TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
ĐỖ THỊ THU HÀ
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ADOMIAN
GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
HÀ NỘI – 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
ĐỖ THỊ THU HÀ
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ADOMIAN
GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
PSG.TS KHUẤT VĂN NINH
HÀ NỘI – 2018
Líi c£m ìn
Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n
V«n Ninh
PGS.TS. Khu§t
- Ng÷íi trüc ti¸p tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o v ành
h÷îng cho em trong suèt qu¡ tr¼nh em l m b i khâa luªn cõa m¼nh.
çng thíi em công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong tê Gi£i
t½ch v c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H
Nëi 2, Ban chõ nhi»m khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh
tèt b i khâa luªn n y º câ k¸t qu£ nh÷ ng y hæm nay.
M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè gng, song thíi gian v kinh nghi»m b£n
th¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng
thi¸u sât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡c
b¤n sinh vi¶n v b¤n åc.
Em xin ch¥n th nh c£m ìn!
H Nëi, th¡ng 05 n«m 2018
Sinh vi¶n
é Thà Thu H
Líi cam oan
Em xin cam oan khâa luªn n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng
em d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y
PGS.TS. Khu§t V«n Ninh
. Trong
khi nghi¶n cùu, ho n th nh b£n khâa luªn n y em ¢ tham kh£o mët
sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n T i li»u tham kh£o.
Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch
Adomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng
Em xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i:
l
k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu v né lüc håc tªp cõa b£n th¥n, khæng
tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c. N¸u sai em xin chàu ho n
to n tr¡ch nhi»m.
H Nëi, th¡ng 05 n«m 2018
Sinh vi¶n
é Thà Thu H
Möc löc
Mð ¦u
1
1 Ki¸n thùc chu©n bà
3
1.1
Mët sè ki¸n thùc v· gi£i t½ch . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
B¡n k½nh hëi tö v kho£ng hëi tö cõa chuéi lôy
thøa
1.2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chuéi lôy thøa
. . . .
4
1.1.3
Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa . . . . . .
5
Mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng . . .
6
1.2.1
Mët sè kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2
Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët gi£i ÷ñc
b¬ng c¦u ph÷ìng
1.2.3
. . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Mët sè t½nh ch§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi
ph¥n tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4
B i to¡n Cauchy
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5
ành lþ tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n
Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
11
11
2 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng
12
ii
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
2.1
Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian
2.2
Gi£i ph÷ìng tr¼nh Riccati
2.3
Gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n bªc cao
2.4
Gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n vîi c¡c i·u ki»n ban ¦u
suy bi¸n
. . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian
29
35
46
3.1
Sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.2
C¡c v½ dö
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K¸t luªn
57
TI LIU THAM KHO
58
iii
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Líi mð ¦u
1. Lþ do chån · t i
To¡n håc l mët mæn khoa håc tü nhi¶n gn li·n vîi thüc ti¹n. Sü
ph¡t triºn cõa to¡n håc ÷ñc ¡nh d§u bði nhúng ùng döng cõa to¡n
håc v o vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n thüc ti¹n. Trong thüc ti¹n nhi·u
b i to¡n cõa khoa håc, kÿ thuªt v mæi tr÷íng,. . . d¨n ¸n vi»c gi£i
b i to¡n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, ch½nh v¼ vªy, vi»c nghi¶n cùu
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng âng mët vai trá quan trång trong to¡n
håc.
Trong c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, trø mët sè nhä lîp ph÷ìng
tr¼nh vi ph¥n th÷íng ¢ ÷ñc håc: ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n t¡ch bi¸n,
ph÷ìng tr¼nh Becnoulli, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t,
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n to n ph¦n,. . . cán l¤i nâi chung khæng t¼m ÷ñc
nghi»m mët c¡ch ch½nh x¡c. Do vªy, mët v§n · °t ra l t¼m c¡ch º
x¡c ành nghi»m g¦n óng cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng â.
Xu§t ph¡t tø nhu c¦u n y, c¡c nh to¡n håc ¢ t¼m ra nhi·u ph÷ìng
ph¡p º gi£i g¦n óng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. Ph÷ìng ph¡p
ph¥n t½ch Adomian l mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p húu hi»u d¹ ¡p
döng º gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n.
Vîi mong muèn t¼m hiºu v nghi¶n cùu s¥u hìn v§n · n y, d÷îi
PGS.TS. Khu§t V«n Ninh
Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng
sü h÷îng d¨n cõa
em ¢ nghi¶n cùu
· t i:
º thüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p
cõa m¼nh.
