Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
CHUYÊN ĐỀ:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM
1. Hệ thức cơ bản giữa các ham số lượng
giác:
5. Các cung liên quan đặc biệt
Cung đối nhau:
cos2 x sin2 x 1
sin x
tan x
( x k , k Z )
cos x
2
cos x
cot x
( x k , k Z )
sin x
tan x.cot x 1
1
2
1
tan
x
(
x
k , k Z )
2
2
cos x
1
2
1
cot
x( x k , k Z )
2
sin x
sin(- x) = - sinx
cos(- x) = cosx
tan(- x) = - tanx
cot(- x) = - cotx
Cung bù nhau:
sin( - x) = sinx
cos( - x) = - cosx
tan( - x) = - tanx
cot( - x) = - cotx
Cung phụ nhau:
2. Giá trị hàm số lượng giác của các cung
đặc biệt
sin(/2 - x) = cosx
cos( /2 - x) = sinx
tan( /2 - x) = cotx
cot(/2 - x) = tanx
Cung
0
00
6
300
ST&BS: Cao Văn Tú
4
450
3
600
2
900
Cung hơn kém
1800
sin(x ) = - sinx
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
1
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
cos(x ) = - cosx
Hàm
tan(x ) = tanx
cot(x ) = cotx
sinx
0
1
2
2
2
3
2
1
0
6. Biểu diễn cosa , sina , tga theo
t = tan
cosx
1
3
2
tgx
0
3
3
cotgx
||
3
2
2
1
1
2
0
-1
0
3
||
1
3
3
a
(tham khảo)
2
1 t2
2t
2t
cos a
;sin
a
,tan
a
1 t2
1 t2
1 t2
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.sin b cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.cos b sin( a b) sin( a b)
2
cos a.cos b
0
||
3. Công thức cộng
cos (a ± b) = cosacosb sinasinb
sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa
tan(a b)
cot(a b)
tan a tan b
1 tan a tan b
tan a tan b
1 tan a tan b
4. Công thức nhân đôi, nhân ba
8. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
ab
cos
2
2
ab
ab
cos a cos b 2sin
sin
2
2
ab
ab
sin a sin b 2sin
cos
2
2
ab
ab
sin a sin b 2 cos
sin
2
2
sin(a b)
tan a tan b
cos a.cos b
cos a cos b 2 cos
9. Một số công thức đặc biệt :
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
2
Email:
[email protected]
•cos2a = cos 2a - sin 2a
Blog: www.caotu28.blogspot.com
sin a cos a 2 cos(a ) 2 sin( a)
4
4
sin a cos a 2 sin(a )
4
a
a
1 cos a 2cos2 ;1 cos a 2sin 2
2
2
=2cos 2a - 1
=1-2sin 2a
•sin2a = 2sinacosa
•tan2a =
2tana
1-tan 2a
cot 2a - 1
cot2a =
2cota
cos 3a 4 cos3 a 3cos a
sin 3a 3sin a 4sin 3 a
sin 3a
3 tan a tan 3 a
tan 3a
cos 3a
1 3 tan 2 a
1
sin4 x cos4 x 1 sin2 2 x
2
3
sin6 x cos6 x 1 sin2 2 x
4
II. CÁC PTLG THƯỜNG GẶP
1. Phương trình lượng giác cơ bản
x a k2
x a k2
sin x sin a
(k Z)
cosx cosa x a k2
(k Z)
t gx t ga x a k
(x,a
k)
2
cot gx cot ga x a k (x,a k)
Các phương trình đặc biệt
sinx = 0 x = k; sinx = -1 x
k2 ; sinx = 1 x k2
2
2
x
k ; cosx = -1 x k 2 ; cosx = 1 x k2;
cosx = 0
2
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
3
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
tgx = 0 x = k; tgx = -1 x
cotgx =0 x
sin x
k ; tgx = 1 x k
4
4
k ; cotgx = -1 x k ; cotgx =1 x k
4
2
4
1
3
1
3
cos x
; cos x sin x
2
2
2
2
sin x 0 cos x 1; sin x 0 cos x 1
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)
Phương pháp:
* Cách 1: Dùng góc phụ
Điều kiện để phương trình có nghiệm: c2 ≤ a2 + b2
Ta có:
asinx + bcosx = c
sinx +
b
c
cos x
a
a
sinx + tgαcosx =
sinx +
c
b
(Với tgα = , - /2 < α < /2)
a
a
sin
c
cosx =
cos
a
c
a
sinxcosα + sinαcosx = cosα sin(x + α) =
Với điều kiện đầu bài ta được:
c
cosα
a
(1)
c
cosα = sinβ ; -/2 ≤ β ≤ /2
a
Từ (1) ta được phương trình cơ bản:
sin(x + α) = sinβ
* Cách 2: (Tham khảo)
Đặt t t g
x
(với x ≠ + k2 )
2
Ta có: a.sinx + b.cosx = c
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
4
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
1 t2
a.
