ĐỀ CƯƠNG
TẬP 2
Năm học: 2021 - 2022
HỌ VÀ TÊN:……………………………………………………………………
LỚP:…………………………………………………………………………….
“Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ LƯỜI BIẾNG”
MỤC LỤC
Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1
....
§1 - HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
.......................................................................................................
1
............................................................................................................................
1
..............................................................................................................................
2
A. Định nghĩa hệ trục tọa độ
B. Tọa độ véc-tơ
C. Tọa độ điểm
.................................................................................................
2
..............................................................................................................
3
D. Tích có hướng của hai véc-tơ
E. Phương trình mặt cầu
| Dạng 1.1: Nhóm bài toán liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng của điểm lên trục,
lên mặt phẳng tọa độ
..............................................................................................................
| Dạng 1.2: Bài toán liên quan đến véc-tơ và độ dài đoạn thẳng
.................................
| Dạng 1.3: Bài toán liên quan đến tọa độ trung điểm và trọng tâm
........................
4
9
16
| Dạng 1.4: Nhóm bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai véc-tơ
...................
21
| Dạng 1.5: Nhóm bài toán liên quan đến tích có hướng của hai véc-tơ
...................
27
...................................................
32
......................................................
42
.....................................................................................
48
| Dạng 1.6: Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu
| Dạng 1.7: Viết phương trình mặt cầu loại cơ bản
F. BÀI TẬP TỰ LUYỆN - MẶT CẦU
§2 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A. Kiến thức cơ bản cần nhớ
.....................................................................................................
| Dạng 2.8: Xác định các yếu tố của mặt phẳng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
...........................................................
54
............................................................................................................
61
| Dạng 2.9: Viết phương trình mặt phẳng
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
......................................................................
62
............................................................................................................
79
| Dạng 2.10: Điểm thuộc mặt phẳng
...............................................................................
| Dạng 2.11: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
85
......................................
88
..........................................
91
............................................................................................................
93
| Dạng 2.12: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
52
§3 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
....................................................................................
| Dạng 3.13: Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
107
.......................................
109
..........................................................................................................
114
2
3
MỤC LỤC
| Dạng 3.14: Góc
..............................................................................................................
| Dạng 3.15: Khoảng cách
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
...............................................................................................
121
..........................................................................................................
123
| Dạng 3.16: Viết phương trình đường thẳng
...............................................................
| Dạng 3.17: Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng
D. BÀI TẬP VẬN DỤNG
117
125
.................
150
.........................................................................................................
160
| Dạng 3.18: Xác định phương trình đường thẳng
.......................................................
160
§4 - ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
....................................................................................
193
..........................................................................................................
193
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
| Dạng 4.19: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm GÓC
.................................
| Dạng 4.20: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm KHOẢNG CÁCH
............
193
195
| Dạng 4.21: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH 197
Chuyên đề 2: GÓC - KHOẢNG CÁCH
........................................
200
§1 - GÓC TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A. CÁC DẠNG BÀI TẬP
..........................................................................................................
| Dạng 1.22: Góc giữa hai đường thẳng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
........................................................................
200
..........................................................................................................
205
| Dạng 1.23: Góc của đường thẳng với mặt phẳng
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
.....................................................
208
..........................................................................................................
215
| Dạng 1.24: Góc giữa hai mặt phẳng
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
200
...........................................................................
220
..........................................................................................................
226
§2 - KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
A. CÁC DẠNG BÀI TẬP
..........................................................................................................
| Dạng 2.25: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
...................................
231
..........................................................................................................
235
| Dạng 2.26: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
230
.....................................
242
..........................................................................................................
247
| Dạng 2.27: Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai
mặt phẳng
.............................................................................................................................
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
252
h https://fb.com/toanthayhoangblue
CHUYÊN ĐỀ
ĐỀ
CHUYÊN
LỚP TOÁN THẦY HOÀNG - 0931.568.590
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
1
§
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A.
ĐỊNH NGHĨA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
z
Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau
#»
từng đôi một, và chung điểm gốc O. Gọi i =
#»
#»
(1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) là các véc-tơ
#»
k
#»
i
đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ
ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc
trong không gian hay hệ trục Oxyz.
#»
#»2
#»
#» #»
#» #»
i = j 2 = k 2 = 1 và i · j = j · k =
#» #»
k · i = 0.
O #»
j
x
!
B.
TỌA ĐỘ VÉC-TƠ
#»
#»
#»
c Định nghĩa 1.1. Cho #»
a = (x; y; z) ⇔ #»
a = x i +yj +zk.
