Tài liệu Skkn giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải tốt một số bài toán cực trị số phức

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số:…………………………….. 1. Tên sáng kiến: GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC (Trần Duy Tân, Nguyễn Thị Hồng Châu, Nguyễn Văn Chung, @THPT Ngô Văn Cấn, Nguyễn Văn Reo, @THPT Phan Văn Trị) 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (Chương trình Toán THPT) 3. Mô tả bản chất của sáng kiến 3.1.Tình trạng giải pháp đã biết Số phức là vấn đề hoàn toàn mới được đưa vào dạy ở chương trình phổ thông, nhưng với thời lượng dành cho số phức thì không được nhiều; với các nội dung về khái niệm về số phức, phép cộng trừ nhân chia hai số phức, phương trình bậc hai với hệ số thực. Phần lớn học sinh thường chỉ áp dụng những dạng toán cơ bản như tìm phần thực, phần ảo, môđun số phức, ….hay giải phương trình đơn giản trên tập số phức. Tuy nhiên, khi vận dụng các bài toán về số phức, đặc biệt là các bài toán liên quan đến cực trị về số phức thì học sinh còn lúng túng, hay còn e ngại trong việc phân tích đề để tìm lời giải vì ngoài những kiến thức cơ bản về số phức thì học sinh còn phải sử dụng đến những kiến thức liên quan như bất đẳng thức, tập hợp điểm biểu diễn trong mặt phẳng,…. Bên cạnh đó, kể từ năm học 2016 – 2017 thì hình thức thi THPT quốc gia môn Toán được chuyển từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm, khi đó các câu hỏi về số phức không chỉ gói gọn trong các dạng đơn giản về số phức hay giải phương trình số phức mà được mở rộng sang nhiều vấn đề hơn, trong đó có dạng toán cực trị số phức. Khi đó vai trò của người giáo viên rất quan -1- trọng trong việc tìm những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng để học sinh có thể tìm tòi nghiên cứu, đánh thức tiềm năng cũng như phát huy tính sáng tạo của bản thân đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay. 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến 3.2.1. Mục đích của giải pháp - Sáng kiến này nhằm mục đích chia sẽ đồng nghiệp một số kinh nghiệm giúp học sinh vận dụng kiến thức giải tốt một số bài toán cực trị số phức. - Sáng kiến này đưa ra một số dạng toán cực trị số phức điển hình ở chương trình Toán lớp 12 để có giải pháp cũng như phương hướng giải quyết hiệu quả hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh. - Vấn đề được nêu trong giải pháp của sáng kiến này là thông qua bài toán kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp,... sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán và khai thác kiến thức cơ bản của bài toán, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,.. để từ đó giải quyết được bài toán “cực trị số phức thoả mãn điều kiện cho trước”. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của mình giải quyết nhanh gọn bài toán, tạo thêm niềm hăng say cũng như sự đam mê toán học đến với học sinh. 3.2.2. Điểm mới trong giải pháp Qua quá trình nghiên cứu và tìm giải pháp giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải tốt một số bài toán cực trị số có những điểm mới như sau: + Các bài toán được tổng hợp lại và được hệ thống thành các dạng được giải theo các cách nhanh, gọn, đơn giản hóa vấn đề. -2- + Các dạng bài tập được thực hiện từ đơn giản đến phức tạp, giúp học sinh vận dụng từ các kiến thức phần khác như bất đẳng thức, phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elip,… để giải các bài toán liên quan giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức. + Các bài toán được biên soạn theo hình thức trắc nghiệm phù hợp định hướng đổi mới trong kiểm tra, đánh giá của Bộ giáo dục và đào tạo và thực tiễn của kỳ thi THPT quốc gia. + Tăng cường kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi cũng như kỹ thuật giải nhanh các bài toán trắc nghiệm để giúp học sinh ứng dụng làm tốt các bài toán trong kỳ thi THPT quốc gia sắp tới. 3.2.3.Nội dung giải pháp Nội dung giải pháp nâng cao kỹ năng giải tốt một số bài toán cực trị số gồm ba phương pháp giải: Thứ nhất: Phương pháp đại số Thứ hai: Phương pháp hình học. Thứ ba: Phương pháp sử dụng máy tính Casio 3.2.3.1. Phương pháp đại số A.Cơ sở lý thuyết liên quan 1. Bất đẳng thức tam giác z1 + z 2 £ z1 + z 2 , dấu “=” xảy ra khi z1 = kz 2 với k ³ 0 z1 - z 2 £ z1 + z 2 , dấu “=” xảy ra khi z1 = kz 2 với k £ 0 z1 + z 2 ³ z1 - z 2 , dấu “=” xảy ra khi z1 = kz 2 với k £ 0 z1 - z 2 ³ z1 - z 2 , dấu “=” xảy ra khi z1 = kz 2 với k ³ 0 2. Bất đẳng thức Cauchy Với a1, a 2,...., an không âm, ta luôn có : Dấu “=” xảy ra khi a1 = a 2 = .... = an 3. Bất đẳng thức Bunhiacopxky: -3- a1 + a 2 + .... + an n ³ n a1a 2 ....an (a b 2 1 1 ( )( + a 2b2 ) £ a12 + a 22 b12 + b22 a1 Dấu “=” xảy ra khi b1 = ) a2 b2 2 æ 2 2 2 ö 4. Công thức trung tuyến z1 + z 2 + z1 - z 2 = 2 çç z1 + z 2 ÷÷ è ø Chứng minh: Ta có: 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) z1 - z 2 = (z1 - z 2 ) z1 - z 2 = (z1 - z 2 ) z1 - z 2 = z1 + z 2 - z1z 2 + z1z 2 Mà 2 2 z1 + z 2 = (z1 + z 2 ) z1 + z 2 = (z1 + z 2 ) z1 + z 2 = z1 + z 2 + z1z 2 + z1z 2 2 æ 2 2 2 ö Từ đó suy ra: z1 + z 2 + z1 - z 2 = 2 çç z1 + z 2 ÷÷ è ø B. Các dạng toán thường gặp Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z + 1 . z A. 0 và 2. B. -2 và 2 C. 1 và 4 D. 2 và 4 Lời giải 1 1 1 Ta có z + z £ z + = 2 , suy ra max z + z z z+ 1 ³ z z - 1 1 = 0 = 0 , suy ra min z + z z Đáp án A Bài toán 2. Cho số phức z thỏa mãn z - 1 - 2i = 4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z + 2 + i . Tính S = M2 + m2 A. S = 34 B. S = 82 C. S = 68 -4- D. S = 36 Lời giải Ta có: 4 = z + 2 + i - (3 + 3i ) ³ z + 2 + i - 3 + 3i Þ 4³ z + 2+ i - 3 2 ìï z + 2 + i £ 4 + 3 2 = M ï Þ ïí ïï z + 2 + i ³ 3 2 - 4 = m ïî Do đó S = M 2 + m 2 = 68 Đáp án C Bài toán 