Tài liệu Phương pháp sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học bộ môn hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT 4 THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY TRONG DẠY VÀ HỌC BỘ MÔN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Hà Thị Thu Hồng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 201 0 A. ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. Lời nói đầu: Sơ đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy, là con đường dễ nhất để chuyển tải thông tin vào bộ não rồi đưa thông tin ra ngoài bộ não. Đồng thời là một phương tiện ghi chép đầy sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó: “Sắp xếp” ý nghĩ. Sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học mang lại hiệu quả cao, phát triển tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, học sinh hiểu bài, nhớ lâu, thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lòng, học vẹt. Phù hợp với tâm sinh lí học sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ lí thuyết bằng ghi nhớ dưới dạng sơ đồ hóa kiến thức. Trong chương trình toán THPT, “Hình học không gian” được giới thiệu trong SGK lớp 9 và được giải quyết hoàn thiện trong chương trình SGK hình học 11. Môn học này là một trong những môn học khó nhất đối với học sinh THPT bởi tính trừu tượng của nó. Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản của bộ môn hình học không gian đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài “Phương pháp sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học bộ môn hình học không gian lớp 11”. 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: “Hình học không gian” là một môn học được SGK hình học 11 giới thiệu đầy đủ từ định nghĩa, tính chất và ứng dụng trong giải toán, ứng dụng trong thực tiễn. Đây là một môn học khó do đối tượng nghiên cứu của nó là các hình, các vật, các khối trong thực tiễn cuộc sống (không gian ba chiều) nhưng học sinh lại phải thể hiện được các hình, các vật, các khối, … trên mặt phẳng giấy(hình học phẳng). Học sinh phải nắm vững và hiểu sâu sắc để đưa vấn đề thực tiễn vào lí thuyết và phải biết vận dụng lí thuyết ra thực tiễn cuộc sống. Đây cũng là một 1 môn quan trọng đối với học sinh THPT bởi nó có tính thực tiễn cao và trong các đề thi đại học cao đẳng, hình học không gian là bài toán luôn có mặt. Vậy vấn đề đặt ra là:  Cần giúp học sinh tiếp cận, hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các tính chất và khái niệm cơ bản của hình học không gian.  Giúp học sinh biết vận dụng các khái niệm và tính chất cơ bản trong giải toán.  Học sinh biết liên hệ các kiến thức đã học với thực tiễn cuộc sống. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1. Giải pháp thực hiện: Để giải quyết vấn đề đó, tôi đề xuất ý tưởng sau :  Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm sau mỗi buổi học từ đó khắc sâu được kiến thức.  Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh nghiệm giải toán. Qua đó tự tìm ra thuật giải cho các bài toán khác nhau.  Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực tiễn cuộc sống. 2. Các biện pháp thực hiện:  Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đúc rút ra các khái niệm cơ bản và tính chất cơ bản. 2  Rút ra hệ thống sơ đồ tư duy của lí thuyết và bài tập.  Thực nghiệm sử dụng lí thuyết để giải toán.  Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ của các hình trong thực tiễn. PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 1. Nắm vững các đối tượng cơ bản của hình không gian: Đối tượng nghiên cứu cơ bản của hình không gian là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. 2. Nắm vững quy tắc vẽ hình không gian: (4 quy tắc) 3. Nắm vững một số hình biểu diễn của các hình trong không gian:  Tam giác thường, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông đều được biểu diễn bởi một tam giác có hình dạng bất kì. A A B C B A C B  ABC  ABC vuông tại A A C B C  ABC cân tại A  ABC đều  Hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều được biểu diễn bởi một hình bình hành. Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi  Hình thang, hình thang vuông, hình thang cân đều được biểu diễn bởi một hình thang (chú ý về tỉ lệ của hai đáy nếu có). 3 Hình thang Hình thang vuông Hình thang cân  Đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip 4. Nắm vững các quan hệ được vẽ đúng trong hình học không gian:  Quan hệ thuộc: điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.  Quan hệ song song.  Quan hệ giao.  Tỉ số giữa hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song . PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH HỆ THỐNG ĐƯỢC KIẾN THỨC VÀ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN QUA HỆ THỐNG SƠ ĐỒ TƯ DUY Khi giải một bài toán hình học không gian, học sinh cần thực hiện qua các bước cần thiết sau: đọc kĩ đề bài, phân tích giả thuyết của bài toán, vẽ hình đúng, đặc biệt cần xác định thêm các yếu tố khác: điểm phụ, đường phụ, mặt phẳng phụ (nếu cần) để phục vụ cho quá trình giải toán. Trong hệ thống lí thuyết và bài tập của hình học không gian, cũng như trong thực tiễn cuộc sống ta có thể chia thành năm bài toán lớn như sau: Bài toán 1: “Tìm tương giao” bao gồm: giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường với mặt và giao tuyến của hai mặt phẳng. 