Tài liệu Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán hình học không gian 12 nguyễn phú khánh

http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Bộ tài liệu khoảng 600 trang file word, lời giải chi tiết Chúng tôi xin trích dẫn một phần nội dung của bộ tài liệu này CHỦ ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 3 Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. I. Khoái ña dieän 1) Khaùi nieäm veà hình ña dieän Hình ña dieän ( goïi taét laø ña dieän) laø hình ñöôïc taïo bôûi moät soá höõu haïn caùc ña giaùc thoûa maõn hai tính chaát: a) Hai ña giaùc phaân bieät chæ coù theå hoaëc khoâng coù ñieåm chung , hoaëc coù moät ñænh chung, hoaëc coù moät caïnh chung. b) Moãi caïnh cuûa hai ña giaùc naøo cuõng laø caïnh chung cuûa ñuùng hai ña giaùc. Moãi ña giaùc nhö theá goïi laø moät maët cuûa hình ña dieän. Caùc ñænh, caïnh cuûa caùc ña giaùc aáy theo thöù töï ñöôïc goïi laø caùc ñænh, caïnh cuûa hình ña dieän. 2) Khaùi nieäm veà khoái ña dieän Khoái ña dieän laø phaàn khoâng gian ñöôïc giôùi hainj bôûi moät hình ña dieän, keå caû hình ña dieän ñoù. Nhöõng ñieåm khoâng thuoäc khoái ña dieän ñöôïc goïi laø ñieåm ngoaøi cuûa khoái ña dieän. Nhöõng ñieåm thuoäc khoái ña dieän nhöng khoâng thuoäc hình ña dieän ñöôïc goïi laø ñieåm trong cuûa khoái ña dieän. Taäp hôïp caùc ñieåm trong ñöôïc goïi laø mieàn trong, taäp hôïp caùc ñieåm ngoaøi ñöôïc goïi laø mieàn ngoaøi cuûa khoái ña dieän. Moãi khoái ña dieän ñöôïc xaùc ñònh bôûi hình ña dieän öùng vôùi noù. Ta goïi moãi ñænh, caïnh, maët, ñieåm trong , ngoaøi…cuûa khoái ña dieän theo thöù töï laø ñænh, caïnh, maët, ñieåm trong , ngoaøi…cuûa hình ña dieän töông öùng. 3) Hai ña dieän baèng nhau 3.1. Pheùp dôøi hình trong khoâng gian Pheùp bieán hình trong khoâng gian ñöôïc goïi laø pheùp dôøi hình neáu baûo toaønkhoaûng caùch giöõa hai ñieåm tuøy yù.     Vaäy: Neáu F laø moät pheùp dôøi hình vaø F M  M ', F N  N ' thì M ' N '  MN . 3.2. Moät soá pheùp bieán hình thöôøng gaëp trong khoâng gian a) Pheùp tònh tieán theo vectô v ( kí hieäu: T ):   T M  M '  MM '  v v 4 v http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt v M' M b) Pheùp ñoái xöùng qua maët phaúng (P): Laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thuoäc (P) thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm M khoâng thuoäc (P) thaønh ñieåm M’ sao cho (P) laø maët phaúng trung tröïc cuûa MM’. Neáu pheùp ñoái xöùng qua maët phaúng (P) bieán hình (H) thaønh chính noù thì (P) ñöôïc goïi laø maët phaúng ñoái xöùng cuûa hình (H). M M 1 P M' c) Pheùp ñoái xöùng taâm O: laø pheùp bieán hình bieán ñieåm O thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm M khaùc O thaønh ñieåm M’ sao cho O laø trung ñieåm cuûa MM’ Neáu pheùp ñoái xöùng taâm O bieán hình (H) thaønh chính noù thì O ñöôïc goïi laø taâm ñoái xöùng cuûa hình (H). M O d)Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng  : laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm thuoäc  thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm D M khoâng thuoäc  thaønh M’ sao cho  laø M' trung tröïc cuûa MM’ Neáu pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng  bieán M hình (H) thaønh chính noù  ñöôïc goïi laø truïc P ñoái xöùng cuûa hình (H). http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 5 M' Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. e) Pheùp vò töï taâm O tæ soá k: laø pheùp bieán hình bieán ñieåm moãi ñieåm M trong khoâng gian thaønh ñieåm M’ sao cho OM '  kOM . 