1
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
2. Möc ½ch nghi¶n cùu
Khâa luªn nghi¶n cùu v· ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n
óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng.
3. èi t÷ñng nghi¶n cùu
Nghi¶n cùu ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i
g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng phi tuy¸n.
4. Ph¤m vi nghi¶n cùu
C¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët, c§p hai v ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n
c§p cao vîi i·u ki»n ban ¦u cho tr÷îc.
5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
S÷u t¦m, nghi¶n cùu c¡c t i li»u li¶n quan.
Vªn döng mët sè ph÷ìng ph¡p cõa Gi£i t½ch v Lþ thuy¸t ph÷ìng
tr¼nh vi ph¥n.
Ph¥n t½ch, têng hñp v h» thèng c¡c ki¸n thùc li¶n quan.
6. C§u tróc · t i
Khâa luªn gçm ba ch÷ìng
Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà
Ch÷ìng 2: Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng
Ch÷ìng 3: Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian
2
Ch֓ng 1
Ki¸n thùc chu©n bà
Trong ch÷ìng n y chóng ta tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· ph÷ìng
tr¼nh vi ph¥n th÷íng v chuéi lôy thøa. Nëi dung ÷ñc tham kh£o
trong t i li»u [1], [2].
1.1 Mët sè ki¸n thùc v· gi£i t½ch
1.1.1 B¡n k½nh hëi tö v kho£ng hëi tö cõa chuéi lôy thøa
Chuéi lôy thøa l mët chuéi h m câ d¤ng
∞
X
an (x − a)n = a0 + a1 (x − a) + . . . + an (x − a)n + . . .
n=0
trong â
a, an (n = 0, 1, 2, ...)
l c¡c h¬ng sè.
Chuéi lôy thøa luæn luæn hëi tö t¤i iºm
N¸u ngo i iºm
x=a
x = a.
chuéi ph¥n ký th¼ ta nâi chuéi lôy thøa ph¥n
ký khp nìi.
N¸u chuéi lôy thøa khæng ph£i ph¥n ký khp nìi th¼ tçn t¤i sè
sao cho trong kho£ng
(a − R, a + R)
3
R>0
chuéi hëi tö, cán ngo i o¤n
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
[a − R, a + R]
Kho£ng
chuéi ph¥n ký.
(a − R, a + R)
÷ñc gåi l kho£ng hëi tö; sè d÷ìng
R
֖c
gåi l b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa.
B¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc
Cauchy - Hadamard
p
1
= lim n |an |.
R
°c bi»t b¡n k½nh hëi tö cán ÷ñc x¡c ành theo c¡c cæng thùc
an
R = lim
n→+∞ an+1
1
R = lim p
n→+∞ n |a |
n
n¸u c¡c giîi h¤n tr¶n tçn t¤i.
1.1.2 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chuéi lôy thøa
a. Têng cõa chuéi lôy thøa l mët h m li¶n töc, hìn núa l mët h m
kh£ vi væ h¤n trong kho£ng hëi tö cõa nâ v ta câ thº ¤o h m tøng
sè h¤ng cõa chuéi
"∞
X
#0
n
an (x − a)
=
∞
X
nan (x − a)n−1 .
n=1
n=0
b. Câ thº l§y t½ch ph¥n tøng sè h¤ng cõa chuéi lôy thøa tr¶n o¤n
[α, β] b§t
måi
ký n¬m ho n to n trong kho£ng hëi tö cõa nâ. Hìn núa vîi
x ∈ (a − R, a + R)
ta câ
4
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Zx "X
∞
∞
X
an
an (t − a) dt =
(x − a)n+1 .
n+1
n=0
n=0
a
#
n
1.1.3 Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa
a. N¸u h m
f (x)
kh£ vi væ h¤n trong kho£ng
(a − R, a + R)
câ thº
khai triºn ÷ñc th nh chuéi lôy thøa trong kho£ng â th¼ chuéi lôy
thøa n y ch½nh l chuéi Taylor cõa h m
f (x)
∞
X
1 (n)
f (x) =
f (a) .(x − a)n , x ∈ (a − R, a + R) .
n!
n=0
N¸u
a=0
th¼ chuéi Taylor ÷ñc gåi l chuéi Maclaurin
f (x) =
∞
X
f (n) (0)
n=0
b. H m
f (x)
n!
kh£ vi væ h¤n trong
δ
xn , x ∈ (−R, R) .