b.
c
2
2
1 t
1 t
2t
(b + c)t2 – 2.a.t + c –b = 0 (2)
Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t0, ta sẽ có phương trình
cơ bản: t g
x
t0
2
Ta thử lại xem x = (2k +1) có là nghiệm phương trình không.
* Cách 3: Chia 2 vế cho
a
a 2 b2
cos ;
a 2 b2 và đặt
b
a 2 b2
sin ; ta đưa về dạng: sin(x + ) =
c
a 2 b2
3. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
Các dạng phương trình:
asinx = b (acosx = b)
atgx = b (acotgx = b)
- Thông thường ta gặp các phương trình mà phải qua một số phép biến đổi
lượng giác
cơ bản ta mới đưa được về một trong các dạng phương trình trên.
- Cách giải:
+ Đưa chúng về dạng PTLG cơ bản
+ Chú ý: |sinu| 1, |cosu| 1
4. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
PT dạng: asin2x + bsinx + c = 0 (hay acos2x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0
Phương pháp:
Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 (Hay t = cosx)
Phương trình trở thành:
a.t2 + b.t + c = 0
Nếu PT này có nghiệm t0 (-1≤ t0 ≤ 1), ta được PT cơ bản:
sinx = t0 (hay cosx = t0)
PT dạng: atg2x + btgx + c = 0 (hay acotg2x + bcotgx + c = 0) với a ≠ 0
Phương pháp:
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
5
Email:
[email protected]
Đặt t = tgx , t R (hay t = cotgx)
Blog: www.caotu28.blogspot.com
Phương trình trở thành:
a.t2 + b.t + c = 0
Nếu phương trình có nghiệm t0 ta được phương trình cơ bản:
tgx = t0 hay (cotgx = t0)
Nhớ để tgx có nghĩa x ≠ /2 +k
5. Phương trình đẳng cấp: asin2x + bsinxcosx +ccos2x = 0 (1)
Phương pháp giải: (Nếu cho ở dạng: asin2x + bsinxcosx +ccos2x = d 0
thì thay d = d(sin2x +cos2x) đưa về dạng (1) )
* Cách 1: Thay sin2x =
1 cos2x
1 cos2x
1
; sinx.cosx = .sin2x ; cos2x =
;
2
2
2
1
1
1
Ta có: a. (1 – cos2x) + b. .sin2x + c. .(1+cos2x) = 0
2
2
2
b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c)
Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải)
* Cách 2:
Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành:
bsinx.cosx +c.cos2x = 0
cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải.
Nếu a ≠ 0; x = /2 + k không là nghiệm của phương trình nên:
x ≠ /2 + k cosx ≠ 0, Chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:
sin 2 x
sinx.cosx
cos2 x
a. 2 b.
c. 2 0 a.tg2x + b.tgx + c = 0
2
cos x
cos x
cos x
(Đã biết cách giải)
6. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
4
Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx = 2cos(x ) - 2 t 2
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
6
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
t2 1
sinx.cosx =
: Phương trình trở thành: bt2 + 2.a.t +2c – b = 0
2
Nếu phương trình có nghiệm t0, ta giải phương trình:
2cos(x ) = t0 với 2 t 0 2
4
Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx – cosx =
2sin(x ) cách giải tương tự.
