Tài liệu Skkn một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

CỘNG HÒ XA HỘI CHU NGHÌ VIỆT ǸM Đô ̣c lâ ̣p – Tư d – Hạn pnuc ------------------------ MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI Quạ̉g Bịn, tṇ́g 11 ̣m 201ă 1 CỘNG HÒ XA HỘI CHU NGHÌ VIỆT ǸM Đô ̣c lâ ̣p – Tư d – Hạn pnuc ------------------------ MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI Họ và tệ: Nguyệ̃ Hồ Ngọc Cnức vụ: Gíd việ Đợ vị cộg t́c: Trượ̀g THPT Lê Quý Độ Quạ̉g Bịn, tṇ́g 11 ̣m 201ă 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý d cnọ̣ đề tài 2 Trong môn toán ở trường phổ thông nói chung và đại số lớp 10 nói riêng thì phần phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán thì việc giải phương trình còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. Các em học sinh đã được học giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cụ thể với nội dung sách giáo khoa cơ bản chỉ giới thiệu phương trình chứa dấu căn bậc hai dạng đơn giản. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao, phải có năng lực biến đổi toán học. Một thực tế nữa là các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi THPT quốc gia; không những thế học sinh còn phải giải phương trình chứa căn trong các dạng toán khác như phương trình mũ và logarit. Do đó học giải phương trình chứa căn không chỉ để giải một lớp các bài toán về phương trình chứa căn mà còn là công cụ để các em làm những bài toán dạng khác, đặc biệt khi giải các phương trình loại này học sinh thường mắc những sai lầm cơ bản. Với năng lực của học sinh trong quá trình giảng dạy, tôi cũng không hy vọng có thể dạy cho các em có những kĩ năng để giải những bài toán khó và phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán cơ bản và không bị mắc sai lầm trong quá trình làm bài. Qua các năm giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số kinh nghiệm dạy nội dung kiến thức này. Tư những ly do trên tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai”. 1.2. Điể ơi ccu đề tài Trong đề tài này tôi đã đưa ra các dạng toán theo thứ tự của các cấp đô ̣ nhâ ̣n thức tư nhâ ̣n biết - thông hiểu - vâ ̣n dụng để học sinh dê tiếp câ ̣n. Sau mỗi ví dụ có hướng dẫn giải và có nhâ ̣n xet để học sinh khắc sâu được những kỹ năng quan trọng 3 khi tiếp cận bài toán, rèn luyện cách trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi, đồng thời có bài tập tương tự để học sinh tự rèn luyê ̣n. Tư đó giúp học sinh phân tích để vận dụng nhằm đơn giản hoá một số bài toán, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh trong quá trình học tâ ̣p. Đề tài của tôi có thể áp dụng cho tất cả học sinh ở bậc THPT, đặc biệt có hiệu quả đối với học sinh lớp 10 khi tiếp cận và học phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, cũng như đối với học sinh 12 khi ôn thi THPT quốc gia. Rất nhiều giáo viên và học sinh đôi khi chỉ quan tâm đến cách giải hay các dạng phương trình, còn việc làm thế nào để tránh được một số sai lầm khi giải phương trình thì ít được trình bày, đó cũng là một điểm mới của đề tài. 2. NỘI DUNG 2.1. Tnưc trạg ccu vậ́ đề giải pnượg trịn cnứu ậ̉ ươi ấu