#»
Cho #»
a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ), k ∈ R.
#»
• #»
a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ).
• k #»
a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ).
a1 = b 1
#»
• Hai véc-tơ bằng nhau #»
a = b ⇔ a2 = b 2
a3 = b 3 .
a2
a3
a1
#»
#»
=
= .
• #»
a b ⇔ #»
a =kb ⇔
b1
b2
b3
p
• Mô-đun (độ dài) véc-tơ: #»
a 2 = a21 + a22 + a23 ⇒ | #»
a | = a21 + a22 + a23 .
y
2
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
#»
Ä #»ä
#»
• Tích vô hướng: #»
a · b = | #»
a | · b · cos #»
a, b .
#»
#»
• #»
a ⊥ b ⇔ #»
a · b = a1 · b 1 + a2 · b 2 + a3 · b 3 = 0
#»
#»
Ä #»ä
Suy ra:
a· b
a · b + a2 · b 2 + a3 · b 3
#»
=p 1 1
p
• cos a , b =
.
#»
a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23
| #»
a| · b
C.
TỌA ĐỘ ĐIỂM
#»
# »
#»
#»
c Định nghĩa 1.2. M (a; b; c) ⇔ OM = a i + b j + c k = (a; b; c).
GHI NHỚ
M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0, M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0, M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
M ∈ Ox ⇔ y = z = 0, M ∈ Oy ⇔ x = z = 0, M ∈ Oz ⇔ x = y = 0.
Cho hai điểm A = (xA ; yA ; zA ), A = (xB ; yB ; zB ).
p
# »
• AB(xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) ⇒ AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .
x + x y + y z + z
A
B
A
B
A
B
;
;
.
2
2
2
x + x + x y + y + y z + z + z
A
B
C
A
B
C
A
B
C
• Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G
;
;
.
3
3
3
• Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M
• Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, khi đó tọa độ điểm G là
x + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
G
;
;
.
4
4
4
D.
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ
c Định nghĩa 1.3. Trong hệ trục tọa đô Oxyz, cho hai véc-tơ
#»
a = (a1 ; a2 ; a3 )
. Tích
#»
b = (b1 ; b2 ; b3 )
î #»ó
#»
#»
có hướng của hai véc-tơ #»
a và b là một véc-tơ, ký hiệu là #»
a , b (hoặc #»
a ∧ b ) và được
xác định bởi công thức
Ñ
é
î #»ó
a2 a3 a3 a1 a1 a2
#»
;
;
= (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) .
a , b =
b2 b3 b3 b1 b1 b2
!
î #»ó
#»
Nếu #»
c = #»
a , b thì ta luôn có #»
c ⊥ #»
a và #»
c ⊥ b.
î #» #»ó #» î #» #»ó #» î #» #»ó #»
i , j = k, j , k = i , k, i = j
î #»ó
#»
Ä #»ä
#»
#»
3. a , b = | a | · b · sin #»
a; b
1.
2.
î
î #»ó #»
#»ó
#»
a , b ⊥ #»
a , #»
a, b ⊥ b
î #»ó #»
#»
4. #»
a b ⇔ #»
a, b = 0
Ứng dụng của tích có hướng
h https://fb.com/toanthayhoangblue
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
3
Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
î #»ó
#»
a) Để #»
a , b , #»
c đồng phẳng ⇔ #»
a , b · #»
c = 0.
î #»ó
#»
Ngược lại, để #»
a , b , #»
c không đồng phẳng thì #»
a , b · #»
c =
6 0 (thường gọi là tích hỗn tạp).
Do đó, để chứng minh 4 điểm A, B, C, D là bốn điểm của một tứ diện, ta cần chứng minh
î # » # »ó # »
# » # » # »
AB, AC, AD không đồng phẳng, nghĩa là AB, AC · AD 6= 0.
# » # » # »
Ngược lại, để chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, ta cần chứng minh AB, AC, AD
î # » # »ó # »
cùng thuộc một mặt phẳng ⇔ AB, AC · AD = 0.
b) Diện tích của hình bình hành ABCD là
î # » # » ó
SABCD = AB, AD .
c) Diện tích của tam giác ABC là
1 î # » # »ó
SABC = · AB, AC .
2
A
d) Thể tích khối hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 là
î # » # » ó # »
V = AB, AD · AA0 .
e) Thể tích khối tứ diện ABCD là V =
E.
