Mô tả:
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 8 - Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình)
1
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ĐẶT 1 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải phương trình 1 +
2
1 − x2 = x + 1 − x
3
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
2 x 2 + 5 x + 3 − 16 ( x ∈ ℝ ) .
Câu 2: Giải phương trình
x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2 x + 2
Câu 3: Giải phương trình
2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2
Câu 4: Giải phương trình 3 ( x + 1)
x −1
= 5 − x2
x +1
Câu 5: Giải phương trình x ( x + 5 ) + 1 + 4 ( x + 2 )
( x ∈ ℝ) .
x+3
=0
x+2
( x ∈ ℝ) .
Câu 6: Giải phương trình ( x3 − 1) ( x − 1) = 2 x 2 + 4 x x 3 + x
Câu 7: Giải phương trình ( x − 2 ) + 3 3 ( x − 2 ) ( x3 + 2 x ) = 8
2
Câu 8: Giải phương trình
2 x2 + 5x + 2 + x2 − x + 1 = 4 x
Câu 9: Giải phương trình x 2 + x + 2 x x − 3 + x 2 − 3x = 2 ( x + 10 )
Câu 10: Giải phương trình x + x + 1 + x − 1 + x 2 − 1 =
Câu 11: Giải phương trình 2 x + ( x + 1) 2 x − x 2 =
15
.
2
3
2
Câu 12: Giải phương trình 3 x 2 + 2 x − 20 + 2 ( x + 2 ) 3 x − 5 =
(
)
3x − 5 + 1
x+2
Câu 13: Giải các phương trình
a)
x 2 + x + 7 + x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 19
Đ/s: x = 1; x = −2
b)
2 x2 + 8x + 5 + 2 x 2 − 4 x + 5 = 6 x
HD: Đặt t = 2 x +
5
4± 6
⇒x=
x
2
Câu 14: Giải các phương trình
a)
b)
x + 1 + x 2 + 4 x + 3 = ( x + 2)3
5x
4 − x2
+
HD: Đặt t =
Đ/s: x =
−3 + 5
2
8
2x2
5 4 − x2
+
+
+4=0
x2 4 − x2
x
x
4 − x2
+
4 − x2
1
⇒ t = −2; t = −
→x = − 2
x
2
Câu 15: Giải các phương trình
a) 3 2 x 2 − 5 x + 12 − − x 2 + 16 x − 6 = 6 x
HD: Đặt t = x +
6
⇒ t = 7 ⇒ x = 1; x = 6
x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
b) 3
2x
1 1
23 3
+4
−
=
−
x −1
2 2x 2 2x
HD: Đặt t =
c)
Facebook: LyHung95
x −1
1
9
⇒ t =
→x =
2x
3
7
4 x − 16 x 2 − 9 + 4 x + 16 x 2 − 9 = 4
Đ/s: x =
5
4
x4 − x2 + 1
5
Câu 16: Giải phương trình 2
+
+2=0
2
x (1 − x ) 2 x 1 − x 2
HD: Đặt t = x 1 − x 2 ⇒ x = −
1
2
Câu 17: Giải phương trình 2
3x − 1 4 x − 1
=
x
3x − 1
Câu 18: Giải phương trình
7x
3x + 2
=3
x−4
x−4
Câu 19: Giải phương trình
9
2x
+
=1
2
x
2x2 + 9
Câu 20: Giải phương trình
1
5
+
+1 = 0
2
x ( 4 − x ) 2 x 4 − x2
2
Câu 21: Giải phương trình x 2 − 6 x + x
Câu 22: Giải phương trình
Đ/s: x =
x2 − 6
−6 = 0
x
1
x +1
= x−
2
x +1 − 3 − x
2± 7
2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ĐẶT ẨN KHÔNG HOÀN TOÀN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải phương trình x ( x + 7 ) = (1 + 2 x ) x 2 + x + 6
Câu 2: Giải phương trình 8 x 2 − 8 x + 3 = 8 x 2 x 2 − 3x + 1
Câu 3: Giải phương trình x 2 + 2 x + 2 = 2 ( x + 1) 1 + x 2
Câu 4: Giải phương trình 3x 2 + 4 x + 11 = ( x + 5 ) 3x 2 + x + 5
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
Câu 5: Giải phương trình 5 x 2 + 1 = 2 ( 2 x + 1) 2 x − 1
Câu 6: Giải phương trình 2 x 2 + 4 x − 3 = ( 2 x − 3) x 2 + x + 1
Câu 7: Giải phương trình x3 − 7 x 2 + 9 x − 1 = ( x 2 − 6 x + 7 ) 2 x − 1
Câu 8: Giải phương trình 2 x + 3 +
3x 2 − 2 x − 6
3 − 2 x2 − x + 1
=0
Câu 9: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = x ( 2 x + 3) x 2 +
Câu 10: Giải phương trình ( x + 3) 3 x + 2 = x 2 − 3 x − 2 .
Câu 11: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 3x + 3) = ( x 2 + 7 x ) x +
1
x
3
x
Câu 12: Giải phương trình 2 ( x 3 − 4 x ) − 3 ( x − 1) x 3 − x + 1 = 0
Câu 13: Giải phương trình x 2 − 3 x − 4 = ( x 2 − 4 x − 2 ) x − 1
( x ∈ R)
Câu 14: Giải phương trình 2 x 2 ( x − 1) + x = ( x − 1) 2 x ( x 2 − x + 2 ) + 6 trên tập số thực.
