Toaùn cao caáp :
Chöông 0
A.
I.
Giaûi tích
3
TAÄP HÔÏP VAØ AÙNH XAÏ
TAÄP HÔÏP
Khaùi nieäm
Taäp hôïp laø moät yù nieäm nguyeân thuûy cuûa toaùn hoïc, khoâng ñònh
nghóa.
Ta moâ taû: moät soá vaät theå hôïp thaønh taäp hôïp; moãi vaät theå laø
moät phaàn töû.
+ Cho moät taäp hôïp A vaø phaàn töû x . Neáu x laø phaàn töû cuûa A
ta vieát x ∈ A .
Ngöôïc laïi, ta vieát x ∈ A hay x ∉ A (x khoâng thuoäc A).
Ví duï: Taát caû hoïc sinh cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Kinh teá laø moät taäp
hôïp, moãi hoïc sinh laø moät phaàn töû.
+ Hoäp phaán laø moät taäp hôïp, moãi vieân phaán laø moät phaàn töû.
II.
Caùch dieãn taû
Coù nhieàu caùch:
1)
Lieät keâ: lieät keâ taát caû caùc phaàn töû trong 2 daáu { }
Ví duï: Taäp hôïp caùc nguyeân aâm A = {a, e, i, u, o, y}.
Ví duï: T = {baøn, gheá, con meøo, con gaùi, oâ mai}.
2)
Tröng tính : (neâu tính chaát ñaëc tröng)
Neáu moïi phaàn töû x cuûa taäp A ñeàu coù tính chaát b , ta vieát:
A = { x x coù tính chaát b }.
Ví duï: M = { x x laø soá nguyeân döông nhoû hôn 5}
3)
→ M = {1, 2, 3, 4}.
Giaûn ñoà Venn
a∈ A.
b∈ A , 2∈A .
c, −3,5 ∈ A .
X
A
X
b
a
X
2
X
X
III.
1)
2)
Vaøi taäp hôïp thoâng duïng
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}; ℕ ∗ = ℕ \ {0}.
ℤ = {0, ± 1, ± 2, …}.
5
c
X
-3
Toaùn cao caáp :
3)
4)
Giaûi tích
m
m ∈ Z, n ∈ Z*} laø taäp caùc soá höõu tyû.
n
ℝ laø taäp caùc soá thöïc.
( a, b ) = { x ∈ ℝ a < x < b} .
ℚ = {x =
[ a, b] = { x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b} .
(−
IV.
4
{
}
2,15 = x ∈ ℝ − 2 < x ≤ 15 .
Chính soá, taäp troáng, taäp höõu haïn, taäp voâ haïn
1. Taäp höõu haïn: laø taäp hôïp coù soá phaàn töû höõu haïn.
2. Chính soá: Giaû söû A coù soá phaàn töû höõu haïn. Soá phaàn töû cuûa
taäp A coøn ñöôïc goïi laø chính soá cuûa A (hay card A ).
Kyù hieäu: ch.s A hay card A hay A .
Ví duï: A = {−3,5, a, b} → card A = 4.
3.Taäp troáng: laø taäp hôïp khoâng coù phaàn töû naøo caû.
Kyù hieäu: ∅ hay { }.
Ghi chuù: {∅} ≠ ∅ .
{0} ≠ ∅ .
4.Taäp voâ haïn: taäp khoâng höõu haïn ñöôïc goïi laø taäp voâ haïn.
Ví duï: ℕ , ℤ , ℚ , ℝ , ( 0,1) laø nhöõng taäp hôïp voâ haïn.
V.
Taäp hôïp con, taäp hôïp baèng nhau
1. Taäp hôïp con: A laø taäp hôïp con cuûa B neáu moïi phaàn töû cuûa
A ñeàu laø phaàn töû cuûa B .
Kyù hieäu:
A ⊂ B ( A chöùa trong B ).
A ⊂ B ⇔ " ∀x , x ∈ A ⇒ x ∈ B " .
