UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
------------------------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 8
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
A. ĐỀ BÀI
Bài 1. ( 2 điểm ):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x3(x2 - 7 )2 - 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh:
A= n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n.
Bài 2. ( 2 điểm ):
Cho biểu thức A =
1 x3
1 x2
x :
2
3
1 x
1 x x x
với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
2
3
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 3. ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004.
Tính : M =
2004a
b
c
.
ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1
Bài 4. (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB , BC. Gọi P giao điểm của AN với DM.
a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông.
b) Tính diện tích của tam giác APM
c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân.
Bài 5. ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 = y2 + 2y + 13.
----------------------------- HẾT ----------------------------
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
------------------------Bài
Đáp án
a) x (x - 7 ) - 36x = x[( x - 7x) - 36]
= x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x + 6 ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + 6 )
= x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)]
= x(x + 1 )(x2 - x - 6)(x - 1 )( x2 + x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 +3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 + 3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )]
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
b) Theo phần a ta có :
A = n3(n2 - 7 )2 - 36n
= n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 )
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp . Trong 7 số nguyên liên tiếp có :
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A ( 2.3.5.7 )
Hay A 210.
3
1
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8
2
2
3
Điểm
2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
a) Với x khác -1 và 1 thì :
2
A=
1 x3 x x2
(1 x )(1 x )
:
1 x
(1 x )(1 x x 2 ) x(1 x)
=
(1 x)(1 x x 2 x)
(1 x)(1 x )
:
1 x
(1 x )(1 2 x x 2 )
1
2
= (1 x ) :
= (1 x 2 )(1 x)
(1 x)
5 2
5
2
5
b) Tại x = 1 =
thì Acó giá trị là 1 ( ) 1 ( )
3
3
3
3
25
5
34 8 272
2
10
= (1 )(1 ) .
9 3
27
27
9
3
c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi (1 x )(1 x) 0 (1)
2
Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1
KL
Thay 2004 = abc vào M ta có :
3
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
a 2bc
b
c
M
2
ab a bc abc bc b abc ac c 1
a 2bc
b
c
ab(1 A
ac c) b(c
M1 ac ) acB c 1
1
1
ac
1
c
P
1 ac c c 1 ac ac c 1
ac c 1
1
Ic
N
1 ac
H
Vẽ hình đúng cho phần a
0,25
0,25
0,25
0,25
1
D
0,25
C
4
a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( cgc )
=>
0,75
A D
1
1
0,25
M
900 ( ∆ADM vuông tại A )
Mà D
1
1
900 => APM 900 .Hay ∆APM vuông tại P.
Do đó: A1 M
1
0,5
4 5
(cm)
5
2 5
AM =
(cm)
5
4
SAPM = (cm 2 )
5
b) Tính được : AP =
0, 5
0,25
c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H.
Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành
=> AN // CI mà AN DM nên CI DM
Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1)
Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H
là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C.
5
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12
Lập luận để có x + y + 1> x - y - 1 và x + y + 1; x - y - 1 là các ước
dương của 12 từ đó có các trường hợp :
x+y+1
x-y-1
12
1
x
13
2
9
2
y
6
2
4
1
4
3
7
2
1
2
Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1)
KL.
*Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
0,25
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (3 điểm)
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a, x 4 4
b,
x 2 x 3 x 4 x 5 24
a
b
c
a2
b2
c2
1 . Chứng minh rằng:
2. Cho
0
bc ca a b
b c ca a b
Câu 2: (2 điểm)
3
2
1. Tìm a,b sao cho f x ax bx 10x 4 chia hết cho đa thức
g x x 2 x 2
2. Tìm số nguyên a sao cho a 4 4 là số nguyên tố
Câu 3.( 3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
Kẻ ME AB, MF AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.(1,5 điểm)
Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
--------------------------HẾT--------------------------
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Câu
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Đáp án
1a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
1b. ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
4
4
2
Điểm
0,5
0,25
0,25
1
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
0,25
0,25
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
0,25
0,25
2. Nhân cả 2 vế của:
a
b
c
1
b c ca a b
với a + b + c
rút gọn đpcm
2
1. Ta có : g x x x 2= x 1 x 2 Vì
f x ax 3 bx 2 10x 4 chia hết cho đa thức
2
0,5
0,5
0,25
g x x 2 x 2
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
ax 3 bx 2 10x 4= x+2 . x-1 .q x
0,25
Với x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1
Với x=-2 2a-b+6=0 2
Thay (1) vào (2) . Ta có : a=2 và b=4
4
2
2
2. Ta có : a 4= a -2a+2 a +2a+2
0,25
0,25
0,25
Vì a Z a 2 -2a+2 Z ;a 2 +2a+2 Z
2
Có a 2 +2a+2= a+1 1 1 a
2
Và a 2 -2a+2= a-1 1 1 a
Vậy a 4 4 là số nguyên tố thì a 2 +2a+2=1 hoặc a 2 - 2a+2=1
Nếu a 2 -2a+2=1 a 1 thử lại thấy thoả mãn
Nếu a 2 +2a+2=1 a 1 thử lại thấy thoả mãn
0,25
0,25
0,25
0,25
a. Chứng minh:
3
AE FM DF
AED DFC đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm
0,5
0,5
1
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
ME MF a không đổi
S AEMF ME.MF lớn nhất
0,5
0,25
ME MF (AEMF là h.v)
0,25
M là trung điểm của BD.