Câu 15: Giải phương trình
x3 + 6 x 2 − 7 x + 4
=
x3 − 2
5x − 1
x3 + 3 + 1
trên tập số thực.
Câu 16: Giải phương trình 2 2 − x − x + 3 1 − ( x − 1) = 4 − x
2
Câu 17: Giải phương trình
( 4 x − 5)
( x ∈ R)
x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 2 x + 1.
Câu 18: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 6 = ( 3 x − 1) 5 x − 4.
Câu 19: Giải phương trình 6 x 2 + 7 x − 2 = ( 5 x + 2 ) 2 x 2 + 1.
Câu 20: Giải phương trình 3x 2 + 5 x − 4 = ( 3x + 2 ) x 2 − 1.
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ NHÓM NHÂN TỬ CHUNG
( x ∈ ℝ) .
( x + 8 )( x + 2013) + 8 .
Câu 1: Giải phương trình
x +1 + x − 2 = x2 − x − 2 +1
Câu 2: Giải phương trình
x + 8 + 8 x + 2013 =
x+2
1
3x + = x 2 + 1 .
3
x
7
Câu 4: Giải phương trình ( 3 + x ) 2 x + = 2 ( x 2 + 5) .
x
Câu 3: Giải phương trình
Câu 5: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 13) x = ( x + 5 ) 4 x 2 + 21 .
Câu 6: Giải phương trình ( x + 3) x + 3 =
(
)
2x + 1 + 1 x + 2 +
Câu 7: Giải phương trình 2 3 + 2 x − x 2 + 1 + ( x − 1) = 2
2
(
2− x
x + 3 + 2x + 1
1+ x + 3 − x
)
Câu 8: Giải phương trình x + 3 x 2 − 2 x − 5 + 2 3 x − 5 = 15 .
Câu 9: Giải phương trình x + x 3 + 1 + 2 x 2 − x + 1 = 3 .
Câu 10: Giải phương trình
x2 − x + 7
=
2x + 5
x2 − x + 1
x +1
Câu 11: Giải phương trình ( x 2 − 3 x + 4 ) 2 x − 1 + ( x 2 − 3 x ) x 2 − x + 1 = ( x − 1)( x − 2 ) .
Câu 12: Giải phương trình 2 x − 3 + ( x − 1) x − 1 = ( x − 1) 2 x − 3 + 2 x 2 − 5 x + 3.
Câu 13: Giải phương trình x3 − x 2 + 2 x + 4 = ( x 2 + 2 x + 3) x 2 − 2 x + 2.
2
1 7
Câu 14: Giải phương trình 2 − x 2 + 4 x − 3 + + = 4 ( x − 1) 3 − x + 4 ( 3 − x ) x − 1.
2 4
(
)
Câu 15: Giải phương trình x + (1 − x ) x − 2 x − 1 = ( x − 1)
(
Câu 16: Giải phương trình 5 x − 3 + 1 + 2 x 2 + x − 2
Câu 17: Giải phương trình
)
2
2
2 x − 1.
= 4 ( x + 2 ) x − 1 + 8 ( x − 1) x + 2.
x+2
1
3x + = x 2 + 1
3
x
Câu 18: Giải phương trình ( 5 x 2 + 4 x + 3) x = ( x + 3) 5 x 2 + 4 x
Câu 19: Giải phương trình ( x 2 + 2 x + 1) x 2 +
3
= x3 + 2 x 2 + 5
x
Câu 20: Giải phương trình ( x 2 − 2 x + 1) x 2 + 1 = x 3 − 2 x 2 + x − 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 1
Câu 1 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 − 4 x3 − x 2 − 4 = 4 x − 12
Câu 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 + 12 x = 9 + 7 x 4 x − 3
b)
2
+ 4 x + 2 = 5 x2 + x + 1
x
Câu 3 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a)
2 x2 − 4 x + 5
= 2 x2 + 1
x−2
b) 6 x 2 − x = 21 + ( x − 3) x 2 + x − 6
Câu 4 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
3
b) 3 x + 5 1 + = 8 3 + x
x
a) 5 x 2 − 5 x x 2 + x + 1 = x + 1
Câu 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 3 x +
1
+ 2 = 3 x2 + 4 x + 2
x
b) 6 x 2 − 6 x + 5 = 5 ( x − 1) 2 x 2 + 2 x + 1
Câu 6 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 + 7 x + 1 = 7 x 3 − 1
b) 5 x 2 − 2 x + 8 = 8 x 3 + 1
Câu 7 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 10 x 2 − 6 x + 5 = 5 4 x 4 + 1
b) x 2 + x + 21 = 5 x 3 + 27
Câu 8 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a)
x3 − 64 = 3x 2 + 10 x + 56
b)
x4 + x2 + 1 1
=
3x 2 − 5 x + 3 3
Câu 9 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 20 x − 3x + 5 = 5 16 x − x + 1
2
4
2
b)
7 x 2 ( x + 1) − 2
5 x 2 + 12 x + 8
=1
Câu 10 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 + 4 x + 1 = x 4 + x 2 + 1
Câu 11 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 72 x 2 − 4 x + 9 = 9 64 x 4 + 1
b) 7 x 2 − 5 x + 7 = 7 x 4 + x 2 + 1
Câu 12 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x 2 − 16 x + 7 = 4 x 4 − 6 x3 + 8 x 2 − 7 x + 2
Câu 13 [ĐVH]: Giải phương trình 5 x 2 − x + 5 = 5 x 4 + x 2 + 1
Câu 14 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − x + 1 = 4 x 4 + 1
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
( x ∈ ℝ) .
