Mô tả:
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
B. Giải và biện luận phương trình logarit:
I. Nhắc lại về hàm số logarit:
1. Khái niệm: Hàm số logarit có dạng y log a x ( a > 0, a 1 )
TXĐ: x > 0.
2. Tính chất:
. a > 1: hàm số y log a x là hàm số đồng biến
. 0 < a < 1: hàm số y log a x là hàm số nghịch biến.
. log a a 1 , log a 1 0 , log a (a x ) x , a loga x x
. log a ( x 1 .x 2 ) log a x 1 log a x 2
x1
log a x 1 log a x 2
. log a
x2
m
. log a x m log a x ( m R , x 0)
1
. log a x log a b. log b x (0 a , b, a , b 1, x 0)
1
. log a b
log b a
. log a x log a x ( x 0, 0)
II. Phương trình logarit:
1. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.
2. Phương trình logarit đơn giản:
. log a x log a b (a > 0, a 1, b > 0) x = b
. log a x c x a c (x > 0, a > 0, a 1)
. Dạng tổng quát: log g ( x ) f ( x ) log g ( x ) h ( x )
g(x) 0, g(x) 1
f ( x ) h ( x ) 0
3. Phương pháp giải:
a. Phương pháp mũ hoá ( chuyển về cùng 1 cơ số):
Ví dụ 1. Giải phương trình: log 2 x log 3 x log 4 x log10 x (1)
Giải.
đk: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
log 3 x log 3 2. log 2 x ; log 4 x log 4 2. log 2 x ; log 10 x log10 2. log 2 x
(1) log 2 x(1 log 3 2 log 4 2 log 10 2) 0 log 2 x 0 x = 1.
Ví dụ 2. (Đề 81) Giải phương trình
3
log 1 ( x 2) 2 3 log 1 (4 x ) 3 log 1 ( x 6) 3 (1)
2
4
4
4
Giải.
2
Ta có: log 1 (x 2) 2 log 1 x 2
4
4
log 1 ( 4 x) 3 3 log 1 4 x
4
4
3
log 1 (x 6) 3 log 1 x 6
4
4
x2 0
Đk: 4 x 0
6 x 0
6 x 2
2 x 4
(1) 3 log 1 x 2 3 3 log 1 (4 x) 3 log 1 (x 6)
4
4
4
log 1 x 2 1 log 1 [( 4 x)(x 6)]
4
4
log 1 4 x 2 log 1 [( 4 x )( x 6)]
4
4
4 x 2 ( 4 x )(x 6) 0
4(x 2) x 2 2x 24
2
4(x 2) x 2x 24
nghiệm:
x 2
x 1
x 2 6x 16 0
2
x 2x 22 0
x 2
x 8
x 1 33
33
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình:
log 2 3 x 2 3x 2 + log 2 3 x 1 = log 7 4 3 a ( x 2) , a > 0 (1)
Giải.
Đk: x 2 – 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0 x > 2
x 1 = log 2
Ta có: (2 3 )(2 3 ) = 1 log 2 3 x 1 = log ( 2 3 )
1
log 2
x 2 3x 2
3
log 7 4
3
+ log 2
a(x 2) =
log ( 2
3
3 )2
x 1
a ( x 2)
1
1
log 2 3 ( x 2) = log 2
2
2
1
1
x2 = 4 +
a
a
1
a > 0 nghiệm: x = 4 .
a
(1)
= log 2
3
=
1
log 2
2
a(x 2)
x 1
1
log 2 3 (x 2)
2
x 1
a(x 2) = 1 log 2 3 a(x 2)
3
2
x 2 3x 2
3
3
=
x – 2 = a ( x 2)
1
x2 – 4 =
x>2 x=
4
1
.
a
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình:
a) log 2 (4 x 1 4) . log 2 ( 4 x 1) = log
1
8
1
2
b) log x 3 + log 3 x = log
x
3 + log 3
x +
1
2
2
c) log x (125x ) . log 25 x = 1
d) log 3 (sin
x
x
sin x) + log 1 (sin cos 2x ) = 0. (Đề 3)
2
2
3
2) Xác định m để phương trình:
2
2
2 log 4 (2x 2 x 2m 4m 2 ) + log 1 (x mx 2m ) = 0
2
2
2
có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 + x 2 > 1.
Hướng dẫn:
pt 2 log 2 (2x 2 x 2m 4m 2 ) = log 2 ( x 2 mx 2m 2 )
2x 2 x 2m 4m 2 x 2 mx 2m 2
2
2
x mx 2m 0
x 2 (m 1)x 2m 2m 2 0
2
2
x mx 2m 0
x 1 2m
x 2 1 m
2
2
x mx 2m 0 (2)
phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 nên x 1 , x 2 điều kiện (2) – 1 < 0
2
2
x1 + x 2 > 1
1 m 0
2
m1
2
5
3) Tìm a để phương trình
log 5 (ax)
= 2 có nghiệm duy nhất. (đề 120)
log 5 (x 1)
Hướng dẫn:
m<
1
2
ax 0
x 1 0; x 1 1
log (ax) log (x 1) 2
5
5
pt
x 2 + (2 – a)x + 1 = 0 (2)
ax 0
phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn:
1 x 0
4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)
b. Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình
( x 1) log 2 4( x 1) = 8 ( x 1) 3
Giải.