(a
4
2001
+b
2001
).(a+ b) - (a
2000
+b
2000
2002
).ab = a
+b
2002
0,25
0,25
(a+ b) – ab = 1
0,25
(a – 1).(b – 1) = 0
0,25
a = 1 hoặc b = 1
0,25
Vì a = 1 => b
2000
=b
2001
=> b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
0,25
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
0,25
* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
-----------------HẾT-----------------UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;
b) ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6
Câu 2: (2,5 điểm)
2x
4 x2
2 x
x2 3x
Cho biểu thức : A (
2
):(
)
2 x
x 4 2x
2 x 2 x3
a)
Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b)
Tìm giá trị của x để A > 0?
c)
Tính giá trị của A trong trường hợp : |x – 7| = 4.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0.
a b c
x y z
x2 y2 z 2
0
b) Cho 1 và
. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 .
x y z
a b c
a
b
c
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E,
F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC.
Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?
Câu 5: (1 điểm)
Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
x
y
z
yz zx xy
--------------Hết ----------------
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Câu
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Đáp án
Điểm
= 3x2 – 6x – x + 2 = 3x(x – 2) – (x – 2)
0,25
= (x – 2)(3x – 1).
b) Đặt a = x2 – 2x
0.25
0.25
Thì x2 – 2x – 1 = a – 1
0.25
Do đó:( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = a2 – a – 6 = (a + 2) (a – 3)
0.25
Vậy: ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = (x + 1)(x – 3)(x2 – 2x + 2)
0.25
x 0
a) ĐKXĐ : x 2
x 3
0,25
(2 x) 2 4 x 2 (2 x) 2 x 2 (2 x)
4 x2 8x
x(2 x)
A
.
.
(2 x)(2 x)
x( x 3)
(2 x)(2 x) x 3
0,25
2
a) 3x – 7x + 2
Câu 1
(1.5 điểm)
Câu 2
(2.5 điểm)
4 x( x 2) x(2 x)
4 x2
(2 x)(2 x)( x 3) x 3
0,25
2
4x
Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A
.
x 3
2
b)Với x 0, x 3, x 2 : A 0
4x
0
x 3
x 30
0,25
0,25
x 3(TMDKXD )
0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,25
0,5
x 7 4
x 11(TMDKXD)
c) x 7 4
x 7 4
x 3( KTMDKXD)
Với x = 11 thì A =
121
2
0,25
Câu 3
a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(2.0 điểm)
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
0,25
9(x – 1)2 + (y – 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
0,25
Do : ( x 1) 2 0;( y 3) 2 0;( z 1) 2 0 Nên:(*) x = 1; y = 3;
0,25
z = -1
0,25
Vậy (x,y,z) = (1; 3; -1).
b)Từ:
a b c
ayz+bxz+cxy
0
0 ayz + bxz + cxy
x y z
xyz
0,25
=0
0,25
x y z
x y z
1 ( ) 2 1
Ta có :
a b c
a b c
2
2
2
x
y
z
cxy bxz ayz
2 2 2 2
1
abc
a
b
c
x2 y 2 z 2
2 2 2 1( dpcm)
a
b
c
0,25
0,25
- Hình vẽ
A
- Chứng minh: ACD BDC (c.g.c)
B
//
E
//
O
và ACD 600
ACD BDC
OCD là các tam giác đều.
