Tài liệu Luận văn thạc sỹ Vật lý Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- NGUYỄN ĐÌNH THINH ̣ PHƯƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- NGUYỄN ĐÌNH THINH ̣ PHƯƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2011 MỤC LỤC Mở đầu .................................................................................................................. 01 Chương 1: Các phương pháp giải phương trình Schrodinger trong cơ ho ̣c lươ ̣ng tử................................................................................ 03 1.1. Phương pháp khai triể n theo só ng riêng phầ n ............................................ 03 1.2. Phương pháp hàm Green... .......................................................................... 11 1.3. Phương pháp chuẩ n cổ điể n………..………………………………………18 1.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ theo sóng riêng phần và biên độ tán xạ eikonal…...…………………………………………………20 1.4.1. Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal …………………………………………....……….20 1.4.2. Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần……………...…………………………...…..…21 1.5. Sơ đồ mối liên hệ giữa các phương pháp của bài toán tán xạ…………...…23 Chương 2: Các hiệu ứng hấp dẫn và điện từ trong bài toán tán xa ̣ ở năng lượng Plangck……………………………….………….….24 2.1. Tán xạ toàn phần toàn phần hấp dẫn……………..……………….………..24 2.2. Cực điể m của tán xa ̣……..……………………………………….………...31 2.3. Tán xạ hấp dẫn có kể thêm tương tác điện từ…………… ..……….………33 Kết luận:..…………………………………………………………………………36 Phụ lục A: Các định lý dụng cho biên độ tán tán xạ…………..…………...…….37 Phụ lục B: Phương triǹ h Lippman- Schwingger……………..…………..……....40 Phụ lục C: Các phương pháp Hamilton Jacobi…………..…………..……….….45 Phụ lục D: Trường nề n Schwarzschild……..…………………………….….…..50 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………….....53 MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây đã có những tiến bộ quan trọng trong hiểu biết của chúng ta về tán xạ ở thang năng lượng Planck trong lý thuyết trường lượng tử /110/. Nghiên cứu những quá trình này trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử sẽ cung cấp cơ sở khoa học để nhận thức rõ các hiện tượng vật lý như sự sinh các kỳ dị và sự tạo thành lỗ đen, việc mất thông tin cũng như sự cải biến sợi dây của lý thuyết hấp dẫn. Các kết quả thu được đều khẳng định: biên độ tán xạ Planck của hạt ở vùng năng lượng cao cỡ s » M Pl (trong đó s là năng lượng của hat, M Pl = G - 1/ 2 là khối lượng Planck, G - là hằng số hấp dẫn) và t- bình phương xung lượng truyền là nhỏ, trong giới hạn (t / s ) ® ¥ có dạng biểu diễn eikonal – biểu diễn Glauber (leading term ) với pha phụ thuộc vào năng lượng. Số hạng bổ chính (non-leading terms ) trong bài toán tán xạ này đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu hơn 20 năm nay, trong đó có Bộ môn Vật lý lý thuyết ĐHQG Hà Nội. Kết quả bước đầu của Bộ môn Vật lý thuyết là tìm được số hạng bổ chính bậc nhất cho số hạng chính