- l¥n cªn cõa iºm
x=a
câ thº
khai triºn ÷ñc th nh chuéi Taylor trong l¥n cªn â n¸u tçn t¤i mët
sè
M >0
sao cho
(n)
f (x) ≤ M, n = 0, 1, 2, . . . ; ∀x ∈ (a − δ, a + δ) .
c. C¡c khai triºn lôy thøa cì b£n
xn
x2
+ ... +
+ . . . , x ∈ (−∞, +∞)
• e =1+x+
2!
n!
x
• sinx = x −
x3 x5
x2n−1
+ − . . . + (−1)n−1
+ . . . , x ∈ (−∞, +∞)
3! 5!
(2n − 1)!
2n
x2 x4
n x
• cosx = 1 −
+
− . . . + (−1)
+ . . . , x ∈ (−∞, +∞)
2!
4!
(2n)!
5
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
n
x2 x3
n−1 x
• ln (1 + x) = x −
+
− . . . + (−1)
+ . . . , −1 < x ≤ 1
2
3
n
• (1 + x)m = 1+mx+
m (m − 1) . . . (m − n + 1) n
m (m − 1) 2
x +. . .+
x
2!
n!
+ . . . , −1 < x < 1
1.2 Mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n
th֒ng
1.2.1 Mët sè kh¡i ni»m
Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n l mët ph÷ìng tr¼nh chùa bi¸n ëc lªp
c¦n t¼m
y = f (x)
x,
h m
v c¡c ¤o h m c¡c c§p cõa nâ.
Nâi c¡ch kh¡c, mët ph÷ìng tr¼nh chùa ¤o h m ho°c vi ph¥n cõa h m
c¦n t¼m ÷ñc gåi l mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n.
Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng câ d¤ng
F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0
trong â
x
l bi¸n ëc lªp;
y
l h m c¦n t¼m v nh§t thi¸t ph£i câ
¤o h m (¸n c§p n o â) cõa ©n
h m sè
y (y
l h m sè cõa
(1.2.1)
y ; y 0 , y 00 , . . . , y (n)
l c¡c ¤o h m cõa
x).
C§p cõa ph÷ìng tr¼nh l ¤o h m c§p cao nh§t câ m°t trong ph÷ìng
tr¼nh.
H m sè
thay
y = ϕ(x)
÷ñc gåi l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
y = ϕ(x), y 0 = ϕ0 (x), . . . , y (n) = ϕ(n) (x)
th¼ ph÷ìng tr¼nh
H m sè
(1.2.1)
(1.2.1)
v o ph÷ìng tr¼nh
n¸u
(1.2.1)
trð th nh çng nh§t thùc.
y = ϕ(x, c) (c ∈ R)
câ ¤o h m theo bi¸n
6
x
¸n c§p
n
֖c
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
gåi l nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh
+ Måi
(x, y) ∈ D (D
gi£i ra èi vîi
+ H m
khp
n¸u
l mi·n x¡c ành cõa ph÷ìng tr¼nh) ta câ thº
c: c = ψ(x, y).
y = ϕ(x, c)
D,
(1.2.1)
thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh
(1.2.1)
khi
(x, y)
ch¤y
c ∈ R.
vîi måi
ành ngh¾a 1.1. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n
Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n câ d¤ng
F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0
hay
y
(n)
0
= f x, y, y , . . . , y
(n−1)
trong â x l bi¸n ëc lªp; y l h m c¦n t¼m; y 0 , y 00 , . . . , y (n) l c¡c ¤o
h m cõa h m sè y (y l h m sè cõa x).
1.2.2 Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët gi£i ÷ñc b¬ng
c¦u ph÷ìng
a. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ bi¸n sè ph¥n ly
+ Ph÷ìng tr¼nh
+ Ph÷ìng tr¼nh
+ Ph÷ìng tr¼nh
⇔
R
dy
= f (x) câ nghi»m y = f (x)dx + c.
dx
Z
dy
dy
= f (y) câ nghi»m
= x + c.
dx
f (y)
M1 (x).N1 (y)dx + M2 (x).N2 (y)dy = 0
M1 (x)
N2 (y)
dx +
dy = 0 ((N1 (y).M2 (x) 6= 0)
M2 (x)
N1 (y)
7
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
b. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët thu¦n nh§t
Ph÷ìng tr¼nh
dy
= f (x, y)
dx
gåi l ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t n¸u
f (tx, ty) = tk .f (x, y) (t > 0)
º gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta °t
u=
y
x
sau â ÷a v· vi»c gi£i ph÷ìng
tr¼nh vi ph¥n câ bi¸n sè ph¥n ly.
c. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ÷a ÷ñc v· d¤ng ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t
c§p mët
dy
=f
dx
+ N¸u
+ N¸u
c = c1 = 0
ax + by + c
a1 x + b1 y + c1
(1.2.2) l ph֓ng
a b
=
c=
6 0, c1 6= 0,
6 0 th¼
a1 b 1
th¼
(1.2.2)
tr¼nh thu¦n nh§t c§p mët.
