PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.
Thực tế trong sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11 cấp THPT chỉ với thời lượng 3 tiết
cho một bài dành riêng cho véc tơ trong không gian và chỉ dùng véc tơ trong không gian để
giới thiệu quan hệ vuông góc mà không xét véc tơ trong không gian thành một chủ đề riêng,
thời lượng ít, việc tiếp cận các kiến thức còn hạn chế. Bài tập hình học không gian sử dụng
phương pháp véc tơ để giải còn xa lạ đối với đa số học sinh. Tuy nhiên trong các kì thi như:
thi học kì, thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố, thi olimpic, thi tốt nghiệp, thi đại học, cao
đẳng,… luôn có nhiều bài hình học không gian nếu giải theo phương pháp thuần túy thì hết
sức khó khăn, nhưng khi sử dụng véc tơ để giải thì rất nhẹ nhàng. Do vậy cần cho học sinh
tiếp cận với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau, đồng thời rèn luyện cho học sinh
phân tích bài toán theo nhiều hướng để tìm ra lời giải tối ưu nhất. Giáo viên cần trang bị cho
các em các kiến thức cơ bản phù hợp; tiếp cận với được nhiều kiến thức để có vốn hiểu biết
làm tiền đề việc học tốt phân môn hình học tọa độ trong không gian, một công cụ hữu ích để
giải nhiều bài toán hình học.
Xuất phát từ thực tế đó tôi mạnh dạn “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ để
giải các bài toán hình học không gian” làm đề tài nghiên cứu và áp dụng dạy trên một số lớp
tại trường THPT Ba Đình.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
A. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Cơ sở lí thuyết:
1. Véc tơ trong không gian:
Định nghĩa véc tơ và các phép toán về véc tơ trong không gian cũng giống như trong mặt
phẳng. Ngoài ra cần biết:
- Quy tắc hình hộp để cộng véc tơ trong không gian.
- Khái niệm và định nghĩa đồng phẳng của ba véc tơ, cụ thể:
+ Ba véc tơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có ba số m, n, p không đồng thời bằng không
sao cho ma nb pc 0 .
+ Cho a, b không cùng phương. Khi đó a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có các số m, n sao
cho c ma nb , hơn nữa bộ số m, n là duy nhất.
1
+ Nếu a, b, c không đồng phẳng thì với mỗi véc tơ d đều có thể viết dưới dạng
d ma nb pc , với các số m, n, p là duy nhất.
2. Phương pháp véc tơ:
Qui trình giải toán
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở, đưa các giả thiết và kết luận của bài toán hình học đã cho
sang ngôn ngữ “véc tơ”.
Nói chung việc chọn hệ véc tơ cơ sở phải thoả mãn hai yêu cầu:
+ Hệ véc tơ cơ sở phải là ba véc tơ không đồng phẳng, biết độ dài các véc tơ và góc giữa
chúng.
+ Hệ véc tơ cơ sở nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn
ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất.
Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ thức
véc tơ theo hệ véc tơ cơ sở.
Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.
B. THỰC TRẠNG.
Hình học không gian là một mảng kiến thức có thể nói khó đối với học sinh trung học phổ
thông. Hơn nữa một thực tế là có rất nhiều học sinh chưa thấy hết được ứng dụng của véc tơ
đối với các bài toán hình học không gian.
Do hình học không gian là bộ môn mà học sinh mới bắt đầu làm quen từ lớp 9, việc tiếp thu
kiến thức còn bị động, rời rạc, không có hệ thống, nên khả năng tư duy bộ môn còn nhiều
hạn chế. Chưa liên hệ từ thực tiễn đến lí thuyết, từ lí thuyết đến bài tập, việc vận dụng còn xa
lạ đối với các em học sinh, các em mới chỉ làm được các bài tập đơn giản chưa có đường lối
rõ ràng. Để có thể phát huy được sự tìm tòi, tính sáng tạo, năng lực tư duy của học sinh.
