ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
……………
NGUYỄN TIẾN ĐỨC
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỜ TRONG
XỬ LÝ THÔNG TIN
Ngành: Công nghệ thông tin
Mã số: 1.01.10
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. Bùi Công Cường
Hà Nội, 2007
MỤC LỤC
CHƢƠNG I: TỔNG QUAN .......................................................................................1
1.MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ..................1
2.TÓM TẮT NỘI DUNG CÁC CHƢƠNG ......................................................2
CHƢƠNG II: ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE ...........................3
1. ĐỘ ĐO LEBESGUE. ......................................................................................3
1.1. NHẬN XÉT……. … ....................................................................................3
1.2. ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP .....................................................5
1.2.1. Đại số tập hợp. ....................................................................................5
1.2.2. Hàm tập hợp….. ..................................................................................6
1.2.3. Các tính chất. ......................................................................................7
1.3. KHUẾCH ĐỘ ĐO……...............................................................................10
1.3.1. Độ đo ngoài… ....................................................................................10
1.3.2. Định lý khuếch: ..................................................................................10
1.4. ĐỘ ĐO TRONG Rk ...................................................................................12
1.4.1. Độ đo trên đƣờng thẳng: ....................................................................12
1.4.2. Độ đo trong không gian Euclide k chiều .............................................13
1.5. HÀM SỐ ĐO ĐƢỢC..................................................................................14
1.5.1. Định nghĩa: .........................................................................................15
1.5.2. Các phép toán về hàm số đo đƣợc. ......................................................16
1.5.3. Cấu trúc các hàm số đo đƣợc: .............................................................16
1.5.4. Hàm số tƣơng đƣơng ...........................................................................17
1.5.5. Sự hội tụ theo độ đo. ...........................................................................17
1.5.6. Hai định lý về cấu trúc hàm đo đƣợc. ..................................................18
1.6*. ĐỘ ĐO VÀ THỨ NGUYÊN HAUSDORFF ............................................19
1.6.1. Độ đo Hausdorff. ................................................................................19
1.6.2. Thứ nguyên Hausdorff: .....................................................................20
1.6.3. Thứ nguyên Kolmogorov: ..................................................................21
2. TÍCH PHÂN LEBESGUE. ....................................................................................23
2.1. SỰ HẠN CHẾ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN ................................................23
2.1.1. Tích phân Riemann trong Rk .................................................................23
2.1.2. Dao động của một hàm số: ....................................................................24
2.1.3. Tiêu chuẩn khả tích (R). ........................................................................24
2.1.4. Tích phân Riemann trên một tâp hợp: ...................................................26
2.2. TÍCH PHÂN LEBESGUE. .................................................................................28
2.2.1. Tích phân các hàm đơn giản. ................................................................28
2.2.2. Tích phân các hàm đo đƣợc bất kỳ. .....................................................30
2.2.3. Các tính chất sơ cấp: .............................................................................31
2.3. QUA GIỚI HẠN DƢỚI DẤU TÍCH PHÂN .......................................................36
2.3.1. Hội tụ đơn điệu. ....................................................................................36
2.3.2. Hội tụ chặn............................................................................................36
2.3.3. Tích phân coi nhƣ một hàm tập. ............................................................37
2.4. TÍCH ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LẶP. ................................................................38
2.4.1. Độ đo trong không gian tích. ................................................................38
2.4.2. Tích phân lặp. ........................................................................................39
2.5. TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TRONG R. ..........................................................39
2.5.1. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu. ......................................................40
2.5.2. Đạo hàm của tích phân bất định. ..........................................................41
5.3. Hàm số có biến phân bị chặn và hàm số tuyệt đối liên tục. .......................41
2.5.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm. ...................................................................43
2.6. TÍCH PHÂN STIELJÈS .....................................................................................43
2.6.1. Độ đo L.S. ...........................................................................................43
2.6.2. Tích phân R.S. ......................................................................................46
CHƢƠNG III: ĐỘ ĐO MỜ VÀ TÍCH PHÂN MỜ
1. ĐỘ ĐO MỜ (fuzzy measures). ..............................................................................48
1.1. ĐỊNH NGHĨA ĐỘ ĐO MỜ. ....................................................................48
1.2. MỘT VÀI VÍ DỤ QUAN TRỌNG VỀ ĐỘ ĐO MỜ .............................49
1.2.1. Hàm lòng tin (belief function) và hàm hợp lẽ (plausibility
function) ................................................................................................49
1.2.2. Độ đo khả năng (Possibility theory) ..............................................50
1.2.3. Độ đo cực đại (maxitive measures, Shilkret 1971) [13] .................51
2. TÍCH PHÂN MỜ (Fuzzy Intergrals) ......................................................................52
2.1. TÍCH PHÂN CHOQUET. .......................................................................52
2.1.1. Định nghĩa tích phân Choquet ......................................................52
2.1.2. Các tính chất ................................................................................54
CHƢƠNG IV: ỨNG DỤNG ....................................................................................57
Bài toán 1 ..........................................................................................................57
Bài toán 2 ..........................................................................................................60
KẾT LUẬN ...............................................................................................................61
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................62
PHỤ LỤC 1: MÃ NGUỒN CHƢƠNG TRÌNH .........................................................63
PHỤ LỤC 2: MÔ TẢ DỮ LIỆU ................................................................................78
CHƢƠNG I:
TỔNG QUAN
MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Mục tiêu của luận văn
Nắm được cơ sở lý thuyết của độ đo mờ và tích phân mờ, đưa ra
phương hướng giải quyết cho các bài toán áp dụng vào thực tế.