của biên độ biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử, bằng cả hai phương pháp khác nhau là phương pháp tích phân phiếm hàm và phương trình chuẩn thế. /8-9/. Việc tìm các phương pháp khác cho bài toán này vẫn là vấn đề thời sự. Mục tiêu của Bản Luận văn này là nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao của hạt qua việc giải phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử với ba phương pháp khác nhau -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green, phương pháp chuẩn cổ điển, và việc giải phương trình Klein – Gordon trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử. Nghiên cứu một số hiệu ứng lượng tử cũng được thảo luận ở đây. Bản Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, bốn phụ lục và tài liệu tham khảo. -1- Chƣơng 1 : Giới thiệu ba cách giải phương trình Schrodinger. Trong mục 1.1, xuất phát từ phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử, biên độ tán xạ được biểu diễn qua các sóng riêng phần. Mục 1.2 Đưa ra cách giải thứ hai phương trình Schrodinger thông qua hàm Green để tìm biên độ tán xạ. Trong mục 1.3, ta quay về sử dụng phương pháp chuẩn cổ điển để giải phương trình Schrodinger, từ đó thu được biên độ tán xạ econal. Việc so sánh ba phương pháp trên giúp ta có những cách nhìn khác nhau về bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử trong phầ n 1.4. Chƣơng 2: Xuất phát từ phương trình Klein-Gordon trong trường hấp dẫn tìm biên độ qua sóng riêng phần, theo phương pháp tương tự như đã dược sử dụng trong cơ học lượng tử ở mục 2.1. Trong mục 2.2 số hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ của hạt vô hướng trong trường hấp dẫn được xác định, từ đó suy ra được các kì dị cực điểm của biên độ tán xạ eikonal xuất hiện ở trục ảo của s-mặt phẳng phức. Mục 2.3 dành cho việc xem xét đồng thời cả hai loại tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ cho bài toán tán xạ này. Ở vùng xung lượng truyền lớn, các kết quả thu được có nhiều hiệu ứng vật lý lý thú. Cuối cùng là kết luận chung, các phụ lục, và các tài liệu tham khảo liên quan tới luận văn và các Phụ Lục A, Phụ Lục B, Phụ lục C và Phụ lục D Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 . -2- Chƣơng 1. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ r r Xét chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm tán xạ U (r ) . Giả thiết U (r ) là trường đối xứng không phụ thuộc vào góc j . Khi đó trong cơ học lượng tử, quá trình tán xạ của hạt có thể được mô tả bởi nghiệm của phương trình Schrodinger: r ù r r é h2 2 êúy (r ) = E y (r ) . Ñ + U ( r ) ê 2m ú ë û (1.1) 1.1. Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần. Phương trình Schrodinger: r ù r r é h2 2 êúy (r ) = E y (r ) . Ñ + U ( r ) ê 2m ú ë û (1.1.1) Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào ở gốc tọa độ 0, chọn hướng của các dòng hạt tới dọc theo trục 0Z. Ta thấy rằng ở xa tâm tán xạ hạt không không chịu tác dụng nên nó chuyển động tự do nên chuyển động của nó được mô tả bởi sóng phẳng như sau : r Yin (r ) = e ikz (1.1.2) Ở gần tâm tán xạ hạt sẽ bị tán xạ. Hàm thế U(r) mô tả tương tác của hạt với tâm lực có thể giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian hữu hạn r < a nào đó mà ta gọi là miền tác dụng lực . Khi đó hàm sóng bị thay đổi và chuyển động của các hạt tán xạ phải được mô tả bởi một hàm cầu phân kỳ: r e ikr Yout (r ) = f ( q, j ) r (1.1.3) Biên độ sóng phân kì f(,) trong công thức (1.1.3) được gọi là biên độ tán xạ. Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới Yin và sóng tán xạ Yout : -3- r e ikr ikz Y(r ) = e + f ( q, j ) r (1.1.4) r Với Y(r ) là nghiệm của phương trình Schrodinger (1.1.1) ở trên. Trong biểu thức (1.1.4), số hạng thứ nhất được viết trong to ̣a độ Đề các, mô tả chuyển động của hạt tới, còn số hạng thứ hai trong toạ độ cầu mô tả chuyển động của hạt tán xạ trong toạ độ cầu. Ta có thể biểu diễn bằng hình vẽ sau: Các sóng cầu tán xạ Các sóng phẳng tới Mặt khác, nghiệm của phương trình Schrodinger (1.1.1) trong trường hợp r U (r ) đối xứng trục(đối với z) không phụ thuộc góc j có thể viết dưới dạng: ¥ Y(r , q) = å bR (r )P (cos q) , l l (1.1.5) l= 0 ở đây, bl là hệ số không đổi được xác định bởi các điều kiện biên và điều kiện chuẩn hoá. Pl (cos q) là đa thức Legendre được xác định bởi công thức: 1 dl Pl (x ) = l 2 l ! dx l lù é 2 ê x - 1 ú. êë ú û ( ) (1.1.6) Ta đi giải phương trình Schrodinger để tìm ra phương trình xuyên tâm của R l (r ) như sau : Từ phương trình (1.1.1) ta có : r ù r r é h2 2 êú ê 2m Ñ + U (r )úy (r ) = E y (r ) ë û -4- h2 2 r Ñ y (r ) + 2m r 2m Ñ 2 y (r ) + 2 h r r é ù êU (r ) - E úy (r ) = 0 ë û r r é ù E U ( r ) y ( r ê ú )= 0 ë û Thay biểu thức (1.1.5) vào phương trình (1.1.7), ta có: r æ ö r r 1 d çç 2 d y (r ) ÷ 1 ÷ + D y (r ) + l y (r ) = 0 ÷ çr ÷ dr ø ÷ r 2 q,j r 2 dr ççè Trong đó D q,j Và (1.1.7) (1.1.8) ö 1 d æ dy ÷ 1 d2 ç = + çsin q ÷ ÷ sin q d q çè dq ÷ ø sin 2 q d q2 l = 2m é ù êE - U (r )û ú 2 ë h Giải phương trình dưới dạng tách biến : y (r , q, j ) = R (r )Y (q, j ) (1.1.9) Thay (1.1.9) vào (1.1.8), ta được hệ phương trình sau : ö ïíï d æ 2 dR ÷ ÷ ïï çççr ÷ D q,j Y ø ïï dx è dx ÷ 2 + l r + = 0 ïï R Y ï ì D q,j Y + mY = 0 ïï ö æ ö ïï 1 d æ ççr 2 dR ÷ ççl - m÷ ÷ ÷R = 0 + ïï 2 2÷ çè dx ø÷ ç ÷ ÷ dx r r è ø ïï ïïî Với điều kiện Y f = 0,p < ¥ ;Y (q, j + 2p ) = Y (q, j ) Þ m= l(l + 1) (1.1.20) Quay về phương trình với R ta thu được phương trình xuyên tâm của R l (r ) dạng: ö m 1 d æ ççr 2 dR ÷ ÷÷ 2R+ lR = 0 r 2 dr çè dr ÷ ø r -5- ö l(l + 1) 1 d æ 2m ççr 2 dR ÷ ÷R + 2 éëêE - U (r )ù úR = 0 . ÷ 2 2 û ç r dr è dr ÷ r h ø (1.1.21) Trong toán học ta biết rằng 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình trên là những hàm cầu Bessel jl (k , r ) và yl (k , r ) , có dạng: l íï æ öæ ö ïï l ç 1 d ÷ ç sin z ÷ ÷ ÷ j ( z ) = z ç ç ïï l ÷ ÷ çè z dz ø ÷ èç z ø ÷ ïì l ïï æ ö æcos z ö ÷ çç ïï y (z ) = - z l çç- 1 d ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ èç