Câu 15 [ĐVH]: Giải phương trình 8 x 2 + 20 x + 1 = 64 x 4 + 1
Câu 16 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 − 4 x + 23 = 3 x 4 − 8 x + 63
(
)
(
x2 − 1 + 2 x2 − x − 2
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
Câu 17 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 + x + 12 = x 4 + 7 x 2 + 16
Câu 18 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − 1
Facebook: LyHung95
)
x2 + x − 1 = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 2
Câu 1: Giải phương trình 1 − x 2 + 1 − 2 x = 2 14 x 2 − 12 x + 1
Câu 2: Giải phương trình x 2 + 2 x 2 − 1 = 3 3 x 4 − 2 x 2 + 2
Câu 3: Giải phương trình
x 2 + x − 6 + x = 3 x 2 + 4 x − 18
Câu 4: Giải phương trình
x + 2 x 2 + x − 2 = 5 x 2 + 9 x − 10
Câu 5: Giải phương trình
3x 2
+ 6 + 2 x = 5x
3+ x
Câu 6. Giải phương trình
x − 1 + x 2 − 4 x + 5 = x 2 − x + 2.
Câu 7. Giải phương trình x + 1 + 2 x 2 − 2 x + 4 = 5 x 2 + 4 x + 7.
Câu 8. Giải phương trình x + 1 + x 3 − 3 x 2 + 3x + 3 = x3 + 9 x + 6.
Câu 9. Giải phương trình ( x − 1) + x 2 − 8 x = x 4 − 4 x3 + 9 x 2 − 28 x + 1.
2
Câu 10. Giải phương trình x 2 − x + 3x 2 − 4 x − 4 = x 4 − 2 x3 + 10 x 2 − 12 x − 12.
Câu 11: Giải phương trinh
x2 + x + 1 + 4 x + 1 = 5x2 + x + 4
Câu 12: Giải phương trình 6 ( x + 2 ) = 2 x 2 − 3 x ( x 2 − 7 x − 4 )
3
Câu 13: Giải phương trình
5 x 2 + 72 x + 246 − 2 x + 1 = 2 x + 14
Câu 14: Giải phương trình
x 2 + 3x = 4 x 2 + 18 x + 6 − x 2 − 3 .
Câu 15: Giải phương trình 3 x 2 + x − x 2 − x + 1 = 4 x 2 − 6 x + 5 .
Câu 16: Giải phương trình 2 x 2 + 1 + 3 x 2 + 2 x − 8 = 25 x 2 + 18 x − 56 .
Câu 17: Giải phương trình
x + 1 + x3 + x − 2 = 2 ( x3 + 2 x − 1) .
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 4
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 3
Câu 1: Giải phương trình
x3 + 2 x 2 − 9 x + 2 = x3 − 1 + x − 2
Câu 2: Giải phương trình
2 x 2 + 14 x − 3 + 9 ( x + 1) 8 x − 4 = 2 x + 2 + 3 2 x − 1
Câu 3: Giải phương trình
x 2 + 4 x + 3 x − 1 = 3 x 2 + 15 x + 7
Câu 4: Giải phương trình
x2 + x − 6 + 3 x − 1 = 2 x2 − 2 x + 6
Câu 5: Giải phương trình
5 x 2 − 17 x + 5 = 2 x 2 − 2 x − x − 5
Câu 6: Giải phương trình
2 (10 x 2 − 14 x + 3) = 3 x ( 2 x − 1) − x − 2
Câu 7: Giải phương trình
5 x 2 + 8 x − 42 = 2
Câu 8: Giải phương trình
4 x 2 − 12 x + 5 = x 2 − 3 x + 2 + x 2 − 3x
Câu 9: Giải phương trình
9 x 2 − 27 x + 11 = 2 x 2 − 3x + x 2 − 3x + 2
Câu 10: Giải phương trình
( x − 2 )( x + 3) +
x −3
72 x 3 + 24 x 2 − 36 x + 4 = 3 8 x3 − 1 + 2 x − 3
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải phương trình
Câu 2. Giải phương trình
4x −1 − 2x2 + 4 2x2 − 2x + 1 = 2 4 x
4
3 − x + 4 x + 14 = 3
4
Câu 3. Giải phương trình 3 14 x + 6 − 3 3 x + 1 = 3 2 x + 1
Câu 4. Giải phương trình 3 1 − x + 1 + x = 2
Câu 5. Giải phương trình
3
2 − x = 1 − x −1
x 2 + 2 x − 3 + 3 4 − x 2 − 2 x = 1.