cṃ bậc nui Trước khi thực hiện đề tài tôi tiến hành khảo sát ( trong năm học2016-2017) Câu nỏi Số HS là đụg Tỉ lệ 1 95 89% 2 85 71,56% 3 9 6.04% Khi gặp phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đa số học sinh thường giải sai, giải không triệt để, kết luận thường thưa hoặc thiếu nghiệm. Với các dạng toán khác mà khi triển khai đến bước phải giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là thì học sinh giải sai hoặc lúng túng. Trong các đề thi THPT quốc gia thường xuất hiện các phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai. Học sinh lớp 12 thường quên cách giải hoặc giải sai. 4 Trong quá trình dạy học đôi khi chính giáo viên cũng mắc sai lầm, chính vì vậy tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau đây để góp phần tránh được sai lầm cơ bản cho học sinh. 2.2. Ćc giải pńp tnưc niệ̣ 2.2.1. Giải pńp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến đổi tương đương đối với hai dạng phương trình cơ bản để khắc phục một số sai lầm khi học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ quả Pnượg pńp: Dạng 1:   g  x  0 f  x  g  x    2   f  x   g  x   Chú ý: Không cần đặt điều kiện xác định của phương trình là f  x  0. Dạng 2:   f  x  0 f  x  g  x     f  x  g  x  hoặc Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả   g  x  0 f  x  g  x     f  x  g  x  g  x  0 và f  x  0 vì f  x  g  x  . Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng f  x  g  x  và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điều kiện f  x  0 . Nhưng chúng ta nên để y rằng đây chỉ là điều kiện đủ để thực hiện được phep biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh dê mắc sai lầm khi lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f  x  0 là điều kiện cần và đủ của phương trình. Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x  3 x  2 (1) Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau: Điều kiện phương trình (1) là x 3 2 (*) 2 2 (1)  2 x  3 x  4 x  4  x  6 x  7 0 Phương trình cuối có nghiệm là x 3  2 và x 3  2. 5 Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x 3  2 bị loại. Vậy nghiệm phương trình (1) là x 3  2 . Một số học sinh đã mắc sai lầm là cho rằng sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện là x 3  2 và x 3  x 3 2 để lấy nghiệm và nghiệm phương trình 2. Nhưng một số học sinh cẩn thận hơn là có thử lại nghiệm. Tuy nhiên với cách giải trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai. 2 Ví dụ 2: Giải phương trình 3x  2 x  1 3x 1 (2) Với những học sinh nắm vững kiến thức và làm bài cẩn thận mà vẫn làm theo phương pháp biến đổi hệ quả thì cũng gặp khó khăn trong quá trình giải đó là: Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả 2 sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x  2 x  1 0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm. Do đó nên cho học sinh giải đúng theo định hướng ban đầu như sau: 1  x   1 3  3x 1 0  1  x     x  1  x  3  2   2 2   3 3 x 2  4 x 1 0  3 x  2 x  1  3x 1 1    x  3  Ta có: 1 x  . 