z ø ÷ çè z dz ø ïïî l ở đây ta đặt z =kr. Nếu xét trong tiệm cận gần đúng khi z ® ¥ (1.1.22) tương ứng với r ® ¥ nghĩa là ta chỉ xét các chuyển động vô hạn, ta có: íï sin(z - l p ) ïï 2 ïï jl (z ) ® ïì z ïï cos(z - l p ) ïï y (z ) ® 2 ïïî l z (1.1.23) Khi đó nghiệm của phương trình (1.1.21) được viết bằng tổng 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (1.1.23). é sin(kr - l p ) cos(kr - l p ) ù ê 2 - B 2 ú ú R l (r ) = Al jl (kr ) + B lyl (kr ) = êAl l ê ú kr kr êë ú û (1.1.24) Ở đây Al và B l là các hằng số thỏa mãn : Al = C l cos dl ; B l = - C l sin dl (1.1.25) và dl là độ dịch chuyển pha. Thay (1.1.25) vào (1.1.24) ta có: f (s, t ) = i s 2p ò ¥ 0 d 2be ikb éêe ë sin(kr - l p Hay Rl (r ) = C l 2 2i dl + dl ) kr -6- - 1ù ú û (1.1.26) Thay (1.1.10) vào (1.1.5), khi đó nghiệm của phương trình schrodinger (1.1.1) được viết lại: sin(kr + dl - l p ) 2 . (1.1.27) y (r ® ¥ ) = å C l Pl (cos q)R l (r ) = å C l Pl (cos q) kr l= 0 l= 0 ¥ ¥ Các hệ số C l phải chọn như thế nào để hàm sóng có dạng: y = e ikz + f ( q) ikzr r e r (1.1.28) Đến đây, ta nhận thấy rằng để cân bằng (1.1.27) và (1.1.28) thì hàm sóng của phương trình (1.1.26) phải được biểu diễn bởi 2 tổng e ikz và f ( q) ikzr r e r Với số hạng thứ nhất, ta sẽ khai triển hàm sóng phẳng e ikz theo các sóng cầu f ( q) ikzr r e ở khoảng cách lớn bằng cách sử dụng các đa thức Legendre: r ¥ e ikz =e ikr cos q = å fl (r )Pl (cos q) , (1.1.29) l= 0 Trong đó fl (r ) các hệ số khai triển,đó là các hàm mà ta cần tìm dạng của nó. Để đơn giản, ta đặt x = cos(), thay vào (1.1.29) ta có: ¥ e ikrx = å fl (r )Pl (x ) . (1.1.30) l= 0 Nhân cả 2 phương trình trên với Pl ' (x ) và lấy tích phân theo x trong khoảng từ -1 đến (n +1) (tương ứng với  biến thiên từ  đến 0) +1 òe ¥ ikrx Pl ' (x )dx = - 1 å l= 0 +1 fl (r ) ò Pl (x )Pl ' (x )dx . (1.1.31) - 1 +1 Sử dụng tính chất của các đa thức Legendre: ò Pl (x )Pl '(x )dx = - 1 Vế trái (1.1.14) được viết: -7- dl ,l ' l+ 1 . 2 ¥ å l= 0 +1 fl (r ) ò Pl (x )Pl ' (x )dx = +1 ¥ å l= 0 - 1 dl ,l ' fl (r ) ò l+ 1 - 1 2 Lấy tổng theo l ,khi l = l ' ta được: ¥ å l= 0 +1 fl (r ) ò Pl (x )Pl ' (x )dx = fl ' (r ) - 1 dl ,l ' l '+ 1 = fl ' (r ) 2 2l '+ 1 2 Thay vào (1.1.30), đổi l = l ' ta thu được công thức sau: +1 2l + 1 fl (r ) = e ikrx Pl (x )dx . ò 2 -1 (1.1.32) Lấy tích phân từng phần biểu thức trên, áp dụng các tính chất của hàm Legendre Pl (1) = 1 và Pl (- 1) = (- 1)l , ta được: 2l + fl (r ) = 2 = 2l + 2 2l + = 2 = 2l + 2 + 1 ikrx ü ï 1 íïï e ikrx e x= + 1 Pl (x ) x = - 1 - ò P 'l (x )dx ïý ì ïï ikr ïï ikr - 1 ï îï þ í e ikr éP (1) - P (- 1)ù + 1 ikrx ï ïü 1ï e êl ú l ë û - ò P 'l (x )dx ïý ì ïï ïï ikr ikr - 1 ï îï þ í e ikr 1 - (- 1)l ü + 1 ikrx ï ï ï 1 ïï e - ò P 'l (x )dx ïý ì ïï ïï ikr ikr - 1 ïî ï þ +1 í ikr l - ikr ï ïü 1 ï e - (- 1) e 1 ikrx ïý e P ' ( x ) dx ì ò l ïï ïï ikr ikr - 1 ï îï þ ( ) (1.1.33) Ta nhận thấy, nếu tiếp tục tiến hành tính giá trị biểu thức (1.1.33) bằng cách tích phân từng phần số hạng thứ 2, thứ 