3. Nhaän xeùt  Thöïc hieän lieân tieáp caùc pheùp dôøi hình thì ta ñöôïc moät pheùp dôøøi hình.  Pheùp dôøi hình bieán ña dieän (H) thaønh ña dieän (H’) vaø bieán ñænh , caïnh, maët cuûa (H) thaønh ñænh , caïnh, maët cuûa (H’) töông öùng.  Hai ña dieän ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu coù moät pheùp dôøi hình bieán ña dieän naøy thaønh ña dieän kia. 3.3. Phaân chia vaø laép gheùp khoái ña dieän Neáu khoái ña dieän ( H ) laø hôïp cuûa ( H1 ) vaø ( H2 ) , sao cho ( H1 ) vaø ( H2 ) khoâng coù ñieåm chung trong thì ta noùi coù theå chia ( H ) thaønh hai khoái ña dieän ( H1 ) vaø ( H2 ) , hay coù theå laép gheùp ñöôïc hai khoái ña dieän ( H1 ) vaø ( H2 ) thaønh khoái ña dieän ( H ) . II. Khoái ña dieän loài – Khoái ña dieän ñeàu  Khoái ña dieän ( H ) ñöôïc goïi laø khoái ña dieän loài neáu ñoaïn thaúng noái hai ñieåm baát kyø cuûa ( H ) luoân thuoäc ( H )  Khoái ña dieän ñeàu laø khoái ña dieän loài coù hai tính chaát * Moãi maët cuûa noù laø moät ña giaùc ñeàu p caïnh. * Moãi ñænh cuûa chuùng laø ñænh chung cuûa ñuùng q maët.   * Khoái ña dieän ñeàu ñoù ñöôïc goïi laø khoái ña dieän ñeàu loaïi p, q . Goïi D, M, C laàn löôït laø soá ñænh, soá caïnh, soá maët cuûa khoái ña dieän loài ( H ) thì ñaëc soá Euler cuûa ( H ) laø  ( H)  D  C  M  2 (ñònh lyù Euler). III. Theå tích khoái ña dieän  Theå tích cuûa khoái choùp coù dieän tích ñaùy B vaø chieàu cao h laø: V  1 Bh . 3  Theå tích cuûa khoái laêng truï coù dieän tích ñaùy B vaø chieàu cao h laø: V  Bh .  Theå tích cuûa khoái hoäp coù dieän tích ñaùy B vaø chieàu cao h laø: V  Bh .  Theå tích khoái hoäp chöõ nhaät : V  abc . 6 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  Theå tích khoái laäp phöông: V  a3 .  Tæ soá theå tích: Neáu A ', B ', C ' thuoäc caùc caïnh SA, SB, SC cuûa hình choùp S. ABC thì : VS. A ' B ' C ' VS. ABC  SA '.SB '.SC ' . SA.SA.SC B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vì phần này chỉ có mục đích giới thiệu cho học sinh các khái niệm cơ bản của khối đa diện và một số phép biến hình trong không gian, do đó trong các dạng toán dưới đây chỉ đề cập vấn đề áp dụng phép biến hình để giải một số dạng toán hình học không gian . Vấn đề 1. BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN CAÏNH, ÑÆNH VAØ MAËT HÌNH ÑA DIEÄN, CHÖÙNG MINH CAÙC TÍNH CHAÁT HÌNH HOÏC Phöông phaùp:  Döïa vaøo ñònh nghóa hình ña dieän  Döïa vaøo ñònh lí Euler veà moái quan heä giöõa soá ñænh, soá caïnh vaø soá maët.  Döïa vaøo giaû thieát cuûa baøi toaùn ,choïn moät pheùp bieán hình thích hôïp vaø vaän duïng caùc tính chaát cuûa pheùp bieán hình naøy ñeå giaûi.  Ñeå tìm taäp hôïp ñieåm M ,ta tìm moät pheùp bieán hình f bieán M thaønh ñieåm N ,trong ñoù taäp hôïp cuûa N ñaõ bieát hay deã tìm .Khi ñoù taäp hôïp ñieåm M laø aûnh cuûa taäp hôïp ñieåm N qua pheùp bieán hình f. Ví dụ 1.1.1 Chöùng minh raèng neáu khoái ña dieän coù caùc maët laø nhöõng tam giaùc thì toång caùc maët cuûa noù phaûi laø moät soá chaün. Haõy chæ ra nhöõng khoái ña dieän nhö theá vôùi soá maët baèng 4,6,8,10. Lời giải. Goïi soá caïnh vaø soá maët cuûa ña dieän laàn löôït laø c vaø m . Vì moãi maët coù ba caïnh vaø moãi caïnh laø caïnh chung cuûa ñuùng hai maët neân ta coù soá 3m  3m  2c  3m chia heát cho 2 maø 3 khoâng caïnh cuûa ña dieän laø c  2 chia heát cho 2 neân m phaûi chia heát cho 2 , nghóa laø m laø soá chaün. *Khoái ña dieän ABCD coù 4 maët maø moãi maët laø moät tam giaùc . http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 7 Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. *Xeùt tam giaùc BCD vaø hai ñieåm A,E ôû veà hai phía cuûa maët phaúng  BCD . Khi ñoù ta coù khoái luïc dieän ABCDE coù 6 maët laø nhöõng tam giaùc . *Khoái baùt dieän ABCDEF coù 8 maët laø nhöõng tam giaùc . *Xeùt nguõ giaùc ABCDE vaø hai ñieåm M,N ôû veà hai phía cuûa maët phaúng chöùa nguõ giaùc. Khi ñoù ta coù khoái thaäp dieän MABCDEN coù 10 maët laø nhöõng tam giaùc . Ví dụ 2.1.1 Chöùng minh raèng moät ña dieän maø moãi ñænh cuûa noù ñeàu laø ñænh chung cuûa moät soá leû maët thì toång soá caùc ñænh cuûa noù phaûi laø moät soá chaün. Lời giải. Goïi k laø soá ñænh cuûa ña dieän vaø C laø soá caïnh cuûa ña dieän . Ta coù: -Taïi ñænh thöù 1 coù  2n1  1 maët neân coù  2n1  1 caïnh qua ñænh thöù nhaát. -Taïi ñænh thöù hai coù  2n2  1 maët neân coù  2n2  1 caïnh qua ñænh thöù hai. …………………………………………………………………………….. -Taïi ñænh thöù k coù  2nk  1 maët neân coù  2nk  1 caïnh qua ñænh thöù k. Maët khaùc vì moãi caïnh ñi qua hai ñænh neân ta coù 2C   2n1  1   2n 2  1  .....   2n k  1  k  2  n1  n 2  ....  n k   k  2 C   n1  n 2  ....  n k    k laø soá chaün (ñpcm). Ví dụ 3.1.1 Cho hình choùp S.ABCD , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng  ABCD , ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a. Goïi H,K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân SB vaø SD ; G laø troïng taâm cuûa tam giaùc SAC . Chöùng minh ba ñieåm H,G,K thaúng haøng. Lời giải. 8 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt SA  AB SA   ABCD    SA  AD S  SAB, SAD vuoâng taïi A . Xeùt tam giaùc vuoâng SAB , ta coù: SB2  SA2  AB2  2a2  a2  3a2 SA2  SH.SB  K G SH SA2 2   . SB SB2 3 Chöùng minh töông töï ,ta cuõng coù SK 2 :  . SD 3 H D A I B C Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD thì I laø trung ñieåm cuûa AC neân G SG 2 thuoäc SI vaø  . SI 3 2 Goïi f laø pheùp vò töï taâm S , tæ soá , ta coù: 3 f  B  H,f I   G,f  D   K Vì B,I, D thaúng haøng neân H,I,K cuõng thaúng haøng Ví dụ 4.1.1 Cho töù dieän ñeàu ABCD caïnh a . Goïi  P  laø maët trung tröïc cuûa caïnh AB,K laø moät ñieåm trong tam giaùc ACD vaø E laø giao ñieåm cuûa BK vaø  P  ,F laø ñieåm ñoái xöùng cuûa K qua  P  . Chöùng minh raèng ba ñieåm A,E,F thaúng haøng vaø EA  EF  a 6 . 3 Lời giải. http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 9 Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Töù dieän ABCD laø töù dieän ñeàu neân boán maët cuûa noù laø 4 tam giaùc ñeàu baèng nhau. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB , khi ñoù ta coù DI  AB,CI  AB , suy ra  CDI  laø maët trung tröïc cuûa AB töùc laø  CDI    P  . B F I E A C Pheùp ñoái xöùng qua maët phaúng H K EE M  P  bieán : B  A KF Vì B,E,K thaúng haøng neân A,E,F D thaúng haøng Laïi coù EA  EB,EF  EK , suy ra EA  EF  EB  EK  BK . Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B leân maët phaúng  ACD  vaø M laø trung ñieåm cuûa CD . thì H laø taâm cuûa tam giaùc ACD vaø 2 2 a 3 a 3 . AH  AM  .  