Câu 6. Giải phương trình
Câu 7. Giải phương trình x3 − 6 x 2 − 6 x + 47 + ( 3 x 2 + 3 x − 18 ) 15 − 3 x − 3 x 2 = 0.
)
(
Câu 8: Giải phương trình x. 3 9 − x3 . x + 3 9 − x3 = 6 .
Câu 9: Giải phương trình
3
Câu 10: Giải phương trình
x + 7 − x = 1.
5− 5+ x = x.
Câu 11: Giải phương trình 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 .
Câu 12: Giải phương trình 4 18 − x + 4 x − 1 = 3 .
Câu 13: Giải phương trình x 2 + x + 1 = 1 .
Câu 14: Giải phương trình 2 (1 − x )( x − 4 ) =
Câu 15: Giải phương trình 2 − x 2 − 3 x + 4 =
Câu 16: Giải phương trình
Câu 17: Giải phương trình
Câu 18: Giải phương trình
Câu 19: Giải phương trình
Câu 20: Giải phương trình
5x + 4
.
x −5
5
+ 1.
x+2
x2 − 2 x − 4
= x ( x − 2) .
x −1
4 x2 + 2 x + 7
2
4 x −2 =
.
1− x
1
1
3
+
= .
2
2x
2
5 − 4x
1
1
7
+
= .
4 x
25 − 16 x 12
1
1
+
= 1.
x+3
5− x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 − 6 x + 3 = x + 3
HD: Đặt
x+3 = t −3
b) x 2 − 2 x = 2 2 x − 1
HD: Đặt
2x −1 = t −1
HD: Đặt
3 x + 1 = −2t + 3
HD: Đặt
4x + 9
1
=t+
28
2
c)
3 x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) 7 x 2 + 7 x =
4x + 9
28
b) x 2 − x −
9
= 3 3x + 1
4
HD: Đặt
3x + 1 = t −
1
2
c) x 2 + x +
13
= 2 2x − 2
4
HD: Đặt
2x − 2 = t +
1
2
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) 2 x 2 + 4 x =
x+3
2
b) 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2
Đ/s: x =
−3 ± 17
−5 ± 14
;x =
4
4
7
1
Đ/s: x = −1; x = − ; x =
4
4
c) x3 + 3 x 2 + 3 x + 4 = 4 3 4 x + 1
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 + 4 x + 7 = 2 2 x + 1
HD: Đặt
2x +1 = t + 2
b) 9 x 2 − 6 x + 2 = 3 x − 2
HD: Đặt
3 x − 2 = 3t − 1
c) x 2 + 2 x − 3 = 3 − x
HD: Biến đổi phương trình về dạng x 2 + (2 x − 3) = x − (2 x − 3)
Đặt
x − (2 x − 3) = t 2
t = x
x − (2 x − 3) = t
→ 2
⇒ x + x2 = t + t 2 ⇔
t = − x − 1
x + (2 x − 3) = t
0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ x ≤ 3
+) Với t = x ⇔ x = 3 − x ⇔ 2
⇔ 2
→ vn
x = 3 − x
x + x − 3 = 0
x ≤ −1
x ≤ −1
−3 − 17
⇔ 2
⇒x=
+) Với t = − x − 1 ⇔ − x − 1 = 3 − x ⇔ 2
2
x + 2x +1 = 3 − x
x + 3x − 2 = 0
Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 + 3x − 1 = x x 2 + 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x + 1) 2 + ( x − 2) = x x( x + 1) − ( x − 2)
Đặt
x( x + 1) − ( x − 2) = t + 1 ⇒ (t + 1) 2 + ( x − 2) = x( x + 1)
(t + 1) 2 + ( x − 2) = x( x + 1)
t = x
2
2
2
2
Khi đó ta có hệ phương trình
⇒
(
t
+
1)
−
(
x
+
1)
=
x
−
t
⇔
2
( x + 1) + ( x − 2) = x(t + 1)
t = − x − 1
Đến đây, việc giải các phương trình thành phần hết sức đơn giản, nhường lại cho các em nhé!