Ngay sau khi học bài học đầu tiên của chương III hình học nâng cao lớp 11: “Véc tơ trong
không gian. Sự đồng phẳng của các véc tơ” giáo viên cần cho học sinh làm các bài tập sử
dụng các kiến thức về véc tơ trong không gian. Từ đó học sinh cần thấy được véc tơ và các
phép toán về véc tơ có vai trò nhất định trong việc giải một số bài toán hình học không gian.
Kết hợp với trình bày khoa học của sách giáo khoa và thông qua những bài tập củng cố khéo
léo của giáo viên, học sinh hiểu được phương pháp véc tơ là gì? Cách giải các bài toán hình
học không gian bằng phương pháp đó như thế nào và cần những nội dung kiến thức gì? Tại
2
sao phải nắm vững mối liên hệ giữa các véc tơ trong không gian với các khái niệm cơ bản,
đối tượng của hình học không gian.
Chính vì lẽ đó để làm tốt các bài toán bằng phương pháp véc tơ và học tập tốt bộ môn
không chỉ trong phạm vi của một tiết học, một bài hay một chương mà là công việc thường
xuyên và liên tục gần như xuyên suốt chương trình hình học lớp 11, 12 THPT.
Để giải quyết dạng bài toán này ngoài việc nắm vững lí thuyết về véc tơ, các em còn phải
nhạy bén trong việc phát hiện ra các bài toán có thể giải được bằng phương pháp véc tơ, loại
bài toán này có nhiều dạng. Đối với học sinh lớp 11, 12 loại bài tập này có thể chia làm 6
dạng: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 4 điểm đồng phẳng, quan hệ song song, quan hệ
vuông góc; tính góc; tính khoảng cách.
C. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
Để thực hiện đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ để giải toán hình học
không gian” tôi cho học sinh nắm vững kiến thức về véc tơ, qui trình giải toán bằng phương
pháp véc tơ, đồng thời phân thành 6 dạng toán với các cách giải tương ứng và được rèn luyện
kỹ năng thông qua các ví dụ cụ thể (là các bài toán trong sách giáo khoa, sách bài tập, các đề
thi đại học, đề thi học sinh giỏi của các tỉnh, thành phố,…). Cụ thể:
I-MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Bài toán 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Cách giải: Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai véc tơ
AB, AC cùng phương, nghĩa là AB k AC , hoặc có thể chọn điểm O nào đó để chứng minh
OC kOA lOB với k + l = 1.
Ví dụ 1:
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng đường thẳng AG đi qua trọng tâm
A' của tam giác BCD. Phát biểu kết quả tương tự đối với các đường thẳng BG,
A CG, DG.
(Bài tập 22a) trang 55 - Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11)
Bài giải:
Đặt AB a, AC b, AD c .
c
M
1
2
a
1
2
Khi đó: M là trung điểm của AB AM AB a ,
G
B
D
A’
b
C
N
3
N là trung điểm của CD AN
1
1
AC AD b c
2
2
G là trung điểm của MN
1
1
1
AG AM AN AB AC AD a b c (1)
2
4
4
A' là trọng tâm tam giác BCD
1
1
AA ' AB AC AD a b c
3
3
(2)
2
Từ (1), (2) suy ra AG AA ' đường thẳng AG đi qua trọng tâm A' của tam giác BCD.
3
Ví dụ 2:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' các các cạnh bằng m, các góc đỉnh A bằng 60 0 (
' AB A
' AD 600 ). Gọi P là điểm đối xứng của D' qua A, Q là điểm đối xứng của D
BAD
A
qua C'. Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB'.P Tính độ dài đoạn thẳng
PQ.
(Bài 5a) trang 114 – Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11)
Bài giải:
m2
*Đặt AA ' a, AB b, AC c với a.b b.c c.a
2
2 2 2
và a b c m 2 , ta có AP D ' A a c
A
B
Gọi M là trung điểm của BB' thì
3
MP MB BA AP a b c
2
D
C
A’
D’
Mặt khác
MQ MB ' B ' C ' C ' Q MB ' B ' C ' DC '
M
B’
C’
Q
3
a bc
2
Như vậy MP MQ , tức là ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
Vậy đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’.