4 Bài toán 2: “Quan hệ song song” bao gồm chứng minh và dựng hình: hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc” bao gồm chứng minh và dựng hình: hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc. Bài toán 4: “Bài toán về góc” bao gồm xác định và tính: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách” bao gồm xác định và tính: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong mỗi bài toán lớn sẽ có bao gồm nhiều bài toán nhỏ, đặc điểm nữa là nó không tập trung ở một chương, một bài, không được giải quyết đồng bộ một lúc mà nó nằm rải rác trải dài theo các chương và các bài khác nhau. Vậy để dạy tốt và học tốt thì vấn đề đặt ra là người giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh nắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài toán mấu chốt để các bài toán nhỏ khác có thể đưa về nó. Như vậy sẽ tạo nên tính lôgic cao và có hệ thống, giảm tải được các nội dung trong lí thuyết cơ bản, học sinh nhớ được trọng tâm của các bài toán lớn. Bài toán 1: “Tìm tương giao” Trong bài toán tương giao: giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của hai đường thẳng là mấu chốt cơ bản. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng và có một điểm chung duy nhất. Các tương giao khác đều có thể đưa được về tương giao cơ bản này.  Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết: Tìm giao điểm của hai đường thẳng Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 5 O a a b a  b=O Q b P B O P A  Tìm a  (P) Tìm 2 điểm chung A và B của  Tìm b  (P) (P) và (Q)  (P)  (Q) = AB b  a=O  Ta có a  (P) = O  Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán Ví dụ 1:(Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB. M là một điểm thuộc đoạn SD sao cho IM không song song với AD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với (ABCD) b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với (SAC) c) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với (SBC) d) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với (IJM) a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: IM AD = K S IM (ABCD)= K I A B M C D K 6 S b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: SO BM = P M P A B BM (SAC)= P O D C Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ học sinh khó mà tìm được đường thẳng nào trên mặt phẳng (SAC) có thể cắt được đường thẳng BM. Trong S trường hợp học sinh yếu, kém, giáo viên có thể khéo léo hướng dẫn học sinh tiếp cận với đường thẳng SO qua việc tìm giao điểm O của AC và BD. I c) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: M A B F IM SE = F IM (SBC)= F C D E 7 Với câu c) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng nào nằm trên (SBC) có thể cắt được đường thẳng IM. Giáo viên có thể khéo léo hướng dẫn học sinh tiếp cận với đường thẳng SE qua việcStìm giao điểm E của AD và BC. d) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: I SC FJ = H A SC (IJM)= H J M H B F C D E Trong câu d) việc chọn đường thẳng nằm trong mặt (IJM) cắt được SC cần dựa vào điểm phụ được phát hiện trong câu c là điểm F và đường thẳng cần tìm là FJ. Dựa vào hệ thống sơ đồ tư duy học sinh sẽ trình bày lại lời giải chi tiết và đầy đủ. Ví dụ 2: (Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng) 8 Trong mặt phẳng (  ) có tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm trênSmặt phẳng (  ). Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: a) (SAB) và (SCD) b) (SAC) và (SBD) c) (SEF) và (SAD) d) (SEF) và (SBC) B E B E B E A a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: SA SD = S C AB DC = E D (SAB) (SCD) = SE S b) Dự đoán sơ đồ tư duy của học sinh: A SA SD = S AC BD = F F C S D (SAC) (SBD) = SF A M c) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: F N D C 9 SF SA = S EF AD = N (SEF) (SAD) = SN SF SB = S BC EF = M (SEF) (SBC) = SM Trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng của đường thẳng với mặt phẳng có thể thay việc tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng bằng việc tìm một điểm chung của hai mặt phẳng bằng việc tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và sử dụng quan hệ song song (Được bổ xung trong chương II – quan hệ song song) theo nội dung của các định lí và hệ quả trong chương II – SGK hình học 11. Ví dụ 3: (Tìm giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng nhờ quan hệ song song) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ B thẳng DD’ và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. TìmAgiao điểm Q của đường với (MNP) C D M Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: x P Q A’ N B’ 10 D’ C’ Nx DD’ = Q (MNP) DD’= Q Trong đó Nx phát hiện được nhờ quan hệ song song. Trong (CDD’C’) kẻ Nx // MP. Ví dụ 4: (Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng nhờ quan hệ song song) Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và CD. (  ) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA. a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (  ) với các mặt phẳng (SAB) và (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (  ) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: S a) MN AB = M MxSB = Q () (SAB) =MQ x y A D P Q N O M C B Mx phát hiện nhờ quan hệ song song. 11 Trong (SAB) dựng Mx // SA. MN AC = O OySC = P () (SAC) =OP Oy phát hiện nhờ quan hệ song song. Trong (SAC) dựng Oy //SA b) () (SAB)=MQ () (SBC)=QP () (SCD)=PN () (ABCD)=MN Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi () là tứ giác MNPQ Bài toán 2: “Quan hệ song song” Bài toán “Quan hệ song song” được giới thiệu chủ yếu tập trung vào hai vấn đề là chứng minh quan hệ song song và dựa vào quan hệ song song để dựng hình. Trong bài toán “chứng minh quan hệ song song” thì chứng minh hai đường thẳng song song là mấu chốt cơ bản. Các bài toán chứng minh khác đều có thể đưa được về bài toán cơ bản này.  Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết: Chứng minh hai đường thẳng song song Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Chứng minh hai mặt phẳng song song 12 a a P a b O b b P a  ( )   b  ( )   a / / b a  b    b  ( P) b/ /a a  ( P)   Q     a / / ( P)   a  ( P)  b  ( P )   a  b  O   ( P ) / / (Q ) a / / (Q )   b / / (Q)  Để chứng minh đường thẳng a//b ta có thể sử dụng bốn cách chủ yếu sau: Cách 1: Tìm được một mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b. Sau đó áp dụng phương pháp chứng minh song song của hình học phẳng như tính chất đường trung bình trong tam giác, định lí ta lét đảo, … Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: a / / c  b / / c a / / b a b Cách 3: Sử dụng tính chất giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt: ( P )  (Q )  a  ( P )  ( R )  b    a / / b (hoặc b  a ) ( R )  (Q )  c   a/ /c Cách 4: Áp dụng hệ quả: 13 a  ( P)   c  (Q )    b / / a (hoặc b  a ) a/ /c  ( P )  (Q)  b   Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán: Ví dụ 1: (Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG song song với mặt phẳng (BB’C’C) B Dự kiếm sơ đồ tư duy của học sinh: M I A C IG //MN G IG // (BCC’B’) B ’ N C ’ A ’ Trong đó M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC’ Học sinh chứng minh IG // MN dựa vào định lí ta lét đảo. Ví dụ 2: (Chứng minh hai mặt phẳng song song) Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M, N dựng các đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. a) Chứng minh mặt phẳng (ADF) song song với mặt phẳngA(BCE). M’’ b) Chứng minh mặt phẳng (DEF) song song với mặtN’’ phẳng (MM’N’N) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: F D M N B E 14 C a) AF // BE AD // BC AD // (BCE) AF // (BCE) (ADF) // (BCE) b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: M’N’ // DF M’M // DC M’N’ // (DEF) M’M // (DEF) (MM’N’N) // (DEF) Học sinh chứng minh M’N’ // DF và M’M // DC nhờ sủ dụng định lí ta lét đảo. Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc” Trong bài toán “quan hệ vuông góc” tập trung vào bài toán chứng minh về các quan hệ vuông góc trong đó chứng minh hai đường thẳng vuông góc là mấu chốt cơ bản. Các bài toán chứng minh khác đều có thể đưa về bài toán cơ bản này. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt a phẳng Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc b P a a b P Q 15 a  b  (� a; b)  90o a b    a  ( P) b  ( P)  a  ( P)    ( P )  (Q) a  (Q)  Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, chúng ta có thể sử dụng các cách sau: Cách 1: Đưa hai đường thẳng về cùng mặt phẳng và chứng minh hai đường thẳng vuông góc theo phương pháp trong hình học phẳng. Cách 2: a  ( P)   a b b  ( P)  Cách 3: Dùng phương pháp véc tơ.  Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán: Ví dụ 1: (Chứng minh hai đường thẳng vuông góc) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Dựng OH vuông góc với mặt phẳng (ABC); H nằm trên C mặt phẳng (ABC). Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC. Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: H là trực tâm ABC H CB OH AH BC CH AB CB (OAH) AB (OHC) CB OA OAOB; OAOC AB OH A O AB OC OCOA; OCOB B 16 Ví dụ 2: (Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông, SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SA, SD. Chứng minhSSC  (ANM) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: N M SC (AMN) SC AM SC AN B AM CB CBAB C AN (SCD) AM (SCB) AM SB D A CBSA AN SD AN CD CD AD CD SA 17 Ví dụ 3: (Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh B’ (AB’C’D)  (BCD’A’). Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: C’ D’ A’ B (AB’C’D) (BCD’A’) C A D A’B (AB’C’D) A’B B’C’ A’B AB ABB’A’ là hình vuông B’C’ (ABB’A’) B’C’ B’B B’C’ A’B Bài toán 4: “Bài toán về góc” “Bài toán về góc” bao gồm xác định và tính: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Trong đó, tính và xác định góc giữa hai đường thẳng là mấu chốt cơ bản. Các bài toán khác đều có thể đưa về bài toán cơ bản này.  Sơ đồ tư duy dạng hệ thống lí thuyết: Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng 18 a a O a’ b’ b O Q b a’ P a P a, b)  (� a ', b ') Góc (� a, ( P))  (� a, a ') Góc (� P), (Q)  (� a, b) Góc (� a / / a '  Trong đó  b / / b ' a ' b ' 0  Trong đó a’ là hình chiếu Trong đó của a trên (P)  a   Q   b   P  Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng: ta áp dụng định nghĩa và các phương pháp tính góc của hình học phẳng. (Thường gắn vào tam giác học dùng phương pháp véc tơ).  Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy. SA = a 6 . Tính góc giữa a) Đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) b) Đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) S c) Đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) H d) Đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh: A SA (ABCD) B O D C 19