=
0, 5
0, 5
0,25
0,25
G
X
F
-Trong OCD cân tại C có CF là trung tuyến
=
0,25
X
BFC vuông tại F
Câu 4
(3.0 điểm) - Xét BFC vuông tại F có:
D
C
0,25
1
2
BG = GC FG BC
0,25
0,25
1
- Chứng minh tương tự: EG BC
2
0,25
- Xét AOD có: AE = EO và DF = FO (gt)
1
1
EF là đường trung bình của AOD EF AD BC
2
2
- Suy ra EF = EG = FG nên EFG đều
Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c x + y + z =
x=
0,25
a bc
2
0,25
a b c
a bc
a b c
;y=
;z=
2
2
2
Câu 5
a b c a b c a b c
1
b c
a c
a b
(1.0 điểm) P =
= ( 1 1 1 )
2a
2b
2c
2
a
a
b
1
b a
c a
b c
3
( 3 ( ) ( ) ( ))
2
a b
a c
c b
2
3
Min P =
Khi và chỉ khi a = b = c x = y = z
2
=
Tổng
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
b
c
c
0,25
0,25
0,25
10,0
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y)
b) x2 – 12x + 35
c) x3 + 2x2 + 2x + 1
Bài 2: (1,5điểm) Thực hiện phép tính
a) (2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1)
x2
6
1
10 x 2
:
x
2
b) 3
x2
x 4 x 6 3x x 2
c) (1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2
Bài 3:( 2,0 điểm)
a) Cho a là một số tự nhiên và a > 1. Chứng minh rằng:
A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
2
4
8
1006
b) Tính B = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
c) Tìm dư khi chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a
b
c
a) Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức: M =
ab+a+1 bc b 1 ac c 1
a 2013 b2013 c 2013
3
3
3
b) Cho a +b +c 0 và a + b + c = 3abc. Tính N =
2013
a b c
Bài 5: (3,0 điểm)
= 900, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên
Cho hình thang ABCD có A D
AC; M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD.
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân.
b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh AQ vuông góc với DP
d) Chứng minh S ABCD 6S ABC
------------------H ẾT-----------------------
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài
Bài 1
(1,5 đ)
Bài 2
(1,5 đ)
Bài 3
(2,0 đ)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Đáp án
a) = (x – 3y)(x – 3y – 3)
b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5)
= (x – 5)(x – 7)
c) = x3 + 1 + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1)
= (x + 1)(x2 – x + 3)
a) Thực hiện phép chi theo cột dọc đúng
Kết quả (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1
x2
6
1
10 x 2
:
x
2
x x 2 4 3 2 x x 2
x2
2
b) x 2 x 2 x 2 : ( x 2)( x 2) 10 x
( x 2)( x 2)
x2
6
x2
1
1
.
( x 2)( x 2) 6
x 2 2 x
2
2
c) = (1- 3x + 3x + 4) = 5 = 25
a) Đặt x = a2 +a +1 a2 +a +2 = x +1
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3)
Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2)
Vì a N và a > 1 nên a là số tự nhiên. Ngoài ước là 1 và chính A, nó còn
có thêm 2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2)
Do đó A là hợp số
b) B 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 21006 1 1
Điểm
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,1
0,2
0,2
0,5
0,25
0,25
0,75
22 1 2 2 1 2 4 1 28 1 21006 1 1
24 1 2 4 1 28 1 21006 1 1
2
21006 1 1 2 2012
Bài 4
(2,0 đ)
c) Vì đa thức x2 – 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng
r(x) = ax + b.
Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có:
x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b
(1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x, với x = 1 ta có : a + b = 4 (2)
với x = 2 ta có : - a + b = -4 (3)
Từ (2) và (3) b = 0 và a = - 4
Vậy dư của phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 là: – 4x
c
b
a) Thay abc = 1 vào
, nhân cả tử và mẫu của
với a ta có:
ac c 1
bc b 1
a
ab
c
M
ab+a+1 a bc b 1 ac c abc
a
ab
1
ab+a+1
1
ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1
B) a3 + b3 + c3 = 3abc
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
a 3 b 3 c 3 3abc 0
a 3 b 3 3ab (a b ) c 3 3ab (a b ) 3abc 0
3
a b c3 3ab (a b c ) 0
0,25
(a b c)(a 2 2ab b 2 ac bc c 2 ) 3ab(a b c) 0
(a b c)(a 2 b 2 c 2 ab ac bc) 0
0,25
a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c 0)
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Vì (a – b)2 0 a, b; (b – c)2 0 b,c; (c – a)2 0 a, c.
Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 a, b,c ;
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 a, b,c
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
a=b=c
Mà a +b +c 0 a = b = c 0 (*)
a 2013 a 2013 a 2013
3a 2013
3a 2013
1
N
Thay (*) vào N ta có:
2013
2013
2013
27 a
9
a a a
3a
0,25
0,25
Hình vẽ
Bài 5
(3,0đ)
a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau
lại có A =900 nên ABMD là hình vuông.
+/ BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và
1
BM = DC BMD vuông tại B
2
lại có BDM
= 450 BMD vuông cân tại B
b) tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM
tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP
AQ DP
Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) S ABC S AMC
1
1
2
mà SAMC AD.MC AD
2
4
1
3
2
2
2
Lại có S ABCD S ABMD S BCM AD AD AD
2
2
2
3
AD
S ABCD
2
6 S ABCD 6S ABC
1
S ABC
AD 2
4
Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho đủ điểm
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8
Thời gian: 120’
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
I. Đề bài:
Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2 - (a+b) xy + aby2
b) a2- b2 – 2a + 1
c) a3 – 19a + 30
Bài tập 2:
a) Tìm a,b,c sao cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3
b) cho a + b + c = 2012
Chứng minh rằng :
a 3 b 3 c 3 3abc
= 2012
a 2 b2 c 2 ab ac bc
Bài tập3:
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị của biến
x2
x 2
8
4
2
):
2x 4 2x 4 x 2 x 2
2013
2013
2013
Q=
1 x xy 1 y yz 1 z zx
P= (
b) Cho
Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME AB; MF
AD.Chứng minh
a) CF = DE; CF DE
b) CM = FE ; CM FE
c) CM,BF,DE đồng qui.
III.Đáp án:
Bài tập
Đáp án
2
2
Bài 1
a) = x – a xy – bxy – aby
(2,5điểm)
= x(x-by) – ay( x-by)
= ( x- ay)(x – by)
b) = (a2 – 2a + 1) – b2
= ( a – 1)2 – b2
= ( a -1- b)( a – 1 + b)
c)= a3-4a -15a -30
= a(a2-4)-(15a-30)
= a(a-2)(a+2)-15(a-2)
= (a-2) (a2-2a-15)
= (a-2)( a2+3a-5a-15a)
= (a-2)(a+3)(a-5)
Bài 2
a) = x4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d)
(1,5điểm)
= (x3-9x2+27x-27)(x+d)
= x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d
cân bằng hệ số ta có
d-9=0 d=9
-27d = c c=-243
27d-27=b b=216
27-9d=a a=-54
Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x4+a x2+bx+c chia hết cho
(x-3)3
b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2
a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
= (a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
2
2
= (a+b+c)(a +b +c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc)
Vậy
a 3 b3 c 3 3abc
(a b c)(a 2 b 2 c 2 ab ac bc )
=
a 2 b 2 c 2 ab ac bc
a 2 b 2 c 2 ab ac bc
điểm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
025đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
= a+b+c = 2013
Bài 3
(2điểm)
( x 2) 2 ( x 2) 2 16 4
8 x 16
4
:
:
2( x 2)( x 2)
x 2 2( x 2)( x 2) x 2
a) P=
4
4
:
1
x 2 x 2
2013
2013
2013
b) Q =
1 x xy 1 y yz 1 z zx
z
xz
1
= 2013(
)
2
z xz xyz xz xyz z xy 1 z xz
z
xz
1
= 2013(
) = 2013
z xz 1 xz 1 z 1 z xz
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(4 điểm)
A
F
N
I
D
G
E
0,5 đ
B
M
C
a) AEMF là hình chữ nhật AF=EM
EBM cân tại E vì EBM
= 450 EB =EM
AF= EB mà AB = AD AE=FD
ADE = DCF (c,g,c) FC=DE và AED = CFD
mà AED + ADE =900 CFD
+ ADE =900
=900 CF DE
FID
b) MEF = GMC(c.g.c) CM = FE và EFM
= MCG
ta lại có MFC
= FCD
(so le trong)
mà FCD + FCM + MCG =900 EFM
+ MFC
+ FCM
=900
=900 CM FE
CNF
c)Xét EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao
thứ 3 n ên CM,BF,DE đồng qui.