Bài toán 2: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc một mặt phẳng.
4
Cách giải: Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc một mặt phẳng, ta có thể chứng minh
ba véc tơ AB, AC , AD đồng phẳng tức là AB m AC n AD , hoặc chứng minh rằng
k AB l AC m AD 0 với k2+l2+m2>0; ta cũng có thể chọn điểm O nào đó và chứng minh
OD kOA lOB mOC với k+l+m=1.
Ví dụ 1:
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc
BAD
600 . Gọi M là trung điểm của cạnh AA’, N là trung điểm của cạnh CC'. Chứng minh
rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ
giác B'MDN là hình vuông.
(Đề tuyển sinh đại học - Khối B - năm 2003)
Bài giải:
a2
Đặt AA ' a, AB b, AD c a.b a.c 0, b.c , a x, b c a
2
A
B
C
D .N
1
1
B
Khi đó AM a, AN AC AC '
M.
2
2
C
’
’
1
1
D
A
AB AD AA ' AB AD a b c .
2
2
’
’
AB ' AA ' AB a b .
Nhận thấy AD AM AN AA ' , chứng tỏ B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.
*Ta có MN AN AM b c MN 2 3a 2 và DB ' AB ' AD a b c DB '2 x 2 a 2
Để tứ giác B'MDN là hình vuông thì DB'=MN x 2 2a 2 x a 2
Kiểm tra các điều kiện suy ra AA ' a 2 .
Nhận xét: Để chứng minh B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng ta đã chứng minh
AD AM AN AA ' (cách 1).
Ví dụ 2:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng các trung điểm của 6 cạnh BC, CD, DD' , ,
D'A', A'B'và B'B cùng nằm trên một mặt phẳng.
(Bài 37 trang 68 - Sách hình học nâng cao lớp 11)
Bài giải:
5
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của 6 cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B' và B'B.
Đặt AA ' a, AB b, AD c . Ta có
A’
1
1
1
AC AD AB AD AD b c
2
2
2
a
AN
1
1
1
AP AB AC AA ' AD AD a c
2
2
2
.
.
P
B’
R
.S
.
c
1
A
1
AA ' AD ' AA ' AA ' AD a c
2
2
1
1
AA ' AB ' AA ' AA ' AB a b
2
2
1
1
1
AS AB ' AB AA ' AB AB a b
2
2
2
Dễ thấy: AM 2 AN 2 AP AQ M, N, P, Q đồng phẳng (1)
AM AN AR AQ M, N, Q, R đồng phẳng
(2)
AP AN AR AS N, P, R, S đòng phẳng
(3)
1
AQ
2
1
AR
2
C’
Q.
1
1
1
AM AB AC AB AB AD b c
2
2
2
D’
N
b
.
C
M
B
Từ (1), (2), (3) suy ra 6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng.
Bài toán 3: Quan hệ song song
1) Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Cách giải: Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau, ta cần
chứng minh hai véc tơ AB và CD cùng phương. Khi AB , CD cùng phương và có một điểm
thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì AB và CD song
song.
2) Chứng minh đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng.
Cách giải: Để chứng minh đường thẳng AB song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P), ta lấy
trong (P) hai véc tơ a và b không cùng phương, sau đó chứng minh AB, a, b đồng phẳng.
Khi các véc tơ AB, a, b đồng phẳng và có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc
(P) thì đường thẳng AB song song với (P).
Ví dụ 1:
6
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và
A'B'C', I là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B. Chứng minh rằng các đường thẳng
GI và CG' song song.
(Bài tập 3 trang 91- Sách hình học nâng cao lớp11)
Bài giải:
Đặt AA ' a , AB b, AC c thì
1
1
b c , AI a b
3
2
3a b 2c
Do đó GI AI AG
6
1
1
Mặt khác AG AA ' AB ' AC ' a b c
3
3
1
3a b 2c
CG ' AG ' AC a b c c
3
3
Từ đó có CG 2GI .
