Mô tả:
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
Ts. Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1/6
Định nghĩa
Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại
ma trận vuông B cấp n sao cho
AB = BA = In .
B gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là A−1 .
−2 1
1 2
. Ta có
Ví dụ: Cho A =
và B =
3
3 4
− 12
2
AB = BA = I2
nên A khả nghịch và A−1 = B
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
2/6
Nhận xét
Nếu A khả nghịch thì ta còn nói A không suy biến. Ngược lại, A là
ma trận suy biến.
Ma trận nghịch đảo (nếu có) là duy nhất.
Nếu A khả nghịch thì A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A.
Nghịch đảo của tích hai ma trận
(AB )−1 = B −1 .A−1
Nghịch đảo của ma trận chuyển vị
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
( AT ) − 1 = ( A − 1 ) T
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3/6
Điều kiện khả nghịch
Cho A là ma trận vuông cấp n
A khả nghịch ⇐⇒ det(A) 6= 0
1 2
Ví dụ: ma trận A =
khả nghịch vì det(A) = −2 6= 0.
3 4
2 −1 3
Ví dụ: ma trận C = 1 m −2 suy biến khi
3 −1 4
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
det(C ) = 3 − m = 0 ⇐⇒ m = 3.
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
4/6
Tìm ma trận đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
phép b. đ. s. c
B ] =⇒ A−1 = B
[ A In ] −−−−−−−→ [ In
trên dòng
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A =
1
4
−3 1 0
5 0 1
1
0
1 0
0 1
→
→
Vậy
A−1
=
5
17
−4
17
3
17
1
17
−3
5
(nếu có)
−3 1 0
17 −4 1
5
17
−4
17
3
17
1
17
0
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của B = 1
−1
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
1
4
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
−1 1
0 −1
1
0
5/6
Tìm ma trận đảo bằng định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu A khả nghịch thì
T
C11 C12 · · · C1n
1
C21 C22 · · · C2n
=
det(A) · · · · · · · · · · · ·
Cn1 Cn2 · · · Cnn
|
{z
}
A−1
PA
với Cij là phần bù đại số của phần tử aij , được xác định bởi
Cij = (−1)i +j det(Mij ).
Ta gọi PA là ma trận phụ hợp của A
2
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A = 1
3
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
−1 3
−3 2
−2 1
6/6
- Xem thêm -