4
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
(PT LG cơ bản và PTLG thường gặp)
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) cos(x ) sin( 2x) 0
3
2
3) cos( 3x) cos( 3x) 1
3
3
2) tg( x)tg( 2x) 1
3
3
4) cot gx tgx 2tg2x 4tg4x
8
3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 4(sin 6 x cos6 x) 2(sin 4 x cos4 x) 8 4cos2 2x
2) sin 2 x + sin 2 3x = cos2 x + cos2 3x
3) 16cosx cos2x cos4x = 3 sin8x
4)
cos 2x
3
cos x
sin x cos x
2
Bài 3: Giải các phương trình sau:
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
7
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
1) sin x + sin x tg x 3
2
2
2
cos2 x sin 2 x
2) 8cotg2x = 6
.sin 2x
cos x sin 6 x
3) 5cos2 x + sin 2 x = 4
4) sin x tg2x 3(sin x 3tg2x) 3 3
1
5) 3sin x cos x
cos x
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) cos3x + sinx – sin3x = 0
2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x
sin 2 3x cos2 3x
6cos 2x 3
3)
2
2
sin x cos x
3
4) tgx tg(x ) tg(x
2
) 3 3
3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 5sin2x – 4sinx – 1 = 0
2) cos2x – 3cosx – 4 = 0
3) 3tg2x – 3tgx -
5
=0
2
cos2 x sin 2 x
4) 4cotg2x =
cos6 x sin 6 x
5) 2tgx + cotg2x = 2 sin2x +
1
sin 2x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1) 2cos7x cosx = 2cos6x cos2x + cos22x + sin2x – 1
2) 3(cos2x +
ST&BS: Cao Văn Tú
1
1
) + 5(cosx +
)=2
2
cosx
cos x
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
8
Email:
[email protected]
3) 4sin5x cosx – 4cos5x sinx = cos24x + 1
4) sin4x + cos4x – cos2x +
cos
5)
Blog: www.caotu28.blogspot.com
1 2
sin 2x = 2
4
4x
cos2 x
3
0
2
1 tg x
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)
Giải các phương trình sau:
1) 3 sin x cos x 2 0
2) 3sinx + 1 = 4sin 3 x 3 cos 3x
3) 3 sin x cos x 2cos(x ) 2
3
4) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin 2 x
5) 1 cos x sin 3x cos 3x sin 2x sin x
6) 2cosx + 4sinx =
3
cos x
7) (sin2x + 3 cos 2x)2 3 cos( 2x)
6
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Giải các phương trình sau:
1) 2sin2x – 3cos2x + 5sinx cosx = 2
2)
3 cos3x – 5sin3x + 7sinx -
8
cosx = 0
3
3) 14sin4x + 2sin2xcos2x – 14sin2x - 8sinxcosx – 1 = 0
4) 2cosx3x + 3cosx – 8sin3x = 0
5) 6sinx – 2cos3x =
6) sin3(x +
)=
4
5sin 4x cos x
2cos 2x
2 sinx
7) 3 2 cosx – sinx = cos3x + 3 2 sinx sin2x
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
9
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau:
1) 4 2 (sinx + cosx) + 3sinx – 11 = 0
2) (sinx + cosx)3 + sinx cosx – 1 = 0
3) (sinx - cosx)4 - 6sinx cosx – 1 = 0
4) 1 + 2sinx cosx = |cosx – sinx|
5) sinx + cosx + 2 + tgx + cotgx +
1
1
+
=0
sin x cos x
6) cos3x – sin3x = cos2x
7) (1 - sin2x)(sinx + cosx) = cos2x
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PTLG ĐẶC BIỆT
I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP
II. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
A1 = 0
A = 0
A1.A2 .....An = 0 2
...
