SỔ TAY TOÁN HỌC 12
Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lớp: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 | Trang
Đường tròn lượng giác
Công thức lượng giác
Công thức cơ bản
1 sin2 x + cos2 x = 1
2 tan x =
4 tan x. cot x = 1.
5
sin x
cos x
1
= 1 + tan2 x.
cos2
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
3 cot x =
6
1
sin2 x
cos x
sin x
= 1 + cot2 x
1
2 | Trang
Hai cung đối nhau: (− x) và x
1 cos(− x) = cos x
2 sin(− x) = − sin x
3 tan(− x) = − tan x
4 cot(− x) = − cot x
Hai cung bù nhau: (π − x) và x
1 sin (π − x) = sin x
2 cos (π − x) = − cos x
3 tan (π − x) = − tan x
4 cot (π − x) = − cot x
Hai cung phụ nhau:
1 sin
³π
³π
2
´
− x và x
´
³π
´
− x = sin x
2
³π
´
4 cot
− x = tan x
2
2 cos
− x = cos x
2
³π
´
3 tan
− x = cot x
2
Hai cung hơn, kém nhau π: (π + x) và x
1 sin (π + x) = − sin x
2 cos (π + x) = − cos x
3 tan (π + x) = tan x
4 cot (π + x) = cot x
Hai cung hơm, kém nhau
1 sin
³π
π ³π
2
:
2
´
+ x và x
´
+ x = cos x
2
´
³π
+ x = − cot x
3 tan
2
³π
´
+ x = − sin x
2
´
³π
+ x = − tan x
4 cot
2
2 cos
Công thức cộng
1 sin ( x ± y) = sin x. cos y ± cos x. sin y
2 cos ( x ± y) = cos x. cos y ∓ sin x. sin y
tan x ± tan y
3 tan ( x ± y) =
1 ∓ tan x. tan y
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
2
3 | Trang
Công thức nhân đôi
1 cos 2 x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 −1 = 1 − 2 sin2 x
2 tan x
2 sin 2 x = sin x. cos x
3 tan 2 x =
1 − tan2 x
Công thức hạ bậc
1 cos2 x =
1 + cos 2 x
2
2 sin2 x =
1 − cos 2 x
2
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
3 tan2 x =
Công thức tổng thành tích
x− y
x+ y
. cos
2
2
x− y
x+ y
. sin
sin x − sin y = 2 cos
2
2
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2 cos
. cos
2
2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2 sin
. sin
2
2
sin ( x + y)
sin ( x − y)
tan x + tan y =
6 tan x − tan y =
cos x. cos y
cos x. cos y
1 sin x + sin y = 2 sin
2
3
4
5
Công thức tích thành tổng
1
[cos( x + y) + cos( x − y)]
2
1
2 sin x. sin y = − [cos( x + y) − cos( x − y)]
2
1
3 sin x. cos y = [sin( x + y) + sin( x − y)]
2
1 cos x. cos y =
Cấp cố cộng
1 Dãy số ( u n ) được gọi là cấp số cộng
u n+1 = u n + d , với n ∈ N∗ , d là hằng số
⋆ d = u n+1 − u n gọi là công sai.
2 Số hạng tổng quát: u n = u 1 + ( n − 1) d , ( n ≥ 2)) hay d =
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
n n − u1
.
n−1
3
4 | Trang
3 Tính chất: u k+1 + u k−1 = 2 u k , ( k ≥ 2) hay u k =
4 Tổng n số hạng đầu: S n =
u k−1 + u k+1
2
n( u 1 + u n )
n [2 u 1 + ( n − 1) d ]
, (n ∈ N ) ; S n =
2
2
Cấp nhân
1 Dãy số ( u n ) được gọi là cấp số cộng
u n+1 = u n .q , với n ∈ N∗ , q là hằng số
u n+1
⋆ q=
gọi là công bội.
un
un
2 Số hạng tổng quát: u n = u 1 .q n−1 , ( n ≥ 2)), hay q n−1 =
.
u1
p
3 Tính chất: u2k + u k−1 .u k+1 hay | u k | = u k−1 .u k+1 , ( k ≥ 2).
4 Tổng n số hạng đầu: S n =
u 1 . ( q n − 1)
, ( q ̸= 0)
q−1
Tổ hợp-xác suất
Hoán vị
Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1)
1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi
là một hoán vị của n phần tử.