Nội dung chính của luận văn
Luận văn có các nội dung chính như sau:
- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của độ đo mờ và tích phân mờ.
- Trình bày độ đo mờ, tích phân mờ và các ví dụ.
- Xây dựng chương chình cho một số bài toán.
Phƣơng pháp nghiên cứu
- Kết hợp lý thuyết, thực nghiệm và thực tế đưa ra các đánh giá, kết
luận.
- Học hỏi, nghiên cứu, phân tích các lý thuyết về lĩnh vực có liên
quan trong luận văn, từ các nguồn: các thầy giáo, cô giáo, các nhà
khao học, các chuyên gia, các đồng nghiệp, sách báo, tài liệu,
internet,…
- Tìm hiểu trên thực tế các yêu cầu, các tiêu chuẩn và các đánh giá về
các hệ thống.
- Đưa ra kết luận từ kết quả nghiên cứu.
2. TÓM TẮT NỘI DUNG CÁC CHƢƠNG
Luận văn có 4 chương và phần mở đầu, kết luận
Phần mở đầu
Phần này nêu lên sự cần thiết của tích phân mờ và độ đo mờ và áp dụng
vào các bài toán thực tế.
Chƣơng I: Tổng quan
Chương này nêu lên mục tiêu, nội dung và phương pháp nghiên cứu để
hoan thành luận văn.
Chƣơng II: Độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue
Chương này nêu lên các định nghĩa, định lý, tính chất và chứng minh
một số định lý quan trọng về độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue.
Chƣơng III: Độ đo mờ và tích phân mờ
Chương này nêu lên các định nghĩa, định lý, các tính chất và chứng
minh, các ví dụ về độ đo mờ và tích phân mờ.
Chƣơng IV: Ứng dụng tích phân mờ
Chương này giới thiệu ứng dụng tích phân mờ thông qua hai bài toán
cụ thể
Bài toán 1: Giá điện
Bài toán 2: Giá đất
Phần kết luận
Phần này nêu kết quả của luận văn và định hướng phát triển trong
tương lai.
Phụ lục mã nguồn chƣơng trình
CHƢƠNG II:
ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE
1. ĐỘ ĐO LEBESGUE (Hoàng Tụy 2006, [3])
1.1. NHẬN XÉT
Trên đường thẳng R có những tập điểm được gán một số không đổi mà ta
gọi là “độ dài”, ví dụ độ dài của một đoạn ∆ = [a;b] là = ׀∆׀b-a; nếu một tập
có thể phân tách thành một số hữu hạn đoạn rời nhau ∆1, ∆2,…, ∆n thì độ dài
của nó dĩ nhiên là ∆׀1 ׀+∆ ׀2 ׀+ …+ ∆׀n ׀. Nhưng có những tập mà trực quan
không cho ta thấy rõ nên xác định độ dài của nó như thế nào, hẳng hạn như
tập các điểm hữu tỉ trong đoạn [0;1]. Do đó nảy ra vấn đề: làm thế nào mở
rộng khái niệm độ dài cho những tập phức tạp hơn là đoạn thẳng hoặc hợp
một số hữu hạn đoạn thẳng.
Trong mặt phẳng R2 và trong không gian R3 cũng có những vấn đề tương
tự. Trong mặt phẳng, ta biết đo diện tích của những hình chữ nhật, nhưng làm
thế nào để đo diện tích của những tập phức tạp hơn? Trong không gian R3, ta
biết đo thể tích của những hình hộp hoặc những tập có thể phân tích được
thành một số hữu hạn hình hộp, nhưng làm thế nào để đo thể tích của những
tập phức tạp hơn?
Để thống nhất phát biểu vấn đề, ta qui ước gọi chung bằng danh từ “đoạn
trong Rk” một đoạn thẳng nếu k = 1, một hình chữ nhật nếu k = 2, một hình
hộp nếu k = 3. Hình chữ nhật ở đây có thể hiểu theo nghĩa là tập các điểm x =
( ξ 1, ξ2 ) sao cho α1 ≤ ξi ≤ βi (i=1,2); hình hộp là tập các điểm x = (ξ1, ξ2, ξ3)
sao cho αi ≤ ξi ≤ βi (i=1,2,3). Ta cũng gọi chung là “độ đo” của đoạn ∆ và
dùng ký hiệu ׀∆׀để biểu thị độ dài của ∆ nếu ∆ là một đoạn thông thường,
diện tích của ∆ là một hình chữ nhật, thể tích của nếu ∆ là một hình hộp.