3. Trong các số phức z thỏa mãn z - (2 + 4i ) = 2 , gọi z1 và z 2 là số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Tính tổng phần ảo của hai số phức z1 và z 2 . A. 8i B. 8 C. -8 D. 4 Lời giải Ta có 2 ³ z - 2 + 4i = z - 2 5 Þ 2 5 - 2 £ z £ 2 5 + 2 * Giá trị lớn nhất z là 2 5 + 2 khi z = k (2 + 4i ) với (k - 1) 5 = 1 Þ k = 1 + 1 5 æ ö 1 ÷ ÷ Do đó z1 = ççç1 + ÷(2 + 4i ) çè ø 5÷ * Giá trị nhỏ nhất z là 2 5 - 2 khi z = k (2 + 4i ) với (1 - k ) 5 = 1 Þ k = 1 æ Do đó z 2 = ççç1 çè 1 5 ö 1 ÷ ÷ (2 + 4i ) ÷ ø 5÷ æ 1 ö ÷ ÷ Vậy tổng hai phần ảo của z1 và z 2 là 4 ççç1 + ÷+ èç Đáp án B. -5- ÷ 5ø æ 4 ççç1 èç 1 ö ÷ ÷ = 8 ÷ ÷ 5ø Bài toán 4. Cho số phức z thỏa mãn z 2 + 4 = 2 z . Ký hiệu M = max z , m = min z . Tìm môđun số phức w = M + mi A. w = 2 3 B. w = 3 C. w = 2 5 D. w = 5 Lời giải Ta có z 2 + 4 = 2 z 2 2 Nên  2 z ³ z - 4 Û z - 2 z - 4 £ 0 Þ z £ 1+ 5 ® M = 1+ 2 5 2  2 z ³ 4- z Û z + 2 z - 4 ³ 0 Þ z ³ - 1+ 5 ® m = - 1+ 5 Vậy w = M + mi = 2 3 Đáp án A. Bài toán 5. Trong các số phức z thỏa 2z + z = z - i , tìm số phức có phần thực không âm sao cho z - 1 đạt giá trị lớn nhất A. z = 6 i + 4 2 B. z = i 2 C. z = 3 i + 4 8 D. z = 6 i + 8 8 Lời giải Giả sử số phức z = a + bi, (a ³ 0) Þ z = a - bi . Khi đó 2z + z = z - i Û 9a 2 + b 2 = Û 2b = 1 - 8a 2 Û b = Ta có z - 1 = 1 2 a 2 + (b - 1) 1 - 4a 2 2 lớn nhất khi và chỉ khi z = a 2 + b 2 nhỏ nhất z 2 2 æ1 ö 1 æ 3ö 7 7 Khi đó z = a + ççç - 4a 2 ÷÷÷ = 16a 4 - 3a 2 + = ççç4a 2 - ÷÷÷ + ³ ÷ ÷ 64 64 4 è 8ø è2 ø 2 2 -6- z ³ 7 8 ìï ïìï 2 3 ïï a = 6 a = ïï ï 32 8 Do đó số phức z cần tìm thỏa í Þ ïí ïï ïï 1 1 2 ïï b = - 4a ïb = 2 ïî 8 ïîï Vậy z = 6 i + 8 8 Đáp án D Bài toán 6: Cho số phức z1 và z 2 thỏa mãn z1 - z 2 = 1, z1 + z 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của T = | z1 | + | z 2 | A. T = 8. B. T =10. C. T = 4. D. T= 10 Lời giải Áp dụng công thức trung tuyến ta có: 2 2 2ö æ 2 z1 + z 2 + z1 - z 2 = 2 çç z1 + z 2 ÷ ÷ è ø 2 2 Suy ra z1 + z 2 = 5 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky: 2 2ö æ 2 T 2 = (| z1 | + | z 2 |) £ 12 + 12 çç z1 + z 2 ÷ ÷ = 10 è ø ( ) Suy ra T £ 10 . Vậy maxT = 10 Bài toán tương tự: Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 - z 2 = 11, z1 + z 2 = 60 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z1 + z 2 . A. Pmax = 61 B. Pmax = 61 Đáp án chọn là C. -7- C. Pmax = 60 D. Pmax = 71 Bài toán 7: Cho số phức z thỏa mãn | z - 3 - 4i |= 5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | z + 2 |2 - | z - i |2 . Tính mô đun của số phức w = M + mi. A. | w |= 2 314 B. | w |= 1258 C. | w |= 3 137 D. | w |= 2 309 Lời giải Đặt z = x + yi, (x, y Î ) . 