An = 0
III. ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP
Chú ý:
Các dạng phương trình bậc ba: Đã biết cách giải
Các dạng phương trình bậc bốn:
Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)
Đặt t = x2 0
Dạng 2: Phương trình bậc bốn: (x + a)4 + (x + b)4 = c
Đặt t = x +
ab
đưa về phương trình trùng phương
2
Dạng 3: Phương trình bậc bốn:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = K (Với a + b = c + d)
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
10
Email:
[email protected]
Đặt t = (x + a)(x + b)
Blog: www.caotu28.blogspot.com
Dạng 4: Phương trình bậc bốn đối xứng
ax4 + bx3 cx2 + bx + a = 0
Ta chia hai vế phương trình cho x2 (x 0), đặt t = x
1
x
VD: Giải các phương trình:
a) (sin2x + 3)4 + cos8x =
b) 9sin
2
1201
8
9cos x 6
2
x
c) tg2x – 2tgx + sin2x = 0
IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Phương pháp: Giải phương trình f(x) = g(x):
- Ta đi chứng minh MGT của f(x) và g(x) chỉ chứa 1 số A chung duy nhất.
- Hay đi CM: f(x) g(x) (hoặc f(x) g(x))
Ví dụ: Giải phương trình:
a) sin2003x + cos2004x = 1
b) 5cos2x + 1 = sin27x
c) sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) +
2008
d) sin
5
cos2x
4
sin 6 x cos6 x
x=
3cos4 x cos2 x cos 2x
2004
x + cos
V. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp:
- Sử dụng các hằng đẳng thức (a b)2, (a b c)2
A 0
để đưa phương trình về dạng: A2 + B2 + C2 = 0 B 0
C 0
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
11
Email:
[email protected]
A 0
B 0
Blog: www.caotu28.blogspot.com
- Chú ý: A 0, B 0 A + B = 0
Ví dụ: Giải phương trình:
a)
3 sin2x – 2sin2x – 4cosx + 6 = 0
b) 2sin2x + cos2x + 2 2 sinx – 4 = 0
D. CÁC DẠNG TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
(Tham khảo)
I. CÁC BÀI TOÁN:
1. BÀI TOÁN 1: Tìm tham số (m…) để PTLG có nghiệm
Phương pháp: Dùng phương pháp giải tích (đã học):
- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t.
- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m)
- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)
- PTLG có nghiệm g(m) MGT của f(t)
(Chú ý: Tính bị chặn, MGT của các hàm số: sinu, cosu, tgu cotgu)
2. BÀI TOÁN 2: Tìm tham số (m…) để PTLG có n nghiệm
Phương pháp:
Cách 1: Dùng PP giải tích:
- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t.
- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m) (1)
- Từ PT: t = h(x): Ta lý luận quan hệ về số nghiệm giữa t và x.
- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)
Từ đó suy ra số nghiệm của (1) giá trị m cần tìm.
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho phương trình: cos4x + (cosx – 1)4 = m3 (1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm x [0;
ST&BS: Cao Văn Tú
2π
]
3
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
12
Email:
[email protected]
π
3 2
Blog: www.caotu28.blogspot.com
b) Tìm m để (1) có đúng 3 nghiệm x [- ; ]
Bài 2: a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
cos2x + 2mcosx – 4m +1 = 0
b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x [-
3 π
; ]:
4 6
cos2x + 2(1 + m)sinx – 3 – 2m = 0
π
2
c) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x [0; ] :
mcos2x – 4cosx + 3m = 0
