Tài liệu Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ XUÂN ĐÔNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ XUÂN ĐÔNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Định Hà Nội, 2017 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Đình Định giảng viên khoa Toán Trường Đại học KHTN-ĐHQGHN đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại Trường. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Lê Xuân Đông Lời cam đoan Dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Đình Định luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai và ứng dụng" được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Lê Xuân Đông Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Khái niệm Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Phương trình sai phân phi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai . . . 22 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất . . . . 23 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất . . . 24 2.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên . 37 Chương 3. Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1. Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp một . 39 3.2. Giải phương trình phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3. Bài toán bờ sai phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Các kí hiệu N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Z+ tập số nguyên dương ∆k xn sai phân cấp k của hàm xn Gn hàm Grin n δ0 hàm Krônecke Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình sai phân được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như: Vật lý, tự động hóa, điều khiển học, y học. . . , các dạng toán này thường được mô tả ở dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. Với lý do nêu trên, dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Đình Định, tôi đã chọn đề tài: "Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai và ứng dụng" để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về một vài ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai để giải các bài toán: hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp một, phương trình phân thức, bài toán bờ sai phân cấp hai. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Chương 1: Tìm hiểu các khái niệm cơ bản về sai phân và phương trình sai phân Chương 2: Trình bày về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai gồm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất, phương trình sai phân 1 tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên. Chương 3: Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào việc giải: hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp một, phương trình phân thức, bài toán bờ sai phân cấp 2. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: Sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. * Phạm vi nghiên cứu: sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên và ứng dụng của sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào giải từng bài toán cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu * Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu chuyên khảo. * Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn * Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. * Áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào việc giải bài toán bờ sai phân cấp hai. 2 * Làm tài liệu tham khảo phục vụ giảng dạy cho các đồng nghiệp và tài liệu học tập cho các em sinh viên. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Khái niệm Sai phân Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x (n) = xn với n ∈ Z (hoặc n ∈ Z+ , hoặc n ∈ N ) là hiệu: ∆xn = xn+1 − xn . Định nghĩa 1.1.2. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân cấp 1 của xn , và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân cấp k − 1 của hàm số đó. Như vậy: - Sai phân cấp 2 của hàm xn là: ∆2 xn = ∆ (∆xn ) = xn+2 − 2xn+1 + xn - Sai phân cấp 3 của hàm xn là: ∆3 xn = ∆ ∆2 xn = xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn - Nói chung sai phân cấp k của hàm xn là: ∆k xn = ∆ ∆k−1 xn = ∆k−1 xn+1 − ∆k−1 xn k i (−1)i Ck xn+k−i = i=0 trong đó Cik = k! i! (k − i)! 4 (1.1) 1.2. Tính chất của sai phân Tính chất 1.2.