2 2 Ta có z - (3 + 4i ) = 5 Û (x - 3) + (y - 4) = 5 ïìï x - 3 = Đặt ïí ïï y - 4 = îï ïìï x = 3 + Û ïí ïï y = 4 + 5 cos t îï 5 sin t 2 5 sin t 5 cos t 2 Khi đó P = z + 2 - z - i = 4x + 2y + 3 ( = 4 3+ ) ( 5 sin t + 2 4 + ) 5 cos t + 3 Suy ra 4 5 sin t + 2 5 cos t = P − 23 Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác Þ 2 2 ( ) ( )³ 4 5 + 2 5 (P - 2 23) Û P 2 - 46P + 429 £ 0 Û 13 £ P £ 33 Suy ra M = 33, m = 13 . Vậy | w |= 1258 Đáp án B 3.2.3.2. Phương pháp hình học A. Cơ sở lý thuyết liên quan ❖ z - (a + bi ) = R : Điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm I (a;b) bán kính R . ❖ z - (a1 + bi1 ) = z - (a 2 + b2i ) : Điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường trung trực của đoạn AB với A (a1;b1 ), B (a 2 ;b2 ) ❖ z - (a1 + bi1 ) + z - (a 2 + b2i ) = 2a , với F1 (a1;b1 ), F2 (a 2 ;b2 ), a > 0 -8- + Đoạn thẳng F1F2 nếu F1F2 = 2a + Elip (E) nhận F1, F2 làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là 2a nếu 2a > F1F2  Đặc biệt : z + c + z - c = 2a : Điểm biểu diễn số phức z x2 y2 nằm trên Elip (E): 2 + 2 = 1 với a 2 = b2 + c 2 ( a, b, c đều dương) a b B. Các dạng toán thường gặp * Dạng 1. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng D : ax + by + c = 0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên . Khi đó min z = OH = d (O, D ) Bài toán 1. Trong các số phức z thỏa mãn z - 2 - 4i = z - 2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất A. z = 2 - 2i B. z = 1 + i C. z = 2 + 2i D. z = 1 - i Lời giải Gọi số phức z = x + yi, x , y Î . Ta có z - 2 - 4i = z - 2i  (x - 2) + (y - 4) = x 2 + (y - 2) 2 2 2  x + y - 4 = 0. Do đó tập hợp điểm M biểu diễn bởi số phức z là đường thẳng -9- d: x + y - 4 = 0 . Khi đó z = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O lên d. Gọi đường thẳng  qua O và vuông góc với d có phương trình : x - y = 0 Do đó M = d Ç D , nghĩa là tọa độ M là nghiệm của hệ ïìï x + y - 4 = 0 ïì x = 2 . Û ïí í ïï x - y = 0 ïï y = 2 î î Đáp án C. Cách 2: Với bài toán có cho sẳn đáp án thì ta có thể thay z của đáp án vào đề bài thỏa: z - 2 - 4i = z - 2i và kiểm tra môđun nhỏ nhất là được. Bài toán 2. Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z + 2 - 2i = z - 4i . Tìm số phức z sao cho w = iz + 1 có môđun nhỏ nhất A. z = 1 + 3i B. z = 1 3 + i 2 2 C. z = 1 + i D. z = 1 3 - i 2 2 Lời giải Xét số phức z = x + yi, x , y Î , có điểm biểu diễn là M (x ; y ). Khi đó z + 2 - 2i = z - 4i  x + yi + 2 - 2i = x + yi - 4i Û x + y - 2 = 0 Do đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng : x + y- 2= 0 Ta có w = iz + 1 Û w = i z - i = z - i . Gọi A (0;1) A M = w Gọi H là hình chiếu của A lên   min w = A H - 10 - Đường thẳng d qua A và vuông góc với  có phương trình d: x - y + 1 = 0 ìï ïï x = 1 ìï x + y - 2 = 0 2 Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình ïí Û ïí ïï x - y + 1 = 0 ïï 3 î ïï y = 2 ïî Đáp án B * Dạng 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn a) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C) có tâm I (a;b) bán kính R. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm O và I. Khi đó đường thẳng  cắt (C) tại hai điểm như hình vẽ bên. *Do đó min z = OA = OI - R = a 2 + b 2 - R và max z = OB = OI + R = a 2 + b2 + R * Tìm tọa độ hai điểm A, B (tức là tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất). + Lập phương trình đường thẳng  qua hai điểm O và I có dạng : A x + By + C = 0 + Tìm A, B là giao điểm  và (C) nghĩa là ta giải hệ 2 2 ìï ïï (x - a ) + (y - b) = R 2 í ïï A x + By + C = 0 ïî - 11 - Hai nghiệm  tọa độ hai điểm A, B , so sánh độ dài OA, OB . Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z + z 2 = R , (R > 0) . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z Ta có công thức max z = z2 z1 + R z1 và min z = z2 z1 - R z1 b) Trong các số phức z thỏa mãn z - z1 = R1 , (R1 > 0) . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = z - z 2 Gọi I, A, M lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1, z 2, z Khi đó IA = z1 - z 2 = R 2 Suy ra max P = A M 1 = R1 + R 2 và min P = A M 2 = R1 - R 2 Muốn tìm số phức z sao cho Pmax , Pmin thì ta tìm giao điểm M 1, M 2 của đường tròn (I , R1 )với đường thẳng AI. Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z - z 2 = R1, (R1 > 0) . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P = z - z 3 Ta tìm được max P = z2 z1 - z3 + R1 z1 - 12 - và min P = z2 z1 - z3 - R1 z1 Bài toán 3. Cho số phức z thỏa mãn z - 3 - 4i = 1 . Môđun lớn nhất của số phức z là A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 Lời giải . Ta có z - 3 - 4i = 1  Gọi số phức z = x + yi, x , y Î 2 2 (x - 3) + (y - 4) = 1. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (3; 4) bán kính R = 1. Với O là gốc tọa độ thì z = OM . Vậy max z = OI + R = 5 + 1 = 6 Đáp án B. Bài toán 4: Nếu các số phức z thỏa mãn (1 + i )z + 1 - 7i = 2 thì z có giá trị lớn nhất bằng A. 4 B. 3 C. 7 C.6 Lời giải Ta có (1 + i )z + 1 - 7i =  (1 + i ) . z + 1 - 7i = 1+ i æ 1 - 7i ÷ ö ÷ 2 Û (1 + i )ççz + = ÷ çè 1+ i ÷ ø 2Û 2. z - (3 + 4i ) = 2 2 Û z - (3 + 4i ) = 1 . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính R = 1 Vậy max z = OI + R = 32 + 42 + 1 = 6 Đáp án D. - 13 - Bài toán 5: Cho số phức z thỏa mãn z - 3 + 2i = 2 . Giá trị nhỏ nhất của z + 1 - i là A.7 B. 3 C. 2 D. 5 Lời giải Ta có z - 3 + 2i = 2 điểm biểu diễn số phức phức z là đường tròn tâm I (3; - 2) bán kính R = 2 Từ z + 1 - i ta chọn số phức z 2 = - 1 + i có điểm biểu diễn là A (- 1;1) Vậy min z + 1 - i = IA - R = 2 (- 4) + 32 - 2 = 3 Đáp án B. Bài toán 6: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z - 2 + 2i = 1 , gọi z = a + bi , a, b Î là số phức có z + 4i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P = a (b + 2) A. P = 2- 1 2 B. P = - 2 - C. P = 2+ 1 2 D. P = 1 2 1 2 2 Lời giải Từ z - 2 + 2i = 1 suy ra điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I (2; - 2), bán kính R = 1 Từ z + 4i ta chọn z = - 4i có điểm biểu diễn là A (0; - 4) Đường thẳng đi qua I và