Tài liệu Skkn bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN HỌC LỚP 10 Quảng Bình, tháng 1 năm 2019 MỤC LỤC Nội dung I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 2. Điểm mới của đề tài II. NỘI DUNG 1. Thực trạng vấn đề cần giải quyết 2. Nội dung của đề tài 2.1 Hàm số bậc hai 2.1.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.2 Bài tập đề nghị 2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2.2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2.2 Bài tập đề nghị 2.3 Hiệu quả của đề tài 2.4 Một số bài toán học sinh tự sáng tạo đề III. KẾT LUẬN 1. Ý nghĩa của đề tài, sáng kiến, giải pháp 2. Kiến nghị , đề xuất IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 1 1 3 4 4 4 4 4 8 9 9 20 21 24 26 26 26 27 I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Cách đây ba năm, tôi được nhà trường phân công trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ở 2 lớp 10A1 và 10A2, nhưng một thực tế là từ trước đến nay, nhiều học sinh đã sai lầm trong cách học, dẫn đến hiệu quả không cao vì chỉ khư khư ôm lấy lí thuyết mà không chịu thực hành. Một phần do học sinh chưa nắm được tầm quan trọng của phương châm học đi đôi với hành, một phần xuất phát từ tâm lí e ngại, lười hoạt động. Các em khá thông minh nhưng lại hay bị động ở các bài toán thực tế. Ngoài ra, theo cấu trúc của đề thi môn toán hiện nay thì tỉ trọng các câu liên hệ thực tế khá nhiều so với trước kia là hầu như không có, nên các em thường mất điểm phần bài tập liên hệ. Vậy nên, việc dạy cho các em tiếp cận với các bài toán thực tế là hết sức cần thiết. Năm học này, tôi lại được nhận nhiệm vụ dạy lớp 10I và cũng thấy nhiều khó khăn của học sinh đã từng mắc phải như trước. Vì thế, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với chủ đề “ Bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10” nhằm mục đích cung cấp cho các em một cách nhìn tổng quan cho các bài toán thực tế , để các em đủ tự tin và nắm được phương pháp làm đúng cho các dạng bài toán thực tế cụ thể. Ở nội dung này tôi tập trung khai thác ở hai phần: + Hàm số bậc 2 + Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn số ( Bài toán kinh tế). Hàm số bậc hai và Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là mảng kiến thức quan trọng ở trường phổ thông, có nhiều ứng dụng trong thực tế. Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có liên quan chặt chẽ đến bài toán tìm cực trị của biểu thức trên một miền đa giác phẳng lồi. Việc nắm vững kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh có thể quy những bài toán kinh tế trong cuộc sống về toán học. 1 - Mục đích nghiên cứu Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT cùng với ít kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi có tổng hợp, khai thác và hệ thống hóa lại các kiến thức thành một đề tài “ Bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10”. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản, biết phân tích các bài toán thực tế để đưa đề bài về dạng toán học. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cũng như các em có 1 cái nhìn toàn diện hơn về các bài toán thức tế ở chương trình học lớp 10. - Đối tượng nghiên cứu Các bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10. - Phạm vi nghiên cứu Các bài toán thực tế ở các bài. + Hàm số bậc hai + Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số (Bài toán kinh tế). - Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận chung. + Khảo sát điều tra thực tế dạy học. +Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm. -Cách thực hiện + Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên của nhóm bộ môn. + Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm. + Thông qua việc giảng dạy trực tiếp. - Thời gian nghiên cứu: Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy khối lớp 10 tại trường THPT Đồng Hới từ học kì 1 năm học 2015-2016 đến nay. 2 2. Điểm mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp Hiện nay nội dung cũng như cấu trúc ra đề thi của môn toán dần theo xu hướng có nhiều câu hỏi áp dụng thực tiễn nhưng sách giáo khoa lại chưa thay đổi để phù hợp. Các bài toán thực tế đang trở nên xa lạ đối với các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 10 nên tôi viết sáng kiến này mục đích giới thiệu và làm rõ cho các em học sinh thấy được hệ thống những bài toán thực tế trong chương trình toán học lớp 10 và cách giải cụ thể cho từng dạng, để các em không còn e ngại khi gặp những bài toán tương tự. Trong khi đó, các tài liệu để hướng dẫn cho các em còn hạn chế và hầu như rất ít giáo viên nghiên cứu về đề tài liên quan đến vấn đề này thực sự hiệu quả. Trong nội dung sáng kiến này, tôi cố gắng đưa ra các bài toán trong sách giáo khoa, các bài toán trong các đề thi về hai dạng hàm số bậc hai và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mà trọng tâm chủ yếu là hệ bất phương trình để các em có một hệ thống kiến thức nền tảng cho các dạng bài tập liên quan.Ngoài ra, tôi còn cho học sinh tự đưa ra các bài tập tương tự nhằm phát huy tư duy tích cực, sáng tạo nhằm mục đích cho các em thu được kết quả tốt nhất trong học tập và ứng dụng trong thực tiễn, đó là mục đích lớn nhất mà giáo dục nước nhà đang hướng đến. 3 II. NỘI DUNG. 1. Thực trạng của vấn đề mà đề tài cần giải quyết Trong quá trình học tập học sinh thường rất lúng túng và không định hướng được cách làm cho các bài toán thực tế. Sơ đồ sau thể hiện kiểu bài toán được phân loại theo bối cảnh thực tế. Từ bài toán thực tế ban đầu, giáo viên đơn giản hóa nó để tạo ra bài toán bài toán thuần túy toán học. Và nhận ra rằng mức độ nhận thức càng tăng khi áp dụng các bài toán thực tế. Học sinh nắm được bối cảnh của từng bài toán và sẽ có được cách làm cho từng dạng cụ thể: 2. Nội dung của đề tài 2.1. Hàm số bậc hai 2.1.1. Cơ sở lý thuyết Để xác định hàm số bậc hai ta làm như sau: Gọi hàm số cần tìm là y = ax2 + bx + c,a ¹ 0 để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a,b,c . Căn cứ theo giả thiết bài toán , từ đó suy ra hàm số cần tìm. Ở các bài toán thực tế việc đầu tiên các em phải chọn cho mình được hệ trục tọa độ và nên chọn hệ trục sao cho khi ta gán tọa độ các điểm vào thì có thể dễ dàng giải quyết được bài toán. Ví dụ 1. Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B 4 trên trục AA' và BB' với độ cao 30m. Chiều dài nhịp A ' B ' 200m . Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu là OC 5m . Xác định chiều dài các dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền)? Định hướng cách giải: Ở bài này thì có rất nhiều cách để gán hệ trục tọa độ vào nhưng vẫn ưu tiên gán ở đỉnh của parapol. Lúc đó có thể dễ dàng tìm ra tọa độ của các điểm xung quanh, sau đó tìm được dạng parabol rồi thì đi đến tìm được chiều dài dây cáp treo Lời giải: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trên nền cầu như Hình vẽ. Khi đó ta có A ( 100; 30) , C ( 0; 5) 2 , ta tìm phương trình của Parabol có dạng y = ax + bx + c . Parabol có đỉnh là C và đi qua A nên ta có hệ phương trình: ìï b ïï =0 ïï 2a ïí a.0 + b.0 + c = 5 ïï ïï a.1002 + b.100 + c = 30 ïïî ìï ïï a = 1 ïï 400 ïí b= 0 ïï ïï c = 5 Û ïïî Suy ra Parabol có phương trình y= 1 2 x +5 400 . Bài toán đưa việc xác định chiều dài các dây cáp treo sẽ là tính tung độ những điểm M 1 , M 2 , M 3 của Parabol. Ta dễ dàng tính được tung độ các điểm có các hoành độ x1 25, x2 50, x3 75 lần lượt là y1 6,56  m  , y2 11, 25  m  , y3 19, 06  m  . Đó chính là độ dài các dây cáp treo cần tính. Ví dụ 2. Bài toán mang tính khám phá: Cầu University ở Saskatoon ở Canada là một cây cầu được đỡ bằng các vòm parabol. Mỗi