3 Vậy nghiệm của phương trình (2) là Ví dụ 3: Giải phương trình 3x  4 x  3 (3) Hướng dẫn học sinh biến đổi tương đương cùng một lúc như sau: 6  x 3  9  29   x  3 0 x  3  9  29  x      x 2   2 2 2  x  9 x 13 0 3x  4  x  3  9  29  x    2 Ta có: (3) . 9  29 x . 2 Vậy nghiệm của phương trình (3) là Ví dụ 4: Giải phương trình 5 x 2  6 x  7  x  3 (4) 5 x 2  6 x  7 0  Học sinh thường đặt điều kiện  x  3 0 sau đó bình phương hai vế để giải phương trình. Học sinh gặp phải một trở ngại là mất thời gian để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x  3 0 là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện. Nên định hướng cho học sinh giải như sau : Ta có : (4)  x  3 0  x  3  2  2  5 x  6 x  7 x  3 5 x  5 x  10 0  x  3  x  2    x  2    x 1   x 1  Vậy nghiệm của phương trình (4) là x  2 và x 1 . Việc định hướng ngay tư ban đầu là yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổi tương đương giúp cho học sinh không đi lệch hướng và tránh được những sai lầm đáng tiếc. Ví dụ 5: Giải phương trình 2 x 2  3x  4  7 x  2 (5) Tương tự ví dụ trên học sinh giải như sau: Ta có: (5) 2  7 x  2 0  x   2   7  2 x  3x  4 7 x  2 2  2 x  4 x  6 0  2   x  7    x  1  x 3    x 3 . Vậy nghiệm của phương trình (5) là x = 3. 7 Ví dụ 6: Giải phương trình  3x  2  2 x  1 (6) Để không bị quên kiểm tra lại điều kiện nên yêu cầu học sinh biến đổi tương đương 1  x    2 x 1 0 2  x 1    5   3x  2 2 x 1  x 1  5 cùng một lúc: (6)  1 x 5. Vậy nghiệm của phương trình (6) là Nnậ̣ xét: Đối với hai dạng phương trình cơ bản nêu trên nếu giải theo phương pháp biến đổi hệ quả thì phải đặt điều kiện và phải thử lại nghiệm nên khá rườm rà dẫn đến dê mắc sai lầm và thiếu sót. Còn giải theo phương pháp biến đổi tương đương thì đơn giản và thuận tiện hơn. 2.2.2. Giải pńp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải phương trình dạng 1 ở trên theo phương pháp biến đổi tương đương bằng cách đặt ẩn phụ Pnượg pńp: Chuyển phương trình về dạng phụ: f  x  t  t 0  af  x   b f  x   c 0 Sau đó đặt ẩn Đưa về phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0. Ví dụ 7: Khi gặp bài toán x 2  3 x  5  x 2  3x  7 (7) Nếu học sinh vẫn cứ biến đổi tương đương như sau:   3x 2  3x  7 0  2 x  3 x  5   x 2  3x  7 (7)     2 thì sẽ dẫn đến một phương trình bậc bốn và để giải được kết quả cuối cùng thì không phải lúc nào cũng thuận lợi. Do đó ta phải có phương pháp khác đó là đặt ẩn phụ và tư đó hình thành cho học sinh một lớp bài toán giải phương trình chứa căn bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Khi đó hướng dẫn học sinh biến đổi như sau : 2 2 Ta có: (7)  x  3x  5  x  3x  5  12 0 8 Đặt  t 3 t 2  t  12 0   x  3x  5 t (t 0) . Khi đó phương trình trở thành  t  4(l ) 2  x  1 x 2  3x  5 9    x 4 Với t = 3 ta được Vậy nghiệm của phương trình (7) là x = -1 và x = 4. 2 2 Ví dụ 8 : Giải phương trình 5 4 x  12 x  11 4 x  12 x  15 (8) Theo mạch đó học sinh sẽ giải như sau : 2 2 Ta có : (8)  4 x  12 x  11  5 4 x  12 x  11  4 0 Đặt 4 x 2  12 x  11 t (t  0)  t 1 t 2  5t  4 0    t 4 (thoả mãn điều kiện của t) Phương trình trở thành Với t = 1 ta được 4 x 2  12 x  11 1  4 x 2  12 x  10 0 (phương trình vô nghiệm). Với t = 4 ta được  3  56 x 4 4 x 2  12 x  11 4  4 x 2  12 x  5 0    3  56 x  4 x Vậy nghiệm của phương trình là: Ví dụ 9: Giải phương trình:  2x 2 3  56 3  56 ; x 4 4 1 2 x 2 1 4  x 2  1  3 2 x 2 1 Ta biến đổi để trong phương trình có những biểu thức giống nhau như sau:  2x 2 1 2 x 2 1 2  2 x 2 1  3 2 x 2 1  6 2 Đặt 2 x 1 t (t ≥ 1). 