°t
x=x +α
1
y =y +β
vîi
α, β
1
l h¬ng sè.
Khi â ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n thu¦n nh§t c§p mët èi vîi
x1 ,
y1 .
d. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p mët
D¤ng têng qu¡t
dy
+ P (x).y = Q(x)
dx
+ N¸u
Q(x) 6= 0
th¼ ph÷ìng tr¼nh
(1.2.3)
(1.2.3)
gåi l ph÷ìng tr¼nh tuy¸n
t½nh khæng thu¦n nh§t c§p mët.
+ N¸u
Q(x) = 0
th¼ ph÷ìng tr¼nh
(1.2.3)
gåi l ph÷ìng tr¼nh tuy¸n
t½nh thu¦n nh§t c§p mët.
+ Cæng thùc nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh
8
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
y = e−
R
P (x)dx
Z
.
Q(x).e
R
P (x)dx
dx + c
e. Ph÷ìng tr¼nh Becnulli
D¤ng têng qu¡t
dy
+ P (x).y = Q(x).y α
dx
+ N¸u
α=1
th¼ ph÷ìng tr¼nh
(1.2.4)
(1.2.4)
l ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t
c§p mët.
+ N¸u
α=0
th¼ ph÷ìng tr¼nh
(1.2.4)
l ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n
nh§t c§p mët.
+ N¸u
α 6= 0, α 6= 1
â °t
z = y 1−α
th¼ ta chia c£ hai v¸ cõa
(1.2.4)
cho
yα
sau
v ÷a v· ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n
nh§t.
1.2.3 Mët sè t½nh ch§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n
tuy¸n t½nh
X²t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t c§p
n
y (n) + p1 (x).y (n−1) + . . . + pn (x).y = 0.
º ìn gi£n c¡ch vi¸t v· sau, ta kþ hi»u
L(y) = y (n) + p1 (x).y (n−1) + . . . + pn (x).y
9
(1.2.5)
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
L(y) ÷ñc gåi l to¡n tû vi ph¥n tuy¸n t½nh. Tø kþ hi»u tr¶n,
trong â
ph÷ìng tr¼nh
(1.2.5)
÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
L(y) = 0.
To¡n tû
L(y)
+ èi vîi
(1.2.6)
câ c¡c t½nh ch§t sau
y1 (x), y2 (x)
kh£ vi
n
l¦n li¶n töc ta câ
L(y1 + y2 ) = L (y1 ) + L (y2 )
+ èi vîi h m kh£ vi li¶n töc
n
l¦n
y(x)
v h¬ng sè
c
b§t ký ta câ
L(cy) = cL(y)
Düa v o t½nh ch§t cõa to¡n tû
L ta suy ra c¡c t½nh ch§t v· tªp nghi»m
cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t c§p
+ N¸u
y(x)
l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
n
(1.2.5)
th¼
h¬ng sè tòy þ công l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
+ N¸u
th¼
y1 (x), y2 (x)
c.y(x)
vîi
c
l
(1.2.5).
l hai nghi»m b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh
(1.2.5)
y(x) = y1 (x) + y2 (x) công l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2.5).
+ N¸u
y1 (x), y2 (x), . . . , yk (x) l c¡c nghi»m b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh
(1.2.5) th¼ y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + ck yk (x) công l nghi»m
cõa ph÷ìng tr¼nh
(1.2.5).
10
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
1.2.4 B i to¡n Cauchy
Gi£ sû tø ph÷ìng tr¼nh
(1.2.1)
ta gi£i ra ÷ñc ph÷ìng tr¼nh èi vîi
c§p cao nh§t
y
trong â
f
(n)
0
= f x, y, y , . . . , y
l h m x¡c ành tr¶n mi·n
(n−1)
(1.2.7)
D ⊂ Rn+1 .
(x0 , y0 , y0 0 , . . . , y0 (n−1) ) ∈ D.
Gi£ sû iºm ban ¦u
Khi â b i to¡n
y (n) = f x, y, y 0 , . . . , y (n−1) , x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ∈ D
y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y (n−1)
0
0
gåi l b i to¡n Cauchy hay b i to¡n gi¡ trà ban ¦u.
C¡c i·u ki»n
(n−1)
y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y 0 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0
gåi l
i·u ki»n ban ¦u.