AG
c
A
G
b
a
C
B
I
A’
C’
G’
B’
Lại có điểm G không thuộc đường thẳng CG'.
Vậy GI và CG' là hai đường thẳng song song.
Ví dụ 2:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và DD'; G và G' lần
lượt là trọng tâm của các tứ diện A'D'MN và BCC'D'. Chứng minh rằng đường thẳng GG' và
mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau.
( Bài tập 4 trang 91- Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11)
Bài giải:
Đặt AB a, AD b, AA ' c .
a
Vì G' là trọng tâm của tứ diện BCC'B' nên
1
AG ' AB AC AC ' AB '
4
Từ đó
A
D
.
B
M
C
. N
c
Và G là trọng tâm của tứ diện A'D'MN nên
1
AG AA ' AD ' AM AN
4
b
A’
B’
D’
C’
7
1
GG ' AG ' AG A ' B D ' C MC ' ND '
4
1 1 1
1
= a c a c a c c 5a c
4
2
2 8
Điều này chứng tỏ AB, AA ', GG ' đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB'A')
Nên đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau.
Ví dụ 3:
Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh B'C' và AB.
a) Chứng minh IK//mp(BDC').
b) Xác định đường thẳng (d) cắt BA' và AC', đồng thời song song với B'D'.
Bài giải:
Đặt BA a , BB ' b, BC c
1
1
a) Ta có BD a c, BC ' b c, KI KB BB ' B ' I a b c
2
2
D’
1
Suy ra KI BD BC ' KI , BD, BC ' đồng phẳng
2
Mà I không thuộc mp(BDC')
A’
B’
b
Do đó KI//mp(BDC').
b) Đường thẳng d cần tìm cắt BA',
D
AC' lần lượt tại M, N.
M chia BA' theo tỉ số k MB k MA ' ;
N chia AC' theo tỉ số l NA l NC '
C’
I
c
A
a
.
K
C
B
( k, l khác 1)
Khi đó: B ' D ' BD a c
l
l
1
NA l NC ' DA DN l DC ' l DN l 1 DN l AB' DA DN
a
b
c
1 l
l1
l 1
1
k
MB k MA ' DB DM k DA ' k DM k 1 DM k DA ' DB DM
a
b c
k1
k1
l
1
k
l
1
a
b
1 c
1 l k 1
l 1 k 1
l 1
Mặt khác: MN//BC khi và chỉ khi MN mBD ma mc
Suy ra: MN DN DM
8
Từ đó ta có:
1
l
1 l k 1 m
k
l
0
l
1
k
1
1
l 1 1 m
1
m
3
1
l
2
k
2
Vậy: Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MN ( với M chia BA' theo tỉ số k=-2, N chia
AC' theo tỉ số l
1
).
2
Ví dụ 4:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Lấy các điểm A1, B1, C1 lần lượt thuộc các cạnh bên
AA', BB', CC' sao cho
AA1
'
AA
B ' B1 C ' C1 3
. Trên các đoạn thẳng CA1 và A'B1 lần lượt lấy
BB '
CC ' 4
các điểm I, J sao cho IJ//B'C1. Tính tỉ số
IJ
.
B ' C1
( Bài 72 trang 128 – Sách bài tập hình học nâng cao lớp11)
Bài giải:
Đặt AA ' a , AB b, AC c, ta có
3
3
3
AA1 a , B ' B1 a , C ' C1 a.
4
4
4
3
CA
Ta có 1 CA AA1 a c
4
C
B
I
B1
3
A ' B1 A ' B ' B ' B1 a b
4
3
Mặt khác B ' C1 B 'A' A ' C ' C ' C1 a b c
4
3
CI
tCA1 ta tc
Vì I thuộc CA1 nên
4
3
Vì J thuộc A'B1 nên A ' J m A ' B1 ma mb
4
C1
A
Lại có IJ IC CA ' A ' J 1
J
B’
C’
A1
A’
3
3
t m a mb t 1 c
4
4
9
1
k
3
3
3
3
1 4 t 4 m 4 k
2
t
Do IJ//B'C1 nên IJ k B ' C 1 m k
t 1 k
3
1
m 3
Vậy:
IJ
1
.