D
C
A
B
B
C
1 î # » # »ó # »
· AB, AC · AD.
6
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
a) Phương trình mặt cầu (S) dạng 1. Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tâm
I(a; b; c) và bán kính R. Khi đó:
(S) :
• Tâm I(a; b; c)
⇒ (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .
• Bán kính R
b) Phương trình mặt cầu (S) dạng 2. Khai triển dạng 1, ta được
x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + a2 + b2 + c2 − R2 = 0
và đặt d = a2 + b2 + c2 − R2 thì được phương trình mặt cầu dạng 2 là
(S) : x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 .
với a2 +b2 +c2 −d > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R =
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
√
a2 + b2 + c2 − d.
h https://fb.com/toanthayhoangblue
4
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
p Dạng 1.1. Nhóm bài toán liên quan đến hình chiếu,
điểm đối xứng của điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ
a) Hình chiếu: “Thiếu cái nào, cho cái đó bằng 0”. Nghĩa là hình chiếu của M (a; b; c)
lên:
• Ox là M1 (a; 0; 0).
• Oy là M2 (0; b; 0).
• Oz là M3 (0; 0; c).
• (Oxy) là M4 (a; b; 0).
• (Oxz) là M5 (a; 0; c).
• (Oyz) là M6 (0; b; c).
b) Đối xứng: “Thiếu cái nào, đổi dấu cái đó”. Nghĩa là điểm đối xứng của N (a; b; c)
qua:
• Ox là N1 (a; −b; −c).
• Oy là N2 (−a; b; −c).
• Oz là N3 (−a; −b; c).
• (Oxy) là N4 (a; b; −c).
• (Oxz) là N5 (a; −b; c).
• (Oyz) là N6 (−a; b; c).
c) Khoảng cách: Để tìm khoảng cách từ điểm M đến trục (hoặc mặt phẳng tọa độ),
ta tìm hình chiếu H của điểm M lên trục (hoặc mặt phẳng tọa độ), từ đó suy ra
khoảng cách cần tìm là d = M H.
L Ví dụ 1 (Mã 101-2022). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3). Hình chiếu
vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
A (0; 2; −3).
B (1; 0; −3).
C (1; 2; 0).
D (1; 0; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 2 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1). Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc
của điểm M (2; −2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
A (2; 0; 1).
B (2; −2; 0).
C (0; −2; 1).
D (0; 0; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
h https://fb.com/toanthayhoangblue
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
5
Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
L Ví dụ 3 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2). Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc
của điểm M (2; 1; −1) trên mặt phẳng (Ozx) có tọa độ là
A (0; 1; 0).
B (2; 1; 0).
C (0; 1; −1).
D (2; 0; −1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 4. (Mã 102-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm
A(1; 2; 5) trên trục Ox có tọa độ là
A (0; 2; 0).
B (0; 0; 5).
C (1; 0; 0).
D (0; 2; 5).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 5. (Mã 101-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm
A (3; 2; 1) trên trục Ox có tọa độ là:
A (0; 2; 1).
B (3; 0; 0).
C (0; 0; 1).
D (0; 2; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 6. (Mã 103-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm
A (3; 5; 2) trên trục Ox có tọa độ là
A (0; 5; 2).
B (0; 5; 0).
C (3; 0; 0).
D (0; 0; 2).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
h https://fb.com/toanthayhoangblue
6
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
L Ví dụ 7. (Mã 104-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm
A(8; 1; 2) trên trục Ox có tọa độ là
A (0; 1; 0).
B (8; 0; 0).
C (0; 1; 2).
D (0; 0; 2).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 8. (Mã 101-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz. Điểm nào sau đây là hình chiếu
vuông góc của điểm A(1; 4; 2) trên mặt phẳng Oxy?
A (0; 4; 2).
B (1; 4; 0).
C (1; 0; 2).
D (0; 0; 2).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 9. (Mã 103-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu
vuông góc của điểm A (3; 5; 2) trên mặt phẳng (Oxy)?
A M (3; 0; 2).
B (0; 0; 2).
C Q (0; 5; 2).
D N (3; 5; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 10. (Mã 102-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình
chiếu vuông góc của điểm A (1; 2; 3) trên mặt phẳng Oxy.
A Q (1; 0; 3).
B P (1; 2; 0).
C M (0; 0; 3).
D N (0; 2; 3).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
h https://fb.com/toanthayhoangblue
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
7
Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
L Ví dụ 11. (Mã 104-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây là hình
chiếu vuông góc của điểm A (3; 4; 1) trên mặt phẳng (Oxy)?