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số. Chứng minh. Để chứng minh Tính chất 1.2.1, ta chứng minh công thức 1 0 (1.1). Thật vậy, với k = 1 ta có: ∆xn = xn+1 − xn = C1 xn+1 − C1 xn . Giả sử (1.1) đúng với k, nghĩa là: k k+1 ∆ xn = ∆k n+1 k i k − ∆ xn = (−1) i (−1)i Ck xn+k−i i Ck xn+1+k−i − i=0 i=0 trong tổng thứ 2 ta đổi chỉ số i = i − 1, sau đó thay i = i ta được: k k+1 (−1) i i Ck xn+1+k−i i=0 i (−1)i −1 Ck −1 xn+k+1−i = i =1 k+1 i−1 (−1)i Ck xn+k+1−i . =− i=1 Bởi vậy: k k+1 ∆ xn = k+1 (−1) i i−1 (−1)i Ck xn+k+1−i i Ck xn+1+k−i + i=0 i =1 k i (−1)i Ck xn+1+k−i + xn+k+1 = i=1 k i−1 (−1)i Ck xn+k+1−i + (−1)k+1 xn + i=1 5 k i i−1 (−1)i Ck + Ck xn+1+k−i + xn+k+1 +(−1)k+1 xn = i=1 k i (−1)i Ck+1 xn+1+k−i + xn+k+1 +(−1)k+1 xn = i=1 k+1 i (−1)i Ck+1 xn+1+k−i . = i=0 Theo luật quy nạp, công thức (1.1) đúng với mọi giá trị n nguyên dương. Tính chất 1.2.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính. Chứng minh. Ta phải chứng minh ∆k (axn + byn ) = a∆k xn + b∆k yn , k = 1, 2, ... Thật vậy, theo (1.1) ta có k i (−1)i Ck (axn+k−1 + byn+k−1 ) k ∆ (axn + byn ) = i=0 k k i = (−1) i Ck i (−1)i Ck (byn+k−1 ) (axn+k−1 ) + i=0 k i=0 k i (−1)i Ck xn+k−1 +b =a i=0 i (−1)i Ck yn+k−1 i=0 = a∆k xn + b∆k yn . Tính chất 1.2.3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là: 6 1. Đa thức bậc m − k, nếu k < m 2. Hằng số, nếu k = m 3. Bằng 0, khi k > m. Chứng minh. Theo Tính chất 1.2.2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính, nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm (n) = nm là đủ. 1. Ta có 0 1 m ∆nm = (n + 1)m − nm = Cm + Cm n + ... + Cm nm − nm 0 1 m−1 = Cm + Cm n + ... + Cm nm−1 = Pm−1 (n) Giả sử tính chất này đúng với k = s < m, ta chứng minh nó đúng với k = s + 1 < m. Thật vậy, ∆s+1 nm = ∆ (∆s nm ) = ∆s (n + 1)m − ∆s nm = ∆Pm−s (n) = Pm−s−1 (n) 2. Khi k = m, theo chứng minh trên ta có: ∆m nm = Pm−m (n) = P0 (n) = c = const 3. Khi k > m, ta có: ∆k nm = ∆k−m ∆m nm = ∆k−m C = ∆k−m−1 ∆C = 0 Tính chất 1.2.4. N ∆k xn = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xa n=a với k ∈ Z+ . 7 N Chứng minh. k−1 =∆ n=a k−1 xa+1 − ∆ ∆k xn = N ∆ ∆k−1 xn n=a k−1 xa + ∆ xa+2 − ∆k−1 xa+1 + ... + ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xN = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xa N ∆xn = xN +1 − xa . Đặc biệt lưu ý trường hợp k = 1, ta có: n=a Ví dụ 1.2.1. Tính các tổng n k.k!; S = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! = k=1 S1 = 12 + 1 + 1 1! + 22 + 2 + 1 2! + ... + n2 + n + 1 n! n k 2 + k + 1 k!. = k=1 Lời giải. Ta có k.k! = (k + 1)! − k! = ∆k!. Vậy n S= n ∆k! = (n + 1)! − 1. k.k! = k=1 k=1 Vì k 2 + k + 1 k! = k 2 + 2k + 1 − k k! = (k + 1)2 .k! − k.k! = (k + 1) (k + 1)! − k.k! = ∆ (k.k!) . 8 Nên n k 2 + k + 1 k! S1 = k=1 n = ∆ (k.k!) k=1 = (n + 1) (n + 1)! − 1. Ví dụ 1.2.2. Tính các tổng Tm = 1m + 2m + 3m + ... + nm , với m = 1, 2, 3, . . . Lời giải. Ta có n T1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = k k=1 n = ∆ k=1 k (k − 1) (n + 1) n = 2 2 n 2 2 2 2 k2 T2 = 1 + 2 + 3 + ... + n = k=1 n = ∆ k=1 k (k − 1) (2k − 1) n (n + 1) (2n + 1) = 6 6 n 3 3 3 3 k3 T3 = 1 + 2 + 3 + ... + n = k=1 n = k=1 (k − 1) k ∆ 2 2 2 n (n + 1) = . 2 Ví dụ 1.2.3. Tính các tổng Sn = s inx + sin 2x + ... + sinnx. Cn = cos x + cos 2x + ... + cos nx. 9 Lời giải. Vì ∆ cos k + 1. Nếu sin 1 1 x x − cos k − x = −2 sin kx sin , nên: 2 2 2 x = 0 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z, thì 2 sin x = sin 2x = ... = sin nx = 0 ⇒ Sn = 0 2. Nếu sin x = 0 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z, thì 2 1 1 sin kx = − ∆ cos k − x, 2 sin x 2 2 nên n Sn = k=1 1 sin kx = − 2 sin x 2 n ∆ cos k − k=1 1 x 2 1 1 1 x cos n + 2 x − cos 2 x 2 sin 2 nx n+1 x sin sin 2 2 . = x sin 2 =− Tương tự, + Cn = n, nếu x = 2kπ, k ∈ Z. n+1 nx cos x.sin 2 2 , nếu x = 2kπ, k ∈ Z. + Cn = x sin 2 1.3. Phương trình sai phân tuyến tính 1.3.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp F (xn , ∆xn , ∆2 xn , ..., ∆k xk ) = 0 10 trong đó xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn ; cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k) là cấp của phương trình sai phân tuyến tính. Định nghĩa 1.