Vấn đề đặt ra là: hãy tìm một lớp tập Mk trong Rk để có thể gán cho mỗi
tập AMk một số m(A), gọi là độ đo của nó, sao cho:
a, 0≤ m(A) ≤+ ∞
b, mỗi đoạn ∆ đều thuộc lớp Mk và m(∆) = ׀∆׀
c, nếu A,B Mk và rời nhau thì
m(A B) = m(A) + m(B)
Peano và Jordan đã giải quyết vấn đề này như sau:
Cho trước một tập bị chặn A trong Rk, ta gọi “độ đo ngoài” của nó là số
n
n
m inf i : i ,
i 1
i 1
Trong đó ∆i là những đoạn. Nếu A nằm trong đoạn ∆0 thì ta gọi “độ đo
trong” của nó là số
*
m = – ׀∆׀m* (∆0\A).
Tập hợp A sẽ được gọi là đo được nếu m*(A) = m . Lúc đó, giá trị
chung của m*(A) và m gọi là độ đo của A và được ký hiệu là m(A).
Cho Mk là lớp các tập đo được theo nghĩa Peano-Jordan. Có thể chứng
minh rằng lớp Mk thoả mãn các điều kiện a), b), ) đã nêu ở trên, đồng thời các
lớp Mk kín đối với các phép toán: hợp, giao, trừ, tức là
A, B Mk A B Mk , A B Mk, A\B Mk
Lớp Mk (gồm các tập đo được theo nghĩa Peano-Jordan) đã khá rộng: có
thể chứng minh rằng nó bao gồm phần lớn các tập trong hình học sơ cấp và
trong giải tích cổ điển. Cụ thể, nếu một hàm số ƒ không âm, giới nội trên một
đoạn ∆ Rk là khả tích Riemann thì tập:
1 , 2 ,..., k , k 1 : 0 k 1 f 1 , ..., k R k 1
bao giờ cũng đo được theo nghĩa Peano-Jordan (và ngược lại cũng
đúng). Tuy nhiên lớp Mk vẫn chưa bao gồm được nhiều tập tương đối đơn
giản: nó không chứa hết mọi tập mở và đóng, và trong trường hợp k = 1 tập
các điểm hữu tỉ trên đoạn [0;1] cũng không đo được theo nghĩa Peano-Jordan,
vì có thể thấy dễ dàng độ đo ngoài của nó là 1, trong khi độ đo trong chỉ bằng
0.
Vì vậy vấn đề đặt ra là tiếp tục mở rộng hơn nữa khái niệm độ đo để các
tập thường gặp trên đây cũng đo được. Để giải quyết vấn đề này, Lebesgue đã
có sáng kiến thay định nghĩa (1) của độ đo ngoài bởi
m inf i : i
i 1
i 1
nghĩa là cho phép dãy đoạn ∆i phủ lên A có thể vô hạn. Độ đo trong và tính
đo được cũng được định nghĩa như trước đối với các tập bị chặn, sau đó mở
rộng cho cả những tập không bị chặn. Bằng cách đó có thể xây dựng được
một lớp tập Lk trong Rk và một độ đo μk trên Lk thoả mãn các điều kiện a), b)
(trong đó Mk, m thay bằng Lk, μk ) và điều kiện c‟) dưới đây, tổng quá hoá điều
kiện ):
*
c‟) Nếu Ai (i=1,2,3,… ) Lk và đôi một rời nhau thì
k
i i .
i 1 i 1
k
vả lại có thể chứng minh rằng:
d) Lớp Lk là một -đại số
Các tập thuộc Lk gọi là đo được theo nghĩa Lebesgue trong Rk và μk gọi
là độ đo Lebesgue k thứ nguyên. Dễ thấy rằng Lk Mk và do b), d) nên Lk
bao hàm cả σ-đại số Borel trong Rk; nói riêng tập các điểm hữu tỉ trong đoạn
[0;1] thuộc Lk; độ đo của nó bằng 0, vì cả độ đo trong và đọ đo ngoài của nó
bằng 0. Nói chung, lớp Lk đã bao gồm được tất cả các tập trong R k cần thiết
cho toán học hiện đại và người ta phải dựa vào “tiên đề chọn” mới xây dựng
được những tập không thuộc lớp đó.
Độ đo Lebesgue là cơ sở của một khái niệm tích phân tổng quát và có
hiệu lực hơn tích tích phân Riemann trong giải tích cổ điển: đó là tích phân
Lebesgue, một công cụ chủ yếu của nhiều nghành toán học hiện đại (chẳng
hạn như xác suất). Vì vậy trong giải tích hiện đại nó đã thay thế toàn bộ độ đo
Peano-Jordan (cơ sở của tích phân Riemann).