A có phương trình d : x - y - 4 = 0 Gọi M, N là giao điểm của d với đường tròn (C), suy ra tọa độ M, N là nghiệm của hệ - 14 - ìï x - y - 4 = 0 ïï í 2 2 ïï (x - 2) + (y + 2) îï æ  M ççç2 + 1 çè ;- 2 + 2 ìï x = y + 4 ïï ïï é ìï x = y + 4 ï êy = - 2 + 1 ïï ï Û í Û íê 2 2 = 1 ïï 2 (y + 2) = 1 ïï êê 1 îï ïï ïï êêy = - 2 2 ïî ë 1 ö ÷ ÷ ,N ÷ ÷ 2ø æ çç2 èçç 1 1 ö ÷ ÷ ÷ ÷ 2ø ;- 2 - 2 Khi đó AM > AN N là điểm biểu diễn số phức z cần tìm z = 2 - æ + ççç- 2 2 çè 1 ö 1 ÷ ÷ ÷i = a + bi ø 2÷ ìï ïï a = 2 - 1 ï 2 Þ P = a (b + 2) =  ïí ïï 1 ïï b = - 2 2 ïî 1 2 2- Đáp án A Bài toán 7: Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và w= z là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = z + 1 - i là: 2 + z2 A. 2. B. 2 2. C. 2. D. 8. Lời giải Ta có: w = z z z Þ w = = 2 2 + z2 2 + z2 2+ z (1). Vì w là số thực nên (2). Từ (1), (2) suy ra w= w 2ö æ z z çç2 + z ÷ = Û z = z 2 + z 2 Û 2 z - z = z .z z - z ÷ 2 2 ÷ ç è ø 2+ z 2+ z ( ) 2 æ 2 ö Û z - z çç z - 2÷ = 0Û z = 2Û z = ÷ è ø ( ) (vì z không là số thực nên z - z ¹ 0 ). - 15 - ( 2 ) ( ) Đặt w = z + 1 - i Û z = w - 1 + i Þ w - 1 + i = 2 suy ra điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I (1; - 1) bán kính R = Þ max w = R + OM = 2+ 2 12 + 12 = 2 2 Đáp án B Cách 2: Ta có w là số thực nên Đặt z = a + bi. Þ b- 2b = 0Û 2 a + b2 1 2 = z+ là số thực. w z 2 (a - bi ) 1 là số thực khi = a + bi + 2 w a + b2 éb = 0 (khoâng thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn) ê ê2 2 êa + b = 2 Þ z = 2 ë Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn O (0; 0); R = 2. Đặt M (z ); A (- 1;1) Þ MAmax = A O + R = 2 2. * Dạng 3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là Elip a) Số phức z thỏa mãn z + c + z - c = 2a (hoặc z + ci + z - ci = 2a ). Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường Elip (E) : x2 y2 + 2 = 1 với a 2 = b2 + c 2 , a, c, b đều dương, a > c và có:hai tiêu 2 a b điểm: F1 (- c; 0), F2 (c; 0) ;bốn đỉnh: A1 (- a; 0), A2 (a; 0), B1 (- b; 0), B 2 (b; 0);độ dài trục lớn: A1A2 = 2a ;độ dài trục nhỏ: B1B 2 = 2b ;tiêu cự: F1F2 = 2c - 16 - Vậy min z = OB1 = OB 2 = b ; max z = OA1 = OA2 = a b) Cho số phức z thỏa mãn z - z1 + z - z 2 = 2a với 2a > z1 - z 2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = z - z 0 với z 0 = z1 + z 2 2 Bài toán 8. Cho số phức z thỏa mãn z + 3 + z - 3 = 10 . Giá trị nhỏ nhất của z là A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải Cách 1:Gọi số phức z = x + yi, x , y Î . Ta có z + 3 + z - 3 = 10 suy ra c = 3, a = 5 và b = 4 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là x2 y2 Elip có phương trình (E): + =1 25 16 Theo hình vẽ thì min z = 4 Đáp án B Cách 2: Gọi A (- 3; 0), B (3; 0) có trung điểm là O (0; 0) . M là điểm biểu diễn số phức z, AB = 6 . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MAB, đường trung tuyến MO, ta có 2 z = MO 2 = MA 2 + MB 2 A B 2 MA 2 + MB 2 = - 9 2 4 2 Mà theo giả thiết ta có MA + MB = 10 - 17 - Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky: 2 2 (MA + MB ) Do đó min z = ( £ 1 +1 2 2 )(MA 2 + MB 2 )Û MA + MB ³ 2 2 (MA + MB ) 2 = 50 50 - 9= 4 2 Bài toán 9. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z + 4 + z - 4 = 10 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó , giá trị của biểu thức P = M - m 2 bằng A. P = - 6 B. P = - 13 C. P = - 5 D. P = - 4 Lời giải x2 y2 Áp dụng : z + c + z - c = 2a là Elip (E): 2 + 2 = 1 với a 2 = b2 + c 2 a b Khi đó, từ z + 4 + z - 4 = 10 ta có a = 5, c = - 4 Þ b = a 2 - c 2 = 3 x2 y2  điểm biểu diễn số phức z là Elip : + =1 25 9 Vậy M = a = 5, m = b = 3 . Suy ra P = M - m 2 = - 4 Đáp án D. Bài toán 10. Cho số phức z thỏa mãn z - 1 + 3i + z + 2 - i = 8 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = 2z + 1 + 2i A. 8 và 39 C. 8 và 39 2 B. 4 và 39 D. 4 và 39 2 Lời giải Ta có P = 2z + 1 + 2i  P 1 = z+i+ . 2 2 Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P ' = z + i + - 18 - 1 2 Ta chọn z1 = 1 - 3i, z 2 = - 2 + i, z 0 = Ta có 2c = z1 - z 2 = 5 Þ c = Khi đó b = 2 - c2 = z + z2 1 - i . Do đó z 0 = 1 2 2 5 ; 2a = 8 Þ a = 4 2 39 2  max P ' = 4, min P ' = 39  max P = 8, min P = 2 39 Đáp án A. Bài toán 11: Xét các số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z − 1 + i . Tính P = m + M. 5 2 + 2 73 . 2 A. P = 13 + 73. B. P = C. P = 5 2 + 73. D. P = 5 2 + 73 . 2 Lời giải Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, F1 (- 2;1), F2 (4; 7) và N (1; - 1) Từ z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 và F1F2 = 6 2 nên ta có M thuộc đoạn thẳng F1F2 æ 3 3ö Gọi H là hình chiếu của N lên F1F2 , ta tìm được H ççç- ; ÷÷÷ ÷ è 2 2ø Suy ra P = NH + NF2 = 5 2 + 2 73 . 2 Đáp án B 3.2.3.3. Phương pháp sử dụng máy tính Casio A. Phương pháp chung Bước 1 : Đặt z = x + yi, x , y Î hệ thức điều kiện - 19 - biến đổi theo điều kiện để tìm Bước 2 : Rút x (hoặc y ) từ hệ thức điều kiện thế vào biểu thức tìm min max Bước 3 : Sử dụng chức năng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai MODE 53 (với máy tình 570 VN PLUS) hoặc sử dụng MODE 7 của Casio để tìm min max B. Các dạng toán thường gặp Bài toán 1. Cho số phức z thỏa mãn z - 2 - 4i = z - 2i , số phức có môđun nhỏ nhất là A. z = 3 + i B. z = 5 - i C. z = 2 - 2i D. z = 2 + 2i Lời giải Với dạng toán trắc nghiệm này đáp án số phức z đã cho sẵn nên ta thực hiện như sau:  Thay z là các đáp án vào điều kiện z - 2 - 4i = z - 2i đề bài bằng chức năng CALC của máy tính: ta được các số phức thỏa là z = 3 + i , z = 5 - i , z = 2 + 2i  So sánh môđun: 3 + i = 10 , 5 - i = 26 , 2 + 2i = 8 Do đó số phức z = 2 + 2i là số phức có môdun nhỏ nhất Đáp án D. Bài toán 2. Cho số phức z thỏa điều kiện iz - 3 = z - 2 - i . Phần ảo của số phức z có môđun nhỏ nhất là A. - 1 5 B. 1 5 C. 2 5 Lời giải - 20 - D. - 2 5