B ' C1 3
Bài toán 4: Tính góc giữa hai đường thẳng.
Cách giải: Góc giữa hai đường thẳng d và d’ là , ta có cos cos u, v với u, v lần lượt
là các vtcp của d, d’.
Như vậy để tính góc giữa hai đường thẳng ta cần tính được tích vô hướng u.v và độ dài các
véc tơ u , v , từ đó có cos cos u, v .
Ví dụ 1:
Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các canh bằng a. Các điểm M là trung điểm của BC. Tính
cosin của góc giữa đường thẳng AB với đường thẳng DM.
(Bài 2 trang 59 - Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11)
A
Bài giải:
Đặt AD a , AB b, AC c
2 2 2
a2
2
với a b c a , a.b b.c c.a
2
1
1
1
AB AC b c
2
2
2
1
1
MD AD AM a b c
2
2
Khi đó AM
Suy ra:
a
b
c
B
D
M
C
1 2 1 2
1 a2
1 a2
a 2 3a 2
MD a a a 2. . 2. . 2.
4
4
2 2
2 2
8
4
2
2
MD
a2 a2 a 2
a2
a 3
. Mà AB.MD
.
2
2
4
4
2
10
a2
AB.MD
4 1
Do đó: cos AB, MD
.
AB.MD
a 3
2 3
a.
2
Vậy góc cần tìm bằng mà cos
1
2 3
Ví dụ 2:
Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các canh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng MN với đường thẳng BC.
(Bài 8b) trang 114 – Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11)
A
Bài giải:
m2
Đặt AD a , AB b, AC c , với a.b b.c c .a
2
2 2 2
và a b c m 2 .Ta có BC AC AB b c
M
a
b
Vì M, N lầ lượt là trung điểm của AB và CD,
1
1
nên MN AD BC a c b
2
2
Vậy MN 2
=
B
c
D
N
1 2 2 2
a c b 2a.c 2a.b 2b.c
4
C
1 2
2m 2
m 2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
m
m
. Suy ra MN
4
4
2
1
a c b b c
2
Lại có: MN .BC
1 2 2
a.b b.c b a.c c b.c
2
1 m2 m2
m2
m2 m2
m2
m2
2 2
2
2
2 2
MN . BC
Suy ra: cos MN , BC
MN . BC
m2
2
2
MN , BC 450
2
m 2
m.
2
Vậy góc giữa MN và BC bằng 450.
Bài toán 5: Về quan hệ vuông góc
11
Cách giải: Để chứng minh hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau ta có thể chứng
minh u.v 0 (với u và v lần lượt là véc tơ chỉ phương của d và d’) hoặc góc giữa chúng
bằng 900.
Ví dụ 1:
Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng
(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một
vuông góc.
(Bài 28a, trang 117 –Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11)
Bài giải:
D
Đặt DA a, DB b, DC c với a b c a
và a.b b.c c .a
a2
2
.
Do DABC là tứ diện đều, nên H
b
là trọng tâm của tam giác ABC,
1
1
a b c ID a b c
3
6
suy ra DH
1
IA DA DI 5a b c
6
1
1
IB DB DI a 5b c , IC a b 5c
6
6
Suy ra IA. IB 0, IB.IC 0, IC. IA 0
B
I
a
c
.
A
H
C
Vậy tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
Nhận xét:
1) Kết quả của bài toán là một tính chất đẹp của tứ diện đều.
2) Để giải bài toán ngoài cách giải trên ta còn có thể tính góc giữa các cặp đường thẳng,
tuy nhiên sẽ cồng kềnh hơn.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt
đáy và SA=a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của SC và mặt
phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI.