1.2. ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP
1.2.1. Đại số tập hợp.
a) Một lớp tập gọi là kín đối với một phép toán nếu kết quả thực hiện
phép toán ấy trên những tập của lớp bao giờ cũng cho một tập của lớp. Một
đại số (hay trường) là một lớp chứa X, và kín đối với mọi phép toán hữu
hạn về tập (phép hợp và phép giao một số hữu hạn tập, phép trừ và phép trừ
đối xứng hai tập).
b) Một -đại số (hay -trường) là một lớp tập chứa X, và kín đối với
mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập. Dĩ nhiên một -đại số cũng là
một đại số.
1.2.2 Hàm tập hợp.
Cho X là một tập tuỳ ý, mà sau đây sẽ gọi là không gian, M là một lớp tập
con của X. Một hàm số μ xác định trên lớp M gọi là hàm tập hợp, hay gọn hơn
là một hàm tập. Hàm tập đó là cộng tính nếu:
A, B M, A B = Ø, A B M μ(A B) = μ(A) + μ(B)
Bằng qui lạp ta thấy rằng nếu μ là cộng tính thì nó cũng “hữu hạn cộng
tính”, nghĩa là
Ai M (i=1,2,…,n)
n
n
Ai Aj =Ø(i j)
i i
i 1
n
i M
i 1
i 1
Hàm tập μ là -cộng tính nếu
Ai M (i=1,2,…)
Ai Aj =Ø(i j)
M
i i
i 1
i 1
i
i 1
Dĩ nhiên một hàm -cộng tính thì là cộng tính nhưng ngược lại thì
không nhất thiết.
Một hàm tập μ gọi là độ đo nếu nó được xác định trên một đại số C; và
nếu
a) μ(A) ≥0 với mọi A C;
b) μ(Ø) =0
c) μ là -cộng tính.
Điều kiện b) có thể được thay thế bằng:
b‟) μ ≠ + ∞ trên C, nghĩa là μ(A) < + ∞ với ít nhất một A C
Thật vậy đương nhiên b) → b‟). Ngược lại nếu có b‟ thì
μ(AØ ) = μ(A) + μ(Ø)
từ đó, vì μ(A) < +∞ ta suy ra (tức là μ(A) hữu hạn)
μ(Ø) = μ(A) - μ(A) = 0 (do μ(A) xác định)
vậy b‟)→b), nghĩa là b) và b‟) tương đương.
Ví dụ:
1) C là một đại số và μ(A) bằng số phần tử của A. (dễ dàng kiểm tra các
điều kiện trên đều thoả mãn).
2) C là một đại số, x0 là một điểm bất kỳ cho trước của X, và với mọi AC:
1
0
nếu x0
nếu x 0
Một độ đo μ gọi là hữu hạn nếu μ(X) < +∞; -hữu hạn nếu
i , Xi C, i .
i 1
1.2.3. Các tính chất.
Định lý 1.
Nếu μ là độ đo trên đại số C thì
i) A, B C , B A,
μ(B) ≤ μ(A)
ii) A, B C , B A, μ(B) < + ∞ μ(A\B) = μ(A) - μ(B)
Ai C , (i=1,2,…)
iii)
A C , A Ai
i
i 1
i 1
Ai C (i=1,2,…)
Ai Aj =
IV)
A C , A
A
i
i 1
i
i 1
Chứng minh.
i)
Vì B A nên A = (A\B) B do đó μ(A) = μ(A\B) + μ(B) ≥ μ(B);
ii)
Nếu μ(B) < ∞ thì từ μ(A) = μ(A\B) + μ(B) có thể suy ra
μ(A\B)
Trước hết để ý rằng bất cứ các tập Bi như thế nào cũng có thể
iii)
chọn các i/ để có
i 1
i 1
i i/ , đồng thời các i/ rời nhau (tường đôi một),
i/ i , và nếu i C . thì i/ C. Thật vậy, chỉ cần đặt
n 1
1 , 2 \ 1 , 3 \ 2 1 , … n \ i , …
/
i
/
2
/
3
/
n
i 1
ta thấy ngay các có những tính chất đã nêu.
/
i
Bây giờ ta chứng minh điểm iii).
Vì i nên i i i , với i i C (do
i 1
i 1
i 1
i 1
i , C) theo nhận xét trên
i 1
i 1
i i/ ,
Trong đó C, i i nên theo (i) / và các i/ rời nhau
/
i
/
i
nên theo tính chất -cộng tính
i .
/
i
i 1
iv)
i 1
i 1
i 1
Từ i ta suy ra với mọi n : i , do đó theo (i), vì
i C (doC là đại số), i . Mặt khác theo giả thiết các Ai rời
i 1
i 1
nhau nên i i . Vậy
i 1 i 1
n
(điều
i
i 1
phải chứng
minh).
Hệ quả. Nếu độ đo là -hữu hạn thì mọi tập C đều có thể phân
tích thành một số đếm được tập có độ đo hữu hạn.
Định lý 2. Nếu là độ đo trên đại số C thì
(i) i 0, (i 1,2,...), i C i 0;
i 1
i 1
(ii) C, 0 \ .