3, thứ 4,…,thứ l, ta sẽ thu được số hạng tương tự với số hạng thứ nhất trong (1.1.33), còn dưới mẫu sẽ là (ikr)2 , (ikr)3 , (ikr)4 ,..., (ikr)l+ 1 . Do đó nếu xét r lớn, ta có thể giới hạn biểu thức của fl (r ) ở số hạng bậc 1: fl (r ) = l 2l + 2 ikr l - ikr ö 1æ ççe - (- 1) e ÷ ÷ . ÷ ççè ÷ ikr ø l l ( )=e Thay (- 1) = (cosp + i sin p ) = e ip -8- il p 2 .e (1.1.34) il p 2 , Thay vào biểu thức (1.1.33) ta thu được kết quả như sau: 2l + 1 æ e ikr - (- 1)l e - ikr ö 2l + ÷ ç ÷ fl (r ) = = çç ÷ ÷ 2 çè ikr 2 ø 2l + = 2 il p il p æ ö ikr - ikr ÷ ç 2 2 ÷ 1 ççe - e .e .e ÷ ÷ çç ÷ ÷ ikr çç ÷ ÷ è ø il p il p il p æ ilp ö ÷ 1 çççe 2 e ikre 2 - e 2 .e 2 .e - ikr ÷ ÷ ÷ çç ÷ ÷ ikr çç ÷ ÷ è ø il p il p æ ö ÷ 2l + 1 il2p çççe ikr .e 2 - e 2 .e - ikr ÷ ÷ ÷ = e ç ÷ ç ÷ 2 ikr çç ÷ ÷ è ø = Số hạng e il p 2 2l + 1 e 2 il p 2 æ il p ö ÷ æ æçççikr - ilp ö÷÷÷ ÷ö - çççikr ÷ çç èç 2 ø÷ ÷÷ 2 ø èç ÷ ÷ - e ççe ÷ ÷ çç ÷ ikr ÷ çç ÷ ÷ è ø (1.1.35) có thể được biểu diễn dưới như sau: l l æ ilp ö æ lp ö l p ççe 2 ÷ ÷ ç ÷ = çcos + i sin ÷ = il ÷ çç ÷ ç ÷ ÷ 2 2ø è ø è và e æ ÷ ççikr - il p ö ÷ ÷ ÷ 2 ø èçç - e ikr æ il p ö ÷ ÷ - çççikr ÷ ÷ 2 ø èç cos(ikr = = = il p il p il p il p ) + sin(ikr ) - cos(- ikr + ) - sin(- ikr + ) 2 2 2 2 ikr sin(kr - l p / 2) kr Thay vào (1.1.35), ta được: -9- fl (r ) = i l (2l + 1) fl (r ) = i l (2l + 1) hay sin(kr - l p / 2) 2l + 1 = e kr 2 il p 2 il p il p æ ö ççe ikr .e - 2 - e 2 .e - ikr ÷ ÷ ÷ çç ÷ ÷ çç ÷ ikr ÷ ÷ çè ø sin(kr - l p / 2) . kr (1.1.36) Thay biểu thức (1.1.36) vào biểu thức (1.1.29) ta có: ¥ e ikz = å i l (2l + 1)Pl (cos q) l= 0 sin(kr - l p / 2) . kr (1.1.37) Tiếp theo, đối với số hạng thứ 2 trong biểu thức (1.1.28), ta khai triển hệ số f ( q) theo các đa thức Legendre dạng: ¥ f ( q) = å gl Pl (cos q) . (1.1.38) l= 0 Thay các biểu thức (1.1.37) và (1.1.38) vào biểu thức (1.1.28) ta được: y = e ikz + f ( q) ikzr r e . r ¥ = å i l (2l + 1)Pl (cos q) l= 0 sin(kr - l p / 2) + kr ¥ å gl Pl (cos q) l= 0 e ikr r (1.1.39) Mặt khác, như đã phân tích ở trên, hàm này có thể được biểu diễn dưới dạng (1.1.11). Do đó ta cần cân bằng hai biểu thức (1.1.27) và (1.1.39) với nhau, cần chú ý rằng ta có thể biểu diễn sin(kr - l p / 2) e = kr æ ÷ ççikr - il p ö ÷ ÷ çèç ÷ 2 ø - e ikr æ ö il p ÷ ÷ - çççikr ÷ çè 2 ÷ ø và thay i l bằng e ip l / 2 . Kết quả ta được: ¥ 1 i ( kr + dl - l p / 2) - i ( kr + dl - lp / 2) ù C l éêe - e P (cos q) ú ë ûl l = 0 2ikr . ¥ ü 1 ïíï ilp / 2 1 é i ( kr - lp / 2) - i ( kr - lp / 2) ù ikr ïï = å ì e (2l + 1) e - e Pl (cos q) ú+ gle ý û ï ïþ 2ik ëê l = 0 r îï ï å (1.1.40) Giản ước, cân bằng các hệ số của e ikr và e - ikr , ta có: 1 2l + 1 i ( d - lp / 2) C le l = + gl , 2ikr 2ki - 10 - (1.1.41) - 1 2l + 1 ilp - i ( d - lp / 2) C le l = e . 