3 3 2 3 Trong tam giaùc vuoâng BHA : 2 a 3  6a 2 a 6 BH2  BA2 – AH2  a 2    BH     3  9 3   Laïi coù BK  BH , suy ra EA  EF  a 3 (ñpcm). 2 Ví dụ 5.1.1 Trong maët phaúng  P  cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A . Goïi d laø ñöôøng thaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi  P  . Goïi S laø moät ñieåm di ñoäng treân d vaø H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân maët phaúng  SBC  . 1. Chöùng minh H laø tröïc taäm cuûa tam giaùc SBC . 2. Goïi K laø giao ñieåm cuûa SH vôùi ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc SBC . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm K khi S di ñoäng treân ñöôøng thaúng d Lời giải. 10 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt d d S S H H C A E A E B K 1.Chöùng minh H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc SBC . Ta coù : BC  SA , BC  AH  BC   SAH  BC  SH  1 AB  AC  AB   SAC   AB  SC . Laïi coù  AB  SA SC  AH  SC   ABH  SC  BH  2  . Töø (1) vaø (2) suy ra H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc SBC . 2.Taäp hôïp caùc ñieåm K . Theo tính chaát cuûa tröïc taâm , neáu K laø giao ñieåm cuûa SH vôùi ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc SBC thì K vaø H ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng BC . Goïi E laø giao ñieåm cuûa SH vôùi BC , ta coù BC   SAH  , suy ra BC  AE ; E laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân BC neân E coá ñònh. AH   SBC  AH  SE . Trong maët phaúng coá ñònh  E,d  , AHE  900 do ñoù taäp hôïp H laø ñöôøng troøn  C  ñöôøng kính AE chöùa trong maët phaúng  E,d  loaïi boû ñieåm E (do H khoâng theå truøng E ) H vaø K ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng BC , suy ra taäp hôïp K laø aûnh cuûa taäp hôïp H qua pheùp ñoái xöùng truïc BC . http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 11 Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Ví dụ 6.1.1 Trong maët phaúng  P  cho ñöôøng troøn  C  ñöôøng kính AB ; M laø moät ñieåm di ñoäng treân  C  , H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M leân AB . Goïi I laø trung ñieåm cuûa MH vaø  d  laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi  P  taïi I ; treân  d  laáy moät ñieåm S sao cho SHM  600 . Döïng hình bình haønh SMHN .Tìm taäp hôïp caùc ñieåm N khi M di ñoäng treân ñöôøng troøn. Lời giải. AB  MH Ta coù :  AB  SI  AB   SMH   SHM   SAB ,  P   Maët phaúng  SAB  chöùa ñöôøng thaúng coá ñònh AB vaø hôïp vôùi maët phaúng coá ñònh  P  moät goùc khoâng ñoåi SHM  600 neân maët phaúng  SAB coá ñònh. Tam giaùc SMH coù SI  MH taïi trung ñieåm I cuûa MH neân laø tam giaùc caân , laïi coù SHM  600 neân tam giaùc SMH laø tam giaùc ñeàu . Goïi E laø giao ñieåm cuûa MN vaø SH , vì töù giaùc SMHN laø hình bình haønh neân E laø trung ñieåm cuûa MN vaø SH , suy ra MN  SH . Maët khaùc MN   SMH  neân MN  AB , suy ra MN   SAB taïi E vaø vì E laø trung ñieåm cuûa MN do ñoù N vaø M laø hai ñieåm ñoái xöùng qua maët phaúng  SAB  . Laïi coù taäp hôïp caùc ñieåm M laø ñöôøng troøn  C  , suy ra taäp hôïp caùc ñieåm N laø ñöôøng troøn  C’ ñoái xöùng cuûa ñöôøng troøn  C  qua maët phaúng  SAB  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Tìm soá ñænh, soá caïnh vaø soá maët nhoû nhaát coù theå coù cuûa moät hình ña dieän. 