A Q (0; 4; 1).
B P (3; 0; 1).
C M (0; 0; 1).
D N (3; 4; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 12. (Mã 104-2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm
M (3; 1; −1) trên trục Oy có tọa độ là
A (3; 0; −1).
B (0; 1; 0).
C (3; 0; 0).
D (0; 0; −1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 13. (Mã 103-2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm
M (2; 1; −1) trên trục Oy có tọa độ là
A (0; 0; −1).
B (2; 0; −1).
C (0; 1; 0).
D (2; 0; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 14. (Mã 102-2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm
M (3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là
A (3; −1; 0).
B (0; 0; 1).
C (0; −1; 0).
D (3; 0; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
h https://fb.com/toanthayhoangblue
8
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
L Ví dụ 15. (Mã 101-2019) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm
M (2; 1; −1) trên trục Oz có tọa độ là
A (2; 0; 0).
B (0; 1; 0).
D (0; 0; −1).
C (2; 1; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 16. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3; −1; 1). Hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm
A M (3; 0; 0).
B N (0; −1; 1).
C P (0; −1; 0).
D Q (0; 0; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 17. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ (Oyz)?
A M (3; 4; 0).
B P (−2; 0; 3).
C Q (2; 0; 0).
D N (0; 4; −1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 18. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
M (4; 5; 6). Hình chiếu của M xuống mặt phẳng (Oyz) là M 0 . Xác định tọa độ M 0 .
A M 0 (4; 5; 0).
B M 0 (4; 0; 6).
C M 0 (4; 0; 0).
D M 0 (0; 5; 6).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
h https://fb.com/toanthayhoangblue
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
9
Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
L Ví dụ 19. (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm
M (x; y; z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Nếu M 0 đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M 0 (x; y; −z).
B Nếu M 0 đối xứng với M qua Oy thì M 0 (x; y; −z).
C Nếu M 0 đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M 0 (x; y; −z).
D Nếu M 0 đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M 0 (2x; 2y; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 20. (THCS-THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz, tọa độ điểm
đối xứng của M (1; 2; 3) qua mặt phẳng (Oyz) là
A (0; 2; 3).
B (−1; −2; −3).
D (1; 2; −3).
C (−1; 2; 3).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 21. (Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; −3; 5). Tìm
tọa độ A0 là điểm đối xứng với A qua trục Oy.
A A0 (2; 3; 5).
B A0 (2; −3; −5).
C A0 (−2; −3; 5).
D A0 (−2; −3; −5).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
p Dạng 1.2. Bài toán liên quan đến véc-tơ và độ dài đoạn thẳng
Bài toán liên quan đến véc-tơ và độ dài đoạn thẳng
CẦN NHỚ: Cho hai điểm A = (xA ; yA ; zA ), A = (xB ; yB ; zB ).
# »
• AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ).
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
h https://fb.com/toanthayhoangblue
10
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
• AB =
p
(xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .
#»
#»
#»
• #»
a = (x; y; z) ⇔ #»
a = x i +yj +zk.
#»
#» #»
Ví dụ #»
a = 2 i − 3 j + k ⇔ #»
a (. . . ; . . . ; . . .).
#»
# »
#»
#»
• M (a; b; c) ⇔ OM = a i + b j + c k .
# »
#»
#»
Ví dụ OM = 2 i − 3 j ⇔ M (. . . ; . . . ; . . .).
• Điểm thuộc trục và mặt phẳng tọa độ (thiếu cái nào cho cái đó bằng 0):
– M ∈ (Oxy) −→ M (xM ; yM ; 0).
z=0
– M ∈ Ox −→ M (xM ; 0; 0).
– M ∈ (Oyz) −→ M (0; yM ; zM ).
x=0
– M ∈ Oy −→ M (0; yM ; 0).
y=0
– M ∈ Oz −→ M (0; 0; zM ).
– M ∈ (Oxz) −→ M (xM ; 0; zM ).
y=z=0
x=z=0
x=y=0
L Ví dụ 1 (Mã 101-2021-Lần 2). Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ #»
u = (1; −2; 3)
và #»
v = (−1; 2; 0). Tọa độ của vectơ #»
u + #»
v là
A (0; 0; −3).
B (0; 0; 3).
C (−2; 4; −3).
D (2; −4; 3).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 2 (Đề minh họa 2022). Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ #»
u = (1; 3; −2) và
#»
v = (2; 1; −1). Tọa độ của vectơ #»
u − #»
v là
A (3; 4; −3).