12
Bài giải:
Đặt: AB a, AD b, AS c
1
1
1
AB AS a c
2
2
2
Ta có AM
AN
S
1
1
1
AD AS b c
2
2
2
c
N
.
. M
suy ra:
m
m n
n
AI m AM n AN AB AS AD AS
2
2
2
2
n
m
m n
m
n
m n
AB AD
AS a b
2
2
2
2
2
2
Mà SC AB AD AS a b c
Vậy AI .SC 0 AI SC
D
C
b
A
a
B
Nhận xét: Ưu điểm khi sử dụng véc tơ để giải là có thể không cần xác định giao điểm I trên
hình vẽ.
Bài toán 6: Về khoảng cách.
Cách giải:
1) Để tính khoảng cách giữa hai điểm AB ta tính bình phương vô hướng của véc tơ AB ,
muốn vậy ta biểu thị AB qua hệ véc tơ cơ sở, rồi tính AB 2 .
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng d, d’ là khoảng cách giữa hai điểm A, B lần lượt trên
d, d’sao cho AB đồng thời vuông góc với d và d’; muốn tính AB ta biểu thị véc tơ AB qua hệ
AB.u 0
véc tơ cơ sở đã chọn nhờ sử dụng
(với u, v lần lượt là véc tơ chỉ phương của d,
AB.v 0
d’).
3) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là khoảng cách từ A đến B ( với B là hình
chiếu vuông góc của A trên(P)), muốn tính AB ta biểu thị véc tơ AB qua hệ véc tơ cơ sở đã
AB.u 0
chọn nhờ sử dụng
( với u, v là véc tơ không cùng phương trong (P)).
AB.v 0
13
Ví dụ 1:
Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các canh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm
của AB và CD.Tính độ dài đoạn thẳng MN.
A
(Bài 8a) trang 114 – Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11)
Bài giải:
M.
m2
Đặt AD a , AB b, AC c , ta có a.b b.c c .a
2
2 2 2
và a b c m 2 . Ta có BC AC AB b c
b
1
1
nên MN AD BC a c b
2
2
Suy ra: MN 2
=
c
B
Vì M, N lầ lượt là trung điểm của AB và CD,
a
1 2 2 2
a c b 2a.c 2a.b 2b.c
4
D
.
N
C
1 2
2m 2
m 2
.
m m2 m2 m2 m2 m2
MN
4
4
2
Vậy MN
m 2
2
Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ cơ sở là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng
phương pháp véc tơ. Nói chung việc chọn hệ véc tơ cơ sở phải thoả mãn hai yêu cầu:
+ Hệ véc tơ cơ sở phải là ba véc tơ không đồng phẳng, biết độ dài các véc tơ và góc giữa
chúng.
+ Hệ véc tơ cơ sở nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành
ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất.
Ví dụ 2:
A
Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và
AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với CM.
Tính độ dài đoạn thẳng PQ và thể tích của khối AMNP.
P
c
a
(Câu 6 - Đề thi chọn HSG tỉnh Nghệ An - lớp 12 năm học 2009 - 2010)
.
Bài giải:
.N
Q
* Tính độ dài đoạn thẳng PQ:
Cách 1:
M
B
b
.
D
14
C
Đặt AB a, AC b, AD c với a b c 1
và a.b b.c c.a
1
2
1 1
2
2
l
AQ l AN (1 l ) AD b (1 l )c
2
l
Suy ra: PQ AQ AP ka b (1 l )c
2
1
1
Lại có CM AM AC a b c
2
2
Ta có: AM a c, AP ka
Do PQ//CM, nên
1
m
k 3
k 2
l
4
PQ mCM m l
2
3
m
2
1 l 2
m 3
1
2
3
3
Suy ra: PQ a b
1
2
3
3
c PQ PQ
3
9
3
Cách 2:
Gọi H là tâm của tam giác BCD AH mp ( BCD )
Đặt HA a, HB b, HD c
HB HC HD 0 HC b c
A
2 3
3
,
3 2
3
và b c .