2 Số các hoán vị của n phần tử là: P n = n! = 1.2 · n
Chỉnh hợp
Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1)
1 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp
xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n
phần tử đã cho
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
4
5 | Trang
2 Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: Akn =
n!
( n − k)!
Tổ hợp
Tập A gồm n phần tử (n ≥ 1)
1 Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần
tử đã cho.
2 Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Ckn =
n!
, (0 ≤ k ≤ n)
k!( n − k)!
Xác suất
1 Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả
đồng khả năng xuất hiện.
2 Xác suất của biến cố A là: P ( A ) =
n( A )
n(Ω)
3 Tính chất của xác suất
⋆ P (∅) = 0; P (Ω) = 1
⋆ 0 ≤ P ( A ) ≤ 1, với mọi biến cố A .
⋆ P ( A ) = 1 − P ( A ), với mọi biến cố A .
Bảng đạo hàm
Nhóm đa thức
1 ( x n )′ = n.x n−1
¡p ¢′
1
x = p
2 x
µ ¶′
1
1
5
=− 2
x
x
3
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
2 ( u n )′ = n.u′ .u n−1
¡p ¢′
u′
u = p
2 u
µ ¶′
1
u′
6
=− 2
u
u
4
5
6 | Trang
Nhóm lượng giác
1 (sin x)′ = cos x
2 (sin u)′ = u′ . cos u
3 (cos x)′ = − sin x
4 (cos u)′ = − u′ . sin u
1
cos2 x
1
7 (cot x)′ = −
sin2 x
5 (tan x)′ =
u′
cos2 u
u′
8 (cot u)′ = −
sin2 u
6 (tan u)′ =
Nhóm mũ
1 (a x )′ = a x ln a
2 (a u )′ = u′ .a u ln a
3 (e x )′ = e x
4 (eu )′ = u′ .eu
Nhóm logarit
1
; ( x > 0)
x ln a
1
3 (ln | x|)′ =
x
1
¡
¢′
loga x =
u′
; ( u > 0)
u ln a
u′
4 (ln | u|)′ =
u
2
¡
¢′
loga u =
Quy tắc tính đạo hàm
1 ( u ± v)′ = u′ ± v′
2 ( k.u)′ = k.u′
3 ( u.v)′ = u′ .v + u.v′
4
³ u ´′
v
=
u′ .v − u.v′
v2
Tính đơn điệu hàm số
Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K
• Nếu f ′ ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ K và f ′ ( x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số
y = f ( x) đồng biến trên K
• Nếu f ′ ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ K và f ′ ( x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
6
7 | Trang
y = f ( x) nghịch biến trên K
Các bước xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x)
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính đạo hàm f ′ ( x) và tìm
nghiệm f ′ ( x) = 0, ( x1 .x2 ... ∈ D )
x
y
x1
−∞
′
−
0
+∞
+
+∞
+∞
y
Bước 3: Lập bảng biến thiên
y( x1 )
Bước 4: Từ bảng biến thiên ta kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x)
Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc 3
1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đồng biến trên R
a > 0
a > 0
⇔ y′ ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔
⇔
∆ ′ ≤ 0
b2 − 3a.c ≤ 0
y
2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , nghịch biến trên R
a < 0
a < 0
⇔ y′ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔
⇔
∆ ′ ≤ 0
b2 − 3a.c ≤ 0
y
Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm nhất biến
ax + b
, đồng biến trên tâp xác định: ad − bc > 0
cx + d
ax + b
2 Hàm số y =
, nghịch biến trên tâp xác định: ad − bc < 0
cx + d
ax + b
3 Hàm số y =
, đồng biến trên khoảng (α; +∞)
cx + d
y′ > 0
ad − bc > 0
⇔
⇔
d
d
− ∉ (α; +∞)
− ≤ α
c
c
ax + b
4 Hàm số y =
, nghịch biến trên khoảng (−∞; α)
cx + d
′
y < 0
ad − bc < 0
⇔
⇔
d
d
− ∉ (−∞; α)
− ≥ α
c
c
1 Hàm số y =
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
7
8 | Trang
Cực trị hàm số
Hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f ′ ( x0 ) = 0
Quy tắc 1
Bước 1: Tìm tập xác định. Tính
đạo hàm f ′ ( x)
x
y
Bước 2: Tìm các điểm x i ( i =
1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng
x1
−∞
′
−
0
+∞
+∞
+
+∞
y
yCT
0 hoặc hàm số liên tục nhưng
không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ′ ( x). Nếu f ′ ( x) đổi
dấu khi đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i .
