các kết quả chính vẫn đúng với một lớp rộng hơn các không
gian pha. Định lý sau đây là kết quả chính của mục này.
Định lý 1.2.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao và compact tiệm cận.
Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của hệ (X, S(t)) thì A = ω(B) là một tập
compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)). Hơn nữa,
tập hút toàn cục A là liên thông trong X .
Bổ đề 1.2.2. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận. Khi đó với mọi
tập bị chặn B của X , tập ω -giới hạn ω(B) là một tập compact bất biến khác rỗng.
Do tập hút toàn cục A có dạng A = ω(B), ở đó B là một tập hấp thụ bị chặn
bất kì của hệ đông lực, ta có thể thấy rằng tập hợp S(t)B không chỉ dần đến
tập hút A, mà còn phân bố đều trên A khi t → ∞. Cụ thể ta có định lý sau đây.
Định lý 1.2.3. Giả sử hệ động lực tiêu hao (X, S(t)) có một tập hút toàn cục
A và B là một tập hấp thụ bị chặn của (X, S(t)). Khi đó
lim dist(A, S(t)B) = 0.
t→+∞
Hệ quả 1.2.4. Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực tiêu hao compact tiệm cận.
Khi đó tập hút toàn cục A của nó có tính chất
lim Hdist(S(t)B, A) = 0,
t→+∞
với mọi tập hấp thụ bị chặn B của hệ (X, S(t)). Ở đây Hdist(., .) là khoảng cách
Hausdorff giữa hai tập, tức là
Hdist(A, B) = max{dist(A, B), dist(B, A)}.
11
1.3
Cấu trúc của tập hút toàn cục
Định lý 1.3.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi đó mọi
quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ đạo tuần hoàn,
nếu có) đều nằm trên A. Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A thì A là hợp của
tất cả các quỹ đạo đẩy đủ bị chặn.
Để khảo sát kĩ hơn cấu trúc của tập hút toàn cục, ta cần các khái niệm đa
tạp ổn định và đa tạp không ổn định.
Định nghĩa 1.3.2.
a) Giả sử z là một điểm dừng của hệ động lực (X, S(t)).
Ta định nghĩa:
• Đa tạp không ổn định của z là tập hợp
W u (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t, S(−t)u0 → z khi t → +∞}.
• Đa tạp ổn định của z là tập hợp
W s (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 → z khi t → +∞}.
b) Giả sử Y là một tập bất biến của hệ động lực (X, S(t)). Ta định nghĩa
• Đa tạp không ổn định của Y là tập
W u (Y ) ={u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với mọi t,
dist(S(−t)u0 , Y ) → 0 khi t → +∞}.
Định lý 1.3.3. Nếu Y là một tập compact bất biến của hệ động lực (X, S(t)) thì
W u (Y ) ⊂ A.
1.4
Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục
Trong mục này ta sẽ chỉ ra rằng quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết định
các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau một thời
điểm đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ giống như
một quỹ đạo nào đó trên tập hút toàn cục trong một khoảng thời gian đủ dài.
Định lý 1.4.1. Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Cho trước
12
một quỹ đạo u(t) = S(t)u0 , một sai số > 0 và một khoảng thời gian T > 0. Khi
đó tồn tại một thời điểm τ = τ ( , T ) và một phần tử ν0 ∈ A sao cho
u(τ + t) − S(t)ν0 ≤
với mọi 0 ≤ t ≤ T.
Hệ quả 1.4.2. Cho trước một quỹ đạo u(t), tồn tại một dãy các sai số { n }∞
n=1
với
n
→ 0,
một dãy tăng các thời điểm {tn }∞ với
n=1
tn+1 − tn → ∞ khi n → ∞,
và một dãy các phần tử {νn }∞ với νn ∈ A sao cho
n=1
u(t) − S(t − tn )νn ≤
n
với mọi tn ≤ t ≤ tn+1 .
Hơn nữa, bước nhảy νn+1 − S(tn+1 − tn )νn dần tới 0 khi n → ∞.