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau có dạng: Lh (xn ) = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xk = fn (1.2) trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn xác định trên lưới có bước lưới h, còn a0 , a1 , ..., ak ; a0 = 0, ak = 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n gọi là hệ số xn gọi là ẩn fn là một hàm số của n được gọi là vế phải. Định nghĩa 1.3.3. - Nếu fn ≡ 0 thì (1.2) gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất. - Nếu fn = 0 thì (1.2) gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. - Nếu fn ≡ 0 và a0 , a1 , ..., ak là các hằng số, a0 = 0, ak = 0 thì phương trình (1.2) trở thành: Lh (xn ) = a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xk = 0 (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với hệ số hằng. 1.3.2. Nghiệm Hàm số xn biến n, thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.2). 11 Định lý 1.3.1. Nghiệm tổng quát xn của (1.2) bằng tổng xn và x∗ , với ˜ n xn là nghiệm tổng quát của(1.3). ˜ x∗ là một nghiệm riêng bất kỳ của (1.2) n Chứng minh. Thật vậy, giả sử xn và x∗ là 2 nghiệm của phương trình ˜ n (1.2), tức là Lh xn = fn , Lh x∗ = fn . Do Lh tuyến tính nên: n Lh xn − Lh x∗ = Lh (xn − x∗ ) = 0 n n tức là xn − x∗ thỏa mãn (1.3) và do đó nghiệm tổng quát n xn = xn − x∗ ⇒ xn = xn + x∗ ˜ ˜ n n Định lý 1.3.2. Nếu xn1 , xn2 , ..., xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3) tức là hệ thức C1 xn1 + C2 xn2 + ... + Ck xnk = 0 suy ra C1 = C2 = ... = Ck = 0, thì nghiệm tổng quát xn của (1.2) có ˜ dạng xn = C1 xn1 + C2 xn2 + ... + Ck xnk ˜ trong đó C1 , C2 , ..., Ck là các hằng số tùy ý. Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của Lh , ta có k k Ci xni = Lh xn = Lh ˜ i=1 Ci Lh xni =0 i=1 vì theo giả thiết xni là nghiệm, tức là Lh xni = 0. Vậy xn là nghiệm của ˜ (1.3). Giả sử x0 , x1 , ..., xk−1 là các giá trị ban đầu tùy ý. Ta chứng minh rằng có thể xác định duy nhất các hằng số C1 , C2 , ..., Ck để x0 = x0 , x1 = x1 , ..., xk−1 = xk−1 . ˜ ˜ ˜ 12   C1 x01 + C2 x02 + ... + Ck x0k = x0       C1 x11 + C2 x12 + ... + Ck x1k = x1 Điều này có nghĩa là hệ  ..............................................      Cx 1 k−1,1 + C2 xk−1,2 + ... + Ck xk−1,k = xk−1 có nghiệm duy nhất C1 , C2 , ..., Ck với mọi vế phải x0 , x1 , ..., xk−1 . x01 ... x0k x11 x12 ... x1k ... Muốn vậy, định thức ∆ = x02 ... ... ... = 0. xk−1,1 xk−1,2 ... xk−1,k Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các véctơ nghiệm xn1 , xn2 , ..., xnk . Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm xn của (1.3) và x∗ của (1.2). ˜ n Vì phương trình thuần nhất (1.3) luôn có nghiệm xn = 0 , nên để tìm nghiệm tổng quát ta tìm xn của (1.3) dưới dạng: xn = Cλn , C = 0, λ = 0. Thay xn = Cλn vào (1.3) và ước lược cho Cλ = 0 ta được Lh λ = a0 λk + a1 λk−1 + ... + ak = 0 (1.4) Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (cũng xem là phương trình đặc trưng của (1.2)). Nghiệm xn của (1.3) và x∗ của ˜ n ((1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của phương trình (1.4). 1.3.3. Nghiệm tổng quát xn ˜ Định lý 1.3.3. Nếu (1.4) có k nghiệm thực khác nhau là λ1 , λ2 , ..., λk thì nghiệm tổng quát xn của (1.3) có dạng ˜ k xn = ˜ C1 λn 1 + C2 λn 2 + ... + Ck λn k Ci λn i = i=1 13 trong đó Ci , i = 1, 2, ..., k là các hằng số tùy ý. 1.3.4. Nghiệm riêng x∗ n Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai n phân tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin, ở đây chúng ta đề cập đến trong phương trình bậc 1 và bậc 2. Vì mọi phương trình sai phân tuyến tính đều có thể đưa về phương trình sai phân bậc 1 và bậc 2. Sau đây là một số trường hợp đặc biệt có thể tìm x∗ đơn giản n hơn và nhanh hơn. * Trường hợp fn là đa thức bậc m của n; m ∈ N fn = Pm (n), m ∈ N 1. Nếu các nghiệm λ1 , λ2 , ..., λk là các nghiệm thực khác 1 của phương trình đặc trưng (1.4) thì: x∗ = Qm (n), m ∈ N trong đó Qm (n) là đa n thức cùng bậc m với fn . Ví dụ 1.3.1. Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân: xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = n + 1 Lời giải. Ta có phương trình đặc trưng  λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = 0 ⇒  λ1 = λ2 = 2 λ3 = 3 cả 3 nghiệm đều khác 1, và fn = n + 1 là đa thức bậc 1 nên ta đặt: x∗ = an + b. Thay nghiệm x∗ vào phương trình sai phân rồi so sánh các n n hệ số của các lũy thừa 2 vế ta được: a (n + 3) + b − 7 [a (n + 2) + b] + 16 [a (n + 1) + b] − 12 (an + b) = n + 1 14