nhịp cầu rộng 92 feet. Bên 5 dưới một trong những vòm đó, người ta xây dựng một con đường có 2 làn với lề đường rộng 10 feet như hình vẽ. Biết rằng khoảng cách từ chân vòm parabol đến mặt đất là 4 feet và vòm parabol cách mặt đất là 11m tại vị trí ngăn cách giữa lề và lòng đường. Bạn hãy cho biết chiều cao tối đa của một phương tiện giao thông có thể đi qua dưới vòm này Định hướng cách giải Bài toán yêu cầu HS sử dụng kiến thức liên quan đến hàm số bậc hai một ẩn để xác định chiều cao của chân vòm parabol nhằm đưa ra khuyến cáo về chiều cao an toàn mà một phương tiện giao thông có thể đi dưới chân vòm này. HS cần lựa chọn thông tin toán học cần thiết để tìm kiếm phương án GQVĐ đặt ra trong bài toán như mỗi nhịp của cầu rộng 92 feet và được đỡ bằng các vòm parabol. Lề đường rộng 10 feet, khoảng cách từ chân vòm parabol đến mặt đất là 4 feet và chiều cao từ vòm parabol này đến vị trí ngăn cách lề và lòng đường là 11 feet. Học sinh cần xây dựng mô hình toán bằng cách chọn hệ trục tọa độ Ohx với O là vị trí chân vòm parabol, Oh là trụ cầu và Ox nằm trên đường thẳng nối hai chân vòm parabol. Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Ohx với O là vị trí chân vòm parabol, Oh là trụ cầu và Ox nằm trên đường thẳng nối hai chân vòm parabol. Lúc đó, vòm parabol này sẽ đi qua hai điểm A  36,7  và B  92, 0  . Hàm số biểu thị hình dạng của vòm 2 parabol có dạng h( t ) at  b. Thay tọa độ điểm A vào phương trình của hàm số 6 h( t ) at 2  b thu được 1296a  b 7. Tiếp tục thay tọa độ điểm B vào phương trình 2 của hàm số h( t ) at  bt thu được 2116a  b 0. Từ đó suy ra: a  1 / 108 và b 19 nên được hàm số h( t )   1 / 108  t 2  19. Hàm số này đạt giá h 0 19. trị lớn nhất tại t 0 và   Vậy chiều cao tối đa của một phương tiện đi qua dưới vòm parabol của chiếc cầu là 23 feet. Ví dụ 3 : Người ta muốn rào quanh một mảnh vườn với một số vật liệu cho trước là 100m thẳng hàng rào. Tại đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào. Vậy làm thế nào để rào mảnh vườn ấy theo hình chữ nhật sao cho diện tích lớn nhất ? Lời giải Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu Theo bài ra ta có : x + 2y = 100 Diện tích miếng đất là S cực đại khi và chỉ khi Lúc này S =y ( 100 - 2y ) y S = y ( 100 - 2y ) S = y ( 100 - 2y ) cực đại I 25;1250) có đỉnh là ( , vì bề lõm parabol hướng xuống nên giá trị lớn nhất tại đỉnh, vậy S cực đại khi y = 25, x = 50 Vậy khu đất có diện tích lớn nhất khi rào mảnh vườn thành hình chữ nhật với chiều dài x = 50m và chiều rộng y = 25m 7 x Bài toán này cũng có thể đưa vào dạy bài bất đẳng thức Cô-si như sau : Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số không âm 2y và 100 - 2y ta có: 2 1  2 y  100  2 y  1002     2 2 8   S 100 100 25 50 Dấu bằng xảy ra  2y = 100 - 2y  y = 4 Suy ra x = 2 Đánh giá : Không khó để lồng ghép các bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cô - si như trên vào bài hàm số bậc hai thay vì những bài toán nghiêng về lý thuyết có phần khô khan. Những bài toán như thế này cho học sinh thấy yêu thích môn toán hơn vì hiểu được rằng toán học luôn theo sát ta trong cuộc sống. Cần sử dụng toán học như một công cụ hiệu quả để làm chủ cuộc sống của mình. 2.1.2 Bài tập đề nghị Bài 1. Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng Parabol bề lõm quay xuống dưới. Đó là cổng Acxơ ( hình vẽ ) . Hình 1. Cổng Acxơ 8 Làm thế nào để tính chiều cao của cổng ?(khoảng cách từ điểm cao nhất của cổng đến mặt đất) 2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. ( Ứng dụng giải quyết các bài toán kinh tế). 2.2.1 Cơ sở lý thuyết  Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: là bất phương trình có một trong các dạng: ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c 0, ax  by  c 0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số. Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 , Nghiệm của các bất phương trình dạng ax  by  c, ax  by c, ax  by c cũng được định nghĩa tương tự.  Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.  Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: d : ax  by  c 0 Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng   chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 . 9 Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau: Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): ax  by  c  0 Bước 2. Xét một điểm M  x0 ; y0  không nằm trên (d). - Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 . - Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 . Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax  by  c 0 hoặc ax  by  c 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.  Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: - Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. 10 - Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Sau đây là một số bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: x  2 y 2x  y 1  3 b) 2 a) 2 x  y  0 Lời giải a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng d : 2x  y 0 d . Ta có   chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M  1; 0  . Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa điểm M  1;0  (Miền không được tô màu trên hình vẽ). b)Tacó: x  2 y 2 x  y 1   3  x  2 y   2  2 x  y  1  0 2 3   x  4y  2  0  x  4y  2  0 Trong mặt phẳng tọa độ,vẽ đường thẳng  : x  4 y  2 0 11 Xét điểm O  0;0  ,thấy O  0; 0  không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  (không kể đường thẳng  ) và không chứa điểm O  0;0  (Miền không được tô màu trên hình vẽ). Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:  x  y  2 0  a)  x  3 y  3 0 b) x  y  0   2 x  3 y  6  0  x  2 y  1 0  Lời giải a)Vẽ d :x y Xét điểm các đường 2 0 ,  d ' : x  3 y  3 0 O  0;0  thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy . 0; 0 , thấy   không phải là nghiệm của bất phương trình x  y  2 0 và x  3 y  3 0 do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không d d' được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng   và   . d : x  y 0,  d '  :  2 x  3 y  6 0 d " : x  2 y 1 0 b) Vẽ các đường thẳng   và   trên mặt phẳng tọa độ Oxy 12 Xét điểm bất O  0;0  phương 0; 0 , thấy   là nghiệm của trình x  2 y  1 0 . Do đó 2x  3 y  6  0 O  0; 0  và thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2 x  3 y  6  0 và x  2 y  1 0 . Xét điểm M  1; 0  ta thấy  1; 0  là nghiệm của M 1;0 bất phương trình x  y  0 do đó điểm   thuộc miền nghiệm bất phương trình x  y  0 . Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể d" cả đường thẳng    ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế. Trước khi vào bài toán, tôi xin nêu ra phương pháp tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác. Có lẽ các bạn sẽ thấy lạ với phương pháp này. Phương pháp này được nêu ra trong sách giáo khoa lớp 10 cơ bản trang 98 phần đọc thêm. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ax  by (a, b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó x, y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A1 A2 ... Ai Ai 1... An . Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 13 Lời giải. Ta minh họa cách giải trong trường hợp n = 5 tức là xét ngũ giác lồi và xét trường hợp b > 0 trường hợp ngược lại tương tự. Giả sử M 0 ( xO ; yO ) là điểm thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của một đa giác, kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng ax  by 0 . Khi đó ta có đường thẳng qua M có phương trình trục tung tại điểm chỉ khi ax0  by0 b  ax  byO  N  0; O  b   . Vì b > 0 nên ax0  by0 ax  by ax0  by0 và cắt đạt giá trị lớn nhất khi và lớn nhất. Từ đó ta được kết quả bài toán. Tổng quát hóa Ta luôn có thể giả thiết rằng b > 0, bởi vì nếu b < 0 thì ta có thể nhân hai vế với -1 và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của toán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của . 