13
Chương 2
TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU
Trong chương này, chúng tôi xét hệ g -Navier-Stokes hai chiều trong miền liên
thông bị chặn. Đầu tiên, sử dụng các kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút
toàn cục, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa nhóm
sinh bởi hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo [11] trong Tài liệu tham khảo.
2.1
Đặt bài toán.
Giả sử Ω ⊂ R2 là miền đa liên bị chặn. Ta nghiên cứu sự tồn tại của tập hút
toàn cục của hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều có dạng sau:
∂u − ν∆u + (u · )u + p = f (x) trong Ω × (0, ∞),
∂t
= 0 trong Ω × (0, ∞),
· (gu)
u(x, t)
= u∗ trên ∂Ω,
(2.1)
14
trong đó u = u(x, t) = (u1 , u2 ) là hàm véctơ vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất,
ν = const > 0, và
f = f (x) ∈ (L2 (Ω))2
là ngoại lực không phụ thuộc thời gian.
0 < m0 ≤ g = g(x1 , x2 ) ≤ M0 .
Khi g = 1, hệ (2.1) trở thành hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều thông
thường.
Với Ω ⊂ R2 là miền đa liên, bị chặn, trơn Lipschitz,
∂Ω = Γ1 ∪ ... ∪ Γm ∪ Γm+1 ,
ở đây Γi (1 ≤ i ≤ m) là các biên trong, Γm+1 là các biên ngoài. Điều kiện cần để
một hàm là nghiệm của (2.1) trên Ω là
u∗ .ndΓ =
u∗ .ndΓ + ... +
Γ1
∂Ω
u∗ .ndΓ +
Γm
u∗ .ndΓ = 0,
Γm+1
trong đó n là vectơ pháp tuyến ngoài. Ta kí hiệu
φi =
u∗ .ndΓ,
i = 1, 2, ..., m, m + 1.
Γ1
Chúng ta giả sử bất đẳng thức Poincare đúng trên miền Ω, hay tồn tại λ > 0
sao cho
φ2 gdx ≤
1
λ
φ 2 gdx,
∀φ ∈ H1 (Ω).
0
Ω
Ω
Để nghiên cứu bài toán (2.1), chúng ta xét các không gian hàm sau:
Đặt L2 (g) = (L2 (Ω))2 với tích vô hướng và chuẩn xác định bởi
1
u.vgdx, | . | = (., .) 2 ,
(u, v) =
Ω
Đặt
H1 (g)
0
=
(H1 (Ω))2
0
với tích vô hướng
u, v ∈ L2 (g).
(2.2)
15
2
uj . vj gdx
((u, v)) =
Ω
j=1
cùng với chuẩn
1
. = ((., .)) 2 .u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H1 (g).
0
Từ (2.2), chuẩn . tương đương với chuẩn thông thường trong H1 (Ω). Đặt D(Ω)
0
là không gian các hàm thuộc C ∞ có giá compact trên Ω và ta kí hiệu
ℵ = {v ∈ (D(Ω))2 :
.gv = 0 trong Ω},
Hg là bao đóng của ℵ trong L2 (g),
Vg là bao đóng của ℵ trong H1 (g),
0
Trong đó, Hg và Vg được trang bị tích vô hướng và chuẩn của L2 (g) và H1 (g). Từ
0
(2.2) ta có:
1
u 2 , ∀u ∈ Vg .
λ1
Bây giờ chúng ta định nghĩa toán tử g -Laplacian như sau:
| u |2 ≤
1
1
−∆gu = − ( .g )u = −∆u −
g. u.
g
g
Chúng ta sử dụng toán tử g -Laplacain viết lại phương trình đầu của (2.1)
như sau:
∂u
−ν
∂t
gu +
g
. u + (u. )u +
g
p=f
Chúng ta định nghĩa một phép chiếu g - trực giao
Pg : L2 (g) → Hg
và toán tử g - Stokes
Ag u = −Pg
thỏa mãn mệnh đề sau
1
g
.(g u)
,
(2.3)
- Xem thêm -