Ví duï: A = {1, -5, 0}; B = {2, 3, 1, 8, 0, -5};
C = {1, -5, 0, 7, 3}
A ⊂ B vaø C ⊄ B ( 7 ∈ C vaø 7 ∉ B ).
Nhaän xeùt:
∀A , ta coù ∅ ⊂ A vaø A ⊂ A .
2. Taäp hôïp baèng nhau: A = B ⇔ A ⊂ B vaø B ⊂ A
⇔ " ∀x , x ∈ A ⇔ x ∈ B " .
3. Taäp hôïp taát caû taäp hôïp con cuûa E goïi laø taäp hôïp caùc phaàn
cuûa E
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
5
Kyù hieäu: P(E ) = {A A ⊂ E} .
Ví duï: E = {a, b, c}
P(E ) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a},{a, b, c}} .
Heä quaû:
Neáu card E = n → card P(E ) = 2 n (chöùng minh baèng truy
chöùng).
VI.
Caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp
1. Pheùp giao
A ∩ B = {x x ∈ A vaø x ∈ B} .
Ví duï: A = {-3, 5, - 2 },
B = {0, -3, 8, - 2 },
C = {1, 2, 3}.
→ A ∩ B = {-3, - 2 } vaø A ∩ C = {∅} .
Tính chaát:
A∩∅ = ∅∩ A = ∅
A∩ A = A
A∩B = B∩ A
( A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C )
A∩B ⊂ A; A∩B ⊂ B
2.
Pheùp hoäi
A ∪ B = {x x ∈ A hay x ∈ B} .
Ví duï: A = {a, b, c, d} ; B = {a, c, e, f }
→ A ∪ B = {a, b, c, d , e, f } .
Tính chaát :
A∪B = B∪ A
( A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C )
A∪∅ = ∅∪ A = A
A∪ A = A ; A ⊂ A∪B; B ⊂ A∪B.
Tính phaân boá cuûa pheùp giao vaø pheùp hoäi
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
3.
Pheùp hieäu:
A \ B = {x x ∈ A vaø x ∉ B} .
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
6
Ví duï: A = {a, b, c, d} ; B = {5, a, c, f , −3} ; C = {a, f , 7, d}
A \ B = {b, d} ; B \ A = {5, f , −3} .
( A \ B) \ C = {b} ≠ A \ ( B \ C ) = {a, b, d} .
Tính chaát:
Neáu A ≠ B thì A \ B ≠ B \ A .
Thoâng thöôøng ( A \ B ) \ C ≠ A \ ( B \ C ) .
A\∅= A; A\ A=∅; A\B⊂ A.
Baøi taäp : Chöùng minh A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C )
A \ (B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C )
4.
Phaàn buø: Cho A ⊂ E , phaàn buø cuûa A ñoái vôùi E laø:
A c = A = CE A = E \ A = {x x ∈ E vaø x ∉ A} .
Tính chaát :
CE ∅ = E ; CE E = ∅ ; CE A ∪ A = E
CE A ∩ A = ∅
CE ( CE A ) = A ( A = A )
C E ( A ∪ B ) = CE A ∩ C E B
E
A
C E ( A ∩ B ) = CE A ∪ C E B
Ví duï: E = {a, b, c, d , e, f } ; A = {a, d} ; B = {a, e, f }
CE A = {b, c, e, f } ; CE B={b,c,d}
CE (A ∪ B)={b,c} ; CE (A ∩ B)={b,c,d,e,f}
5. Taäp hôïp tích:
A × B = {( x , y ) x ∈ A vaø y ∈ B} .
Ví duï: A = {1,2,3} ; B = {a, b}
→ A × B = {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)}
vaø B × A = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} .
Ghi chuù: Neáu A ≠ B vaø A , B ≠ ∅ thì A × B ≠ B × A .
Ví duï: (1, 4) ≠ (4, 1)
- A×∅ = ∅× A = ∅ .
- Neáu A , B höõu haïn, ta coù Card ( A × B ) = Card A .Card B
Neáu A = B ta vieát: A × B = A × A = A2 .
Ví duï: Maët phaúng toïa ñoä laø ℝ 2 = ℝ × ℝ = {( x , y ) x , y ∈ ℝ} .