12 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 2. Tính soá ñænh, soá maët vaø soá caïnh cuûa moät khoái ña ñeàu dieän loaïi n; p . Töø ñoù haõy tìm taát caû caùc ña dieän ñeàu loaïi n; p . 3. Cho ( H ) laø ña dieän coù 2q  1 (q  , q  2) maët , caùc maët cuûa noù laø nhöõng ña giaùc coù ñuùng p caïnh. Chöùng minh p laø soá chaün. 4. Cho moät hình ña dieän coù soá caïnh, soá maët vaø soá ñænh laàn löôït laø a) c  m b) c  ñ c, m, ñ . Chöùng minh raèng: 5. Chöùng minh raèng khoâng toàn taïi hình ña dieän coù 7 caïnh. 6. Chöùng minh raèng trong moät khoái ña dieän baát kyø, toàn taïi hai ñænh maø soá caïnh xuaát phaùt töø moãi ñænh naøy baèng nhau. Bài 2 1. Chöùng minh raèng moät ña dieän maø moãi ñænh cuûa noù ñeàu laø ñænh chung cuûa ba caïnh thì toång soá caùc ñænh cuûa noù phaûi laø moät soá chaün. 2. Chöùng minh raèng neáu khoái ña dieän coù caùc maët laø tam giaùc vaø moãi ñænh laø ñænh chung cuûa ba caïnh thì ñoù laø khoái töù dieän . 3. Chöùng minh raèng moät hình töù dieän khoâng theå coù taâm ñoái xöùng Bài 3 1. Chöùng minh raèng moät khoái ña dieän coù ít nhaát 4 ñænh. 2. Chöùng minh raèng moãi hình ña dieän coù ít nhaát 6 caïnh. 3. Chöùng minh raèng trong moät khoái ña dieän baát kyø toàn taïi maët coù soá caïnh nhoû hôn 6. Bài 4 1. Cho töù dieän ABCD coù AB  CD , AC  BD , AD  BC . Goïi A’, B’ laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A vaø B leân CD ; C’ vaø D’ laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa C vaø D leân AB . Chöùng minh A’C’  B’D’ vaø A’D’  B’C’ 2.Trong maët phaúng , cho töù giaùc loài ABCD coù ABD  1200 , ABC  750 , BCD  600 , AB  a , CD  a 2 . Döïng hai tia Bx,Cy cuøng vuoâng goùc vôùi P vaø cuøng chieàu , treân Bx,Cy laàn löôït laáy hai ñieåm E,F sao cho goùc giöõa EF vaø  P  laø 600 .Tính ñoä daøi ñoaïn EF theo a 3. Cho töù dieän ñeàu ABCD . Goïi E,F,O laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB,CD vaø EF . Chöùng minh raèng vôùi moïi ñieåm M naèm trong töù dieän ta coù : MA  MB  MC  MD  OA  OB  OC  OD. Bài 5 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 13 Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 1. Cho maët phaúng  P  , A , B laø hai ñieåm ôû cuøng moät phía ñoái vôùi maët phaúng  P  . Tìm ñieåm M treân  P  sao cho MA  MB nhoû nhaát . 2. Cho hai maët phaúng  P  vaø  Q  vuoâng goùc vôùi nhau theo giao tuyeán c vaø moät ñoaïn thaúng AB ôû trong  P  , song song vôùi c . Goïi O laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa trung ñieåm I cuûa AB leân c ; Oz laø ñöôøng thaúng chöùa trong  Q  vaø quay quanh O . Chöùng minh raèng AOz  BOz khoâng ñoåi. 3. Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G , moät maët phaúng  P  khoâng truøng vôùi maët phaúng  ABC  vaø caét caùc caïnh CA,CB . Goïi a, b,c,h laàn löôït laø khoaûng caùch töø A, B,C vaø G ñeán maët phaúng  P  . Chöùng minh 1 a  b  c  . 3 4. Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ . Goïi M,N,P,Q,R,S laàn löôït laø trung h ñieåm cuûa 6 caïnh A’B’,B’B,BC,CD,DD’,D’A’ cuøng naèm trong moät maët phaúng. Bài 6 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng  ABCD  . Goïi M laø moät ñieåm di ñoäng treân caïnh BC ; H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S leân DM vaø K laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua D . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm K . 