B (−1; 2; −3).
C (−1; 2; −1).
D (1; −2; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 3 (Mã 104-2022). Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ #»
u = (1; −4; 0) và #»
v =
(−1; −2; 1). Vectơ #»
u + 3 #»
v có tọa độ là
A (−2; −10; 3).
B (−2; −6; 3).
h https://fb.com/toanthayhoangblue
C (−4; −8; 4).
D (−2; −10; −3).
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
11
Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 4 (Mã 102 - 2021 - Lần 1). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; −1; 3). Tọa
# »
độ vectơ OA là
A (−4; 1; 3).
B (4; −1; 3).
C (−4; 1; −3).
D (4; 1; 3).
L Ví dụ 5 (THPT Quốc Gia 2021 – Lần 1 - Mã 102). Trong không gian Oxyz, cho
# »
điểm A(−2; 3; 5). Tọa độ của vectơ OA là
A (−2; 3; 5).
B (2; −3; 5).
C (−2; −3; 5).
D (2; −3; 5).
L Ví dụ 6. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; −2) và B (2; 2; 1).
# »
Vectơ AB có tọa độ là
A (−1; −1; −3).
B (3; 1; 1).
C (1; 1; 3).
D (3; 3; −1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 7. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; −1) và
# »
B (2; 3; 2). Vectơ AB có tọa độ là
A (1; 2; 3).
B (−1; −2; 3).
C (3; 5; 1).
D (3; 4; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 8. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A (2; 2; 1). Tính
độ dài đoạn thẳng OA.
√
A OA = 5.
B OA = 5.
C OA = 3.
D OA = 9.
..........................................................................................
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
h https://fb.com/toanthayhoangblue
12
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 9. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
#»
#»
#»
ba vecto #»
a (1; 2; 3) ; b (2; 2; −1) ; #»
c (4; 0; −4). Tọa độ của vecto d = #»
a − b + 2 #»
c là
#»
#»
#»
#»
A d (−7; 0; −4).
B d (−7; 0; 4).
C d (7; 0; −4).
D d (7; 0; 4).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 10. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (0; 1; −1),
# »
B (2; 3; 2). Vectơ AB có tọa độ là
A (2; 2; 3).
B (1; 2; 3).
C (3; 5; 1).
D (3; 4; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 11. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho #»
a = (2; 3; 2)
#»
#»
và b = (1; 1; −1). Vectơ #»
a − b có tọa độ là
A (3; 4; 1).
B (−1; −2; 3).
C (3; 5; 1).
D (1; 2; 3).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 12. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục
#»
tọa độ Oxyz, cho #»
a = (2; −3; 3), b = (0; 2; −1), #»
c = (3; −1; 5). Tìm tọa độ của vectơ
#»
#»
u = 2 #»
a + 3 b − 2 #»
c.
A (10; −2; 13).
B (−2; 2; −7).
C (−2; −2; 7).
D (−2; 2; 7).
..........................................................................................
h https://fb.com/toanthayhoangblue
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
13
Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 13. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
#»
#»
#»
Oxyz, cho #»
a = − i + 2 j − 3 k . Tọa độ của vectơ #»
a là
A (−1; 2; −3).
B (2; −3; −1).
C (2; −1; −3).
D (−3; 2; −1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
#»
L Ví dụ 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho #»
a = (2; −3; 3), b = (0; 2; −1),
#»
#»
c = (3; −1; 5). Tìm tọa độ của vectơ #»
u = 2 #»
a + 3 b − 2 #»
c.
A (10; −2; 13).
B (−2; 2; −7).
C (−2; −2; 7).
D (−2; 2; 7).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 15. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
hai vectơ #»
x = (2; 1; −3) và #»
y = (1; 0; −1). Tìm tọa độ của vectơ #»
a = #»
x + 2 #»
y.
A #»
a = (4; 1; −1).
B #»
a = (3; 1; −4).
C #»
a = (0; 1; −1).
D #»
a = (4; 1; −5).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 16. (THPT-Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz, cho A (2; −1; 0)
# »
và B (1; 1; −3). Vectơ AB có tọa độ là
A (3; 0; −3).
B (−1; 2; −3).
C (−1; −2; 3).
D (1; −2; 3).
..........................................................................................
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
h https://fb.com/toanthayhoangblue
14
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 17. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A (2; −2; 1) , B (1; −1; 3) Tọa
# »
độ vecto AB là:
A (−1; 1; 2).