P
1
6
a AB 2 HB 2 1 ,
3
3
1
a.b a.c 0, b.c
6
Khi đó AP k AB k HB HA ka kb
.
Q
N
1
và AQ AD DQ AD l DN AD DA DN
2
.
M
.
B
D
H
C
15
1
HD HA HA HD HC HD
2
3
1
1 a lb 1 l c
2
2
1
1
3
3
Lại có: CM CB CD HB HD 2 HC b c
2
2
2
2
1
l
2
Mà: PQ//CM, nên:
1
2 l k 1 0
3
1
PQ mCM l k m
2
2
3
3
1 2 l 2 m
2
1
3
Suy ra PQ b c PQ PQ
1
k 3
4
l
3
2
m 3
3
3
Cách 3: Gọi H là tâm của tam giác BCD AH mp ( BCD ) , I là trung điểm của BC.
Đặt AH a , DI b, BC c với a
6
3
, b , c 1, a.b b.c c.a 0 , ta có
3
2
1
1
1
1
1
BM b c, AN a b c ,
2
4
2
6
4
1
1
1
1
1
3
1
5
1
AB a b c, AC a b c , CM b c, ND a b c
3
2
3
2
2
4
2
6
4
l
5l l
l
1
1 k 5l
1 k l
AP k AB, NQ l ND a b c PQ k a b c
2
6
4
2
2
6 3 6
4 2 4
l
1
2 k 2 0
1
1 k 5l
PQ
kCM
m
Do PQ//MC, suy ra
2
6 3 6
3
1 k l
4 2 4 4 m
1
1
3
Suy ra: PQ b c PQ .
3
2
3
1
k 3
1
l
3
2
m 3
* Tính thể tích của khối chóp AMNP.
1
1
1
Theo trên ta có AM a c, AP a
2
2
3
16
2
2
1
3
1
1
Suy ra AP 2 , AM 2 , AM . AP
9
4
4
16
2
1
3
2
24
r
t
1
r
Lại có H nằm trên mp(AMP) ta có NH NA r AM t AP a b c
2
2
2 3
Do đó diện tích tam giác AMP là S . AM 2 . AP 2 AM . AP
Nếu H là hình chiếu của N trên mp(AMP), ta có:
r t
4 6
r t
6 9
1
1
1
NH a b c
6
2
6
. NH 0
AM
AP. NH 0
1 r r t 1 r
0
9 r 3t 3
8 8 8 12 8 4
1
r
9r 4t 3
0
12 12
NH
1
3
t 0
1
r 3
6
6
2
144
Vậy thể tích cần tìm là: V .S . NH
Nhận xét:
1) Qua ba cách giải trên, ta thấy việc chọn hệ véc tơ cơ sở hợp lí sẽ cho phép ta biểu thị giả
thiết và kết luận của bài toán nhẹ nhàng hơn. Hơn nữa khi chọn hệ véc tơ cơ sở gồm 3 véc tơ
không đồng phẳng có thể chung gốc (cách 1, cách 2) hoặc không chung gốc (cách 3).
2) Với cách tính độ dài đoạn thẳng PQ bằng phương pháp véc tơ như trên, ta nhận thấy
phương pháp véc tơ có thể tránh cho chúng ta phải kẻ thêm những đường phụ phức tạp, đó
cũng chính là điểm yếu của học sinh khi làm các bài tập hình học không gian.
3) Ngoài cách giải bằng phương pháp véc tơ như trên, ta giải bằng phương pháp tổng hợp
nhờ kẻ thêm các đường phụ.
Ví dụ 3:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên đoạn AB và đoạn CD
sao cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.
B
.
M
(Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014).
Bài giải:
2 2 2
Đặt BA a , BC b, BD c với a b c a 2
a
b
c
C
.
N
D
A
17
a2
BM
x ,
a.b b.c c.a
và đặt
BA
2
với 0 x 1
DN
x .