Định lý 3. Nếu là độ đo trên đại số C thì
(i) Ai C (i 1,2,...), 1 2 ..., i C i lim i ;
i 1 i
i 1
i lim i
(ii) Ai C , 1 2 .... i
i 1 i
i 1
Chứng minh.
(i)
Như đã thấy trong chứng minh phần (i) của định lý 1, nếu ta đặt
n 1
1 1 , 2 2 \ 1 ,..., n n \ i thì các Bi rời nhau, thuộc C
i 1
và
.
i
i 1
i
i 1
Do đó
n
i i i lim i
n
i 1
i 1 i 1 i 1
n
lim i lim n .
i 1
(ii)
i 1
i 1
Theo công thức De Morgan 1 \ i 1 \ i trong đó các
tập 1 \ i và dĩ nhiên ... vậy theo phần trên
/
i
/
1
/
2
i/ lim i/ .
i 1
i
Nhưng vì 1 mà i 1 , nên i và i ta có theo
i 1
(ii) của Định lý 1:
i 1
i 1
i/ 1 \ i 1 i ,
i 1
i/ 1 i ,
Do đó suy ra
i lim i .
i 1
i
Định lý 4. (đảo của định lý 3) Cho là một hàm tập không âm, cộng
tính trên đại số C và sao cho i , nó sẽ là một đại số nếu có một trong
i 1
hai điều kiện sau:
(i) Ai
C (i 1,2,...),
1
2 ..., i C
i 1
i lim i ;
i 1
i
(ii) Ai
C ,
1
2 .... i
i 1
lim i 0.
i
n
i 1
i 1
lim i i .
n
1.3. KHUẾCH ĐỘ ĐO
Cho C là một đại số tập trong một không gian X, m là một độ đo trên C.
Ta hãy tìm cách khuếch m thành một độ đo trên một -đại số bao hàm C.
1.3.1. Độ đo ngoài.
Một hàm tập * xác định trên lớp tất cả các tập con của một không gian
X. được gọi là một đo đo ngoài nếu.
a) * ( A) 0 với mọi x X ,
b) * ( ) 0 ,
*
c) A U A ( A) ( Ai ) .
i 1
*
i 1
Như vậy khác với độ đo, ở đây không đòi hỏi -cộng tính mà chỉ đòi
hỏi “ -dưới cộng tính” (điều kiện c) nhưng * được xác định trên tất cả các
tập con của X.
Chú ý rằng từ c) ta suy ra.
c1) A B * ( A) * ( B) .
Định lý 5. (Caratheodory) Cho * là một độ đo ngoài trên X và L là lớp
tất cả các tập con A của X sao cho.
* ( E) * ( E A) * ( E \ A) với mọi E X
(1)
L là một - đại số và hàm * / L (thu hẹp của * trên L) là một độ
đo trên L.
Độ đo gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài *
Các tập A ( thoả mãn điều kiện (1) gọi là * -đo được. Chú ý rằng điều
kiện (1) tương đương với.
* ( E) * ( E A) * ( E \ A) với mọi E X
(1*)
vì bất đẳng thức ngược lại luôn luôn đúng do c)
1.3.2. Định lý khuếch:
Kết quả trên cho thấy rằng mỗi độ đo ngoài * trên X cảm sinh một độ
đo trên -đại số làm thành bởi tất cả các tập A thoả mãn điều kiện (1). Để áp
dụng được kết quả đó vào việc khuếch một độ đo m cho trước từ một đại số
lên một -đại số, ta dựa vào mệnh đề sau:
Định lý 6: Cho m là một độ đo trên một đại số C những tập con của X.
Nếu ta đặt với mỗi A X .
* ( A) inf mPi : i 1 Pi ; Pi C
(2)
i 1
thì * là một độ đo ngoài và * ( A) m( A) với mọi A C, đồng thời mọi
tập thuộc -đại số F (C ) đều là * đo được.
Định lý 7. Độ đo
cảm sinh bởi một độ đo ngoài
* bao giờ cũng là
độ đo đủ ( trên -đại số L các tập * -đo được) và họ các tập có độ đo
bằng 0 trùng với họ các tập có độ đo ngoài * bằng 0.
Định lý 8. Cho một độ đo m trên một đại số C. Bao giờ cũng có một độ
đo trên -đại số L F (C ) C sao cho.
(i) ( A) m( A) với mọi A C ( nghĩa là khuếch m)
(ii) là hữu hạn ( -hữu hạn) nếu m là hữu hạn ( -hữu hạn).
(iii) là độ đo đủ
(iv) Một tập A thuộc họ L khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng
A = B \ N hoặc A = B N
(3)
*
*
trong đó trong đó B F (C), N E F * (C), ( E) ( E) 0, và là độ
đo ngoài xác định từ m theo công thức (3).