2. Trong maët phaúng  P  , cho goùc xAx' vaø moät ñieåm B khoâng thuoäc P . Goïi tia By laø aûnh cuûa tia Ax’ qua pheùp tònh tieán AB .Treân hai tia Ax, By laàn löôït laáy hai ñieåm di ñoäng M,N sao cho AM  BN . Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa ñoaïn MN . 3. Cho hình choùp S.ABC . Goïi M laø moät ñieåm thuoäc mieàn trong cuûa tam giaùc ABC . Töø M döïng caùc ñöôøng thaúng song song vôùi SA,SB,SC , caùc ñöôøng thaúng naøy caét caùc maët SBC,SCA,SAB laàn löôït taïi caùc ñieåm A’, B’,C’ . Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc A’B’C’ . a) Haõy neâu caùch döïng caùc ñieåm A’B’C’ . b) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm G khi M di ñoäng trong mieàn trong cuûa tam giaùc ABC . Bài 7 14 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1. Cho maët phaúng  P  vaø töù dieän ABCD . Vôùi moãi ñieåm M thuoäc  P  ta xaùc ñònh ñieåm N theo coâng thöùc MA  MB  MC  MD  2MN . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm N khi M di ñoäng trong  P  . 2. Cho hình choùp S.ABCD coù SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng  ABCD  , ñaùy ABCD laø hình vuoâng . Goïi M laø moät ñieåm di ñoäng treân caïnh SA vaø  P  laø maët phaúng ñoái xöùng cuûa maët phaúng  MBC  qua ñöôøng thaúng SA , H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S leân  P  . Tìm taäp hôïp H khi M di ñoäng treân caïnh SA . 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh . Goïi M laø moät ñieåm di ñoäng treân caïnh SA . Maët phaúng  MCD  caét SB taïi N . Goïi M’,N’ laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M,N qua maët phaúng  SCD  . Tìm taäp hôïp giao ñieåm E cuûa hai ñöôøng thaúng DM’ vaø CN’ khi M di ñoäng treân caïnh SA . 4. Cho maët phaúng  P  vaø hai ñöôøng thaúng d,d’ cheùo nhau caét  P  laàn löôït taïi O vaø O’ . Goïi  Q  laø maët phaúng xaùc ñònh bôûi d vaø ñöôøng thaúng d1 song song vôùi d’ veõ töø O . Moät ñöôøng thaúng  di ñoäng song song vôùi  P  hay chöùa trong  P  , caét d taïi A , caét d’ taïi A’ vaø goïi M laø ñieåm treân  sao cho MA'  kMA ( k laø soá thöïc cho tröôùc vaø k  1 ). Ñöôøng thaúng d 2 song song vôùi OO’ veõ töø M , caét maët phaúng  Q  taïi M’ . Khi A di ñoäng treân d a) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M’ . b) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M . 5. Cho maët phaúng  P  vaø ba ñieåm A, B,C khoâng naèm trong maët phaúng song song vôùi  P  vaø ôû veà cuøng moät beân ñoái vôùi  P  . Ba ñöôøng thaúng song song veõ töø A, B,C caét  P  laàn löôït taïi A’, B’,C’ . Giaû söû nhöõng ñöôøng thaúng song song aáy di ñoäng sao cho AA’  BB’  CC’  k , k laø moät ñoä daøi khoâng ñoåi. a) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm A’, B’C’ . b) Tìm taäp hôïp troïng taâm G’ cuûa tam giaùc A’B’C’ . http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 15 Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. Vấn đề 2. PHÂN CHIA – LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN CHỨNG MINH HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU, CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA DIỆN ĐỀU Phöông phaùp: Ñeå chöùng minh hai ña dieän baèng nhau, ta chöùng minh coù moät pheùp bieán hình trong khoâng gian bieán ña dieän naøy thaønh ña dieän kia. Ví dụ 1.2.1 Cho khoái töù dieän ñeàu ABCD. Chöùng minh raèng: 1. Troïng taâm caùc maët cuûa khoái ñoù laø caùc maët cuûa moät töù dieän ñeàu. 2. Caùc trung ñieåm caùc caïnh cuûa khoái ñoù laø caùc ñænh cuûa moät khoái taùm maët ñeàu. Lời giải. 1. Goïi Q, M laàn löôït laø trung A ñieåm cuûa CD,CB ; G1 ,G2 ,G3 ,G4 laàn löôït laø troïng taâm caùc maët  ABC ,  ACD ,  ABD vaø  BCD . Goïi a laø caïnh cuûa töù dieän, ta coù 2 2a a G1G2  MQ   . 