Bài 3: Cho phương trình: cos2x + 4mcosx – 4m+1 = 0
(1)
π
2 3
Tìm m để (1) có đúng 3 nghiệm x [- ; ]
π
2
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm x (- ; 2)
cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0
(ĐH Y DƯỢC TP.HCM 2000)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)
Bài 5: Cho phương trình:
3 m.sinx + (2m – 1)cosx = 3m + 1 (1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
π
2
b) Tìm m để (1) có nghiệm x (0; )
Bài 6: Cho phương trình: 2(m - 1)sinx + 4m2 cosx =
3
cos x
(1)
π
4
Tìm m để (1) có đúng hai nghiệm x (0; )
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
13
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Bài 7: Cho phương trình: 2sin2x + (m – 2)sin2x +3mcos2x = 1 (1)
π π
4 4
Tìm m để (1) có nghiệm x (- ; )
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Bài 8: Cho phương trình: 2(m – 2)(sinx + cosx) +msin2x + 3m -1 = 0 (1)
π 3π
)
2 4
a) Tìm m để (1) có nghiệm x (- ;
b) Tìm m để (1) có 3 nghiệm x (0;
5π
)
4
Bài 9: Cho phương trình: msin2x + (m – 1)(sinx + cosx) +2m -1 = 0
π π
2 2
Tìm m để (1) có nghiệm x (- ; )
Bài 10: Cho phương trình: 2 + sinx + cosx = m 1
sin 2x
2
(1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
π
2
b) Tìm m để (1) có đúng 4 nghiệm x (- ; )
E. GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH (2000 – 2010)
Bài 1: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0
(KD – 2002)
Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:
5(sinx +
cos3x sin 3x
) = cos2x + 3
1 2sin 2x
(KA – 2002)
Bài 3: Giải phương trình:
ST&BS: Cao Văn Tú
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
14
Email:
[email protected]
1) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
x
2
4
2) sin ( )tg x cos
2
2
3) cotgx – tgx + 4sin2x =
4) cotgx – 1 =
Blog: www.caotu28.blogspot.com
(KB – 2002)
x
0
2
2
(KD – 2003)
2
sin 2x
(KB – 2003)
cos2x
1
+ sin2x - sin2x
1 tgx
2
(KA – 2003)
Bài 7: Giải phương trình:
Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện:
cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3
(KA – 2004)
Tính ba góc của tam giác ABC
Bài 8: Giải phương trình:
1) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tg2x
(KB – 2004)
2) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
(KD – 2004)
4
4
3) cos4 x sin 4 x cos(x )sin(3x )
3
0
2
(KD – 2005)
(KB – 2005)
4) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
5) cos23x cos2x – cos2x = 0
(KA – 2005)
6) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
(KD – 2006)
x
2
7) cotgx + sinx(1 + tgx.tg ) = 4
(KB – 2006)
2(cos6 x sin 6 x) sin x cos x
0
8)
2 2sin x
(KA – 2006)
9) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
(KA – 2007)
x
x
cos )2 3cos x 2
2
2
(KB – 2007)
10) (sin
11) 2sin22x + sin7x – 1 = sinx
12)
1
1
7
4sin( x)
sin x sin( x 3 )
4
2
ST&BS: Cao Văn Tú
(KD – 2007)
(KA – 2008)
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
15
Email:
[email protected]
3
13) sin x –
Blog: www.caotu28.blogspot.com
3
2
2
3 cos x = sinx.cos x – 3 sin x.cosx
(KB – 2008)
(KD – 2008)
14) 2sinx(1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx
15)
(1 2sin x) cos x
(1 2sin x)(1 sin x)
3.