Chứng minh
Ta lấy là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài * xác định từ m theo công
thức (2) và L là -đại số các tập * -đo được, Theo định lý 6, độ đo sẽ có
tính chất (i) nêu trên ( khuếch m); và vì X C nên tính chất (ii) cũng sẽ
đúng. Theo định lý 7, cũng là độ đo đủ, Vậy chỉ còn phải chứng minh (iv)
Nếu A có dạng (3) thì dĩ nhiên A L (vì L là -đại số và là độ đo
đủ). Ngược lại, giả sử A L . Theo cách xây dựng * (công thức (2)), có thể
tìm được cho mỗi k =1,2..., những tập Pi C sao cho
k
U i1 Pik A, i 1 m( Pik ) * ( A) 1 / k ( A) 1 / k
Đặt B
k 1
U i1 Pik ta thấy rằng
B A và B F (C ) . Đồng thời, với
mọi k , B U i 1 Pik , cho nên
( B) m( Pik ) ( A) 1 / k
i 1
do đó ( B) ( A) . Nhưng vì B A nên chỉ có thể ( B) ( A). và đặt
N=B\A ta sẽ có ( N ) ( B \ A) 0
Như vậy ta đã chứng minh rằng, cho trước một tập A L , bao giờ cũng
tồn tại một tập B F (C ) sao cho B A và ( B) ( A). Áp dụng kết quả này
cho tập N ta lại tìm được một tập E F (C ) sao cho E N , ( E) 0 , (tức là
* (E) 0
theo định lý 7). Tóm lại ta sẽ có A= B \N
B F (C ), N E F (C ), * ( E ) ( E ) 0 .
với
Mặt khác vì A L nên X \ A N va theo trên X \ A B' \ N ' với
B ' F (C ), N ' E ' F (C ), ( E ' ) 0. Vậy A ( X \ B ' ) N ' , hay A B '' N ' , với
B '' X \ B ' F (C ) .
Tính chất (iv) và do đó toàn bộ định lý đã được chứng minh
Như vậy -đại số L các tập đo được không khác -đại số F (C ) nhiều
lần và có thể thu được từ F (C ) bằng cách sửa đổi chút ít các tập thuộc lớp
này (thêm hay bớt một bộ phận của một tập có độ đo không).
1.4. ĐỘ ĐO TRONG Rk
Dựa vào lý thuyết tổng quát trên có thể xây dựng độ đo Lebesgue trong
không gian Rk một cách dễ dàng.
1.4.1. Độ đo trên đƣờng thẳng:
Ta gọi gian trên đường thẳng R là một tập điểm có một trong các dạng
sau.
(a, b), a, b, a, b, a, b ,
(,), (, a), , a, (a,), a,
Cho C là lớp tất cả các tập con của R có thể biểu diễn thành hợp của
một số hữu hạn gian rời nhau.
C P : P U in1 i , i j (i j )
trong đó i là những gian, n là một số tự nhiên tuỳ ý.
Ta sẽ chứng minh rằng C là một đại số, trên đó hàm tập
m( P) i 1 i là một độ đo. Khi ấy chỉ cần khuếch độ đo này theo thương
n
pháp tổng quát đã trình bày thì sẽ thu được độ đo Lebesgue trên đường thẳng.
Bổ đề 1. C là một đại số.
Định lý 9. Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi 0 có thể tìm
được một hệ ( hữu hạn hay đếm được) khoảng k phủ N và có độ dài tổng
cộng nhỏ hơn .
U k k N , k
Hệ quả. Mọi tập hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều có độ
đo 0.
Sau đây là các đặc trưng của tập đo được (L)
Định lý 10. Đối với một tập A trên đường thẳng ba điều kiện dưới đây
là tương đương.
(i) A đo được ( L)
(ii) Với mỗi 0
có thể tìm được một tập mở
G A sao cho
* (G \ A)
Với mỗi 0 có thể tìm được một tập đóng G A sao cho
(iii)
* ( A \ F )
1.4.2. Độ đo trong không gian Euclide k chiều
Những kết quả trên có thể suy rộng cho không gian Rk ( k 1 ). Trong
không gian này ta gọi gian là một tập gồm những điểm x 1 , 2 ... k mà
mỗi toạ độ i chạy trên một gian nào đó của R. Nếu i chạy trên một gian
của R có hai đầu mút là i , i (i 1,2...k ) thì có thể tích là số.
k
( i i )
i 1
k
Gọi C là lớp các tập trong Rk có thể biểu diễn thành hợp của một số
hữu hạn gian rời nhau. Bằng phương pháp tương tự như trước, có thể chứng
minh rằng.
1. Ck là một đại số.
2. Nếu với mỗi tập P C k có dạng P U in1 i , trong đó i là những
gian rời nhau, ta đặt.
n
m( P ) i
i 1
thì hàm m là độ đo trên đại số Ck
3. Độ đo m có thể khuếch thành một độ đo k trên một -đại số
Lk F (C k ) C k độ đo k này gọi là độ đo Lebesgue trong R . và các tập
k
thuộc lớp Lk gọi là tập đo được (L) trong Rk.
