Tài liệu Skkn phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc MÔ TẢ GIẢI PHÁP 1. Tên sáng kiến: Phân loại và phương pháp giải một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số. (Đặng Thị Hạnh - trường THPT Chuyên Bến Tre) 2. Lĩnh vực áp dụng của sáng kiến: Dạy học ở chương trình phổ thông. 3. Mô tả bản chất của sáng kiến 3.1 Tình trạng giải pháp đã biết: Trong quá trình học tập trên lớp cũng như tự ôn luyện nhằm đạt kết quả cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia, một trong những bài toán quen thuộc mà học sinh thường gặp đó là “Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy cho biết hàm số y  f  x hoặc hàm số y  f  x  hoặc hàm số y  f  x   2 có bao nhiêu điểm cực trị ? ” hoặc bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  đã cho, hãy cho biết hàm số y  f  x 2  2  đồng biến trên khoảng nào?” hoặc bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy cho biết phương trình f  f  x   1 có bao nhiêu nghiệm ?” . Bài toán sẽ đơn giản hơn nếu ta biết được biểu thức f  x  của hàm số y  f  x  nhưng ở đây ta không biết được biểu thức f  x  của hàm số y  f  x  . Chính vì vậy các bài toán này thường gây khó khăn cho học sinh kể cả học sinh giỏi, hoặc là học sinh tìm được lời giải nhưng lời giải chưa trọn vẹn. Chẳng hạn, đối với bài toán “Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  đã cho, hãy cho biết hàm số y  f  x 2  2  đồng biến trên khoảng nào?” học 2 sinh lúng túng khi tìm đạo hàm của hàm số y  f  x  2  và khi tìm được đạo hàm của 2 hàm số y  f  x  2  có thể bị mắc sai lầm trong lí luận về khoảng đồng biến hoặc 2 nghịch biến của hàm số y  f  x  2  khi dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  . Do đó yêu cầu đặt ra là cần tìm ra các phương pháp giải một số bài toán trên. Chính vì vậy mà sáng kiến kinh nghiệm này tập trung vào đi tìm lời giải cho các bài toán trên qua đó rút ra nhận xét, kinh nghiệm nhằm giúp học sinh tìm được đúng, đầy đủ và nhanh để có thể đáp ứng tốt cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia. Đồng thời sau mỗi dạng bài toán có đưa ra phương pháp để sáng tạo bài toán tương tự. 1 Trong sáng kiến kinh nghiệm này, hàm số được nhắc đến là các hàm đa thức bậc ba hoặc hàm đa thức bậc bốn. Do đó tôi tập trung vào giải quyết các vấn đề như sau: Phân các bài toán thường gặp thành hai dạng: Dạng biết đồ thị hàm số y  f  x  và dạng biết đồ thị hàm số y  f '  x  . Trong mỗi dạng trên tôi tập trung vào giải các bài toán sau: Bài toán 1: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm các khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số hoặc tìm số điểm cực trị của hàm số hoặc tìm số nghiệm của phương trình cho trước. Bài toán 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có bốn, năm nghiệm. trong mỗi dạng hàm số có đưa ra phương pháp giải của từng bài toán và nêu ra một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải nhằm giúp các em rút được kinh nghiệm và giải được các bài toán tương tự. Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu dùng kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp, sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm số để giải bài toán dạng biết đồ thị hàm số y  f  x  đồng thời đòi hỏi học sinh kỹ năng tìm được các khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số hoặc tìm các điểm cực trị của hàm khi biết đồ thị hàm số y  f ' x . Phương pháp này có những thuận lợi như sau: - Nội dung về đạo hàm của hàm số hợp, sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm số học sinh đã được học trong sách giáo khoa nên học sinh sẽ thấy quen thuộc và dễ tiếp thu. - Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  suy ra sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm số y  f  x  . Vì sáng kiến này chủ yếu sử dụng kiến thức về sự biến thiên, cực trị và đồ thị của hàm số nên đối tượng áp dụng kết quả của sáng kiến này là học sinh lớp 12. Trong quá trình giải các bài toán trên ta có sử dụng một công thức đạo hàm quen thuộc đó là đạo hàm của hàm số hợp. 3. 2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: 2 3.2.1 Mục đích của giải pháp: Thực hiện giải ba bài toán Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y  f  x  hoặc hàm số 2 y  f  x  hoặc hàm số y  f  x   . Bài toán 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y  f  u  với u u  x  . Bài toán 3: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm. 3.2.2 Nội dung giải pháp: Giải pháp được thực hiện dựa trên cở sở lí luận sau a. Đạo hàm của hàm số hợp y  f  u  x   Nếu hàm số u u  x  có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại điểm u0 u  x0  thì hàm số hợp y  f  u  x   có đạo hàm tại điểm x0 và y '  x0   f '  u0  .u '  x0  Nếu hàm số u u  x  có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại mọi điểm u u  x  thì hàm số hợp y  f  u  x   có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K và y '  x   f '  u  .u '  x  (trong đó K là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng) hay viết gọn là y x'  f u' .u x' b. Từ đồ thị  C  của hàm số y  f  x  suy ra đồ thị  C1  của hàm số y  f  x  và đồ thị  C2  của hàm số y  f  x   f  x  ,  f  x  , Ta có y  f  x   khi f  x  0 khi f  x   0 . Do đó đồ thị  C1  gồm hai phần Phần 1: Phần đồ thị  C  nằm từ trục hoành trở lên Phần 2: Lấy đối xứng của phần đồ thị  C  nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. 3  f  x  ,  f   x  , Ta có y  f  x   khi x 0 khi x  0 . Do đó đồ thị  C2  gồm hai phần Phần 1: Phần đồ thị  C  nằm bên phải trục tung. Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua trục tung. c. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y  f  x  . Trên khoảng   ; a  , ta thấy tiếp tuyến của đồ thị tại mọi đểm có hoành độ x0    ; a  đi xuống (tính từ trái qua phải) suy ra f '  x0   0, x0    ; a  hay f '  x   0, x    ; a  Tương tự, f '  x   0, x   a; b  , f '  x   0, x   b; c  , f '  x   0, x   c;   Tại M  a; f  a   tiếp tuyến của đồ thị song song với trục hoành nên f '  a  0 . Tương tự, f '  b  0, f '  c  0 Ta có bảng biến thiên Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng  a; b  và  c;  Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; a  và  b; c  Hàm số đạt cực đại tại x b Hàm số đạt cực tiểu tại x a, x c Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng f  a  , không có giá trị lớn nhất. 4 d. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có đồ thị y  f '  x  hình vẽ. Xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y  f  x  . Trên khoảng các khoảng   ; e  ,  d ;   , ta thấy đồ thị y  f '  x  nằm phía trên trục hoành nên f '  x   0 Trên khoảng các khoảng  e; a  ,  a; b  ,  b; c  ,  c; d  , ta thấy đồ thị y  f '  x  nằm phía dưới trục hoành nên f '  x   0 Đồ thị y  f '  x  cắt trục hoành tại x e, x d nên f '  e  0, f '  d  0 Ta có bảng biến thiên Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;e  và  d ;   Hàm số nghịch biến trên các khoảng  e; a  ,  a; b  ,  b; c  và  c; d  Hàm số đạt cực đại tại x e Hàm số đạt cực tiểu tại x d Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. Dựa vào các cơ sở lí luận trên, ta giải được các bài toán liên quan đến đồ thị như sau: 5 Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y  f  x  hoặc hàm số 2 y  f  x  hoặc hàm số y  f  x   . i. Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g ( x )  f  x  Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy ra đồ thị hàm số y  g ( x)  f  x  Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số y  g ( x )  f  x  dựa vào đồ thị hàm số y  g ( x )  f  x  . Sau đó dựa vào bảng biến thiên mà kết luận về sự biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g ( x)  f  x  Nhận xét: + Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y g ( x)  f  x  thì ta chỉ cần dựa vào đồ thị hàm số y  g ( x)  f  x  mà không cần lập bảng biến thiên. + Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số y g ( x)  f  x  thì tốt nhất nên lập bảng biến thiên. Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biến thiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm x  xi mà kết luận về điểm cực trị của hàm số. + Nếu f ( x) là hàm đa thức thì f ( x) có đạo hàm trên  nên f '( xi ) luôn xác định nhưng đối với hàm g ( x)  f  x  thì g '( x ) không xác định tại các điểm x  xi là hoành độ giao điển của đồ thị f ( x) với trục hoành. Thật vậy, nếu ta xem y g ( x)  f  x   f 2 ( x) thì áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp ta có y '  g '( x)  f '( x ). f ( x ) f 2 ( x) , từ đó ta thấy rõ ràng g '( x) không xác định tại các điểm x  xi là nghiệm của phương trình f ( x) 0 hay tại các điểm x  xi là hoành độ giao điểm của đồ thị f ( x ) với trục hoành. + Khi dựa vào bảng biến thiên để kết luận về cực trị của hàm số học sinh thường gặp phải sai lầm như sau: Nếu g '( x ) đổi dấu khi qua điểm x xi nhưng g '( x) không xác 6 định tại x  xi thì kết luận ngay hàm số không đạt cực trị tại điểm x  xi . Đây là kết luận chưa chính xác vì hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà nó không có đạo hàm. Do đó nếu gặp trường hợp trên ta cần xét đến giá trị của hàm số tại điểm x xi . Tức là, nếu g  xi  xác định thì x  xi là điểm cực trị của hàm số y g ( x) , nếu g  xi  không xác định thì x xi không là điểm cực trị của hàm số y g ( x) . Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu ? Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy ra đồ thị hàm số y g ( x )  f  x  như sau: Lập bảng biến thiên của hàm số y  g ( x)  f  x  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x  có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. ii. Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g ( x )  f  x  Ta thực hiện theo các bước sau: 7 Bước 1: Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy ra đồ thị hàm số y  g ( x)  f  x  Bước 2: Từ đồ thị hàm số y  g ( x )  f  x  , suy ra bảng biến thiên của hàm số y g ( x)  f  x  . Sau đó dựa vào bảng biến thiên mà kết luận về sự biến thiến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g ( x)  f  x  Nhận xét: + Nếu chỉ kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y g ( x)  f  x  thì ta chỉ cần dựa vào phần đồ thị nằm bên phải truc Oy của hàm số y  f ( x) mà không cần lập bảng biến thiên. + Nếu muốn kết luận về sự biến thiến, cực trị của hàm số y g ( x)  f  x  thì tốt nhất nên lập bảng biến thiên. Sau đó căn cứ vào dấu của đạo hàm mà ta kết luận về sự biến thiên đồng thời dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm khi qua điểm x  xi mà kết luận về điểm cực trị của hàm số. + Nếu f ( x) là hàm đa thức thì f ( x) có đạo hàm trên  nên f '( xi ) luôn xác định nhưng đối với hàm g ( x)  f  x  thì g '( x) không xác định tại điểm x 0 là hoành độ giao điển của đồ thị f ( x) với trục tung. Thật vậy, nếu ta xem y g ( x)  f  x   f hàm số hợp ta có y '  g '( x)  f '  x . 