(KA – 2009)
16) sin x cos xsin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x) (KB – 2009)
3
3 cos 5x 2sin 3x cos 2x sin x 0
17)
(KD – 2009)
18) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
(KD – 2010)
19) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
(KB – 2010)
1 sin x
20)
cos2x sin(x
1 tan x
4
)
1 cos x
2
(KA – 2010)
F. BÀI TẬP LÀM THÊM:
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
3
2) cos 2x sin x 0
4
2
1) 2sin x 3 0
5
3) sin 2 x 500 cos x+1200 0
4) cos3x sin4x = 0
5) 2cos 2 x 3 sin x 1 0
3
5
6) sinx(3sinx +4) = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) cot x 1 0
4
2) 3 tan 2 x 1 0
5) 3tan2x.cot3x + 3 tan 2 x 3cot 3x 3 0
3) tan3x.tanx = 1
4) cot2x.cot x 1
4
6) tan 2 x.sinx+ 3 sinx - 3 tan 2 x 3 3 0
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra:
x
1) 2sin 3 0, x 0;2
3 4
ST&BS: Cao Văn Tú
2)
sin 3x sinx
sin 2 x cos2x, x 0;
1-cos2x
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
16
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
3) tan3x2tan4x+tan5x = 0 , x (0; 2)
4) tan3 x 1
5
7
) 3 cos( x ) = 1 + 2sinx
2
2
5) Tìm tất cả các nghiệm x ( ;3 ) của pt: sin(2x +
2
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1) 4cos2(2x - 1) = 1
2) 2sin2 (x + 1) = 1
4) cos2 (x –
4
) = sin2(2x +
)
5
5
1
3
3cot x 3, x ;
2
cos x
2
2
3) cos2 3x + sin2 4x = 1
5) sin2x + cos2x = 2 sin3x
3
1
sin 5 x cos5 x 0
6) cos3x – sinx = 3 (cosx –sin3x ) 7) cos( 3x)
2
2
2
8) sin3x = 2 cos(x – /5) + cos3x
10) cos22x – sin28x = sin(
12)
17
10x )
2
9) sin(x + /4) + cos(x + /4) =
2 cos7x
11) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
sin 2 x
1
1
2
2 cos x 13)
cos x sin 2x sin 4x
1 sin x
14) 4sin32x + 6sin2x = 3
15) 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3
16) 2 3 sin( x
) cos(x ) 2 cos 2 ( x ) = 3 4(sin 2 x cos( - x)cos( x))
8
8
8
3
3
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 2cosx - 2 = 0 2) 3 tanx – 3 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
3) 3cot2x +
3 =0
2) cos2x + sinx + 1 = 0
4)
2 sin3x – 1 = 0
3) 2cos2x +
2 cosx – 2 = 0
4) cos2x – 5sinx + 6 = 0
5) cos2x + 3cosx + 4 = 0
6) 4cos2x - 4 3 cosx + 3 = 0
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0
2) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3
4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
Bài 4. Giải các phương trình:
2cos2x - 4cosx =1
1)
sinx 0
1-5sinx + 2cosx = 0
4)
cosx 0
ST&BS: Cao Văn Tú
2) 4sin3x + 3 2 sin2x = 8sinx
3) 4cosx.cos2x + 1 = 0
5) sin3x + 2cos2x - 2 = 0
6) tanx +
3 -2=0
cotx
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
17
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
4 + tanx = 7
8) sin6x + cos4x = cos2x
2
cos x
5π
7
10) sin( 2x + ) - 3cos( x
) = 1 + 2sinx
2
2
7)
12) tanx + cotx = 4
13)
sin x 1 cos x 0
14)
11) sin2 x -2sinx +2 = 2sinx -1
sin 2 2x + 4cos4 2x -1
=0
2sinxcosx
15) cos2x + 3cosx + 2 = 0
4sin 2 x 6sin x 9 3cos2 x
0
cos x
1
18). sin4 x cos4x
2
1
20) sin4 x sin4 x
2
9) cos2x + 5sinx + 2 = 0
4
16)
4
22) sin6 x cos6x
4
5
sin4 x cos4x
6
24) sin4 x cos4x sin4 4x cos4 4x
26) cos3xcos3x sin3 xsin3x=
2
4
17) 2cosx - sinx = 1
19) sin4 x cos4x cos2x
21) sin2 x sin2 x
2
2 3
2
sin x
3
3 2
1
2
23) sin6 x cos6x sinxcosx 0
25)
1
sin4 x cos4x sin2 xcos2x sinxcosx
2
27) cos3 4x cos3xcos3x sin3 xsin3x
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
3sin x cos x 2 0
2) 3sin x 1 4sin3 x 3cos3x 3) sin 4 x cos4 x 1
4
4) 2 cos4 x sin4 x 3sin4x 2 5) 2sin2x 2sin4x 0 6) 3sin 2 x 2cos2 x 3
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
3 cosx sinx 2
3) 3sin3x 3 cos9x 1 4sin3 3x
5)
7)
3(1 cos2 x)
cos x
2sin x
1
3sinx +cosx =
cosx
ST&BS: Cao Văn Tú
2) cosx 3sinx 1
4
4) sin4 x cos4 (x )
6) sin 2x sin 2 x
1
4
1
2
8) tan x 3cot x 4(sin x 3cos x)
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