DC
Khi đó ta có:
DN
xDC
BN
BD x BC BD
BM xa ,
BN xBC 1 x BD xb 1 x c
Suy ra: MN BN BM xa xb 1 x c
a2
a2
a2
2 x 1 x 2 x (1 x )
Do đó: MN x a x a (1 x ) a 2 x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= a2 x (1 x ) x x (1 x ) x x(1 x) a 2 x 2 x 1
f '( x ) 0
1
x ,
2
x 0;1
Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + 1 trên đoạn 0;1 , ta có f’(x)=4x-2,
1
2
f ( x ) f (0) f (1) 1, min f ( x ) f ( )
Nên max
x 0;1
x 0;1
Vậy: MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng
a 2
2
1
2
khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi M B, N D hoặc M A, N C.
Ví dụ 4:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA; gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tính
khoảng cách giữa MN và AC.
(Đề tuyển sinh Đại học khối B năm 2007)
Bài giải:
S
Đặt: OA a, OD b, OS c a.b b.c c.a 0
E
(O là tâm đáy ABCD)
1
MN ON OM OA OD OA AM
2
1 1 1
a b a DS
2
2
2
c
P
B
M
a
N
18
O
b
C
A
D
3 1
3 1 1
a b
OS OD a c
2
2
2
2
2
AC 2a
Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC
(P trên MN, Q trên AC), ta có:
1
PQ PA MA AQ k MN SD l AO
2
1
3 1
3 1 1
k a c c b la l k a k 1 c b
2 2
2
2
2
2
PQ.MN 0
PQ. AC 0
2
3 3 2 1
l
k
a
k
1
a
0 k 1
4
2 2
3
2 l 3 k a 2 0
l 2
2
1
2
a2
a 2
.
PQ b PQ PQ
2
8
4
Chú ý: Ngoài cách giải trên, ta còn có thể tính khoảng cách giữa MN và AC bằng phương
pháp trượt ( bằng nửa khoảng cách từ B đến mp(SAC)).
Ví dụ 5:
Cho lăng trụ đều ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AA' và BB'. Tính khoảng cách giữa B'M và CN
Bài giải:
Đặt BA a, BB ' b, BC ' c với
2 2 2
a b c a 2 , a.b b.c 0,
C’
B’
1
a2
1
a.c , CN b c, B ' M a b
2
2
2
Gọi PQ là đoạn vuông góc chung
của CN và B'M (P CN , Q B ' M ) .
Ta có: PQ PC CB BQ ' B ' Q
k
l
kCN CB BB ' l B ' M la ( 1 )b ( k 1)c
2
2
A’
.
M
.N
C
A
B
19
PQ.CN 0
5k 3l 6
3k 5l 4
PQ. B ' M 0
9
k 8
l 1
8
1
3a 2
a 3
PQ (a 3b c) PQ 2
PQ
.
8
16
4
Chú ý: Ta còn có thể tính khoảng cách giữa B'M và CN bằng cách áp dụng tính chất tứ diện
vuông hoặc qui về khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (CAN).
Ví dụ 6:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của DD'. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A'D.
Bài giải:
B’
C’
Đặt AB a, AA ' b, AD c ta có:
D
A’
2 2 2
a b c a 2 , a.b b.c c.a 0
1
A ' D b c, CM a b.
2
B
M
C
Gọi EF là đường vuông góc
chung ( E A ' D, F CM ) .
A
D
Ta có:
1
EF ED DM MF k A ' D b lCM
2
1
l
la ( k )b kc
2
2
EF . A ' D 0
EF
.
CM
0
2
l 1
2 a2
k 9
2k 2 2
1
a
EF a 2b 2c EF EF
9
9
3
1 k l 0
l 1
2
9
Vậy khoảng cách cần tìm là EF
a
3
Chú ý: Ngoài cách giải trên ta còn có thể tính khoảng cách giữa CM và A'D bằng các cách
áp dụng tính chất của tứ diện vuông hoặc tính độ dài đường vuông góc chung.
Ví dụ 7:
20
- Xem thêm -
.DOC 
27 
145 
72 