3 2 Khi đó ta được một phương trình bậc ba với ẩn t: t  2t  3t  6 0  ( t – 2 )(t2 – 3 ) = 0 t = 2 hoặc t = 3 hoặc t = – 3 ( loại ) Với t = 2  2 x 1 = 2  x = 2  6 2 9 3  Với t = 2 x 2 1 = 3  x = 1 Vậy phương trình có bốn nghiêm là: x = Nnậ̣ xét:  6 2 , x = 1 Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến một phương trình phức tạp thi ta nên nghĩ đến việc biến đổi để trong phương trình có những biểu thức chứa biến giống nhau để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ. Trong hai ví dụ này, ta có thể khái quát thành dạng tổng quát như sau:   ax 2  bx      ax 2  bx    , khi đó ta đổi biến   ax 2  bx    t t2    ax  bx    , 0  (t ≥ 0). 2 Tuy nhiên trong một vài trường hợp, nếu phương trình trên có nghiệm tư hai nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể trùng nhau) ta vẫn có thể giải bằng cách bình phương hai vế của phương trình. Ví dụ 10: Giải phương trình: 2 x  1  x 2  3x  1 0 (ĐH Khối D – 2006) Ta có: (10)  2 x  1  x 2  3x  1  x4  6 x3  11x 2  8 x  2 0  x 1  2   x  1  x 2  4 x  2    x 2  2  x 2  2  Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm là x 1 và x 2  2. 2.2.3. Giải pńp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước khi giải các phương trình chứa nhiều căn thông qua một số phương pháp giải khác nhau để tránh sai lầm khi lấy nghiệm của phương trình Pnượg pńp: Đối với các phương trình chứa nhiều căn bậc hai ta nên đặt điều kiện trước khi giải. 10 a. Phương trình chứa nhiều căn giải bằng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần Ví dụ 11: Giải phương trình 3 x  7 0  Điều kiện:  x  1 0 3x  7  7   x  3   x  1  x  1 2 (11)  x  1 (11’) Với điều kiện (11’) ta có: (11)  3 x  7 = 2 +  2 x 1 = x + 1 x  1  3x + 7 = x + 5 + 4 x  1 (với điều kiện (11’) ta tiếp tục bình phương hai vế)  4x + 4 = x2 + 2x + 1  x2 -2x - 3 = 0  x  1    x 3 (thoả mãn điều kiện (11’) Vậy nghiệm của phương trình (11) là x = -1 và x = 3. Ví dụ 12: Giải phương trình 2 x  4  x  1  2 x  3  4 x  16 (12) Khi gặp bài toán này nhiều học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau Ta có : (12)  2 x  4  x  1  2 x  3  4 x  16  2 x  4  x  1  2 x  3  4( x  4)   x  1 0  x 1  x 2   x  1 2 x  3  x 2 x  1  2x  3   Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2. Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho do học sinh không tìm điều kiện của phương trình  x  4 0   x  1 0  x 4  2 x  3 0 Lời giải đúng là: Điều kiện  (12’) Với điều kiện (12’) ta có: (12)  2 x  4  x  1  2 x  3  2 x  4  x  1  2 x  3  x 2 ( không thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 11  A 0 A B  A C    B C Chú ý: Tuy nhiên không phải bài nào ta cũng cố đi tìm cho được điều kiện cụ thể của phương trình, chẳng hạn như ví dụ sau: 7  x2  x x  5  3  2x  x2 Ví dụ 13: Giải phương trình (13) 7  x 2  x x  5 0  2 3  2 x  x 0  x  5 0 Hướng dẫn : Điều kiện  (13’) Lưu ý: Hệ điều kiện trên rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể. Với điều kiện (13’) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta được  x  2 x  4  0 (13)  7  x 2  x x  5 3  2 x  x 2  x x  5  2 x  4   2 2  x  x  5  4 x  16 x  16  2 x 0  2 x 0   3   x  1  2 x  x  16 x  16  0    x 4  x  1  ( thỏa mãn điều kiện (13’)) Vậy nghiệm của phương trình (13) là x = -1 Ví dụ 14: Giải phương trình: 2 x  7  2 x  1  Điều kiện của phương trình là x 1 Ta thấy: Biểu thức dưới dấu căn x  1 4 (14) (14’) x  7  2 x  1 có dạng hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi như sau:  14   2   2 x 1 1  x  1 4  2 x  1  2   x  1 4 x  1 2  x  1 4  x 3 x = 3 thỏa mãn điều kiện (14’). Vậy nghiệm của phương trình là x = 3. b. Phương trình chứa nhiều căn bậc hai giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 15: Giải phương trình: 2  x  2   7  x   x  2  7  x 1 12 Trong dạng phương trình này học sinh cần nhận xét là:  2   x 2  t 2  5 2  2 7  x 5 ( hằng số ), do đó nếu ta đặt x  2  7  x t thì ta có:  x  2   7  x  , cần chú ý đến điều kiện của biến trung gian để việc giải bài toán có nhiều thuận lợi. Điều kiện  2 x 7 x  2  7  x (t 0) Đặt t = Ta suy ra t 2 5  2  x  2  7  x   t 3  t  2 (l ) 2 2 Ta được phương trình: t – 5 – t = 1  t – t – 6 = 0   Với t = 3 ta được  x 6  x  2   7  x  = 2  x2 – 9x + 18 = 0   x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và x = 3. Tuy nhiên có những bài như sau: 2 x  3  x  1 3 x  2 2 x 2  5 x  3  16 (16) Ví dụ 16: Giải phương trình 2 x  3 0  x  1  x  1  0 HD: Điều kiện  (16’) Ta thấy ( 2 x  3)2    2 x 1 3x  4 khác hằng số Tuy nhiên ta vẫn có thể giải bằng phương pháp trên Đặt 2 x  3  x  1 t , (Điều kiện t  0) 2 2  3 x  2 2 x  5 x  3 t  4  t 5  Phương trình (16) trở thành : t2 - t - 20 = 0   t  4 (l ) 2 Với t = 5 ta được 2 2 x  5 x  3 21  3 x ( là phương trình thuộc dạng 1) 13 21  3 x 0  2 2 4  2 x  5 x  3 41  216 x  9 x  x 7  2  x 118  1345 x  236 x  429  0  So sánh với điều kiện (16’) ta có nghiệm của phương trình là x 118  1345 x 2  Ví dụ 17 : Giải phương trình : x  2 2 x 2  4  2 x  2 Hướng dẫn : đặt điều kiện x 2 2 2 Cũng với hướng giải đó ta đặt : x  2  x  2 t (t 0)  t 2 x  2 x  4  t 1 t 2  t  2 0    t  2(l ) Phương trình trở thành 17 t 1  2 x 2  4 2 x  1  4( x 2  4) 4 x 2  4 x 1  x  4 Với 17 x 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là Có thể tổng quát cho những phương trình đặt ẩn phụ dạng này như sau: m  đặt  f  x   g  x  2n f  x  g  x   n  f  x   g  x    p 0 , f  x   g  x  t (t 0) , bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua ẩn t. c. Phương trình chứa nhiều căn khác bậc giải bằng phương pháp đặt hai ẩn phụ : Ví dụ 18: Giải phương trình: 3 24  x  12  x 6 Với phưong trình này có chứa hai loại căn là căn bậc hai và căn bậc ba, do đó phương pháp binh phương hai vế hay mũ ba hai vế đều không đem lại kết quả thuận lợi cho việc giải, còn nếu đặt một ẩn phụ thì không thể đưa phương trình về dạng không chứa căn. Đó là lí do để hướng học sinh đến việc phải đặt hai ẩn phụ. Ta chỉ cần đặt điều kiện cho căn bậc hai là x 12 14  3 24  x u ,  v 0   3 2 12  x  v  Đặt  . Ta nhận thấy rằng u  v 36 ( hằng số) u 0 u 3 u  4  u  v 6       3  2 u  v  36 v  6 v  3    v 10 Do đó ta có hệ  Với Với Với u 0   v 6  3 24  x 0  x  24   12  x 6 u 3   v 3  3 24  x 3  x 3  12  x  3  u  4   v  10   3 24  x  4  x  88   12  x 10 Vậy phương phương trình có 3 nghiệm là x = -24; x = 3; x = -88 Ví dụ 19: Giải phương trình: 3 x  1  3 x  3 3 2 Với phương trình này chỉ chứa một loại căn nhưng để mất căn ta phải mũ ba hai vế nhưng việc làm này sẽ dẫn đến một phương trình khá phức tạp và khó giải. Nhưng ta lại thấy rằng Do đó ta đặt  3 3   x 1  3  3 x  3 2 ( hằng số). u  3 x  1  v  3 x  3  v 0  3  u  2  u  v  3 2 3  v  2  3 3   u 0   Khi đó ta có hệ u  v 2 Giải ra ta có các nghiệm là (3; 0) và (0; 3) Ta tổng quát dạng này như sau:   F f  x  , n a  f  x  , m b  f  x  0. 15 2.2.4. Giải pńp 4: Tránh sai lầm cho học sinh khi khai căn của bình phương một biểu thức, đưa một biểu thức ra ngoài hay vào trong căn bậc hai Pnượg pńp:  A, A 0 A2  A    A, A  0 Ví dụ 20: Khi gặp phương trình:  x  3  x x 2  7 x  12  2  x  6 (20) Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau: Lời giải sai: (20)  x 2  7 x  12   x  3  x 2  x  6    x  3  x  4     x  3  x  4   x  3 x  2   x  3 Giải   ta có:   x  3  x  3  x  2   x 3 x  2  x  4 0    x  2 x  4 (*)  x  4 0 x  2 x  4   2  x  2  x  4      x 4  x 7  2 x  9 x  14  0  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 7. HS có thể kết luận với x =3 và x = 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình. Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 cũng thoả mãn. Lời giải đúng phải là: Ta có (20)  x 2  7 x  12   x  3  x 2  x  6    x  3  x  4    x  3  x  3  x  2    x  3 x  2  x  3  x  4   1   x  3  x  4    x  3  x  2       x  3 x  2  x  3  x  4   2  2 Giải (1): (1)   x  3 x  2  x  3  x  4    x  3  x 3    x  2 x  4   x  2  x  4 0  x 3  x 7  16 Giải (2): (2)    x  3 x  2  x  3  x  4    x  3  x 3   x  2  4  x    x  2  x  4 0  x 3  x 2  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 2; x = 3; x = 7. Lưu ý: 0 khi A 0  A2 B  A B  A B khi A  0    A B khi A  0 Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A ≤ 0. Ví dụ 21: Giải phương trình: Phương trình có dạng: x2  2x2  1  2x2  2 2x2  1  x2  2x2  1  2x  2 2 x 2  2 2 x 2  1 2( x  2) Đến đây nếu để học sinh tự làm tiếp thì nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm như sau: đưa 2 phương trình về dạng : 1  2 x  1  1  Và kết luận nghiệm của pt là x 1  Tuy nhiên lời giải đúng thì x 1  2 x 2  1 2( x  2)  x 1  2 2 2 lại không là nghiệm của phương trình Lời giải đúng như sau: Phương trình  - Nếu 1 1  2x2  1  1  2 x 2  1 2( x  2) 2 x 2  1 0  0 2 x 2  1 1  Khi đó (*) trở thành x  2 1  x 1  - Nếu 1  (*) 1  x 1 2 (a) 2 không thỏa mãn (a) 2 x 2  1  0  x  1 (b). Khi đó (*) trở thành:    x  2  x  2 2 x 2  1 x  2     2 2 2 2 x  1  ( x  2) x  2 2 x  3  0      x  2  5   x  2  5 Do (b) nên ta chỉ nhận được x  2  5 17 Do vậy nghiệm của phương trình là: x  2  5 . Ví dụ 22 : Giải phương trình  x  5 x 2 x  2 x 5 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: x 2 x  2  x 5  x  5  x  5   x  2  x  2  x  2 0  x  2   2   2 2  x  5   x  2   x  2   x  3 x  10 x  4 x  4  x  2   x  14 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét: Rỏ ràng x = - 14 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm. B. Lưu ý: A  AB khi A  0; B  0  B  AB khi A  0; B  0 Do đó lời giải đúng phải là: ( x  5). Trường hợp 1:  x 2 x 2  x  2   x 5  ( x  5)( x  2)  x  2  x 2   2   x  5  x  2   x  2  ( x  5). Trường hợp 2:  x 2   x  14 hệ vô nghiệm  x   5 x 2 x 2   x 5  ( x  5)( x  2)  x  2 x   5 x   5     x  14  2  x  14  x  5  x  2   x  2  Vậy phương trình có nghiệm là x = -14. Bài tập tượg tư: Bài tập 1: ( Giải theo một trong hai dạng cơ bản) 18 2 x  3 x a) x 2  6 x 6 2 x  1 b) 2 d) x  2 x  8  3  x  4  . 2 c)  x  2 x  4 x  2 Bài tập 2 : (Giải bằng cách đặt 1 ẩn phụ) 2 2 a) . x  2 x  2 x  4 x  3 b)  x 1  x  2 x 2  3x  4 c) 5 x 2  10 x  1 7  x 2  2 x d) x  1  12  x   x 2  11x  23 e) x 2 f) 2 x  3  x  1 3x  16  2 x 2  5 x  3. x  2 2 x 2  4  2 x  2 Bài tập 3 : ( Giải bằng cách biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần ) a) x  x  5  5 b) x  4  1 x  1 2 x c) 5x  1  d) x 1  3  4 x 2 x  2 . 3x  2  x  1 0 Bài tập 4 : ( Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ) a) 2 x  1  3 c) 3 2 x  5 3 1  x  1  x 1 2 2 b) d) 4 18  x  4 x  1 3 1  x2  2 3 1  x 2 3 . 3. KẾT LUẬN 3.1. Ý ̣gnĩu ccu đề tài Như vậy, qua một số giải pháp mà tôi đưa ra nhằm giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quát hơn, sâu rộng hơn và tránh được nhiều sai lầm đáng tiếc hơn khi giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai. 19 Giúp cho học sinh lớp 10 có kiến thức chắc chắn hơn, kỷ năng thành thạo và tự tin hơn khi học phần này và giúp cho học sinh lớp 12 có thêm kinh nghiệm để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT quốc gia. Đề tài của tôi sẽ được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10 và trong quá ôn thi THPT quốc gia, chắc chắn học sinh đạt được kết quả cao hơn, đề tài sẽ góp phần nâng cao cho học sinh khả năng giải các phương trình cũng như vận dụng để giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai. Sẽ gây được sự hứng thú cho học sinh học tập hơn. Năm học 2016-2017 tôi đã áp dụng đề tài này cho học sinh các lớp 10̀5 ; 10̀6 ; 10̀10 trong các tiết chính khóa, các tiết tự chọn và năm học 20182019 tôi sẽ sử dụng để ôn thi THPT cho học sinh lớp 12 sắp tới. Kết quả sd vơi trươc kni cnưu ́p ụ̣g đề tài ( năm học 2016-2017) Câu nỏi Số HS là đụg Tỉ lệ 1 104 93.56% 2 95 87.16% 3 69 61.47% 3.2. Kiệ́ ̣gnị, đề xuất Kính mong tổ chuyên môn thảo luận thêm về đề tài này trong các buổi sinh hoạt chuyên môn của tổ, tăng thêm thời lượng trong các tiết tự chọn cũng như tạo mọi điều kiện để tôi thực hiện đề tài này một cách có hiệu quả nhất đến với học sinh. Kính đề nghị nhà trường cũng tạo mọi điều kiện để tôi thực hiện tốt đề tài của mình. Nội dung kiến thức về phương trình chứa căn rất sâu rộng và phong phú. Tôi đã cố gắng tìm tòi và vận dụng với thực tế là học sinh chủ yếu ở mức độ dưới khá. Chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quy thầy cô và các đồng nghiê ̣p góp y để đề tài tôi sẽ có hiê ̣u quả hơn nữa trong quá trình giảng dạy. Tôi xin chân thành cảm ơn ! 20