2  x  thì áp dụng công thức đạo hàm của x x2 2 , từ đó ta thấy rõ ràng g '( x ) không xác định tại điểm x 0 hay tại điểm là hoành độ giao điểm của đồ thị f ( x) với trục tung. iii. Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y g ( x )  f  x   2 Ta thực hiện theo các bước sau: 2 Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y g ( x )  f  x   (dựa vào công thức đạo hàm của hàm số hợp), ta có y '  g '( x) 2. f '  x  . f  x  . Bước 2: Giải phương trình g '( x) 0 , tức là giải phương trình f '  x  0 và f  x  0 . Nghiệm các phương trình trên chính là hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các 8 điểm là giao của độ thị với trục hoành. Đồng thời g '( x) không xác định tại các điểm mà f '  x  và f  x  không xác định. 2 Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y g ( x )  f  x   . Lưu ý: Dấu của y '  g '( x ) phụ thuộc vào dấu của f '  x  và f  x  . Giả sử nếu trên khoảng  a; b  thuộc khoảng xác định của hàm số ta có: Phần đồ thị f  x  nằm phía trên trục hoành tức là f  x   0, x   a; b  và xét từ trái sang phải ta thấy đồ thị f  x  đi xuống tức là f '  x   0, x   a; b  . Do đó y '  g '( x)  0, x   a; b  Bước 4: Kết luận về sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y  g ( x)  f  x   2 Ví dụ 2. Cho hàm số f  x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  f  x   2 có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu ?  f '  x  0 Ta có y '  g '( x) 2. f '  x  . f  x  và g '( x) 0    f  x  0  x a  Từ đồ thị ta thấy x a, x 1, x b là hoành độ các điểm cực trị nên f '  x  0   x 1  x b Từ đồ thị ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ x 0, x 1, x 3 nên  x 0 f  x  0   x 1  x 3 Xét trên khoảng  3;   ta có: Phần đồ thị f  x  nằm phía trên trục hoành tức là f  x   0, x   3;   và tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị f  x  đi lên tức là f '  x   0, x   3;   . Do đó y ' g '( x )  0, x   3;   9 Xét trên khoảng  b;3 ta có: Phần đồ thị f  x  nằm phía dưới trục hoành tức là f  x   0, x   b;3 và tính từ trái sang phải ta thấy đồ thị f  x  đi lên tức là f '  x   0, x   b;3  . Do đó y '  g '( x)  0, x   b;3 Tương tự trên các khoảng còn lại. Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số 2 y  g ( x)  f  x   như sau: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x   2 có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Bài toán iii) có thể tổng quát như sau: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y g ( x )  f  u  x   Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y g ( x)  f  u  x   (dựa vào công thức đạo hàm của hàm số hợp), ta có y '  g '( x)  f '  u  x   .u '  x  . Bước 2: Giải phương trình g '( x ) 0 , tức là giải phương trình f '  u  x   0 và u '  x  0 . Để tìm nghiệm các phương trình f '  u  x   0 ta dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho. Chẳng hạn, trên đồ thị hàm số y  f  x  ta suy ra được f '  x  0  x a nên f '  u  x   0  u  x  a sau đó từ phương trình u  x  a giải tiếp để tìm x. Đồng thời g '( x) không xác định tại các điểm mà u '  x  và f '  u  x   không xác định. Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y g ( x)  f  u  x   . Lưu ý dấu của y '  g '( x) phụ thuộc vào dấu của u '  x  và f '  u  x   . Bước 4: Kết luận về sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có ) của hàm số y  g ( x )  f  x   2 10 Ví dụ 3. Cho hàm số f  x  liên tục trên  có đồ thị hàm y  f '  x  như hình vẽ. Xét sự 2 biến thiên của hàm số y  f  x  2  ? Hàm số y g ( x)  f  x 2  2  liên tục trên  và có đạo hàm y g '  x  2 x. f '  x 2  2   x 0 g '  x  0   2  f ' x  2 0    x  1 Từ đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy f '  x  0   .  x 2  x 2  2  1  Suy ra f ' x  2 0   2  x  2 2  2   x 1  x 2   x 0  Hay g '  x  0   x 1  x 2 Từ đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy f '  x   0, x  2 . x2 2 2 Do đó f '  x  2   0  x  2  2   x2 Từ đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy f '  x   0, x  2 . 2 2 Do đó f '  x  2   0  x  2  2   2  x  2 2 Xét trên khoảng  2;   ta có: 2 x  0 và f '  x  2   0 . Do đó y '  g '( x)  0, x   2;   2 Xét trên khoảng  1; 2  ta có: 2 x  0 và f '  x  2   0 . Do đó y ' g '( x )  0, x   1; 2  2 Tương tự trên các khoảng còn lại. Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  2  như sau: 11 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x 2  2  đồng biến trên các khoảng   2; 0  và  2;  và nghịch biến trên các khoảng   ;  2  ,  0; 2  và  2;  iv. Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  đã cho, hãy xác định số nghiệm của phương trình f  f  x   m với m là hằng số cho trước. Ta thực hiện theo các bước sau:  f  t  m (1) Bước 1: Đặt t  f  x  . Khi đó phương trình f  f  x   m   t  f  x  (2) Bước 2: Số nghiệm của phương trình f  f  x   m là số nghiệm của phương trình (2) với t nhận tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình (1). - Từ đồ thị y  f  x  ta tìm được số nghiệm t của phương trình (1) đồng thời biết được mỗi nghiệm t thuộc khoảng  a; b  nào đó. - Với mỗi nghiệm t thuộc khoảng  a; b  ta tìm số nghiệm của phương trình (2). Ví dụ 4. Cho hàm số f  x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f  f  x   1 có bao nhiêu nghiệm ?  f  t  1 (1) Đặt t  f  x  . Khi đó phương trình f  f  x   1   t  f  x  (2) Số nghiệm của phương trình f  f  x   1 là số nghiệm của phương trình (2) với t nhận tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình (1). 12 Xét phương trình (1), f  t  1 . Từ đồ thị ta có đường thẳng y 1 và đồ thị hàm y  f  t  cắt nhau tại ba điểm. Do đó phương trình f  t  1 có ba nghiệm t như sau: t a với  1  a  0 , t b với 0  b  1 , t c với 2  c  3 Với mỗi trường hợp của t ta xét số nghiệm của phương trình (2) Trường hợp 1: t a với  1  a  0 Khi đó, (2) trở thành f  x  a với  1  a  0 . Từ đồ thị ta có đường thẳng y a và đồ thị hàm y  f  x  cắt nhau tại ba điểm suy ra (2) có ba nghiệm phân biệt. Trường hợp 2: t b với 0  b  1 Khi đó, (2) trở thành f  x  b với 0  b  1 . Từ đồ thị ta có đường thẳng y b và đồ thị hàm y  f  x  cắt nhau tại ba điểm suy ra (2) có ba nghiệm phân biệt. Trường hợp 2: t b với 0  b  1 Khi đó, (2) trở thành f  x  c với 2  c  3 . Từ đồ thị ta có đường thẳng y c và đồ thị hàm y  f  x  cắt nhau tại một điểm suy ra (2) có một nghiệm. Ta thấy các nghiệm trên đôi một khác nhau nên phương trình f  f  x   1 có bảy nghiệm phân biệt. Nhận xét: Do đồ thị hàm số chỉ ra rõ ràng tọa độ các điểm cực trị, tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung nên đối với bài toán này ta có thể giải bằng cách như sau: Từ đồ thị suy ra hàm số y  f  x  là hàm đa thức bậc ba. Dựa vào các điểm cực trị và giao điểm của đồ thị với trục tung ta tìm được phương trình hàm số y  f  x  x 3  3x 2  2 3 2 Khi đó phương trình f  f  x   1   x3  3x 2  2   3  x3  3x 2  2   2 1 (*) 3 2 Đặt t  f  x   x  3x  2 . Khi đó (*) trở thành t 3  3t 2  2 1 (1). Phương trình (1) có ba nghiệm t1 , t 2 , t3 13 3 2 Với mỗi nghiệm t tìm được ở trên, thế vào phương trình f  x  t  x  3 x  2 t ta tìm được nghiệm x. Tuy nhiên cách làm này khá dài và đòi hỏi học sinh phải tìm đúng biểu thức f  x  của hàm số. Trong trường hợp đồ thị hàm số y  f  x  không chỉ ra rõ ràng tọa độ các điểm cực trị như hình dưới đây Khi đó việc tìm biểu thức f  x  của hàm số rất khó khăn và gần như là không thể. Do đó việc rèn luyện kỹ năng dựa vào đồ thị hàm số f  x  để suy ra số nghiệm của phương trình f  x  a (a là hằng số ) là rất cần thiết, nhất là trong điều kiện thi theo hình thức trắc nghiệm. Ta xét thêm một ví dụ nữa để thấy được cái hay của phương pháp giải toán dựa trên đồ thị hàm số y  f  x  mặc dù không biết được biểu thức f  x  của hàm số Ví dụ 5. Cho hàm số f  x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Đặt g ( x)  f  f  x   . Phương trình g '( x ) 0 có bao nhiêu nghiệm ? Giải Đặt u  f  x  . Khi đó g ( x )  f  u  Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có g '( x)  f '  u  .u '  x   f '  x  . f '  u   f '  x  0 Khi đó g '( x) 0    f '  u  0 14  x a, (0  a  1)  u a  f  x  a 1  Từ đồ thị ta có f '  x  0   và f '  u  0    u b  f  x  b  x2 b, (2  b  3) Với f  x  a . Nhìn vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm y  f  x  cắt đường thẳng y a với 0  a  1 tại ba điểm phân biệt do vậy phương trình f  x  a có ba nghiệm phân biệt x3 , x4 , x5 Với f  x  b . Nhìn vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm y  f  x  cắt đường thẳng y b với 2  b  3 tại một điểm do vậy phương trình f  x  b có một nghiệm x6 Vậy phương trình g '( x) 0 có 8 nghiệm phân biệt. Bài toán 2: Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình cho trước có bốn, năm nghiệm. i. Dựa vào đồ thị đã cho, tìm điều kiện của tham số để hàm số có ba, bốn điểm cực trị. Bài toán : Cho hàm số y  f  x  (trong đó f  x  là hàm đa thức bậc ba hoặc đa thức bậc bốn) có đồ thị như hình vẽ. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y  f  x   m có ba hoặc bốn điểm cực trị. Hướng giải Đặt g ( x)  f  x   m . Khi đó y  g  x    g ( x)  2 ta có y '  g '( x).g ( x)  g ( x) 2 Trường hợp: f  x  là hàm đa thức bậc ba Ta thấy y ' 0 tại các điểm mà g '( x) 0 suy ra y ' 0 tại nhiều nhất 2 điểm ( do g ( x )  f  x   m cũng là hàm đa thức bậc ba) y ' không xác định tại các điểm mà g ( x ) 0 suy ra y ' không xác định tại nhiều nhất 3 điểm. Do đó số điểm cực trị của hàm số y  f  x   m nhiều nhất là 5 điểm (vì một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định) Ta xét một số trường hợp cụ thể như sau: a) Phương trình g ( x) 0 và phương trình g '( x ) 0 không có nghiệm chung. + Nếu g ( x ) 0 có 3 nghiệm và g '( x) 0 có 2 nghiệm phân biệt (tức là g ( x) có 2 điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau 15 (Hình vẽ trên cho biết g ( x) 0  x a, x c, x e , g '( x) 0  x b, x d và các nghiệm này đôi một khác nhau) Suy ra đồ thị y  