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
7
Töông töï ta coù :
A1 × A2 × ... × An = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ Ai , ∀i = 1, n}
= {( x1 , x2 ,..., xn ) x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 ,..., xn ∈ An}
A × A × ...× A = A n = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ A, ∀i = 1, n}
n laàn
Ví duï: ℝ n = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ ℝ, ∀i = 1, n}
(-5, 2, 7 , -8) ∈ ℝ 4
(-2, 1, 0, 3, 7) ∈ ℤ 5 ⊂ ℚ5 ⊂ ℝ 5
B.
I.
AÙNH XAÏ
Ñònh nghóa: Cho 2 taäp hôïp X , Y khaùc troáng, moät pheùp
lieân keát f töông öùng moãi phaàn töû x ∈ X vôùi duy nhaát
phaàn töû y ∈ Y ñöôïc goïi laø moät aùnh xaï töø X vaøo Y .
Kyù hieäu: f : X → Y
x ֏ y = f (x)
Khi ñoù,
X : taäp hôïp nguoàn (mieàn xaùc ñònh)
Y : taäp hôïp ñích (mieàn aûnh)
Nhaän xeùt: f : X → Y laø moät aùnh xaï neáu moïi phaàn töû cuûa X
ñeàu coù aûnh duy nhaát ( ∈ Y ).
AÙnh xaï f : X → ℝ vôùi X ⊂ ℝ ñöôïc goïi laø một haøm soá thöïc
vôùi bieán soá thöïc.
Ví duï :
f :ℝ → ℝ
f ( x ) = 5 x 2 − 3 x laø moät aùnh xaï vaø laø moät haøm soá thöïc
vôùi bieán soá thöïc.
II.
Nghòch aûnh: (aûnh ngöôïc, tieàn aûnh)
Cho aùnh xaï: f : X → Y
A ⊂ X , aûnh cuûa taäp A laø f ( A) = { f ( x ) ∈ Y x ∈ A} .
Aûnh ngöôïc cuûa B ⊂ Y laø f −1 ( B) = {x ∈ X f ( x ) ∈ B}
Ñaëc bieät khi B = {y} ⊂ Y ta vieát
f −1 ({y}) = f −1 ( y ) = {x ∈ X f ( x ) = y} .
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
8
x ∈ f −1 ( y ) ñöôïc goïi laø aûnh ngöôïc cuûa y .
Ví duï: f : ℝ → ℝ
f(x) = x2
B = {-5, 2, 4, 9, 0}
f −1 (B ) = {± 2 , ± 2, ± 3, 0}
f −1 (169) = {±13}; f −1 (−3) = ∅
f −1 (2) = {± 2 }; f −1 (−5) = ∅
Toaøn aùnh: Cho aùnh xaï f : X → Y , ta noùi
f laø toaøn aùnh khi vaø chæ khi f ( X ) = Y . Ta coù:
f ( X ) = Y ⇔ ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f ( x ) = y
⇔ ∀y ∈ Y , phöông trình y = f ( x ) coù ít nhaát 1 nghieäm
III.
⇔ ∀y ∈ Y , f −1 ( y ) ≠ ∅ .
Ví duï : i) f : ℝ → ℝ
f ( x ) = x 2 khoâng laø toaøn aùnh vì f −1 (−2) = ∅
(phöông trình x 2 = −2 voâ nghieäm).
ii) f : ℝ → ℝ +
f ( x ) = x 2 laø toaøn aùnh vì ∀y ∈ ℝ + , ta coù phöông
trình f ( x ) = y ⇔ x 2 = y luoân coù nghieäm x = ±
y
Nhaän xeùt: Giaû söû f : X → Y laø toaøn aùnh vaø X , Y laø taäp hôïp
höõu haïn thì card X ≥ card Y .
Ghi chuù: Ñeå chöùng minh f laø toaøn aùnh ta chöùng minh
∀y ∈ Y phöông trình f ( x ) = y coù nghieäm.
IV.