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu1 (3,0 điểm):
x2 x 2
x 2 5x 6
a- Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A.
b- Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
1) Cho biểu thức: A
2) Giải phương trình:
x 3 x 1
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14
Tính giá trị của biểu thức B = a4 + b4 + c4
b) Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1
Câui3 (1,0 điểm)
Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức:
P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 là bình phương của 1 số nguyên.
Câu 4 (1,0 điểm):
Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM. Gọi N là trung điểm của AM, BN cắt
cạnh AC tại E, CN cắt cạnh AB tại F. Tính diện tích tứ giác AFNE theo S.
Câu 5 (3,0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tuỳ ý cắt BD, BC, CD lần lượt tại E,
K, G. Chứng minh:
a) AE 2 EK .EG
1
1
1
b)
AE AK AG
c) Khi đường thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
............................... HẾT.................................
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Yêu cầu nội dung
Ý
Câu
1a
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
a- ĐKXĐ:
x 2 5 x 6 0 x 2 x 3 0 x 2; x 3
Điểm
0,25 đ
2
A
x x 2 x 1 x 2 x 1
x 2 5 x 6 x 2 x 3 x 3
x 1
4
1
x 3
x 3
4
Để A nguyên thì
nguyên hay x+3 Ư(4)
x 3
Suy ra:
x+3
-4
-2
-1
1
2
4
x
-7
-5
-4
-2
-1
1
Vì ĐKXĐ: x -2
Vậy x nhận các giá trị: -7;-5;-4;-1;1
A
Câu1
3,0đ
1b
0,75 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
2
* Xét khoảng x 0 phương trình đã cho trở thành:
x 3 x 1 (1)
Với x 3 pt (1) trở thành: x-3=x+1, vô nghiệm
0,25đ
Với 0 x 3 pt (1) có nghiệm x=1 thuộc khoảng đang xét
0,25đ
* Xét khoảng x< 0 pt đã cho trở thành: x 3 x 1 (2)
Với 3 x 0 pt (2) có dạng: x+3= x+1, vô nghiệm
0,25đ
Với x 3 pt (2) có nghiệm x=-2 (không thuộc khoảng
đang xét)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1
Câu2
2đ
a
0,25 đ
2
Ta có: 14 2 a 2 b 2 c 2
196 a 4 b 4 c 4 2a 2 b 2 2a 2 c 2 2c 2 b 2
a 4 b 4 c 4 196 2 a 2 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2
Lại có: a+ b+ c = 0 a b c 2 0
a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc 0 ab ac bc 7
2
ab ac bc 49
a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 2ab 2 c 2bc 2 a 2ca 2 b 49
a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 2abc(a b c ) 49
0,25 đ
0,5đ
Do đó : a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 49
B = a4+ b4+ c4 = 196-2.49 = 98
0,25 đ
n 5 1 n3 1 n 2 n 3 1 n 2 1 n 3 1
2
n 1 n 1 n 1 n n 1
0,5 đ
2
n 1 n n 1 (vì n 1 0 )
b
Nếu n=1 thì được 0 chia hết cho 1
Nếu n> 1thì n-1< n(n-1)+1=n2-n+1 nên (n-1) không thể
chia hết cho n2-n+1
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1
P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1
= (a 2 5a 4)(a 2 5a 6) 1
Đặt a 2 5a 4 x ta có:
P = x( x+ 2)+1= x 2 + 2x + 1= (x + 1) 2 . Thay a
2
2
5a 4 x ta được P = ( a 5a 5) 2 Vì a là số
nguyên nên ( a 2 5a 5) 2 là số nguyên, do đó
p =( a 2 5a 5) 2 là bình phương của một số nguyên.
Suy ra điều phải chứng minh.