g ( x) như sau Ta thấy trên khoảng  e;   đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên y '  0, x   e;   . Tương tự trên các khoảng còn lại nên ta có bảng biến thiên của y  g ( x) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. + Nếu g ( x ) 0 có 1 nghiệm và g '( x) 0 có 2 nghiệm phân biệt (tức là g ( x) có 2 điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau (Hình vẽ trên cho biết g ( x) 0  x c , g '( x) 0  x a, x b và các nghiệm này đôi một khác nhau) 16 Suy ra đồ thị y  g ( x) Ta thấy trên khoảng  c;   đồ thị hàm số hướng lên (tính từ trái sang phải) nên y '  0, x   c;   . Tương tự trên các khoảng còn lại nên ta có bảng biến thiên của y  g ( x) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị. + Nếu g ( x ) 0 có 1 nghiệm và g '( x) 0 vô nghiệm hoặc g '( x ) 0 có nghiệm kép (tức là g ( x) không có điểm cực trị ) thì ta có đồ thị như sau ( g ( x ) 0  x a , g '( x ) 0 vô nghiệm) ( g ( x) 0  x a , g '( x) 0 có nghiệm kép ) Suy ra đồ thị y  g ( x) Ta có bảng biến thiên của y  g ( x) 17 Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 1 điểm cực trị. b) Phương trình g ( x) 0 và phương trình g '( x ) 0 có nghiệm chung. + Nếu g ( x) 0 và g '( x ) 0 có 1 nghiệm chung ta có đồ thị như sau (Hình vẽ trên cho biết g ( x) 0  x a, x c , g '( x) 0  x a, x b và x a là nghiệm chung của phương trình g ( x ) 0 và phương trình g '( x ) 0 ) Khi đó ta có đồ thị y  g ( x) như sau Ta có bảng biến thiên của y  g ( x) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y  g ( x) là n với n được tính như sau: n m  k  h tromg đó m là số nghiệm phương trình g ( x) 0 , k là số điểm cực trị của g ( x) , h là số nghiệm chung của phương trình g ( x ) 0 và phương trình g '( x) 0 18 Trường hợp: f  x  là hàm đa thức bậc bốn Ta thấy y ' 0 tại các điểm mà g '( x) 0 suy ra y ' 0 tại nhiều nhất 3 điểm ( do g ( x )  f  x   m cũng là hàm đa thức bậc bốn) y ' không xác định tại các điểm mà g ( x ) 0 suy ra y ' không xác định tại nhiều nhất 4 điểm. Do đó số điểm cực trị của hàm số y  f  x   m nhiều nhất là 7 điểm (vì một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định) Ta xét một số trường hợp cụ thể như sau: a) Phương trình g ( x) 0 và phương trình g '( x ) 0 không có nghiệm chung. + Nếu g ( x ) 0 có bốn nghiệm (tức là y ' không xác định tại 4 điểm ) và g ( x) có ba điểm cực trị. Ta có (Hình vẽ trên cho biết g ( x) 0  x a, x c, x e, x n , g '( x) 0  x b, x d , x m ) Khi đó ta có đồ thị y  g ( x) như sau Ta có bảng biến thiên của y  g ( x) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 7 điểm cực trị. b) Phương trình g ( x) 0 và phương trình g '( x ) 0 có nghiệm chung. + Nếu g ( x ) 0 và g '( x ) 0 có 1 nghiệm chung ta có đồ thị như sau 19 (Hình vẽ trên cho biết g ( x) 0  x a, x c, x e , g '( x) 0  x b, x c, x d và x c là nghiệm chung của phương trình g ( x) 0 và phương trình g '( x ) 0 ) Khi đó ta có đồ thị y  g ( x) như sau Ta có bảng biến thiên của y  g ( x) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y  g ( x) là n với n được tính như sau: n m  k  h tromg đó m là số nghiệm phương trình g ( x) 0 , k là số điểm cực trị của g ( x) , h là số nghiệm chung của phương trình g ( x ) 0 và phương trình g '( x) 0 4 3 2 Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y  3x  4 x  12 x  m có 7 điểm cực trị. Giải 4 3 2 3 2 Ta đặt f ( x) 3x  4 x  12 x  m  f '  x  12 x  12 x  24 x  x 2  y m  32 f '  x  0   x  1  y  5  m  x 0  y m 20