Quy tắc 2
Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f ′ ( x)
Bước 2: Tìm nghiệm x i ( i = 1; 2; ...) của phương trình f ′ ( x) = 0
Bước 3: Tính f ′′ ( x) và tính f ′′ ( x i )
+ Nếu f ′′ ( x i ) < 0 thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại x i .
+ Nếu f ′′ ( x i ) > 0 thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x i .
Đồ thị
y
Điểm CĐ của đồ thị hàm số
GT CĐ của hàm số
yCĐ
Điểm CĐ của hàm số
Điểm CT của hàm số
xCT
xCĐ O
x
yCT
GT CT của hàm số
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
Điểm CT của đồ thị hàm số
8
9 | Trang
Điều kiện cực trị hàm bậc 3
1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có 2 cực trị: ∆ y′ > 0 ⇔ b2 − 3ac > 0
2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d không có cực trị: ∆ y′ ≤ 0 ⇔ b2 − 3ac ≤ 0
y′ ( x0 ) = 0
3 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực đại tại x0 : ⇔
y′′ ( x ) < 0
0
y′ ( x0 ) = 0
4 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực tiểu tại x0 : ⇔
y′′ ( x ) > 0
0
Điều kiện cực trị hàm trùng phương
1 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị ⇔ a.b < 0
a = 0
a ̸= 0
2 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị
hoặc
b ̸= 0
a.b ≥ 0
a > 0
4
2
3 Hàm số y = ax + bx + c có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔
b < 0
a < 0
4 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 2 cực đại, 1 cực tiểu ⇔
b > 0
a = 0
a < 0
5 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại
hoặc
b < 0
b ≤ 0
a = 0
a > 00
6 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực tiểu
hoặc
b > 0
b ≥ 0
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
9
10 | Trang
Hình dáng đồ thị hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d
y′ ; ∆
a>0
a<0
y
y
O
x
y = 0; ∆ y′ > 0
′
(có 2 nghiệm)
O
x
y
y
y′ = 0, ∆ y′ = 0
x
O
(có nghiệm kép)
x
O
y
y
y′ = 0; ∆ y′ < 0
O
x
(vô nghiệm)
O
x
Hình dáng đồ thị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c
y′ ; a ; b
a>0
a<0
y
y
y = 0; a.b < 0
′
O
(có 3 cực trị)
x
x
O
y
y
y′ = 0; a.b ≥ 0
O
(có 1 cực trị)
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
O
x
x
10
11 | Trang
Đồ thị hàm số nhất biến: y =
y′ =
ad − bc
>0
( cx + d )2
d
y
TCĐ: x = −
y′ =
c
TCN: y =
ax + b
cx + d
ad − bc
<0
( cx + d )2
y
d
TCĐ: x = −
c
a
c
O
O
x
TCN: y =
a
c
x
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a; b]
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn [a; b]
+) Tính y′ , cho y′ = 0, nhận nghiệm x1 , x2 , · · · ∈ [a; b]
+) Tính f (a), f ( b), f ( x1 ), f ( x2 ), · · ·
+) So sánh f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), · · ·
Suy ra max y; min y
[ a; b ]
[ a; b ]
Đường tiệm cận
Đường tiệm ngang (TCN),
đường ¶tiệm cận đứng (TCĐ) của hàm số y = f ( x).
µ
+) lim+ y = ±∞ lim− y = ±∞ ⇒ TCĐ: x = x0
x → x0
x → x0
+) lim y = y0
³
x→+∞
´
lim y = y0 ⇒ TCN: y = y0
x→−∞
Lũy thừa (a, ; b > 0)
1 a m .a n = a m+n
am
4 n = a m− n
a
2 (a.b)n = a n .b n
³ a ´n a n
5
= n
b
b
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
p
k
ak = a 2
p
k
n
ak = a n
6
3
11
12 | Trang
7 (a m )n = a m.n
8 a− n =
1
an
9
qp
m
n
k
a k = a m.n
Lôrarit (0 < a, b, x ̸= 1)
Tính chất
1 loga 1 = 0.
4 logaα a =
1
α
3 loga aα = α
2 loga a = 1.
.
5 aloga b = b.
Tích-thương
1 loga ( x.y) = loga x + loga y.
2 loga
µ ¶
x
= loga x − loga y.
y
Đổi cơ số
1 log x a =
1
.
loga x
3 loga xα = α loga x.
5 logam xα =
α
loga x.
m
7 loga b. logb x = loga x.
2 loga x. log x a = 1
1
loga x.
m
logb x
.
6 loga x =
logb a
4 logam x =
8 loga x =
ln x
.
ln a
Đặc biệt
1 loge a = ln a (lốc-nê-pe)
2 log10 a = log a (lốc thập phân)
Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
12
13 | Trang
y
α>1
α=1
Tập xác định:
• D = R khi α nguyên dương
• D = R\{0} khi α nguyên âm hoặc α = 0
• D = (0; +∞) khi α không nguyên
0<α<1
1
α=0
α<0
O
1
x
Hàm số mũ y = a x
a>1
0
1
1
O 1
O
x
TCN: y = 0
01
0 1
• Nghịch biến khi: 0 < a < 1
• Đường TCĐ: Trục O y ( x = 0)
• Đường TCĐ: Trục O y ( x = 0)
• Đồ thị
• Đồ thị
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
13
14 | Trang
y
y
a>1
O
O
x
1
TCĐ: x = 0
TCĐ: x = 0
1
x
0 0)
2 Đưa
a
về
f ( x)
=a
cùng
g ( x)
cơ
số:
⇔ f ( x) = g ( x)
4 Mũ hóa:
a x = b y ⇔ x = y. loga b
Bất phương trình mũ
a>1
1 Cơ bản: a
f ( x)
2 cùng cơ số: a
0 0 ⇔ f ( x) > loga b
f ( x)
>a
g ( x)
⇔ f ( x) > g ( x)
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
a
f ( x)
> 0 ⇔ f ( x) < loga b
a
f ( x)
> a g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x )
14
15 | Trang
Sơ đồ
a>1
f ( x) > g ( x)
a f ( x) > a g ( x)
f ( x) < g ( x)
0 0
f ( x) > 0
loga f ( x) = loga g( x) ⇔ g( x) > 0
f ( x) = g ( x)
f ( x) = a b
3 Đặt ẩn phụ: t = loga x.
4 Logarit hóa.
Bất phương trình logarit
1 Cơ bản:
a>1
loga f ( x) > b −−−−→
f ( x) > 0
f ( x) > a b
0 b −−−−−−→
f ( x) > 0
f ( x) < a b
2 Cùng cơ số:
a>1
loga f ( x) > loga g( x) −−−−→
g ( x) > 0
f ( x) > g ( x)
0 loga g( x) −−−−−−→
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
f ( x) > 0
f ( x) < g ( x)
15
16 | Trang
Bảng nguyên hàm
Nhóm đa thức
Z
1
dx = x + C
x n+1
+C
n+1
Z
dx
1
5
=− +C
2
x
x
Z
dx
7
= ln | x| + C
x
Z
3
Z
9
xn dx =
¯ x−a¯
1
1
¯
¯
d
x
=
ln
¯
¯+C
2a
x+a
x2 − a2
Z
2
Z
4
kd x = kx + C
1 (ax + b)n+1
+C
a
n+1
(ax + b)n d x =
dx
1
1
=− .