Ta cũng có thể chứng minh rằng F (C k ) chính là đại số Borel trong Rk
(do đó các tập Borel trong Rk đều đo được (L)
Điều này dựa trên tính chất sau của các tập mở trong Rk ( k 1 ):
Mỗi tập mở G trong Rk ( k 1 ) đều là hợp của một số đếm được gian rời
nhau.
Thật vậy, toàn thể Rk có thể chia thành một số đếm được gian “lập
phương” rời nhau n1 ,n2 ,...nk có cạnh bằng 1.
n1 ,n2 ,...nk x 1 ,..., k : n1 i ni 1, i 1, 2, ..., k
Trong đó các ni lấy tất cả những giá trị nguyên 0, 1, -2, 2, -2... Ta chọn
trong số các gian lập phương đó những gian nào chứa trọn trong G(Tập các
gian này có thể rỗng, hữu hạn hay đếm được). Ta chia mỗi gian còn lại thành
2k gian lập phương có cạnh bằng 1/4 v.v.. Dễ thấy rằng G bằng hợp các gian
đã chọn trong quá trình đó. vì nếu x G thì, do G là tập mở, x là tập của một
hình cầu nào đó chứa trọn trong G, và đến một bước q nào đó, x phải lọt vào
một gian lập phương có cạnh 1/2k nằm trọn trong hình cầu ấy.
Sự kiện trên chứng tỏ rằng mọi tập mở đều thuộc F (C k ) tức là ơ-đại số
Borel B k F (C k ) . Ngược lại, dĩ nhiên Ck B k cho nên F (C k ) B k Do đó
F (C k ) B k như đã khẳng định.
Các định lý 9 và 10 cũng đúng trong không gian Rk ( k 1 ) và cũng
chứng minh tương tự như trước.
1.5. HÀM SỐ ĐO ĐƢỢC
Trong giải tích, khi làm toán với các hàm số liên tục, người ta thường bị
một sự hạn chế lớn: Giới hạn của một dãy hàm số liên tục không nhất thiết là
liên tục, nói khác đi, lớp các hàm số liên tục không kín đối với phép qua giới
hạn. Để tránh sự hạn chế đó, người ta xây dựng một lớp hàm số, rộng hơn lớp
hàm số liên tục, và kín đối với các phép toán giải tích, gọi là lớp “hàm số đo
được”. Việc xây dựng này xuất phát từ nhận xét sau:
Một hàm số f (x) xác định trên một không gian Mêtric X là liên tục khi và
chỉ khi với mọi số thực a, các tập x : f ( x)a và x : f ( x) a - tức là nghịch
ảnh của các khoảng (, a) và (a,) - là mở.
Thật vậy nếu f (x) liên tục thì nghịch ảnh của mọi tập mở, nói riêng
nghịch ảnh của một khoảng, phải là mở. Ngược lại nếu f (x) có tính chất này
thì nghịch ảnh của mọi tập mở G R phải mở (tức là f (x) liên tục) bở lẽ G
bao giờ cũng có dạng U n1 (an bn ) cho nên nghịch ảnh của G là hợp của các
nghịch ảnh của các khoảng (an, bn), mà mỗi nghịch ảnh này mở thì hợp của
chúng cũng mở.
Nhược điểm của lớp các tập mở (trong vấn đề nêu ra) là nó không kín đối
với phép trừ và các phép toán đếm được về tập hợp. Vì vậy người ta thay nó
bằng một -đại số, kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập
hợp. Từ đó có định nghĩa dưới đây.
1.5.1. Định nghĩa:
Cho một không gian Metric X, một -đại số F những tập con của X, và
một tập A F . Một hàm số f ( x) : X R gọi là đo được trên tập A đối với đại số F nếu.
x A : f ( x)a F
Thường trên -đại số F có một độ đo : khi đó
(a) R)
(4)
f (x) cũng gọi là đo
được đối với độ đo hay đo được. Trong trường hợp X R k , F Lk thì ta
nói f (x) là đo được theo nghĩa Lebesgue, hay ngắn hơn: đo được (L). Nếu
k
X R k , F B k ( -đại số Borel trong R ) thì ta nói f (x) là một hàm số Borel.
Điều kiện (10) trong định nghĩa trên có thể thay bằng một trong các
điều kiện sau:
( a R) x A : f(x) a F
(5)
( a R) x A : f(x) a F
(6)
(7)
( a R) x A : f(x) a F
Thật vậy: (4) (7) vì các tập x A : f(x) a và x A : f(x) a bù
nhau, mà F là một -đại số thì phải kín đối với phép lấy phần bù, vì lý do
tương tự (5) (6) và ta chỉ còn phải chứng minh rằng (4) (6) .
(4) (6) rõ ràng f ( x) a khi và chỉ khi (n) f ( x)a 1 / n. cho nên
x A : f(x) a n1 x A : f ( x)a 1 / n F ,
vì x A : f ( x)a 1 / n F với
mọi n, Ngược lại.
