Tài liệu Phương pháp nhiễu giải phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* PHÙNG THỊ HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* PHÙNG THỊ HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI – 2018 LÍI CƒM ÌN º ho n th nh khâa luªn n y, em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n PGS.TS. Khu§t V«n Ninh - Ng÷íi trüc ti¸p tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o v  ành h÷îng cho em trong suèt qu¡ tr¼nh em l m b i khâa luªn cõa m¼nh. çng thíi em công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong tê Gi£i t½ch v  c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, Ban chõ nhi»m khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh tèt b i khâa luªn n y º câ k¸t qu£ nh÷ ng y hæm nay. M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  kinh nghi»m b£n th¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡c b¤n sinh vi¶n v  b¤n åc. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018 T¡c gi£ khâa luªn Phòng Thà H÷ìng LÍI CAM OAN Em xin cam oan Khâa luªn n y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng em d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y PGS.TS. Khu§t V«n Ninh . Trong khi nghi¶n cùu, ho n th nh b£n khâa luªn n y em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o. Em xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i:  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Ph÷ìng ph¡p nhi¹u gi£i  l  k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu v  né lüc håc tªp cõa b£n th¥n, khæng tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c. N¸u sai em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m. H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018 T¡c gi£ khâa luªn Phòng Thà H÷ìng Möc löc MÐ †U 1 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 3 1.1 1.2 Mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng . . . 3 1.1.1 Mët sè kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¢ bi¸t c¡ch gi£i . 4 1.1.3 B i to¡n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chuéi lôy thøa 1.2.1 ành ngh¾a chuéi lôy thøa v  b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa 1.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ành lþ khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa . . 9 2 PH×ÌNG PHP NHI™U GIƒI PH×ÌNG TRœNH VI PH…N 10 2.1 Þ t÷ðng d¨n ¸n ph÷ìng ph¡p nhi¹u . . . . . . . . . . 10 2.2 Ph÷ìng ph¡p nhi¹u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Ph÷ìng ph¡p nhi¹u ký dà . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Ph÷ìng ph¡p lîp bi¶n 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . K˜T LUŠN 48 ii PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc T€I LI›U THAM KHƒO 50 iii PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc LÍI NÂI †U 1. Lþ do chån · t i Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n l  mët chuy¶n ng nh quan trång cõa To¡n håc v  câ r§t nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc khoa håc, cæng ngh», nâ cán ÷ñc coi nh÷ l  c¦u nèi giúa lþ thuy¸t v  ùng döng. V¼ vªy, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n l  mæn håc ÷ñc gi£ng d¤y rëng r¢i ð c¡c tr÷íng ¤i håc trong v  ngo i n÷îc. Chóng ta bi¸t r¬ng ch¿ câ mët sè ½t c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n l  câ thº t¼m ÷ñc nghi»m ch½nh x¡c, trong khi â ph¦n lîn c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n n£y sinh tø c¡c b i to¡n thüc ti¹n ·u khæng t¼m ÷ñc nghi»m ch½nh x¡c. Do vªy, mët v§n · °t ra l  t¼m c¡ch º x¡c ành nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. Xu§t ph¡t tø nhu c¦u â, c¡c nh  to¡n håc ¢ t¼m ra nhi·u ph÷ìng ph¡p º gi£i g¦n óng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. Vîi mong muèn t¼m hiºu v  nghi¶n cùu s¥u hìn v§n · n y, d÷îi PGS.TS. Khu§t V«n Ninh Ph÷ìng ph¡p nhi¹u º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n sü h÷îng d¨n cõa t i:  em ¢ nghi¶n cùu ·  º thüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p cõa m¼nh. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Khâa luªn nghi¶n cùu v· c¡c ph÷ìng ph¡p nhi¹u º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. 3. èi t÷ñng nghi¶n cùu Ph÷ìng ph¡p nhi¹u, ph÷ìng ph¡p nhi¹u ký dà v  ph÷ìng ph¡p lîp bi¶n gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. 1 PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu + Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu lþ luªn. + Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu têng k¸t t i li»u. 5. C§u tróc · t i Khâa luªn ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng Ch÷ìng 1.Ki¸n thùc chu©n bà. Ch÷ìng n y nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, kh¡i ni»m chuéi lôy thøa, b¡n k½nh hëi tö v  ành lþ khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa. Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p nhi¹u gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l  giîi thi»u v· c¡c ph÷ìng ph¡p nhi¹u º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n v  mët sè v½ dö ¡p döng. H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018 T¡c gi£ khâa luªn Phòng Thà H÷ìng 2 Ch÷ìng 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, kh¡i ni»m chuéi lôy thøa, b¡n k½nh hëi tö v  ành lþ khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1],[2]. 1.1 Mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng 1.1.1 Mët sè kh¡i ni»m - Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n bªc mët câ d¤ng têng qu¡t: F (x, y, y 0 ) = 0 trong â h m F N¸u trong mi·n x¡c ành trong mi·n D, (1.1) D ⊂ R3 . tø ph÷ìng tr¼nh (1.1) ta câ thº gi£i ÷ñc y 0 = f (x, y) 3 y0: (1.2) PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc th¼ ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët ¢ gi£i ra ¤o h m. ành ngh¾a 1.1. kho£ng i. I = (a, b) 0 x¡c ành v  kh£ vi tr¶n ÷ñc gåi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) n¸u (x, ϕ(x), ϕ0 (x)) ∈ D ii.F (x, ϕ(x), ϕ y = ϕ(x) H m sè vîi måi (x)) ≡ 0 I. tr¶n - Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n bªc x∈I n câ d¤ng têng qu¡t: F (x, y, y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0 H m F x¡c ành trong mët mi·n (1.3) G n o §y cõa khæng gian Rn+2 . Trong ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ thº v­ng m°t mët sè trong c¡c bi¸n x, y, y 0 , ..., y (n−1) nh÷ng y (n) nh§t thi¸t ph£i câ m°t. N¸u tø (1.3) ta gi£i ra ÷ñc ¤o h m c§p cao nh§t, tùc l  ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ d¤ng y (n) = f (x, y, y 0 , y 00 , ..., y (n−1) ) (1.4) th¼ ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n ¢ gi£i ra èi vîi ¤o h m c§p cao nh§t. ành ngh¾a 1.2. Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.3) l  h m y = ϕ(x) kh£ vi n l¦n tr¶n kho£ng (a,b) sao cho i. 0 (x, ϕ(x), ϕ (x), ..., ϕ(n) (x)) ∈ G, ∀x ∈ (a, b) ii. Nâ nghi»m óng ph÷ìng t¼nh (1.3) tr¶n (a,b). 1.1.2 Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¢ bi¸t c¡ch gi£i a. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n bi¸n sè ph¥n ly 4 PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc â l  ph÷ìng tr¼nh d¤ng X(x)dx + Y (y)dy = 0 Ð ¥y h» sè cõa dx (1.5) l  h m ch¿ phö thuëc bi¸n x, h» sè cõa ch¿ phö thuëc bi¸n y. Ta s³ gi£ thi¸t r¬ng c¡c h m X, Y dy l  h m li¶n töc trong mi·n x¡c ành cõa chóng. Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.5) vi¸t d÷îi d¤ng Z Z d[ X(x)dx + Y (y)dy] = 0 Do â Z Z X(x)dx + Y (y)dy = C (1.6) Biºu thùc (1.6) cho ta t½ch ph¥n têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5). b. Ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t â l  ph÷ìng tr¼nh d¤ng M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 trong â M (x, y), N (x, y) (1.7) l  nhúng h m thu¦n nh§t còng bªc. + Ph÷ìng ph¡p gi£i ÷a ph÷ìng tr¼nh (1.7) v· ph÷ìng tr¼nh bi¸n sè ph¥n ly b¬ng c¡ch °t y = zx (trong â z = z(x) l  h m sè mîi c¦n t¼m). c. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p mët â l  ph÷ìng tr¼nh d¤ng y 0 + p(x)y = q(x) 5 (1.8) PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc trong â p(x), q(x) li¶n töc tr¶n kho£ng (a,b) n o â. + Ph÷ìng ph¡p gi£i º t¼m ÷ñc nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.8), tr÷îc h¸t ta x²t ph÷ìng tr¼nh y 0 + p(x)y = 0 (1.9) (1.9) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng vîi (1.8). Ta vi¸t l¤i (1.9) d÷îi d¤ng dy + p(x)ydx = 0 Gi£ sû y 6= 0. (1.10) Chia c£ hai v¸ cõa (1.10) cho y: dy + p(x)dx = 0 y (1.11) T½ch ph¥n ph÷ìng tr¼nh (1.11) ta ÷ñc y = Ce− Nhªn th§y y≡0 R p(x)dx , (C 6= 0) (1.12) công l  nghi»m cõa (1.9). Nghi»m n y câ thº nhªn ÷ñc tø (1.12) n¸u trong biºu thùc (1.12) ta l§y c£ gi¡ trà C=0 Vªy nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (1.9) câ d¤ng y = Ce− R p(x)dx ,C ∈ R (1.13) º t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (1.8) ta ¡p döng ph÷ìng ph¡p ÷ñc gåi l  ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè nh÷ sau: Trong biºu thùc (1.13) ta coi 6 C khæng ph£i h¬ng sè m  l  PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc mët h m cõa x : C = C(x) v  t¼m c¡ch chån − y = C(x)e R C(x) sao cho biºu thùc p(x)dx (1.14) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.8). Thay (1.14) v  (1.8) sau â gi£ ra ta s³ t¼m ÷ñc C(x). Thay C(x) vøa t¼m ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (1.14) v o (1.13) ta ÷ñc nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (1.8): − y(x) = e R p(x)dx Z [C + (q(x)e R p(x)dx )dx] d. Ph÷ìng tr¼nh Becnulli â l  ph÷ìng tr¼nh d¤ng y 0 + p(x).y = q(x).y α trong â p(x), q(x) (1.15) l  nhúng h m li¶n töc tr¶n kho£ng (a,b) n o â + α=1 th¼ (1.15) l  ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t c§p mët. + α=0 th¼ (1.15) l  ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t c§p mët. + α 6= 0, α 6= 1 z = y 1−α th¼ ta chia c£ hai v¸ cõa (1.15) cho yα sau â °t v  ÷a v· ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t. 7 PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc 1.1.3 B i to¡n Cauchy Gi£ sû iºm ban ¦u (x0 , y0 , y0 0 , ..., y0 (n−1) ) ∈ D ⊂ Rn+1 X²t b i to¡n:   y (n) = f x, y, y 0 , ..., y (n−1)
, x, y, y 0 , ..., y (n−1)
∈ D ⊂ Rn+1 (n−1)  y (x ) = y , y 0 (x ) = y 0 , ..., y (n−1) (x ) = y (1.16) 0 trong â f 0 0 0 0 l  h m x¡c ành tr¶n mi·n 0 D ⊂ Rn+1 . Gåi l  b i to¡n Cauchy hay b i to¡n ban ¦u. i·u ki»n (1.16) gåi l  i·u ki»n ban ¦u. 1.2 Chuéi lôy thøa 1.2.1 ành ngh¾a chuéi lôy thøa v  b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa ành lþ 1.1. Chuéi lôy thøa l  mët h m d¤ng +∞ X an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + ... (1.17) n=0 Khi â tçn t¤i mët sè R (0 ≤ R ≤ +∞) + Chuéi (1.17) hëi tö trong kho£ng méi o¤n + T¤i måi [r, r] x vîi m  ành ngh¾a 1.3. sao cho (−R, R) v  hëi tö ·u tr¶n 0 R Sè thüc chuéi (1.17) ph¥n ký. R>0 cõa chuéi lôy thøa cán kho£ng nâi tr¶n ÷ñc gåi l  b¡n k½nh hëi tö (−R, R) ÷ñc gåi l  kho£ng hëi tö cõa 8 PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc chuéi lôy thøa. 1.2.2 ành lþ khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa ành lþ 1.2. Gi£ sû chuéi lôy thøa +∞ X an (x − x0 )n câ b¡n k½nh hëi n=0 tö R>0 v  +∞ X f (x) = an (x − x0 )n ; x ∈ (x0 − R, x0 + R). Khi â n=0 (x0 − R, x0 + R). a. f b. f (n) (x0 ) , ∀n = 0, 1, 2, ... an = n! v  +∞ (n) X f (x0 ) f (x) = (x − x0 ), ∀x ∈ (x0 − R, X0 + R). n! n=0 l  h m kh£ vi væ h¤n trong ành lþ 1.3. Gi£ sû f l  h m câ ¤o h m måi c§p trong mët l¥n cªn n o â cõa x0 . Kþ hi»u: Rn (x) l  ph¦n d÷ d¤ng Lagrange cõa cæng thùc Taylor: f (n+1) (x0 ) + θ(x − x0 ) Rn (x) = (x − x0 )n+1 (n + 1)! Khi â n¸u l¥n cªn cõa iºm x0 : lim Rn (x) = 0 n→∞ khai triºn ÷ñc th nh chuéi Taylor t¤i iºm th¼ h m f (x) câ thº x0 . ành lþ 1.4. N¸u trong mët δ l¥n cªn (x0 −δ, x0 +δ) cõa iºm x0 h m sè f câ ¤o h m måi c§p f (n) (n=1,2,...) v  tçn t¤i mët sè M >0 º sao cho: f (n) (x) ≤ M (n = 1, 2, ..), vîi måi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) khai triºn ÷ñc th nh chuéi Taylor t¤i 9 x0 . th¼ h m f câ thº Ch÷ìng 2 PH×ÌNG PHP NHI™U GIƒI PH×ÌNG TRœNH VI PH…N Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p nhi¹u º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ chùa tham sè nhä ε bao gçm: ph÷ìng ph¡p nhi¹u, ph÷ìng ph¡p nhi¹u ký dà v  ph÷ìng ph¡p lîp bi¶n, còng vîi mët sè v½ dö cho tøng ph÷ìng ph¡p. Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [3],[4]. 2.1 Þ t÷ðng d¨n ¸n ph÷ìng ph¡p nhi¹u Ta x²t hai v½ dö sau ¥y V½ dö 2.1.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh y 00 + εy 0 = 1, y(0) = 0, y 0 (0) = 0 Líi gi£i. 10 (2.1) PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc °t z = y0. Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.1) trð th nh z 0 + εz = 1 z 0 = 1 − εz dz = 1 − εz dx dz = (1 − εz)dx T½ch ph¥n hai v¸ ta câ ln |1 − εz| = −εx − εC1 Tø ¥y suy ra z= Thay z = y0 1 − e−εx−εC1 ε ta ÷ñc 1 − e−εx−εC1 y = ε 0 Ti¸p töc t½ch ph¥n hai v¸ ta câ y= Vîi i·u ki»n ban ¦u εx + e−εx−εC1 + C2 ε2 y(0) = 0, y 0 (0) = 0 suy ra Vªy nghi»m cõa b i to¡n ¢ cho l  y(x) = e−εx + εx − 1 ε2 Nghi»m n y ÷ñc minh håa ð H¼nh 1. 11 C1 = 0, C2 = −1 ε2 PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc H¼nh 1. ç thà nghi»m ch½nh x¡c y(x) ùng vîi c¡c gi¡ trà kh¡c nhau cõa Quan s¡t H¼nh 1 ta th§y r¬ng mët sü thay êi nhä cõa tham sè ε câ g¥y ra mët ë l»ch nhä cõa nghi»m. V½ dö 2.1.2. εy 00 − y 0 = 1, y(0) = 0, y 0 (1) = 0 Nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n l  y= 1 − εx − e−εx ε2 Nghi»m n y ÷ñc minh håa ð H¼nh 2. 12 (2.2) ε. PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc H¼nh 2. ç thà nghi»m ch½nh x¡c y(x) ùng vîi c¡c gi¡ trà kh¡c nhau cõa Ð ¥y, ta èi chi¸u vîi v½ dö tr÷îc th¼ câ thº th§y r¬ng mët sü thay êi nhä cõa tham sè iºm ε d¨n ¸n sü thay êi ë l»ch lîn cõa nghi»m t¤i x = 1. Tø ¥y, ta ÷a ra mët sè nhªn x²t sau Tham sè ε xu§t hi»n ð hai v½ dö tr¶n ÷ñc gåi l  tham sè nhi¹u v  nâ câ £nh h÷ðng ¸n nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u. V¼ vªy, düa tr¶n sü thay êi â ng÷íi ta ph¥n th nh hai lo¤i b i to¡n nh÷ sau 1. B i to¡n nhi¹u 2. B i to¡n nhi¹u ký dà. Trong â b i to¡n nhi¹u · cªp ¸n nhúng b i to¡n m  sü thay êi nhä cõa tham sè nhi¹u g¥y ra sü thay êi nhä cõa nghi»m cán b i to¡n nhi¹u ký dà th¼ · cªp ¸n nhúng b i to¡n m  sü thay êi nhä 13 ε. PHÒNG THÀ H×ÌNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc cõa tham sè nhi¹u l¤i g¥y ra sü thay êi lîn cõa nghi»m. V  ð hai b i to¡n nhi¹u tr¶n ta th§y r¬ng d¹ d ng câ thº t¼m ra ÷ñc nghi»m ch½nh x¡c cõa nâ, nh÷ng èi vîi nhúng b i to¡n phùc t¤p hìn th¼ vi»c t¼m ra nghi»m ch½nh x¡c trð n¶n khâ kh«n. Vªy º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n nh÷ vªy th¼ ta t¼m hiºu mët sè ph÷ìng ph¡p sau. 2.2 Ph÷ìng ph¡p nhi¹u X²t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n y (n) = f (ε, x, y 0 , ..., y (n−1) ) (2.3) Ph÷ìng tr¼nh (2.3) l  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n câ chùa tham sè Trong â (n−1) y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , ..., y (n−1) (x0 ) = y0 Ph÷ìng ph¡p gi£i B÷îc (i). Ph¥n t½ch y(x) ε. . th nh mët chuéi lôy thøa cõa ε. Tùc l  y(x) = yo (x) + εy1 (x) + ε2 y2 (x) + ... v  gi£ sû nâ l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho, ð â B÷îc (ii). B÷îc (iii). Th¸ yo (x), y1 (x), ... y(x) ¢ x¡c ành. v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u. Mð rëng c¡c ph÷ìng tr¼nh nh÷ mët chuéi lôy thøa cõa c¥n b¬ng c¡c h» sè câ còng sè mô cõa vi ph¥n kh¡c nhau cho ε, ε. Sau â gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh yo (x), y1 (x), ... º hiºu hìn v· c¡c b÷îc l m tr¶n ta xem x²t mët sè v½ dö sau. V½ dö 2.2.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh y 00 + εy 2 = 0, y(0) = 1, y 0 (1) = 0 14 (2.4)