B (−3; 3; −4).
C (3; −3; 4).
D (1; −1; −2).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
#» #» #»
L Ví dụ 18. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i , j , k
#» #» #»
lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz Tính tọa độ của vecto i + j − k
#» #» #»
#» #» #»
A i + j − k = (−1; −1; 1).
B i + j − k = (−1; 1; 1).
#» #» #»
#» #» #»
C i + j − k = (1; 1; −1).
D i + j − k = (1; −1; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 19. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
#»
#» #»
giả sử #»
u = 2 i + 3 j − k , khi đó tọa độ véc tơ #»
u là
A (−2; 3; 1).
B (2; 3; −1).
C (2; −3; −1).
D (2; 3; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 20. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz, cho #»
a = (1; 2; 1)
#»
#»
và b = (−1; 3; 0). Vectơ #»
c = 2 #»
a + b có tọa độ là
A (1; 7; 2).
B (1; 5; 2).
C (3; 7; 2).
D (1; 7; 3).
..........................................................................................
h https://fb.com/toanthayhoangblue
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
15
Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 21. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ
#»
#»
#»
tọa độ Oxyz, cho #»
a = − i + 2 j − 3 k Tọa độ của vectơ #»
a là:
A #»
a (−1; 2; −3).
B #»
a (2; −3; −1).
C #»
a (−3; 2; −1).
D #»
a (2; −1; −3).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 22. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
(1; −3; 1), B (3; 0; −2). Tính độ dài AB.
A 26.
B 22.
C
√
26.
D
√
22.
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 23. (Chuyên-KHTN-Hà Nội-2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A (1; −2; −1), B (1; 4; 3). Độ dài đoạn thẳng AB là
√
√
A 2 13.
B 6.
C 3.
√
D 2 3.
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 24. (Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz,
#»
#»
#»
a (−2; 2; 0) , b (2; 2; 0) , #»
c (2; 2; 2). Giá trị của #»
a + b + #»
c bằng
√
√
A 6.
B 11.
C 2 11.
D 2 6.
cho
..........................................................................................
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
h https://fb.com/toanthayhoangblue
16
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 25. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm
A (1; 3; 5), B (2; 2; 3). Độ dài đoạn AB bằng
√
√
A 7.
B 8.
C
√
6.
D
√
5.
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
p Dạng 1.3. Bài toán liên quan đến tọa độ trung điểm và trọng tâm
Bài toán liên quan đến trung điểm tọa độ trọng tâm
CẦN NHỚ: Cho hai điểm A = (xA ; yA ; zA ), A = (xB ; yB ; zB ).
• Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M
NHỚ: M =
x + x y + y z + z
A
B
A
B
A
B
;
;
.
2
2
2
A+B
2
• Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G
NHỚ: G =
x + x + x y + y + y z + z + z
A
B
C
A
B
C
A
B
C
;
;
.
3
3
3
A+B+C
3
• Gọi G1 là trọng tâm tứ diện ABCD, khi đó tọa độ điểm G là
x + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
G
;
;
.
4
4
4
A+B+C +D
NHỚ: G1 =
4
L Ví dụ 1. Cho hai điểm A(3; −2; 3) và B(−1; 2; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn
AB.
A I(−2; 2; 1).
B I(1; 0; 4).
C I(2; 0; 8).
D I(2; −2; −1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
h https://fb.com/toanthayhoangblue
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
17
Chuyên đề 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
L Ví dụ 2. Cho hai điểm M (1; −2; 3) và N (3; 0; −1). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn
MN.
A I(4; −2; 2).
B I(2; −1; 2).
C I(4; −2; 1).
D I(2; −1; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 3. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; −4; 3) và B (2; 2; 7).
Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
A (4; −2; 10).
B (1; 3; 2).
D (2; −1; 5).
C (2; 6; 4).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 4. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A (3; −4; 0), B (−1; 1; 3), C (3, 1, 0). Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD =
BC.
A D (6; 0; 0), D (12; 0; 0).
B D (0; 0; 0), D (6; 0; 0).
C D (−2; 1; 0), D (−4; 0; 0).
D D (0; 0; 0), D (−6; 0; 0).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
L Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3; −2; 3) và B (−1; 2; 5).
Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
A I (1; 0; 4).
B I (2; 0; 8).
C I (2; −2; −1).
D I (−2; 2; 1).
..........................................................................................
..........................................................................................
Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590
h https://fb.com/toanthayhoangblue
- Xem thêm -