Câu3
1,0 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
A
E
F
N
K
Câu4
1đ
B
C
M
Vẽ MK//CF
BK KF FA
S AKM 4 S AFN ; S BKM 2S AFN
Câu5
3đ
0,25 đ
0,25 đ
S
S
S AFN
2
12
S
S
S AFNE
12
6
S ABM 6 S AFN mà S ABM
0,25 đ
Tương tự có: S ANE
0,25 đ
A
B
E
K
G
D
C
Do BK//AD, nên
EK BE
(1)
AE ED
Do AB//DG, nên
AE BE
(2)
EG ED
0,5 đ
0,25 đ
EK AE
AE 2 EK .EG
AE EG
AE DE
AE DE
Ta có:
(3)
EK EB
AK DB
Từ (1)(2)
Tương tự:
AE BE
(4)
AG BD
0,25đ
0,25 đ
0,5 đ
Công từng vế của (3) và (4) ta có:
AE AE DE BE BD
1
1
1
1 hay
AE AK AG
AK AG DB BD BD
BK
a
KC CG
Đặt AB=a; AD=b thì:
và
KC CG
b
DG
Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên, ta được:
BK
a
BK .DG ab có giá trị không đổi
b
DG
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
…………………HẾT…………………
Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.0 Điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 2 7 x 6
b) a(x2 +1) – x(a2 + 1)
c) x – 1 + xn + 3- xn
Bài 2: (3,0 Điểm)
1. Cho đa thức f(x) = 2x3 – 3ax2 +2x + b
Xác định a và b để f(x) chia hết cho x – 1 và x + 2
2. So sánh A và B biết:
2
2
4
8
16
A 5 32 1 và B (5 4.5 1)(5 1)(5 1)(5 1)(5 1)
3. Cho a, b, c là các số thỏa mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
a
b
c
A
1 a ab 1 b bc 1 c ac
Bài 3: (1,5 Điểm) Thực hiện phép tính:
2 xy
x y 2x
y
a) x 2 y 2 2 x 2 y . x y y x
1 5 x 2 15 x
2
2
. 2
x 2 x 3x 2 x 5 x 2
b)
Bài 4: (2,5 Điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của BA lấy một điểm E, trên tia đối của CB lấy một
điểm F sao cho AE = CF.
1) Chứng minh tam giác DEF vuông cân.
2) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD, gọi I là trung
điểm của EF
Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 5: (1,0 Điểm) Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của
đa giác bằng 5040 . Hỏi đa giác có mấy cạnh
--------------- HẾT ---------------
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Câu
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Đáp án
a/=x + 6x + x +6 = (x + 6)( x + 1)
b/=ax2 + a – a2x – x
=ax(x – a) – (x – a)
= (x – a)(ax - 1)
c/ = (x – 1) + (x3 – 1)(xn)
= (x – 1) 1 ( x 2 x 1) x n
= (x – 1)(1 + xn + xn+2 + xn+1)
1/ Để f(x) chia hết cho 2 đa thức x – 1 và x + 2 ta có
f(x) = (x – 1)(x + 2). Q(x)
+ Với x = 1 => 2 – 3a + 2 + b = 0 => b = 3a (1)
+ Với x = 2 => -1b -12a – 4 + b = 0 => b = 12a + 20 (2)
2
1
+ Kết hợp (1) và (2) ta có a =
2
20
20
;b=
9
3
2/ ta có A = (516 – 1)(516 + 1) = …
= 24(52 +1)(54 +1)(58 + 1)(516 + 1)
Do 24 > 6 => A > B
3/ Thay abc = 1 vào biểu thức A ta có
Điểm
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
a
b
bc
abc a ab 1 b bc b bc abc
1
b
bc
1
=
bc b 1 bc b 1 bc b 1
2 xy
x y 2x
y
.
a / 2
2
2x 2 y x y y x
x y
A=
0,5đ
2
2 xy.2 x y 2 x
y
2
2
x y y x
2x y
2 x x y
y
x y
1
2
2 x y x y x y x y
0,25đ
2
3
0,5đ
2
5 x( x 3)
1
. 2
b /
x 2 x( x 3) 2 x 5 x 2
2 x( x 3) ( x 2)
5 x( x 3)
.
x( x 2)( x 3) ( x 2)( x 1 )
2
2
2 x 5x 2
5 x( x 3)
5
. 2
x( x 2)( x 3) 2 x 5 x 2 x 2
E
4
0,25đ
0,5đ
I
B
C
F
O
A
D
-Vẽ hình đảm bảo
a/ Chứng minh DEF vuông cân
ADF = CDF (c.g.c) => DE = DF (1)
0,25đ
0,5đ
- Xem thêm -