14 F ( x; y)  F ( x; y )  ax  b ' y sẽ trở thành bài , trong đó b '  b  0 y ax  by 0 A2 A1 A3 O M  x0 ; y0  A5 A4 N Tập các điểm y  ( x; y ) để F ( x; y) nhận giá trị p là đường thẳng ax  by  p ; hay a p x b b  Đường thẳng này có hệ số góc bằng m với x a b và cắt trục tung tại điểm M (0; m) p b Ký hiệu đường thẳng này là (hay lớn nhất) của P ( x; y )  p m nhất (hay lớn nhất) của p b với (d m ) ( x; y ) . Vì b > 0 nên việc tìm giá trị nhỏ nhất miền đa giác quy về việc tìm giá trị nhỏ , tức là tìm điểm M ở vị trí thấp nhất (hay cao nhất) trên trục tung sao cho đường thẳng (d m ) có ít nhất một điểm chung với (S). 15 Từ đó chú ý rằng (d m )  có hệ số góc bằng a b không đổi. Ta đi đến cách làm sau: Khi tìm giá trị nhỏ nhất của F ( x; y ) (d m ) , ta cho đường thẳng chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền đa giác và đi lên cho đến khi (d m )  x0 ; y0  lần đầu tiên đi qua một điểm nào đó của miền đa giác. Khi đó, m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của F ( x0 ; y0 ) ax0  by0 a b . Đó là . Khi tìm giá trị lớn nhất của  F ( x; y) F ( x, y ) , ta cho đường thẳng (d m ) với hệ số góc chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó trên miền đa giác và đi xuống cho đến khi (d m ) lần đầu tiên đi qua một điểm  x0 ; y0  nào đó của miền đa giác. Khi đó, m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của F ( x, y ) . Đó là F  x0 ; y0  ax0  by0 . Vậy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by đạt được tại một trong các đỉnh của một miền đa giác. Sau đây là một số bài toán ví dụ ứng dụng hệ bất phương trình: Ví dụ 1: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng 16 phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất? Lời giải Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x (phút), trên truyền hình là y (phút). Chi phí cho việc này là: 800.000 x  4.000000 y (đồng) Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức: 800.000 x  4.000.000 y 16.000.000 hay x  5y  20 0 Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: x 5, y 4 . Đồng thời do x, y là thời lượng nên x 0, y 0 . Hiệu quả chung của quảng cáo là: x  6y . Bài toán trở thành: Xác định x, y sao cho: M  x; y   x  6 y đạt giá trị lớn nhất.  x  5y  20 0   x 5  Với các điều kiện 0  y 4 (*) Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) 17 Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng  d  : x  5 y  20 0,  d ' : x 5,  d '' : y 4 Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tam giác) không tô màu trên hình vẽ Giá trị lớn nhất của Ta có M  x; y   x  6 y 5;3 , 5;0 , 20;0  đạt tại một trong các điểm      M  5;3 23, M  5;0  5, M  20;0  20 suy ra giá trị lớn nhất của M  x; y  bằng 23 tại  5;3 tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất. Ví dụ 2: [Đề Dự Bị THPT Quốc Gia Năm 2015]. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 21g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất? Lời giải: Đối với những bài toán như thế này, ta phải đọc thật kỹ, xem đề bài yêu cầu làm gì và chuyển bài toán đó về những mô hình toán học mà mình đã học? Ở đây, yêu cầu đề bài: “cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại”. Như vậy, ta gọi ẩn x, y tương ứng là số lít nước trái cây tương ứng mỗi loại. Mà mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng thì x lít nước cam nhân được 60x điểm thưởng; mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng thì y lít nước táo nhận được 80y điểm thưởng. Khi đó ta có số điểm thưởng nhận được sau khi pha chế được x, y lít nước trái cây mỗi loại là 60x + 80y. 18