4(x 1) 0
Đk:
x 1 0
Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:
log 2 (x 1) log 2 4( x 1) = log 2 8(x 1) 3 log 2 4(x 1) . log 2 (x 1) = 3 + 3
log 2 (x 1) 2 log 2 (x 1) . log 2 (x 1) = 3 + 3 log 2 (x 1) (1)
Đặt t = log 2 (x 1) (1) t 2 – t – 3 = 0.
phương trình có nghiệm:
1
t1
1
. t1
1 13
2
13
2
x 1 2
1
1 13
2
x 1 2
2
. t2
Ví dụ 2. Giải phương trình
2
2. 2 ( x 2 ) = log 2 ( 2x)
Giải.
Đk:
2x 0
x 2 0
x 2
1 13
2
13
2
1 13
2
; t2
Đặt 2
2 y 2x
x
2 2y
x 1
= y; y 2 x = log 2 y + 1
y log 2 2x
Ta được hệ phương trình:
x log 2 2y
y. 2 y = x. 2 x (1)
Xét hàm số: f(z) = z. e z ; f'(z) = e z + 2 e z > 0 z 2
f(z) đồng biến trên [2; ). Từ (1) x = y 2 x 2x .
Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = 2 x tại 2 điểm: x 1 = 1; x 2 = 2.
từ x 2 x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình
log x
x log 2 9 = x 2 . 3 2 – x log 2 3 (1)
Giải.
Đk: x>0
áp dụng công thức: a log b c = c log b a
(1) 9 log 2 x = x 2 . 3 log 2 x – 3 log 2 x 3 log 2 x = x 2 – 1.
t
t
3
1
Đặt t = log 2 x 3t + 1 = 4 t + = 1 (2)
4
t
4
t
3
1
Xét f(t) = + là hàm nghịch biến (2) có nghiệm duy nhất t = 1 x = 2 là
4
4
nghiệm của (1)
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a) log 2 ( x x 2 1) log 3 (x x 2 1) =
log 6 x
x2 1
x
x 1
b) log 3 (3 1) log 3 (3 3) = 6
c) log 4 log 2 x + log 2 log 4 x = 2
d) log x 3 + log 3 x = log
x
3 + log 3
x +
1
2
2) Giải và biện luận theo a
a) log x ax . log a x = – 2
x2
b) ( log a2 x + 2). log a x a = log x a log a
2
a
2
1
2
3) Cho phương trình: (m – 3) log ( x 4) – (2m + 1) log 1 ( x 4) + m + 2 = 0
2
tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x 2 thoả mãn 4 < x1 < x 2 < 6
c. Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất:
Ví dụ 1. Giải phương trình: lg(x 2 x 6) + x = lg( x 2) + 4 (1)
Giải.
Đk: x 2 x 6 0 , x + 2 > 0 x > 3.
x2 x 6
(1) lg( x 2 x 6) – lg( x 2) = 4 – x lg
= 4 – x lg(x – 3) = 4 – x
x2
(2)
Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2).
y = lg(x – 3); y' =
1
> 0 là hàm đồng biến
x 3
y = 4 – x là nghịch biến
x = 4 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2. Giải phương trình
log 2
2 3
( x 2 2 x 2)
2
= log 2 3 (x 2x 3) (1)
Giải.
x 2 2x 2 0
Đk:
2
x 2x 3 0
x 1
x 3
2
(1) log 8 4 3 ( x 2x 2) = log
Đặt: a = 7 + 4 3 ; t = x 2 2x 3
(2) log a 1 (t 1) = log a t (3)
Đặt: y = log a
7 4 3
t a y
t . (3)
y
t 1 (a 1)
( x 2 2x 3)
(2)
y
y
a
1
y
+
=1
a y 1 = (a 1)
a 1
a 1
(4)
y = 1 là nghiệm của (4)
y > 1 VT < VP
y < 1 VT > VP
y = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình: 2 log 5 ( x 3) = x.
Giải.
Đk: x > – 3
– 3 < x 0: phương trình vô nghiệm.
x > 0: Đặt log 5 (x 3) = t
log5 (x 3) t
t
2 x
x 3 5t
t
x 2
1
5
t
2
5
t
3 + =1 (*)
t = 1 là nghiệm. VT của (*) là hàm nghịch biến t = 1 là nghiệm duy nhất x = 2 là
nghiệm duy nhất.
Bái tập áp dụng:
1) Tìm m để phương trình: lg 2 (10 x ) + lgx = m
a) có nghiệm.
b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10.
log x
2) Giải phương trình: log 2 ( x 3 6 ) = log 6 x .
- Xem thêm -