b) 4 x 2 − 3x + 2 = x 2 x 2 − 2 x − 1
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (2 x − 1) 2 + ( x + 1) = x x(2 x − 1) − ( x + 1)
Đặt
x(2 x − 1) − ( x + 1) = 2t − 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 − x + 1 = ( x + 2) x 2 − 2
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x − 1)2 + x = ( x + 2) ( x + 1)( x − 1) − x
Đặt
( x + 2)( x − 1) − x = t − 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
b) 4 x 2 + 5 x = ( x + 2) 2 x 2 + 4 x + 3
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (2 x + 1) 2 + ( x − 1) = ( x + 2) ( x + 2)(2 x + 1) − ( x − 1)
Đặt
( x + 2)(2 x + 1) − ( x − 1) = 2t + 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
c) x 2 + x + 2 = ( x + 2) x 2 + 4 x + 1
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x + 1) 2 − ( x − 1) = ( x + 2) ( x + 2)( x + 1) + ( x − 1)
Đặt
( x + 2)( x + 1) + ( x − 1) = t + 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) 4 x 2 + 3x + 1 = x 2 x 2 + 2 x
b) x 2 + 4 x + 8 = 2 4 x + 7
c) x 2 − 2 x − 2 = 3 7 x + 6
d) ( x − 1)2 = 3 x − 3
e) x 2 + 3 = 2 6 x + 5
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1. Giải phương trình 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2
6x + 9
Câu 2. Giải phương trình
+ 15 x 2 + x + 9 = 0
2x +1
10
Câu 3. Giải phương trình
+1 = x
6x2 − x − 6 − 4
16 8
Câu 4. Giải phương trình x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 2 − 3 2 x − 1
x
x
Câu 5: Giải phương trình x 2 + 2 x + 3 = 3 3 x + 1
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
4− x
x
3
2
x − 4 x + 2 x − 11 3 2
= 3 x + 10 x − 1
Câu 7: Giải phương trình
2 x + 11
10 x + 14
Câu 8: Giải phương trình 3x 3 + 9 x 2 − 10 = 3
3
3x + 13
Câu 9: Giải phương trình 54 x 3 − 54 x 2 + 18 x − 16 = 3
2
Câu 6: Giải phương trình x 2 − 5 x + 5 =
Câu 10: Giải phương trình 6 x3 − 17 x + 12 = 3 3 x − 2
Câu 11: Giải phương trình 4 x 3 − 9 x + 8 = 3 3 3 x − 2
Câu 12: Giải phương trình 2 x 3 + 11x = 8 + 5 3 4 − 3 x
Câu 13: Giải phương trình 8 ( 4 x 2 + 5 x + 3) = 3 2 x − 5
Câu 14: Giải phương trình 3 ( x 2 + x − 1) =
Câu 15: Giải phương trình 6 ( x + 1) =
2
5x + 8
3
8 + x − 3x 2
3
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình
Điều kiện 4 ≤ x ≤ 6
x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13x + 17 ⇔
⇔
⇔
(
)(
x − 4 −1
)+(
x − 4 +1
(
x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13 x + 17.
Hướng dẫn giải:
) (
x − 4 −1 +
)(
6 − x −1
)
6 − x − 1 − 2 x 2 + 13x − 15 = 0
) − ( 2x
6 − x +1
x − 4 +1
6 − x +1
x−5
5− x
+
− ( x − 5 )( 2 x − 3) = 0
x − 4 +1
6 − x +1
2
− 13x + 15 ) = 0
x=5
1
1
⇔ ( x − 5)
−
− (2 x − 3) = 0 ⇔
1
1
−
− (2 x − 3) = 0
6 − x +1
x − 4 +1
x − 4 + 1
6 − x +1
1
1
1
1
−
− (2 x − 3) = 0 ⇔
−
= 2 x − 3 (1)
x − 4 +1
6 − x +1
x − 4 +1
6 − x +1
1
1
1
Ta có
−
<
≤ 1 và 2 x − 3 ≥ 5, ∀x ∈ [ 4; 6] nên phương trình (1) vô nghiệm.
x − 4 +1
6 − x +1
x − 4 +1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a)
c)
2x + 2 − 2x − 1 = x
b) 4 x + 1 − 3x − 2 =
4
1
5
+ x − = x + 2x −
x
x
x
x+3
5
d)
x+7
+ 8 = 2 x2 + 2 x − 1
x +1
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a)
2x + 2 − 2x −1 = x
b)
x + 3 − 1− x = x +1
c)
x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5
d)
x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8
(Đ/s: x = 1)
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a)
x − 2 + 4 − x = 2 x2 − 5x − 1
(Đ/s: x = 3)
b)
3 x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0
(Đ/s: x = 5)
c)
4x + 1 − 5 − 2x + 2x2 − 5x = 0
(Đ/s: x = 2)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Giải phương trình x3 + x 2 − 2 x + 10 = 2 ( x 2 + x + 1) x − 1 + 6
Câu 2: Giải phương trình
2 x + 1 + 4 x − 7 = x3 − 6 x 2 +
21
x−4
2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
Câu 3: Giải phương trình 3 ( x − 2 ) + 3 x + 4 = 3 2 x + 1 + x − 3
( x ∈ ℝ) .
Câu 4: Giải phương trình
3x − 4 + x 2 + 2 = 3x + x
Câu 5: Giải phương trình
x +1
+ 2 x + 1 = 3x + 2
5x + 2 + 1
( x ∈ ℝ) .
Câu 6: Giải phương trình
2 x + 3 − x + 4 + 2 x 2 + 3x = 5
( x ∈ ℝ) .
Câu 7: Giải phương trình
1
1
−
=
2x + 3
x+4
x3 − 1
x2 − 2 x + 5 − 1
Câu 8: Giải phương trình 5 + x 2 + x + 4 = 3 x + 4 +
Câu 9: Giải phương trình
10
x
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
x − 1 + 2 x + 2 = 5 + ( 2x2 − 5x + 2) x + 3
Câu 10: Giải phương trình 2 x + 14 + 3 x + 1 = ( x + 8 ) x + 3
( x ∈ ℝ).
( x ∈ ℝ).
Câu 11: Giải phương trình x3 + 5 x + ( x − 2 ) x + 1 = 4 x 2 + 4 − x + 2
Câu 12: Giải phương trình x3 + 4 x + ( x − 1) 2 x + 1 = 3 x 2 + x + 3
Câu 13: Giải phương trình
x − 1 + 3x + 1 + x3 + x 2 − 2 = 2 x
( x ∈ ℝ).
