Tài liệu Tiểu luận một số phương pháp giải phương trình mũ và logarít

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ  TIỂU LUẬN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực tập: Võ Hoàng Ân Cần Thơ, tháng 04/2015 Trang 2 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................. 3 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: ................................................................................................................... 3 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: .......................................................................................................... 3 III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: ...................................................................................................... 3 IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: ........................................................................................................... 3 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: ................................................................................................. 3 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT..................... 4 A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: ................................................................................................. 4 B. Tóm tắt về hàm số Logarit: ............................................................................................................. 6 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ ..................................... 12 II.1 PHƯƠNG PHÁP 1 : PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ .............................................. 12 II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA ...................................................................... 13 II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ............................................................... 14 II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG..................................................................... 15 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 15 II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ........... 18 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ.......................................................................................................................................... 19 BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................................................... 20 CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT........................ 23 III.1 PHƯƠNG PHÁP 1 : PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ ............................................. 23 III.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA .......................................................... 24 III.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................................................. 26 III.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ................................................................... 28 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 28 III.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC.......... 30 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ ............................................................................................................................. 31 BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................................................... 32 KẾT LUẬN........................................................................................................................................... 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 37 Trang 3 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng. Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này. Do đó, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình Mũ và Logarít”. Trong đề tài này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy sau này. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng như các bài toán biện luận. Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng toán trong phần kiến thức này. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề tài của mình. IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn. Trang 4 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: 1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực: a b x y, , Định lý: Gọi l;à những số thực dương; là những số thực tùy ý. Ta có:     . x x y x y x y y y x x xy x x x x a a a a a a a a ab a b a a b b              x x0   1, 0 Chú ý rằng: 1) 2) Nếu chỉ xác định với mọi 2. Hàm số mũ: a a y a    0 x  a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số là hàm số được xác định bởi công thức 2 , ,...1 Ví dụ: 3 x x y y         b. Các tính chất: x y a   R x + Hàm số liên tục tại mọi điểm . x a x   R 0 + với mọi . a y R   1 1 + Nếu thì hàm số không đổi trên : . a R 1 + Nếu thì hàm số đồng biến trên . 0 1 R  a + Nếu thì hàm số nghịch biến trên . a  0 c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi thì: * 1,1 M N a M N a a a M N                * 1 0 1 M N a M N a a a M N                  * 10 1 0 1 0 x ax a a x                  * 10 0 1 0 1 0 x ax a a x                   Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ. d. Công thức đổi cơ số: b a Từ hàm số mũ cơ số đổi sang hàm số cơ số ta có công thức: Trang 5 a b a bx  x alogb  , 1 2 3 ;x x x a x log 23 a e ln Ví dụ: ,… y a x e. Đồ thị hàm số mũ: a  1 * Với : Bảng biến thiên:   0 x x y a  1 0 Đồ thị: 0 1 a * Với : Bảng biến thiên:   0 x x y a  1 0 Đồ thị: Trang 6 Nhận xét rằng: A y a   0,1 x  + Đồ thị hàm số luôn luôn đi qua điểm . y a x + Đồ thị hàm số luôn luôn nằm phía trên trục hoành. y y a 1 x x + Các hàm số và a        có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. B. Tóm tắt về hàm số Logarit: 1. Định nghĩa: a a M N a   0 0 Cho số thực và , logarit cơ số của một số dương là một số sao cho M log N a a N . Kí hiệu là . loga N M N a   M Ta có: . log 32 5 3 2 325 2 2   1 Ví dụ: vì ; 9   nên 3 1 log 2 9   . 2. Tính chất: a a   0 1 + Cơ số và . log N  a N 0 + có nghĩa khi và chỉ khi . log 1 0 ; log 1; loga a a  a a nn + . log , ; , 0a a M M a N NM      R loga N + Ví dụ: 4 0 2 2 log 4     x x2 2   x2  xác định khi và chỉ khi log 5x1   x xác định khi và chỉ khi 1 0 1 1 5 1 1 2 2 5 0 5 x x x x x x x x                         3 4 log 2 3 5 1 1 2 2 1 3 2 ; log 5 3 ; log 16 log 4 2              Trang 7 3. Các phép tính về logarit: 0 1 A B N, , 0  a  Giả sử ; , ta có các công thức sau: log log loga a a AB A B   * log . ... log log ... loga n a a a n A A A A A A1 2 1 2     Mở rộng: log log loga a aA A B * B         log loga a1 N Hệ quả: N         log loga aN N    R * log loga an N N1 * n   4. Công thức đổi cơ số: 0 , 1 c x   , 0 a b  Giả sử ; ta có: log log .loga a bc b c * Hệ quả: log .log ...log .log loga a a n a n a n1 2 2 1 1a a a a a2 3 1n n   log log * log b a b x x a log  * a logb a b a  log log1 a * a x x   log logn  a * a x n x * log log1 a a log 1 x x 1 1   1   * log log ab a b x x x x    5. Hàm số logarit: a a a  0, 1 a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số là hàm số xác định bởi công thức y x loga . y x log2 1 Ví dụ: , 3 y x log . b. Các tính chất: Trang 8  y x 0;  log  a  * Hàm số có tập xác định là y x x   log 0 a * Hàm số liên tục tại mọi điểm  y x a 0;  log   a 1  * Nếu thì hàm số đồng biến trong khoảng 0 1  y x 0;    log  a a  * Nếu thì hàm số nghịch biến trong khoảng y x R  loga * Hàm số có tập giá trị là . c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức sau: log log 0 * 0, 1 a a M N M N N a a           * 1 0 log log 0 1 0 a a a M N M N a M N                    * 1 1 log 0 0 1 0 1 a aM M aM                   * 1 0 1 log 0 0 1 1 a a M M a M                   Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình logarit. 6. Đồ thị của hàm số logarit: a 1 * Với : Bảng biến thiên: 1  0 a x y x loga  1 0  Đồ thị: Trang 9 0 1 a * Với Bảng biến thiên: 1  0 a x y x loga  0 1  Đồ thị: