Tài liệu đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Mục lục I. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................ 2 II. Các dạng toán thường gặp ............................................................................. 6 Loại 1. Bài tập củng cố lý thuyết .................................................................... 6 Loại 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng...................................................... 9 Loại 3. Ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy ............................ 12 Loại 4. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ....................................... 13 Loại 5. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp ....................................... 15 Website: violet.vn/phphong84 1 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 I. Tóm tắt lý thuyết 1. Các khái niệm cơ bản trong hình học không gian * Mặt phẳng: Trang giấy, mặt hồ lặng gió, ... cho ta hình ảnh của một phần mặt phẳng trong không gian. Mặt phẳng được biểu diễn là P một hình bình hành hoặc một góc và được đặt tên bằng một cặp dấu Mặt phẳng  P  ngoặc đơn và một chữ cái nằm trong đó. Chẳng hạn: mặt phẳng  P  , mặt phẳng  Q  , mặt phẳng    , mặt phẳng    , ..., và viết tắt α là mp  P  , mp  Q  , mp    , mp    , … hoặc  P  , Q ,   ,    , ... . Mặt phẳng    * Vị trí tương đối giữa điểm và mặt phẳng +) Nếu điểm A thuộc mặt phẳng  P  thì ta ký hiệu A   P  . Đồng thời ta cũng nói mặt phẳng  P  chứa điểm A . A P A  P +) Nếu điểm A không thuộc  P  thì ta ký hiệu A   P  . Đồng thời A ta cũng nói mặt phẳng  P  không chứa chứa điểm A . P A   P  * Hình biểu diễn của một hình trong không gian Hình nằm trong không gian được biểu diễn thành những hình phẳng theo các quy tắc sau đây +) Đường thẳng (đoạn thẳng) trong không gian được biểu diễn bởi đường thẳng (đoạn thẳng). +) Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) trong không gian được biểu diễn thành hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau). +) Trong không gian, nếu điểm A thuộc đường thẳng a thì hình biểu diễn của A cũng phải thuộc hình biểu diễn của a . +) Đường trông thấy được biểu diễn bởi nét liền ( _____ ), đường bị khuất được biều diễn bởi nét đứt (      ) . +) Các quy tắc khác sẽ được nêu sau. 2. Các tiên đề của hình học không gian Tiên đề 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Website: violet.vn/phphong84 2 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Tiên đề 2: Có một và chỉ một phẳng phẳng đi qua ba điểm phân biệt. Mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt A , B , C được ký hiệu là mặt phẳng mp  ABC  hay  ABC  . Tiên đề 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. Thuật ngữ: Nếu các điểm A1 , A 2 , ..., An thuộc về cùng một mặt phẳng thì ta nói chúng đồng phẳng; ngược lại, ta nói chúng không đồng phẳng. Như vậy, tiên đề 3 khẳng định sự tồn tại bốn điểm không đồng phẳng. Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. Giả sử  P  ,  Q  là hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung. Theo tiên đề 3, P a và  Q  có một đường thẳng a chung duy nhất. Đường thẳng a được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  và  Q  (cũng nói  P  và  Q  cắt P Q nhau theo giao tuyến a ), ký hiệu a   P    Q  . a   P  Q Tiên đề 5: Trong cùng một mặt phẳng, tất cả kết quả của hình học phẳng vẫn còn đúng. Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt thuộc cùng một mặt phẳng thì mọi điểm thuộc đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó. Thuật ngữ: Nếu mọi điểm trên đường thẳng a đều nằm trên mặt phẳng  P  thì ta nói đường thẳng a nằm trên mặt phẳng  P  và ta ký hiệu a   P  . A B P Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng  P  3. Cách xác định mặt phẳng * Qua ba điểm không thẳng hàng A , B , C xác định duy nhất một mặt phẳng ( mp  ABC  ). B A C mp  ABC  * Qua đường thẳng a và điểm A ngoài nó xác định duy nhất một mặt phẳng. Mặt phẳng đó được ký hiệu là mp  a, A  . A a mp  a, A  Website: violet.vn/phphong84 3 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 * Qua hai đường thẳng cắt nhau a , b xác định duy nhất một mặt a phẳng. Mặt phẳng đó được ký hiệu là mp  a,b  . b mp  a,b  4. Hình chóp Cho đa giác A1A 2 ...An ( n  3 ) và điểm S không thuộc mặt phẳng chứa đa giác đó. Hình gồm n tam S giác SA1 A 2 ,SA 2 A 3 ,...,SA n A1 và đa giác A1 A 2 ...A n được gọi là An A1 hình chóp S.A1A 2 ...An . P A2 Hình chóp S.A1A 2 ...An . +) Điểm S được gọi là đỉnh của hình chóp. +) Các cạnh của đa giác A1 A 2 ...A n được gọi là các cạnh đáy của đa giác. +) Đa giác A1 A 2 ...A n được gọi là mặt đáy của hình chóp. +) Các tam giác SA1A 2 ,SA 2 A 3 , ...,SAn A1 được gọi là các mặt bên của hình chóp. +) Các đoạn thẳng SA1 , SA 2 , ..., SAn được gọi là các cạnh bên của hình chóp. Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... thì hình chóp lần lượt được gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, .... Nhận xét: Hình chóp SA1 A 2 ,SA 2 A 3 , ...,SAn A1 có 2n cạnh, n  1 mặt. S P Định nghĩa: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình  khi cắt bởi mp  P  là phần chung của mp  P  với hình  . P M A N O D B C Tứ giác MNOP là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp  P  Website: violet.vn/phphong84 4 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 A Định nghĩa: Cho bốn điểm không đồng phẳng A , B , C , D . Hình gồm các tam giác ABC , BCD , CDA , ABD được gọi là hình tứ diện ABCD . D B C Tứ diện ABCD +) Các điểm A , B , C , D được gọi là các đỉnh của tứ diện. +) Các đoạn thẳng AB , AC , AD , BC , CD , DB được gọi là các cạnh của tứ diện. +) Các tam giác ABC , BCD , CDA , ABD được gọi là các mặt của tứ diện. +) Hai cạnh không có điểm chung được gọi là hai cạnh đối diện. +) Một đỉnh không thuộc một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó. Tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều được gọi là tứ diện đều. Website: violet.vn/phphong84 5 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 II. Các dạng toán thường gặp Loại 1. Bài tập củng cố lý thuyết A. Một số ví dụ Ví dụ 1. [SGKNC] Chứng minh định lý: “Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt thuộc cùng một mặt phẳng thì mọi điểm thuộc đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó”. Giải Giả sử A và B là hai điểm phân biệt của mặt phẳng  P  ,  là đường thẳng đi qua A và B . Theo tiên đề 5, trong mặt phẳng  P  có một đường thẳng  ' đi qua A và B . Theo tiên đề 1 thì  trùng với  ' , do đó  nằm trong mặt phẳng  P  .(ĐPCM) Ví dụ 2. [SGKNC] Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau theo giao tuyến  . Trên  P  cho đường thẳng a và trên  Q  cho đường thẳng b . Chứng minh nêu  P  và  Q  cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên  . (ĐPCM) Giải Giả sử I  a  b . Ta thấy I  a , a   P   I   P  . Một vậy tương tự, ta cũng chứng minh được I   Q  . Suy ra I   P    Q  , nói cách khác I   . Ví dụ 3. [SGKNC] Cho mặt phẳng  P  và ba điểm không thẳng hàng A , B , C cùng nằm ngoài  P  . Chứng minh nếu ba đường thẳng AB , BC , CA đều cắt  P  thì các giao điểm đó thẳng hàng. Giải Gọi  Q  là mặt phẳng đi qua ba điểm A , B , C và M , N , P lần lượt là giao điểm của AB , BC , CA với  P  . Ta thấy M  AB , AB   Q   M   Q   M   P    Q  . Tương tự ta cũng chứng minh được P , Q thuộc giao tuyến của  P  và  Q  . Như vậy M , N , P cùng thuộc giao tuyến của  P  và  Q  nên M , N , P thẳng hàng (ĐPCM). Ví dụ 4. [SGKNC] Chứng minh ba đường thẳng phân biệt đôi một cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì đồng phẳng. Giải Website: violet.vn/phphong84 6 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Xét ba đường thẳng a , b , c . Giả sử A  b  c , B  c  a , C  a  b . Dễ thấy A , B , C không thẳng hàng. Gọi  Q  là mặt phẳng đi qua ba điểm A , B , C . Ta thấy a  BC   P  , b  CA   P  , c  AB   P  . Từ đây suy ra a , b , c đồng phẳng.(ĐPCM). Website: violet.vn/phphong84 7 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B. Bài tập Bài 1. [SGKNC] Chứng minh rằng: Một mặt phẳng và một đường thẳng không nằm trên mặt phẳng đó không có quá một điểm chung. Bài 2. Chứng minh rằng: Ba đường thẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì đồng phẳng hoặc đồng quy. Bài 3. [SGKNC] Cho n điểm ( n  4 ) trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng. Chứng minh không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Bài 4. [SGKNC] Cho n điểm ( n  4 ) trong đó bốn điểm nào cũng đồng phẳng. Chứng minh rằng n điểm đó đồng phẳng. Bài 5. [SGKNC] Cho bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng. Hai điểm phân biệt M , N nằm trên đoạn thẳng AB và hai điểm phân biệt I , J nằm trên đoạn thẳng CD . Chứng minh bốn điểm M , N , I , J cũng không đồng phẳng. Bài 6. [SGKNC] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước. 2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. 3) Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất. Bài 7. [SGKNC] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước. 2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng chứa điểm đó. 3) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó. Bài 8. [SGKNC] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cho trước. 2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước. 3) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng đó nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau. Website: violet.vn/phphong84 8 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng A. Nội dung phương pháp * Nếu I , J là hai điểm chung của hai mặt phẳng  P  và  Q  thì đường thẳng IJ chính là giao tuyến của  P  và  Q  (Hình 1). Như vậy, để tìm giao điểm tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung. * Chú ý về cách tìm điểm chung của hai mặt phẳng: +) Điểm chung có thể được phát hiện nhờ tên gọi của hai mặt phẳng. Chẳng hạn: hai mặt phẳng  ABC  và  CDE  nhận C là một điểm chung (Hình 2). +) Điểm chung có thể được phát hiện nhờ giao điểm của hai mặt phẳng. Cụ thể như sau A  a  b   a   P   M là một điểm chung của  P  và  Q  (Hình 3).  b   Q  E I J A P Q D a C B Hình 1 A b P Q Hình 3 Hình 2 Website: violet.vn/phphong84 9 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B. Bài tập Bài 1. Cho tứ diện ABCD , E là một điểm thuộc cạnh AB . Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng  ECD  với các mặt phẳng  ABC  ,  ABD  ,  ACD  ,  BCD  . Bài 2. Cho tứ diện SABC và một điểm I trên cạnh SA , d là đường thẳng trong  ABC  cắt đoạn AB , BC tại J , K . Tìm giao tuyến của mặt phẳng  I,d  với các mặt phẳng sau:  SAB  ,  SAC  ,  SBC  . Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD sao cho có các cặp cạnh đối không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng  ABCD  . Tìm giao tuyến của: 1)  SAC  và  SBD  , 2)  SAB và  SCD  , 3)  SAD và  SBC  . Bài 4. Cho hình chóp S .ABCDE . Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng  SAC  với các mặt phẳng  SAB ,  SAD ,  SBE ,  SBD . Bài 5. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. M là điểm trên cạnh CD . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng  SAM  và  SBD ,  SBM  và  SAC  . Bài 6. Cho tứ diện ABCD , M là điểm nằm trong tam giác ABC , N là điểm nằm trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng  AMN  và  BCD  ,  CMN  và  ABD  . Bài 7. Cho tứ diện ABCD . M nằm trên AB sao cho AM  1 MB , N nằm trên AC sao 4 cho AN  3NC , điểm I nằm trong tam giác BCD . Tìm giao tuyến của mặt phẳng  MNI  với các mặt  BCD  ,  ABD  và  ACD  . Bài 8. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AD , BC . 1) Tìm giao tuyến của  IBC  và  JAD  . 2) M là điểm trên AB , N là điểm trên AC sao cho MN không song song với BC . Tìm giao tuyến của  IBC  và  DMN  . I Bài 9. Cho hai đường thẳng a , b nằm trong mặt phẳng  P  và điểm S không thuộc  P  . Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng  a, S  với mặt phẳng  b,S  . Website: violet.vn/phphong84 10 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài 10. Cho tứ diện ABCD . Trên AB , AC lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho AM AN  . Tìm giao tuyến của  DMN  và  BCD  . MB NC Website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại 3. Ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy A. Nội dung phương pháp * Để chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. * Để chứng minh ba đường thẳng a , b , c đồng quy, ta làm như sau : +) Lấy M , N  c . +) Lấy P  a  b . +) Chứng minh M , N , P thẳng hàng. B. Bài tập Bài 1. Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau theo giao tuyến d .Lấy hai điểm A , B thuộc P nhưng không thuộc d . O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA , OB lần lượt cắt  Q  tại A ' , B ' , AB cắt d tại C 1) Chứng minh O , A , B không thẳng hàng. 2) Chứng minh A ' , B ' , C' thẳng hàng. Từ đó suy ra AB , A 'B' , d đồng quy. Bài 2. Trong không gian cho ba tia Ox , Oy , Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A , A ' ; trên Oy lấy B , B' ; trên Oz lấy C , C' sao cho AB cắt A 'B' tại D ; BC cắt B 'C' tại E ; AC cắt A 'C' tại F . Chứng minh D , E , F thẳng hàng. Bài 3. Cho A , B , C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng    . Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm AB , BC , CA với    .Chứng minh M , N , P thẳng hàng. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. O là giao điểm hai đường chéo, M , N lần lượt là trung điểm SA , SD . Chứng minh ba đường thẳng SO , BN , CM đồng quy. Bài 5. Chứng minh trong một tứ diện các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy. Bài 6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD , BC .Gọi M , N là trung điểm AB , CD và G là trọng tâm tam giác SAD . Tìm giao tuyến của 1)  GMN  và  SAB  . 2)  GMN  và  SCD  . 3) Gọi giao điểm của AB và C là I , J là giao điểm của hai giao tuyến của câu 1) và câu 2). Chứng minh S , I , J thẳng hàng. Website: violet.vn/phphong84 12 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại 4. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng A. Nội dung phương pháp Để tìm giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng  P  , ta có thể làm như sau Phương pháp 1:  a   P   M    P .     a  M Phương pháp 2:    Q    P    Q   a  M     P  .  M    a B. Bài tập Bài 1. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm nằm trong tam giác ABC , N là một điểm thuộc cạnh CD . Tìm giao điểm của đường thẳng MD với mặt phẳng  ABN  . Bài 2. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là hai điểm nằm trong các tam giác ABC , ABD . M là điểm tuỳ ý trên CD . Tìm giao điểm của IJ và mặt phẳng  AMB  . Bài 3. Cho tứ diện ABCD . M , N , P , Q là các điểm lần lượt thuộc các mặt ABC , ACD , ADB , BCD . Tìm giao điểm của đường thẳng AQ với mặt phẳng  MNP  . Bài 4. Cho tứ diện ABCD . E , F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AC , AD . O là điểm nằm trong tam giác  BCD  . Tìm giao điểm của. 1) EF và  ABO  . 2) AO và  BEF  . Bài 5. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB , AD sao cho AI  1 AB , AJ  3 AD . Gọi G là trọng tâm tam giác ACD . Tìm giao điểm của các 3 4 đường thẳng IJ , IG với mặt phẳng  BCD  . Bài 6. Cho tứ diện  ABCD  . Gọi M , P lần lượt là trung điểm của AB , BC . N là điểm thuộc AD sao cho AN  1 AD . Q là trung điểm của MP . Tìm giao điểm của 4 1) CD với  MNP  . 2) QN với  BCD  . Bài 7. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của AC , BC . Trên đoạn BD lấy P sao cho BP  2PD . Tìm giao điểm của Website: violet.vn/phphong84 13 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1) CD với  MNP  . 2) AD với  MNP  . Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD . M , N là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SB , SD . Tìm giao điểm của 1) BN với mặt phẳng  SAC  . 2) MN với mặt phẳng  SAC  . Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD . M , N là các điểm lần lượt nằm trong các tam giác  SAB  và  SCD  . Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng  SAC  . Bài 10. Cho tứ diện ABCD , M là trung điểm AB , N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC và AD sao cho AN 3 AP 2  ,  . Tìm giao điểm của AC 4 AD 3 1) MN với  BCD  . 2) BD với  MNP  . 3) Gọi Q là điểm thuộc NP .Tìm giao điểm của MQ với  BCD  . Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB  CD . I , J K lần lượt thuộc các cạnh SA , SB , SC .Tìm giao điểm 1) IK và  SBD  . 2) SD và  IJK  . Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm SD . 1) Tìm giao điểm I của BM và  SAC  , chứng minh BI  2IM . 2) Tìm giao điểm J của của SA và  BCM  , chứng minh J là trung điểm SA . 3) N là điểm tuỳ ý trên BC . Tìm giao điểm của MN với  SAC  . Website: violet.vn/phphong84 14 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại 5. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A' , B ' , C' lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SA , SB , SC . Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng  A 'B 'C' với hình chóp. Bài 2. Cho tứ diện ABCD . I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , BCD . M là trung điểm AD . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng  MJI  và tứ diện. Bài 3. Cho tứ diện ABCD . Điểm I nằm trên đường thẳng BD và ở ngoài đoạn thẳng BD sao cho ID  3IB . M , N là hai điểm thuộc cạnh AD , DC sao cho MA  1 MD , ND  1 NC . 2 2 1) Xác dịnh thiết diện tạo bởi  MNI  với tứ diện. 2) Chứng minh MN , AC và giao tuyến của  MNI  với  ABC  đồng quy. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành . Gọi E , F , K lần lượt là trung điểm của SA , AB , BC . Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng  EFK  . Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AB là đáy, BC không song song với AD . Gọi M , N là trung điểm SB , SC . 1) Tìm giao tuyến của  SAD  và  SBC  . 2) Tìm giao điểm của SD và  AMN  . 3) Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng  AMN  với hình chóp. Bài 6. Cho hình chóp S.ABCDE . Lấy ba điểm M , N , K trên SA , BC , SD . Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng  MNK  với hình chóp. Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD là hình bình hành tâm O . I , J là trọng tâm các tam giác SAB , SAD . 1) Tìm giao điểm của IJ với  SAC  . 2) Dựng thiết diện tạo bởi  IJO  với hình chóp. Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm SC . 1) Tìm giao điểm I của AM với  SBD  . Chứng minh IA  2IM 2) Tìm giao điểm F của SD với  ABM  . Chứng minh F là trung điểm SD . 3) Thiết diện tạo bởi  ABM  với hình chóp có gì đặc biệt. Website: violet.vn/phphong84 15 BÀI GIẢNG HÌNH 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm SB , SD . OC . 1) Tìm giao tuyến của  MNP  với  SAC  . 2) Dựng thiết diện của  MNP  với hình chóp. 3) Tính tỉ số mà  MNP  chia cạnh SA , BC , CD . Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB , G là trọng tâm tam giác SAD . 1) Tìm giao điểm I của GM với  ABCD  . 2) Chứng minh  CGM  chứa đường thẳng CD . 3) Chứng minh  CGM  đi qua trung điểm SA . 4) Dựng thiết diện của  CGM  với hình chóp. Website: violet.vn/phphong84 16