18
Email:
[email protected]
9) cos7x - 3sin7x + 2 = 0 ; x (
11) sinx +3cosx +
Blog: www.caotu28.blogspot.com
2π 6π
; )
5 7
10) 2sin15x + 3 cos5x + sin5x = 0
6
=6
4sinx +3cosx +1
12. 3sinx +cosx = 3+
13) ( cos2x - 3 sin2x) - 3 sinx – cosx + 4 = 0
15)
14)
1
3sinx +cosx +1
cosx -2sinx.cosx
= 3
2cos2 x +sinx -1
1+cosx +cos2x +cos3x 2
= (3- 3sinx)
2cos2 x +cosx -1
3
16) cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 2sin 2 x sin x cos x 3cos2 x 0
2) 2sin 2 x 3cos2 x 5sin x cos x 2 0
3) sin 2 x sin 2x 2cos2 x 0,5
4) sin 2 x 2sin 2 x 2cos2 x
5) 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1
6) sin 3 x 2 sin x
4
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3sin2x - 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2
3) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0
2) 4 sin2x + 3 3 sinxcosx - 2cos2x=4
4) sinx - 4sin3x + cosx = 0
5) 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos2x – 5 - 3 = 0
6) (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0
7) sin3x - sinx + cosx – sinx = 0
2
2
8) tanxsin x - 2sin x = 3(cos2x + sinxcosx)
9) 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0
10) 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0
11) 2cos3x = sin3x
12) cos3x - sin3x = cosx + sinx
13) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
14) sin3(x - /4) = 2 sinx
DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau:
1) 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0
3) sin2x 2 sin x 1
4
1
cos x
3
3
7) sin x + cos x = 2sinxcosx + sin x + cosx
9) 2sinx + cotx = 2sin2x+1
5) 1 + tanx = 2sinx +
ST&BS: Cao Văn Tú
2) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
4) tanx 2 2sinx 1
6) sin x + cosx=
1
1
tanx cot x
8) 1- sin3x+ cos3x = sin2x
10) 2 sin2x(sin x + cosx) = 2
Chuyên đề: Phương trình lượng giác
19
Email:
[email protected]
Blog: www.caotu28.blogspot.com
11) (1+sin x)(1+cosx) = 2
12) 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx
3
13) 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x
14)* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
2
15) * cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
16) sin x cos x 4sin 2x 1
17) sinxcosx + sinx +cosx = 1
18) cosx +
4
2
19) 2 2 cos2 x 9
cosx 1
cos x
cosx
1
1
+ sinx +
= 10
cosx
3
sinx
DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Giải các phương trình sau:
1) cos2x - cos8x + cos4x = 1
3) sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2
2) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
4) sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0
5) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
6)
7) 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8) sin3x sin5x
3
5
10) cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) +
3
sin2x + 2 cos2x + 6 cosx = 0
2
9) 2cos2x - 8cosx + 7 =
1
cosx
5
cos2x
4
11) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
13) sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14) 2sin3x - 1 = 2cos3x + 1
cosx
sinx
15) tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1 ) = 0
cosx
3
2
16) cos x + cos x + 2sinx – 2 = 0
17) cos2x - 2cos3x + sinx = 0
18) sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x
20) 2tanx + cot2x = 2sin2x +
1
sin2x
22) 1 + tanx = sinx + cosx
24) 2 2 sin(x + π ) =
4
1
1
+
sinx cosx
26) cotx – tanx = cosx + sinx
19) 1 + cot2x =
1-cos2x
sin2 2x
21) cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0
23) (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
2
25) 2tanx + cotx = 3
sin 2x
27) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
* a3 b3=(a b)(a2 ab + b2)
ST&BS: Cao
* a4 Văn
- b4 Tú
= ( a2 + b2)(a2 - b2)
* a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4
2
b6 = (đề:
* a6 Chuyên
a2 Phương
b2)( a4 trình
a2blượng
+ b4)giác
20
.PDF 
23 
2079 
102 