Ñôn aùnh: Cho aùnh xaï f : X → Y
f laø ñôn aùnh ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X vaø x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
⇔ ∀x1 , x2 ∈ X vaø f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
⇔ ∀y ∈ Y , phöông trình y = f ( x ) coù nhieàu nhaát laø một
nghieäm.
⇔ ∀y ∈ Y , f −1 (Y ) = ∅ hay f −1 ( y ) coù ñuùng 1 phaàn töû .
Ví duï:
*
f:
ℝ → ℝ
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
9
f (x) = x 2
khoâng laø ñôn aùnh vì f (−2) = f (2) = 4 .
*
V.
f:
ℝ + → ℝ hay ℝ − → ℝ
f ( x ) = x 2 laø ñôn aùnh
*
f:
ℝ → ℝ
3x − 5
f (x) =
7
laø ñôn aùnh vì ∀x1 , x2 ∈ ℝ vaø f ( x1 ) = f ( x2 )
3 x − 5 3 x2 − 5
⇔ 1
=
⇔ x1 = x2 .
7
7
Song aùnh : Cho aùnh xaï f : X → Y .
f laø song aùnh ⇔ f laø ñôn aùnh vaø f laø toaøn aùnh
⇔ ∀ y ∈ Y , phöông trình f ( x ) = y coù duy nhaát nghieäm
⇔ ∀ y ∈ Y , f −1 ( y ) coù duy nhaát moät phaàn töû.
3x − 5
Ví duï :
f:
ℝ → ℝ ; f (x) =
laø song aùnh
7
3x − 5
Vì ∀y ∈ ℝ , phöông trình y =
coù duy nhaát nghieäm
7
7y + 5
x=
3
f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh, khoâng laø toaøn aùnh
f : ℝ + → ℝ, f ( x ) = x 2 laø ñôn aùnh, khoâng laø toaøn aùnh
f : ℝ → ℝ + , f ( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh, laø toaøn aùnh
⇒ khoâng song aùnh
+
f : ℝ → ℝ + , f ( x ) = x 2 laø song aùnh
f : ℝ − → ℝ + , f ( x ) = x 2 laø song aùnh
VI.
AÙnh xaï ngöôïc: Neáu f : X → Y
x ֏ f ( x ) laø song aùnh
thì aùnh xaïï
f −1 : Y → X
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
10
y = f ( x ) ֏ x = f −1 ( y ) ñöôïc goïi laø aùnh xaï
ngöôïc cuûa f .
Ví duï: f :
ℝ+→ ℝ+
f ( x ) = x 2 ( y = x 2 ⇔ x = y , x, y ≥ 0 )
f −1 ( y ) = y ( x , y ≥ 0 )
hay f −1 ( x ) =
f:
x
ℝ → ℝ ; f (x) = x 2
−
+
f −1 ( y ) = − y ;
f:
f −1 :
*
f:
f −1 :
*
f:
f −1 :
*
f:
f −1 :
*
*
f:
f −1 ( x ) = − x
ℝ → ℝ + \ {0} ; f ( x ) = 3x
ℝ + \ {0} → ℝ ;
f −1 ( x ) = log3 x
π π
− 2 , 2 → [-1, 1]; f ( x ) = sin x
π π
[-1, 1] → − , ; f −1 ( x ) = arcsin x
2 2
[ 0,π ] → [-1, 1]; f(x) = cosx
[-1, 1] → [ 0, π ] ; f −1 ( x ) = arccos x
π π
− , → ℝ ; f ( x ) = tg x
2 2
π π
ℝ → − , ; f −1 ( x ) = arctg x
2 2
( 0, π ) → ℝ ; f ( x ) = cotg x
f −1 :
ℝ → ( 0, π ) ; f −1 ( x ) = arc cotg x
f:
ℝ → ℝ ; f (x) =
f −1 :
3x + 7
5
3x + 7
5y − 7
y=
⇔ x=
5
3
ℝ → ℝ
5x − 7
f −1 ( x ) =
3
Toaùn cao caáp :
*
Giaûi tích
11
Cho X ⊂ ℝ , Y ⊂ ℝ , xaùc ñònh X , Y ñeå f laø song
aùnh
vôùi f : X → Y ; f ( x ) =
5x − 3
−1
; X = ℝ\
2x +1
2
5x − 3
⇔ y(2 x + 1) = 5x − 3
2x +1
⇔ 2 xy + y = 5 x − 3 ⇔ x (2 y − 5) = − y − 3 (*)
5
Phöông trình (*) coù duy nhaát nghieäm ⇔ y ≠ . Ta coù
2
y+3
(*) ⇔ x =
5 − 2y
−1
5
Vaäy vôùi X = ℝ \ vaø Y = ℝ \ thì
2
2
f :X →Y
5x − 3
f (x) =
laø một song aùnh
2x + 1
vaø
f −1 : Y → X
5
1
f −1 : ℝ \ → ℝ \ −
2
2
x +3
f −1 ( x ) =
5 − 2x
Ghi chuù:
i)
f : X → Y laø ñôn aùnh vaø X , Y laø 2 taäp höõu haïn thì
y=
ii)
card X ≤ card Y .