2ikr 2ki (1.1.42) Từ hệ thức (1.1.42) dễ dàng tìm được: C l = (2l + 1)e i ( dl + lp / 2) .r (1.1.43) Thay (1.1.43) vào biểu thức (1.1.41) ta tìm được gl như sau: gl = 2l + 1 1 i ( d - l p / 2) C le l 2ki 2ikr = 2l + 1 1 i ( d + lp / 2) i ( d - lp / 2) (2l + 1)e l .re l 2ki 2ikr = 2l + 1 2idl (e - 1) 2ik (1.1.44) Cuối cùng, thay (1.1.44) vào biểu thức (1.1.39) ta nhận được biên độ tán xạ theo sóng riêng phần ¥ f ( q) = å l= 0 1 gl Pl (cos q) = 2ik ¥ å (2l + 1)(e 2i dl - 1)Pl (cos q) . (1.1.45) l= 0 1.2. Phƣơng pháp hàm Green Như đã đề cập ở mục 1.1, quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình Schrodinger: r r ur éÑ 2 + k 2 ùy (r ) = U (r )y (r ) , ú ëê û (1.2.1) r r 2mE 2 mU ( r ) U ( r ) = ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu k 2 = và . h2 h2 Phương trình vi phân (1.2.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân: r r y (r ) = f (r ) + r ur r r 3 d r ' G ( r , r ') U ( r ') y ( r ') , ò 0 r trong đó hàm f (r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do: - 11 - (1.2.2) r éÑ 2 + k 2 ùf (r ) = 0 , (1.2.3) ú ëê û r ur và hàm Green G 0 (r , r ') là nghiệm của phương trình: r ur r ur éÑ 2 + k 2 ùG (r , r ') = d(3) (r - r ') . (1.2.4) ú 0 ëê û r ur r Các điều kiện biên của hàm f (r ) và G 0 (r , r ') được xác định từ điều kiện biên của r hàm y (r ) . Phương trình tích phân (1.2.2) được gọi là phương trình LippmanSchwinger. Các nghiệm của phương trình (1.2.3) và (1.2.4) là: r r r r r i k .r - i k .r , f (r ) = A0e + B 0e r r ù é ik rr - rr ' - ik r - r ' r r ê ú 1 ê e e ú, G 0 (r , r ') = A + B r r r r ê ú 4p ê r - r ' r- r'ú êë ú û (1.2.5) (1.2.6) trong (1.2.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (1.2.5) và (1.2.6), thì nghiệm của phương trình Lippman-Schwinger (1.47) được viết lại dạng: r r ù é ik rr - rr ' - ik r - r ' ê e ú r r e 3 ê ò d r ' êA r r + B r r úúU (r )y (r ') . (1.2.7) ê r- r' r- r'ú ú ëê û ur Theo các điều kiện biên thì hàm sóng y (r ) phải bao gồm hai thành phần: ur r r r r 1 i k .r - i k .r y (r ) = A0e + B 0e 4p thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần còn lại là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0= B = 0 và (1.2.7) viết lại dưới dạng: ur r r 1 y (r ) = A0e i k .r 4p r r ik r - r ' r r e 3 d r ' U ( r )y (r ') . r r ò r- r' (1.2.8) Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r) được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy đo (detectors) các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng r ' = r và do đó suy ra gần đúng sau: - 12 - r ur éæ ö2 ù r .r ' ê r '÷ ú r- r' = r+ O êçç ÷ ÷ ú. r øú êçè r ÷ ë û (1.2.9) Từ (1.2.9), chúng ta có thể viết lại biểu thức (1.2.8) dạng: y r® ¥ r r r 1 (r ) = A0e i k .r 4p Đặt Ao = 1, suy ra: với f ( q, f ) = - 1 4p r ur r 1 ik (r - r .rr ' ) r 3 d r ' e U ( r ') y ( r ') . ò r rr e ikr r , y r ® ¥ (r ) = e i k r + f ( q, f ) r r r rr 3 - ikr d r ' e U ( r ') y ( r ') , ò (1.2.10) (1.2.11) (1.2.12) r r r được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trong trường thế V(r), ở đây k = k . Bức r tranh minh hoạ cho các biến đổi phức tạp trên được chỉ rõ trong hình vẽ 1: y  b' x   r k'k r '   k, z r r = (r sin q cos f , r sin q sin f , r cos q) ur k ' = (k sin q cos f , k sin q sin f , k cos q) r k = (0, 0, k ) ur r ' = (b ' cos f ', b ' sin f ', z ') Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên. Chú r ur r ur ý rằng r , k ' và k là các cực toạ độ cầu và r ' là cực toạ độ trụ. r ur Thông thường, trong thực tế có thể coi f ( q, f ) như là một hàm của k , k ' và r ur do đó có thể viết f ( q, f ) = f (k, k ') . Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới r f ( q, f ) được chứa đựng trong miền tiệm cận của Y(r ) nhưng các đóng góp tới f ( q, f ) trong phương trình (1.2.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác không. - 13 - Với các điều kiện cần thiết là U 1 1 . Trong = 1 và = ka = E U/E (U / E )2 miền giới hạn đó, biên độ tán xạ được viết dưới dạng : f ( q, f ) = k 2p uur ur ur ù 2 - i k '.b ' é i c (b ') ò d b ' e êëe - 1úû (1.2.13) Ở đây: ur 1 2m c (b ') = 2k h 2 ur ò dz 'U (b ', z ') +¥ (1.2.14) - ¥ Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán xạ: f ( q, f ) = - 1 4p r r rr 3 - ikr d r ' e V ( r ') y ( r ') ò Và từ phương trình Schrodinger (1.1.3): r r ur éÑ 2 + k 2 ùy (r ) = U (r )y (r ) ú ëê û r r r r r Ta đặt: y (r ) = e i k .r f (r ) và chọn k dọc theo hướng z. Khi đó phương trình trên viết lại dạng: r ù r r é ê2ik ¶ - U (b, z )úf (b, z ) = - Ñ 2f (b, z ) . (1.2.15) ê ¶z ú ë û r r ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu r º (b, z ) . Chúng ta có thể viết nghiệm của phương trình (1.2.15) dạng: r r f (b, z ) = h(b, z ) - r ur ur '2 d b ' dz ' G ( b , z , b ', z ') Ñ f ( b ', z '). ò ò e +¥ 2 (1.2.16) - ¥ r h(b, z ) thoả mãn phương trình: r ù r é ê2ik ¶ - U (b, z )úh(b, z ) = 0 . ê ¶z ú ë û r ur Và hàm Ge (b, z , b ', z ') thoả mãn: - 14 - (1.2.17) r ù r ur r ur r ur é ê2ik ¶ - U (b, z )úG (b, z , b ', z ') = d(2) (b - b ')d(z - z '). ê ¶z ú e ë û (1.2.18) Nghiệm của các phương trình (1.2.17) và (1.2.18) là: z r 1 duU (b,u ) r 2ik ò - ¥ . h(b, z ) = e r r Với các điều kiện biên là h(b) = h(b, z ® - ¥ ) = 1 . Và z r ur 1 (2) r Ge (b, z , b ', z ') = d (b 2ik 1 (2) r = d (b 2ik 1 (2) r = d (b 2ik 1 (2) r = d (b 2ik (1.2.19) r ur r ur 21ik ò du .U (b,u ) b ')d(z - z ')e z ' - ¥ r z r ur r ur 21ik ò du .U (b,u )+ ò du .U (b,u ) - ¥ b ')d(z - z ')e z ' ur r b ')d(z ur r b ')d(z - 1 2ik - ¥ r du .U (b,u ) 1 2ik z ur ò ò z ')e z ' .e - ¥ ur r r - 1 z ')h(b, z )h (b, z ). (1.2.20) r du .U (b,u ) Thay (1.2.19) và (1.2.20) vào (1.2.16), ta thu được: r r é 1 f (b, z ) = h(b, z ) êê1 êë 2ik ù r æ ö r ¶2 ÷ 2 ç ò dz ' h (b, z ) çççèÑ b + ¶ z '2 ÷÷÷øf (b, z ')úúú. - ¥ û z - 1 (1.2.21) Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau: r r é f (b, z ) = h(b, z ) êê1 + êë ur ¶ ö ær ç ò dz ' K ççèb, z ', Ñ b, ¶ z ' ÷÷÷÷ø+ z - ¥ uur ¶ ö z ' ær ÷ ç ÷ + ò dz ' K çb, z ', Ñ b, dz '' K ÷ ÷ò çè ¶ z 'ø z - ¥ - ¥ ù ur ær ö ú ççb, z '', Ñ b, ¶ ÷ ÷ + ... ÷ ú ÷ çè ¶ z '' ø ú û (1.2.22) ær ur ¶ ö ÷ tác động lên một hàm g(z) bất kỳ cho bởi: ở đây biểu thức của K ççb, z , Ñ b , ÷ ÷ çè ¶z ÷ ø 2 ö r ær ur ¶ ö 1 -1 r æ ççÑ 2 + ¶ ÷ ÷ ÷ K ççb, z , Ñ b, ÷ g ( z ) = h ( b , z ) f ( b , z )g(z ) . ÷ çèç b ¶ z 2 ÷ ÷ ÷ çè ¶z ø 2ik ø - 15 - (1.2.23) r r r r r Thay chuỗi của f (b, z ) trong (1.2.23) vào dạng của hàm y (r ) = e i k .r f (r ) và cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng: f (q, f ) = f (0) (q, f ) + f (1) (q, f ) + f (2) ( q, f ) + ... (1.2.24) Ở đây: 1 f ( q, f ) = 4p ur ur r uur ur i ( k - k ').r ' d b ' dz ' e U ( b ', z ) h ( b ', z ') ò ò 1 f ( q, f ) = 4p ò d b ' ò dz ' e 1 f ( q, f ) = 4p ur ur r uur ur i ( k - k ').r ' d b ' dz ' e U ( b ', z ') h ( b ', z ') ò ò (0) (1) (2) +¥ 2 (1.2.25) - ¥ +¥ 2 z' ur ur ur U (b ', z ')h(b ', z ') ò dz '' K (b ', z ") r uur ur i ( k - k ').r ' - ¥ (1.2.26) - ¥ +¥ 2 - ¥ z" ur ur ´ ò dz '' K (b ', z ") ò dz ''' K (b ', z ''') z' - ¥ (1.2.27) - ¥ r ær ur ¶ ö ÷ Chúng ta đã thay K ççb, z , Ñ b, ÷ º K ( b , z ) cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức mũ ÷ çè ÷ ¶z ø của các hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh hoạ trong hình 1 ở trên. ur k ' = (k sin q cos f , k sin q sin f , k cos q) r k = (0, 0, k ) ur r ' = (b ' cos f ', b ' sin f ', z ') rr k .r ' = kz ' r r k '.r ' = kb ' sin( q) cos( f ) cos( f ') + kb ' sin( q) sin( f ) sin( f ')kz ' co s( q) r ur r i (k - k ').r ' = ikz '- ikb ' sin( q) cos(f ) cos(f ') - kb ' sin( q) sin( f ) sin( f ') - kz ' co s(q) r ur r i (k - k ').r ' = ikz '[1 - co s( q)] - ikb ' sin( q)[cos(f ) cos(f ') + sin(f ) sin(f ')] r ur r q i(k - k ').r ' = ikz '.2 sin 2 - ikb ' sin( q) cos(f - f ') (1.2.28) 2 - 16 - Ta quan tâm tới hàm f (0) ( q, f ) trong khai triển trên. Từ (1.2.19), (1.2.25) và (1.2.26) ta có thể viết: 1 f ( q, f ) = 4p (0) +¥ ò d b ' ò dz ' e 2 r ur U (b ', z ')h(b ', z ') r uur ur i ( k - k ').r ' - ¥ z' = - 1 4p +¥ ò d b ' ò dz 'e 2 ur 1 du .U (b ',u ) r 2ik ò U (b ', z ')e - ¥ (1.2.29) q - ikb ' sin( q) cos( f - f ')+ ikz ' .2 sin 2 2 - ¥ Ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là nhỏ. Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau: - ikb ' sin( q) cos(f - f ') + ikz '.2 sin 2 æqö q ÷ . » - ikb ' q cos(f - f ') + ikz '.2 çç ÷ ÷ çè2 ø ÷ 2 Xét ở gần đúng bậc nhất theo q ta nhận được biểu thức: - ikb ' sin( q) cos(f - f ') + ikz '.2 sin 2 q » - ikb ' q cos(f - f ') 2 (1.2.30) Bây giờ ta viết lại (1.2.29) như sau: z' ur 1 du .U (b ',u ) r 2 ik ò 1 2 - ikb ' q cos( f - f ') - ¥ f (0) ( q, f ) = d b ' d f ' e dz '. U ( b ', z ') e . ò ò 4p ò 0 - ¥ 2p +¥ (1.2.31) Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (1.2.30) cho phép chúng ta đưa ra ngoài tích r phân theo z trong (1.2.31) bằng cách thay thế bởi tích phân mới ò duU . (b ', u ) . Sau +¥ - ¥ khi tính các tích phân, ta được: f (0) ( q, f ) = ở đây k 2p i ur k 1 c (b ') = 2E ò ¥ 0 ò ¥ ur 2p b ' db ' ò d f '.e - ikb ' q cos( f - f ') éêe i c (b ') - 1ù . ú 0 ë û ur dz 'U (b ', z ') . (1.2.32) (1.2.33) 0 Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào góc f và hơn nữa ta có thể bỏ f ' trong tích phân trên. - 17 -