( x ∈ ℝ).
( x ∈ ℝ).
Câu 14: Giải phương trình ( x + 2 ) x + 1 − ( 4 x + 5 ) 2 x + 3 + 6 x + 23 = 0
Câu 15: Giải phương trình x 2 + 2 x + 5 = 2 x + 2 + ( x + 1) x 2 + x + 3
Câu 16: Giải phương trình
Câu 17: Giải phương trình
( x ∈ R)
( x ∈ R)
2 x 2 + 8 − 2 2 x − 3 + x − 4 = 0 trên tập số thực.
2 x2 +
( x − 1)
3
+ ( 2 x − 1) 2 x − 3
x2 + 5x − 2
= 1 trên tập số thực.
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. LIÊN HỢP 2 NGHIỆM ĐẸP
Ví dụ 1 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)
5x − 3 − 2 x − 1 + 6 x2 − x − 2 = 0
Đ/s: x =
b) 3 2 x + 7 − 1 − 5 x + 2 x 2 + 13 x + 22 = 0
a) ĐK: x ≥
3
. Khi đó PT ⇔
5
(
2
3
Đ/s: x = −3
Lời giải.
)
5 x − 3 − 2 x − 1 + ( 3 x − 2 )( 2 x + 1) = 0
3x − 2
1
+ ( 3 x − 2 )( 2 x + 1) = 0 ⇔ ( 3 x − 2 )
+ 2 x − 1 = 0 (1)
5x − 3 + 2 x − 1
5x − 3 + 2 x −1
⇔
Do ⇔
1
3
2
+ 2 x + 1 > 0 ∀x ≥ ⇒ (1) ⇔ x =
5
3
5x − 3 + 2 x − 1
Vậy x =
2
là nghiệm của PT đã cho.
3
b) ĐK:
−7
1
≤x≤
2
5
PT ⇔ 3( 2 x + 7 − 1) + (4 − 1 − 5 x ) + 2 x 2 + 13 x + 21 = 0 ⇔
6( x + 3)
5( x + 3)
+
+ (2 x + 7)( x + 3) = 0
2 x + 7 + 1 4 + 1 − 5x
6
5
⇔ ( x + 3)
+
+ 2 x + 7 = 0 ⇔ ( x + 3).g ( x) = 0 ⇔ x = −3
2 x + 7 + 1 4 + 1 − 5x
−7 1
Vì g ( x) > 0 ∀x ∈ ;
2 5
Vậy x=-3 là nghiệm của PT
Ví dụ 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)
2 x2 + x + 6 + x2 + x + 2 = x +
b)
x2 − x + 1 + x2 + x + 1 = 2
4
x
Đ/s: x = 1
Đ/s: x = 0
Lời giải.
a) ĐK: x > 0 ( vì VT > 0 ).
2
2
x2 + 4 ( 2 x + x + 6) − ( x + x + 2)
Khi đó: PT ⇔ 2 x + x + 6 + x + x + 2 =
=
x
x
2
⇔x
(
2
) (
2 x2 + x + 6 + x2 + x + 2 =
2x2 + x + 6 + x2 + x + 2
)(
2 x2 + x + 6 − x2 + x + 2
)
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
⇔ 2 x2 + x + 6 − x2 + x + 2 = x ⇔ 2 x2 + x + 6 = x + x2 + x + 2
⇔ 2 x 2 + x + 6 = 2 x 2 + x + 2 + 2 x x 2 + x + 2 ⇔ 2 = x x 2 + x + 2 ⇔ 4 = x 4 + x3 + 2 x 2
⇔ ( x 4 − 1) + ( x3 + 2 x 2 − 3) = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 1) + ( x − 1) ( x 2 + 3 x + 3)
⇔ ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + 1) + x 2 + 3 x + 3 = 0 ⇔ ( x − 1) g ( x ) ⇔ x = 1 ( vì g ( x ) > 0 ∀x > 0 )
Vậy x = 1 là nghiệm của PT đã cho.
b) PT ⇔ 2 x 2 + 2 + 2
(x
2
+ 1 − x )( x 2 + 1 + x ) = 4 ⇔ x 2 + 1 +
(x
2
+ 1) − x 2 = 2
2
x2 + 1
= 0 ⇔ x2 1 +
=0
x4 + x2 + 1 + 1
x4 + x2 + 1 + 1
x4 + x2
⇔ x2 + x4 + x2 + 1 − 1 = 0 ⇔ x2 +
x = 0
⇔
x2 + 1
1+
= 0 ( vn )
x4 + x2 + 1 + 1
Vậy x = 0 là nghiệm của PT.
Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)
2 x2 + x + 9 + 2 x2 − x + 1 = x + 4
b)
2 x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x
Đ/s: x = 0, x =
8
7
Lời giải.
a) Nhận xét: x = −4 không là nghiệm của PT. Với x ≠ −4 ta có:
PT ⇔
2x + 8
2x + x + 9 − 2x − x +1
2
2
= x + 4 ⇔ 2 x2 + x + 9 − 2 x2 − x + 1 = 2
x ≥ −2
8
(1) ⇔ 2 x 2 + x + 9 = 2 x 2 − x + 1 + 4 2 x 2 − x + 1 + 4 ⇔ x + 2 = 2 2 x 2 − x + 1 ⇔ 2
⇔ x = 0, x =
7
7 x − 8 x = 0
Vậy x=0, x =
8
là nghiệm của PT
7
b) Nhận xét : x = 0 không phải là nghiệm của PT
PT ⇔
6x
2 x + 3x + 5 − 2 x − 3x + 5
2
2
= 3x ⇒ 2 x 2 + 3x + 5 = 2 + 2 x 2 − 3x + 5
2
x ≥
⇔ 2 x + 3x + 5 = 4 + 4 2 x − 3x + 5 + 2 x − 3x + 5 ⇔ 2 2 x − 3x + 5 = 3x − 2 ⇔
⇔x=4
3
x 2 − 16 = 0
2
2
2
2
Vậy x = 4 là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 4 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)
3x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3x + 4
b) 4 x 2 + 3 x + 3 = 4 x x + 3 + 2 2 x − 1
Đ/s: x = 2
Đ/s: x = 1
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
Lời giải.
3x − 7 x + 3 ≥ 0
a) ĐK: x 2 ≥ 2
(*) . Với ĐK trên ta có:
3x 2 − 5 x − 1 ≥ 0
2
PT ⇔ 3x 2 − 7 x + 3 − 3 x 2 − 5 x − 1 = x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4
⇔
−2 x + 4
3x 2 − 7 x + 3 + 3 x 2 − 5 x − 1
=
x = 2 ( tm (*) )
⇔
−2
=
2
2
x
−
x
+
+
x
−
x
−
3
7
3
3
5
1
3x − 6
x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4
3
x − 2 + x 2 − 3x + 4
2
( vn )
Vậy x = 2 là nghiệm của PT đã cho.
b) ĐK: x ≥
1
. Với ĐK trên ta có:
2
(
PT ⇔ 4 x − 4 x x + 3 + ( x + 3) + 2 x − 2 2 x − 1 = 0 ⇔ 2 x − x + 3
2
2
2
2
2 ( x − 1)
2 x + 3)
4 x2 − x − 3
(
2
⇔
= 0 ⇔ ( x − 1)
+
2x + x + 3 x + 2x −1
2 x + x + 3
(
)
2
)
2
+
2 ( x 2 − 2 x + 1)
x + 2x −1
=0
2
=0
+
x + 2x −1
⇔ x =1
Vậy x = 1 là nghiệm của PT.
Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 5 x 2 + x + 3 − 2 5 x − 1 + x 2 − 3x + 3 = 0
a. ĐK: x ≥
−4
Với ĐK trên ta có:
5
) (
(
PT ⇔ 2 − 5 x − 1 + x + 1 +
b) 2 x 2 + 3 = 3 x + 1 + 5 x + 4
Lời giải.
)
5 x 2 + x + 3 − 2 x − 1 + x 2 − 3x + 2 = 0
2
1
2
2
⇔ ( x 2 − 3 x + 2)
+ x − 3x + 2 = 0
+ ( x − 3 x + 2)
2
5x − 1 + x + 1
5x + x + 3 + 2x + 1
(
)
x = 1
2
1
⇔ ( x 2 − 3 x + 2)
+
+ 1 = 0 ⇔
2
5x + x + 3 + 2 x + 1
x = 2
5x − 1 + x + 1
b. ĐK: x ≥
−1
. Với ĐK trên ta có:
5
PT ⇔ 2( x 2 − x) + ( x + 1 − 3 x + 1) + ( x + 2 − 5 x + 4) = 0
(
)
⇔ 2 x2 − x +
x = 0
x2 − x
x2 − x
+
= 0 ⇔ ( x 2 − x).g ( x) = 0 ⇔
x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4
x = 1
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Vì g ( x) = 2 +
1
x + 1 + 3x + 1
+
1
x + 2 + 5x + 4
Ví dụ 6 [ĐVH]: Giải phương trình
> 0 ∀x ≥
Facebook: LyHung95
−4
5
( x ∈ ℝ) .
3 − x + x + 2 = x3 + x 2 − 4 x − 1
Lời giải.
Điều kiện −2 ≤ x ≤ 3 .
Phương trình đã cho tương đương với
3 3 − x + 3 x + 2 = 3 x 3 + 3 x 2 − 12 x − 3
⇔ 3 3 − x − ( 5 − x ) + 3 x + 2 − ( x + 4 ) = 3 x3 + 3 x 2 − 12 x − 12
⇔
9 ( 3 − x ) − ( x 2 − 10 x + 25 )
+
9 ( x + 2 ) − ( x 2 + 8 x + 16 )
3 3− x +5− x
3 x+2 + x+4
2
−x + x + 2
−x + x + 2
⇔
+
= 3 ( x 2 − 4 ) ( x + 1)
3 3− x +5− x 3 x + 2 + x + 4
= 3 x 2 ( x + 1) − 12 ( x + 1)
2
1
1
⇔ ( x + 1)( x − 2 )
+
+ 3 ( x + 2 ) = 0 (1)
3 3− x + 5 − x 3 x + 2 + x + 4
1
1
Dễ thấy
+
+ 3 ( x + 2 ) > 0, ∀x ∈ [ −2;3] nên (1) có các nghiệm x = 2; x = −1 .