1.2.5 ành lþ tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n
Cauchy
Gi£ sû trong mi·n
G ⊂ Rn+1
m¢n i·u ki»n Lipsit theo
(n−1)
(x0 , y0 , y00 , . . . , y0
ph÷ìng tr¼nh
f (x, u1 , u2 , . . . , un )
tçn t¤i duy nh§t nghi»m
thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u
(n−1)
y00 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0
li¶n töc v thäa
u1 , u2 , . . . , un . Khi â vîi b§t ký iºm trong
) ∈ G
(1.1.7)
h m
y = y(x)
y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) =
.
Nghi»m n y x¡c ành t¤i l¥n cªn n o â
11
cõa
(x0 − h, x0 + h)
cõa
x0 .
Ch֓ng 2
Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian
gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi
ph¥n th÷íng
Trong ch÷ìng n y chóng ta tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p Adomian v
ph÷ìng ph¡p Adomian c£i bi¶n º gi£i c¡c b i to¡n Cauchy èi vîi
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham
kh£o trong t i li»u [4], [5].
2.1 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian
Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian biºu di¹n nghi»m d÷îi d¤ng chuéi
væ h¤n, c¡c th nh ph¦n cõa chuéi câ thº ÷ñc x¡c ành mët c¡ch d¹
d ng thæng qua quan h» truy hçi. Trong tr÷íng hñp ch¿ x¡c ành ÷ñc
húu h¤n th nh ph¦n th¼ ta thu ÷ñc nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng
tr¼nh. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta x²t d¤ng têng qu¡t cõa ph÷ìng
tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n nh÷ sau
12
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Fy = f
trong â
F
l mët h m phi tuy¸n,
Ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh
(2.1.1)
y
v
(2.1.1)
f
l c¡c h m sè cõa
x.
d÷îi d¤ng
Ly + Ry + N y = f
(2.1.2)
trong â
+
L
l mët to¡n tû tuy¸n t½nh kh£ nghàch, l mët ph¦n ho°c to n
bë ph¦n tuy¸n t½nh cõa
F
+
R
l ph¦n tuy¸n t½nh cán l¤i cõa to¡n tû
+
N
l ph¦n phi tuy¸n t½nh cõa
T¡c ëng to¡n tû nghàch £o
L−1
F
F
v o hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh
(2.1.2)
ta câ
L−1 Ly = L−1 f − L−1 Ry − L−1 N y.
V½ dö, n¸u
L
l mët to¡n tû vi ph¥n bªc mët th¼ to¡n tû
(2.1.3)
L−1
l to¡n
tû t½ch ph¥n ÷ñc cho bði cæng thùc
L−1 =
Zx
(.)dx.
(2.1.4)
0
Do â
L−1
l mët to¡n tû t½ch ph¥n ÷ñc x¡c ành bði
L−1 (Ly) =
Zx
Zx
Lydx =
0
y 0 dx = y (x) − y (0) .
0
13
(2.1.5)
É THÀ THU H
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Thay ph÷ìng tr¼nh
(2.1.5)
(2.1.3)
v o ph÷ìng tr¼nh
v chuyºn v¸ ta
֖c
y (x) = y (0) + L−1 f − L−1 Ry − L−1 N y.
(2.1.6)
°t
y0 = y (0) + L−1 f
Khi â thay
y0
v o ph÷ìng tr¼nh
(2.1.6)
ta câ
y (x) = y0 − L−1 Ry − L−1 N y.
T÷ìng tü, n¸u
L
(2.1.7)
l mët to¡n tû vi ph¥n bªc hai th¼ to¡n tû
L−1
l
to¡n tû t½ch ph¥n hai lîp ÷ñc cho bði cæng thùc
L−1 =
Do â
L−1
Z Z
(.)dx1 dx2 .
(2.1.8)
l mët to¡n tû t½ch ph¥n ÷ñc x¡c ành bði
L−1 (Ly) =
Zx Zx
Zx Zx
(Ly (x))dxdx =
0
0
0
y 00 (x)dxdx.
(2.1.9)
0
Tø â ta t½nh ÷ñc
L−1 Ly = y(x) − y(0) − xy 0 (0).
Khi â thay ph÷ìng tr¼nh
(2.1.10)
(2.1.10) v o ph÷ìng tr¼nh (2.1.3) v chuyºn
v¸ ta câ
y(x) = y(0) + xy 0 (0) + L−1 (f ) − L−1 (Ry) − L−1 (N y) .
14
(2.1.11)
- Xem thêm -