+C
2
a ax + b
(ax + b)
Z
dx
1
8
= ln |ax + b| + C
ax + b a
Z
6
Z
1
1
x
d x = arctan + C
a
a
x2 + a2
Z
eax+b d x =
1 ax+b
e
+C
a
Z
aα x+β d x =
1 aα x+β
+C
α ln a
Z
cos(ax + b)d x =
Z
sin(ax+ b)d x = −
Z
dx
1
= tan(ax + b) + C
cos2 (ax + b) a
10
Nhóm mũ
Z
1
Z
3
ex d x = ex + C
ax dx =
ax
+C
ln a
2
4
Nhóm lượng giác
Z
1
Z
3
cos xd x = sin x + C
2
sin xd x = − cos x + C
4
dx
= tan x + C
cos2 x
Z
dx
7
= − cot x + C
sin2 x
Z
9
tan xd x = − ln |cos x| + C
Z
11
cot xd x = ln |sin x| + C
Z
5
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
6
8
10
12
Z
dx
sin2 (ax + b)
1
sin(ax + b) + C
a
=−
Z
tan(ax + b)dx = −
Z
cot(ax + b)dx =
1
cos(ax+ b)+C
a
1
cot(ax + b) + C
a
1
ln |cos(ax + b)|+ C
a
1
ln |sin(ax + b)| + C
a
16
17 | Trang
Tích phân
Tích phân xác định
Zb
¯b
¯
f ( x)d x = F ( x)¯ = F ( b) − F (a)
a
a
Tính chất
Za
1
Zb
dx = 0
2
a
Zb
3
a
Zb
5
k. f ( x)d x = k
6
Zb
Zb
f ( x)d x
4
[ f ( x) ± g( x)] d x =
Zb
f ( x)d x ±
a
f ( x)d x =
a
Zc
f ( x)d x +
a
Zb
f ( x)d x
b
¯b
¯
f ′ (x)dx = f (x)¯ = f (b) − f (a)
a
a
a
Zb
f ( x)d x = −
a
Za
a
g( x)d x
a
Zb
f ( x)d x, (a < c < b).
c
Phương pháp tích phân
Phương pháp đổi biến số
Z
Tích phân: I =
b
a
f [ u( x)] .u′ ( x)d x.
đạo hàm
⋆ Đặt t = u( x) −−−−−−−−−−−−→ d t = u′ ( x)d x
⋆ Đổi cận: x = a ⇒ t = u(a); x = b ⇒ t = u( b).
u
Z(b)
⋆ I=
f ( t)d t
u ( a)
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
17
18 | Trang
Phương pháp từng phần
Zb
Công thức: I =
¯b Zb
¯
u( x).v ( x)d x = u( x).v( x)¯ − v( x).u′ ( x)d x
′
a
a
Zb
Viết gọn: I =
¯b
¯
u.dv = u.v¯ −
a
a
Đặt:
dv = v′ ( x)d x
⇒
a
vd u.
a
Cách đặt: u và dv
u = u ( x)
Zb
hàm
d u =−−đạo
−−−−−→ u′ ( x)d x
nguyên hàm
v =−−−−−−−−−→ v( x)
Diện tích hình phẳng
Dạng 1
y
(H ) :
Zb
y = f ( x)
y = 0; x = a; x = b
S=
| f ( x)| d x
y = f ( x)
(H )
O
a
a
x
b
Dạng 2
y = f ( x)
y
(H )
y = f ( x)
Zb
S = | f ( x) − g( x)| d x
(H ) : y = g( x)
a
x = a; x = b
y = g ( x)
O
a
b
x
Dạng 3
y
Zc
S=
| h( x)| d x +
a
Zc
S=
a
Zb
y = h( x)
| h( x)| d x
c
h( x)d x −
Zb
c
h( x)d x
O
a
b
x
c
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
18
19 | Trang
Dạng 4
y
Zc
S=
f ( x)d x −
Zd
a
f ( x)d x +
c
Zb
y = f ( x)
f ( x)d x
c
d
O
a
d
b x
Thể tích vật thể tròn xoay
Dạng 1
(P ), (Q )⊥Ox
x = a; x = b
Zb
V=
S ( x)d x
a
Dạng 2
y = f ( x), Ox
x = a; x = b
V = π.
Zb
f 2 ( x)d x
a
Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam
19