f : X → Y laø song aùnh vaø X , Y laø höõu haïn thì
X =Y .
AÙnh xaï ngöôïc f −1 cuûa f chæ toàn taïi khi f laø song
aùnh.
AÙnh xaï hôïp: (AÙnh xaï tích)
Cho 2 aùnh xaï f : X → Y , vaø g : Y → Z .
iii)
VII.
AÙnh xaï h : X → Z ñöôïc ñònh nghóa: h ( x ) = g f ( x ) , ∀x ∈ X .
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
12
Kyù hieäu: h = g
f ñöôïc goïi laø aùnh xaï hôïp (aùnh xaï tích)
cuûa f vaø g .
Ví duï 1:
f : ℝ → [ 5, +∞ )
f (x) = x2 + 5
g : [ 5, +∞ ) → ℝ −
g( x ) = − x + 2
g
f ( x ) = g ( x 2 + 5)
= - x2 + 5 + 2 = - x2 + 7
2x + 5
4
2
2
2(3 x − x ) + 5 6 x − 2 x + 5
g
f ( x ) = g(3 x 2 − x ) =
=
4
4
2x + 5
f
g( x) = f
4
Ví du 2ï:
f , g : ℝ → ℝ ; f ( x ) = 3 x 2 − x ; g( x ) =
2
2
2 x + 5 2 x + 5 12 x + 52 x + 55
= 3
−
=
4
16
4
Nhaän xeùt :
i)
Thoâng thöôøng, f
g ≠ g
f .
ii)
(g
f )
iii)
f
f −1 ( y ) = y , ∀ y ∈ Y ( f : X → Y laø song aùnh).
−1
= f −1
g −1 (giaû söû f , g laø song aùnh).
f −1
f ( x ) = x , ∀ x ∈ X ( f : X → Y laø song aùnh).
iv)
VIII
Giaû söû ( f
g )
h toàn taïi, ta coù
( f
g)
h = f
( g
h) .
Ñònh nghóa :
1) Moät taäp A ñöôïc noùi laø höõu haïn vaø coù n phaàn töû neáu toàn
taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp con {1,2,3,...., n} cuûa ℕ .
Khi ñoù, ta vieát Card A = n hay A = n .
2) Neáu taäp A khoâng höõu haïn, ta noùi A voâ haïn.
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
13
3) Hai taäp A vaø B ñöôïc noùi laø ñoàng löïc löôïng neáu toàn taïi
moät song aùnh töø A vaøo B .
4) Moät taäp A ñöôïc noùi laø ñeám ñöôïc neáu toàn taïi moät song
aùnh giöõa A vaø taäp con N cuûa ℕ . Khi ñoù, neáu N = ℕ
thì ta noùi A laø taäp voâ haïn ñeám ñöôïc. Noùi caùch khaùc, ta
noùi A laø taäp voâ haïn ñeám ñöôïc neáu toàn taïi moät song aùnh
giöõa A vaø taäp ℕ .
- Xem thêm -