3 3− x + 5− x 3 x + 2 + x + 4
Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2; x = −1 .
x 4 − x 3 − x 2 − x − 11
=0
3
Lời giải.
Điều kiện −2 ≤ x ≤ 3 . Phương trình tương đương
3 3 − x + 3 x + 2 + x 4 − x 3 − x 2 − x − 11 = 0
Ví dụ 7 [ĐVH]: Giải phương trình
3− x + x + 2 +
( x ∈ ℝ) .
⇔ 3 3 − x − (5 − x ) + 3 x + 2 − ( x + 4) + x2 ( x2 − x − 2) + x2 − x − 2 = 0
⇔
9 ( 3 − x ) − ( x 2 − 10 x + 25 )
+
9 ( x + 2 ) − ( x 2 + 8 x + 16 )
+ x 2 ( x − 2 )( x + 1) + ( x − 2 )( x + 1) = 0
3 3− x +5− x
3 x+2 + x+4
2
−x + x + 2
−x + x + 2
⇔
+
+ ( x − 2 )( x + 1) ( x 2 + 1) = 0
3 3− x +5− x 3 x + 2 + x + 4
1
1
⇔ ( x + 1)( x − 2 )
+
− x 2 − 1 = 0 (1)
3 3− x + 5 − x 3 x + 2 + x + 4
1
1
1
1
1
Ta thấy
+
=
+
< 2. = 1 < x 2 + 1 .
2
3 3− x + 5− x 3 x + 2 + x + 4 3 3− x +3− x + 2 3 x + 2 + x + 2 + 2
Nên (1) có các nghiệm x = 2; x = −1 .
Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2; x = −1 .
2
Ví dụ 8 [ĐVH]: Giải phương trình x ( x + 1)( x − 3 ) + 3 = 4 − x + x + 1
( x ∈ ℝ) .
Lời giải.
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 4 . Phương trình đã cho tương đương với
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
x ( x + 1)( x − 3) = 4 − x + x + 1 − 3
⇔ x ( x + 1)( x − 3) = 4 − x −
6− x
x+3
+ 1+ x −
3
3
⇔ 3 x ( x + 1)( x − 3) = 3 4 − x − ( 6 − x ) + 3 1 + x − ( x + 3)
− x 2 + 3x
− x 2 + 3x
+
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
1
1
⇔ ( x 2 − 3 x ) 3 x + 3 +
+
=0
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
⇔ 3 ( x + 1) ( x 2 − 3 x ) =
Ta có nhận xét
(1)
3 4 − x + 6 − x > 0,3 1 + x + x + 3 > 0, ∀x ∈ [ −1; 4]
1
1
+
> 0, ∀x ∈ [ −1; 4]
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
Do đó (1) ⇔ x ( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {0;3} . Đối chiếu điều kiện, kết luận bài toán có hai nghiệm kể trên.
⇒ 3 ( x + 1) +
Ví dụ 9 [ĐVH]: Giải phương trình
5 − x + 28 − 3 x = 2 x 2 −
32
47
x+
3
3
( x ∈ ℝ) .
Lời giải.
Điều kiện x ≤ 5 .
Phương trình đã cho tương đương với
7−x
16 − x
5− x −
+ 28 − 3 x −
= 2 ( x2 − 5x + 4)
3
3
⇔ 3 5 − x − ( 7 − x ) + 3 28 − 3 x − (16 − x ) = 2 ( x 2 − 5 x + 4 )
⇔
x 2 − 14 x + 49 − 9 ( 5 − x )
+
x 2 − 32 x + 16 2 − 9 ( 28 − 3 x )
+ 2 ( x2 − 5x + 4 ) = 0
7− x +3 5− x
16 − x + 3 28 − 3 x
2
x − 5x + 4
x − 5x + 4
⇔
+
+ 2 ( x2 − 5x + 4) = 0
7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x
1
1
⇔ ( x − 1)( x − 4 )
+
+ 2 = 0 (1)
7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x
1
1
Ta có
+
+ 2 > 0, ∀x ≤ 5 nên (1) ⇔ ( x − 1)( x − 4 ) = 0 ⇔ x ∈ {1; 4} .
7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x
Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.
2
Ví dụ 10 [ĐVH]: Giải phương trình 4 x 2 − 18 x + 22 = 13 − 4 x + 33 − 8 x
( x ∈ ℝ) .
Lời giải.
13
.
4
Phương trình đã cho tương đương với
( 4 − x ) − 13 − 4 x + ( 6 − x ) − 33 − 8 x + 4 ( x 2 − 4 x + 3) = 0
Điều kiện x ≤
⇔
x2 − 4 x + 3
x2 − 4x + 3
+
+ 4 ( x 2 − 4 x + 3) = 0
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x
1
1
⇔ ( x 2 − 4 x + 3)
+
+ 4 = 0 (1)
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x
1
1
13
+
+ 4 > 0, ∀x ≤ nên (1) ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {1;3} .
Vì
4
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
- Xem thêm -