(6) (4) Rõ ràng f ( x) a khi và chỉ khi (n) f ( x) a 1 / n, cho
nên x A : f ( x) a n1 x A : f ( x)a 1 / n F , vì
x A : f ( x)a 1 / n F
với mọi n.
Từ định nghĩa có thể suy ra các hệ quả:
I. Nếu f (x) đo được trên tập A thì nó cũng đo được trên mọi tập con
của A thuộc F.
f (x) đo
II. Nếu
được
trên
tập
A
với
mọi
aR:
x A : f ( x) a F
III. Hàm số f ( x) c(x A) là đo được.
IV. Nếu f (x) đo được trên tập A và k R là một hằng số thì k. f ( x) cũng
đo được.
1.5.2. Các phép toán về hàm số đo đƣợc.
Định lý 11.
(i)
Nếu f (x) đo được thì với mọi 0 hàm số f (x)
cũng đo được.
(ii) Nếu f (x) và g (x) đo được và hữu hạn thì các hàm
số:
f g , fg , max f , g , min f , g
cũng đo được, và nếu g(x) không triệt
tiêu thì hàm số 1/g cũng đo được.
Ở đây cũng như về sau, khi nói “đo được” ta hiểu ngầm “đo được trên
tập A” và để cho gọn, tập x A : f ( x)a chẳng hạn sẽ được ký hiệu vắn tắt
f ( x)a .
Định lý 12. Nếu f n ( x), n 1,2...., là những hàm số đo được và hữu hạn thì
các hàm số
sup f n ( x); inf f n ( x); lim n f n ( x); lim n f n ( x)
n
n
cũng đo được, và nếu hàm số lim n f n ( x) tồn tại thì nó cũng đo được.
1.5.3. Cấu trúc các hàm số đo đƣợc:
Cho một tập bất kỳ A trong không gian X, ta gọi hàm đặc trưng của A là
hàm số X A (x) xác định như sau:
nếu x
0
X A (x)
nếu x
1
Giả sử rằng trên X có cho trước một -đại số F. Dễ thấy rằng hàm đặc
trưng của A là đo được đối với một -đại số và chỉ khi tập A đo được
( A F ) . Thật vậy với mọi a R
X A ( x) a
nếu a 1,
nếu a 0
nếu 0 a 1.
cho nên nếu A đo được thì X A (x) đo được; ngược lại nếu X A (x) đo được thì
A x :X A ( x) 1 đo được ( hệ quả II của định nghĩa).
Một hàm số f (x) được gọi là đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được, vì chỉ
lấy một số hữu hạn giá trị. Gọi i (i 1,2...n) là các giá trị khác nhau của nó, và
Ai x : f ( x) i
thì các tập
Ai đo được, rời nhau, và ta có.
n
f ( x ) i X i ( x )
i 1
Ngược lại nếu f (x) có dạng ấy, và các tập Ai đo được, rời nhau thì
f (x) là một hàm đơn giản. Thật vậy f (x) chỉ lấy một số hữu hạn giá trị, vì:
nếu x Ai thì X ( x) 1, X ( x) 0 với j i( Ai không có điểm chung với A j )
i
j
nên f ( x) i , còn nếu x U in1 Ai thì X ( x) 0 với mọi i, nên f ( x) 0 . Mặt
i
khác, f (x) đo được vì mỗi hàm số X (x) đều đo được.
i
Định lý sau đây nêu rõ cấu trúc các hàm số đo được.
Định lý 13. Mỗi hàm số f (x) đo được trên một tập A là giới hạn của một
dãy hàm đơn giản f n (x) :
f ( x) lim f n ( x)
n
nếu f ( x) 0 với mọi x A thì có thể chọn các f n để cho.
f n ( x) 0 ; f n1 ( x) f n ( x)
với mọi n và với mọi x A
1.5.4. Hàm số tƣơng đƣơng
Trong một không gian X bất kỳ cho một -đại số với F và một độ đo
trên F. Ta nói một điều kiện (x) được thoả mãn với hầu hết mọi x A , hay
thoả mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A, nếu có một tập B A sao cho ( B) 0
và (x) được thoả mãn với mọi x A \ B . Ví dụ f ( x) g ( x) h.k.n trên A có
nghĩa là
(B A) ( B) 0 và
(x A \ B) f ( x) g ( x)
Hai hàm số f ( x), g ( x) bằng nhau h.k.n thì gọi là tương đương nhau. Ta viết
f ( x) g ( x) . Dĩ nhiên hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì
tương đương nhau.
Định lý 14. Nếu là một độ đo đủ thì mọi hàm số g (x) tương đương với
một hàm số đo được f (x) cũng đều đo được.
1.5.5. Sự hội tụ theo độ đo.
Cho những hàm số f n ( x)(n 1,2...) và f (x) đo được trên tập A. Ta nói
f ( x) nếu.
dãy f n (x) hội tụ theo độ đo tới f (x) và viết f n ( x)
( 0) lim x A : f n ( x) f ( x)
n
với giả thiết là độ đo đủ có thể nhận xét ngay rằng:
0
(8)
- Xem thêm -