3 32 3 Töông töï G1G4  G1G3  G2G3 N P R G G B D S a M Q neân G1G2G3G4 3 C a laø moät töù dieän ñeàu caïnh . 3 2. Goïi N,P, R,S laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh AD, AB, AC,BD Theo tính chaát ñöôøng trung bình, ta coù: a QM  QN  QS  QR  PM  PN  PS  PR  2  G2G4  G3G4  Ví dụ 2.2.1 Chöùng minh raèng taâm caùc maët cuûa hình laäp phöông laø caùc ñænh cuûa moät baùt dieän ñeàu. Lời giải. Giaû söû caïnh cuûa hình laäp phöông ñaõ cho laø a. Goïi M,N,P Q,E,F laàn D' löôït laø taâm caùc maët cuûa hình laäp phöông (hình veõ). A' B' E C' Q M P N A B 16 F D C http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 1 2 AC  a vaø töông töï 2 2 cho caùc caïnh khaùc cuûa hình goàm taùm ñænh M,N,P,Q,E,F. Ta coù MN  Hay MNPQEF laø moät baùt dieän ñeààu. Ví dụ 3.2.1 Cho khoái baùt dieän ñeàu ABCDEF caïnh a, trong ñoù E,F laø hai ñænh khoâng cuøng naèm treân moät caïnh. Goïi A,B,C,D, A,B,C,D laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD. Chöùng minh raèng ABCD.ABCD laø moät hình hoäp chöõ nhaät vaø tính caùc caïnh cuûa hình chöõ nhaät ñoù. Lời giải. Töù giaùc ABCD laø hình vuoâng caïnh a, neân caùc töù giaùc ABCD, a vaø hai maët phaúng (ABCD) vaø ABCD laø caùc hình vuoâng caïnh 2 E (ABCD) song song vôùi nhau Ta coù AA // EF neân AA  (ABCD)  AA  (ABCD). A' Töông töï suy ra caùc caïnh beân AA,BB,CC,DD cuøng vuoâng goùc vôùi hai maët ñaùy. Vaäy ABCD.ABCD laø hình hoäp chöõ nhaät. C' D' B' D C O A B D'' A'' C'' B'' a F , 2 coøn caùc caïnh beân cuûa hình hoäp coù ñoä daøi laø 2 a. 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Haõy phaân chia khoái laêng truï ABC. A ' B ' C ' thaønh ba khoái töù dieän. 2. Chia moät khoái hình hoäp ABCD. A ' B ' C ' D ' thaønh 5 khoái töù dieän. 3. Cho töù dieän ABCD. Chöùng minh raèng ta coù theå noäi tieáp khoái töù dieän trong moät khoái hoäp sao cho caùc caïnh cuûa töù dieän laø ñöôøng cheùo caùc maët cuûa khoái hoäp. Caùc caïnh ñaùy cuûa hình hoäp coù ñoä daøi laø http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 17 Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả. 4. Cho hình hoäp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Chöùng minh hai töù dieän A ' ABD vaø CC ' D ' B ' baèng nhau. 5. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S. ABC . Goïi A ', B ',C ' laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BC , CA vaø AB . Chöùng minh hai töù dieän SABA ' vaø SBCB ' Bài 2 Cho khoái baùt dieän ñeàu ABCDEF caïnh a, trong ñoù E,F laø hai ñænh khoâng cuøng naèm treân moät caïnh. Goïi A,B,C,D, A,B,C,D laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD. Chöùng minh raèng ABCD.ABCD laø moät hình hoäp chöõ nhaät vaø tính caùc caïnh cuûa hình chöõ nhaät ñoù Bài 3 1. Haõy phaân chia khoái laêng truï ABC. ABC thaønh a) Ba khoái töù dieän. b) Moät khoái choùp tam giaùc vaø moät khoái choùp töù giaùc 2. Haõy phaân chia moät khoái laäp phöông ABCD.A ' B 'C ' D ' thaønh naêm khoái töù dieän 3. Cho hình choùp töù giaùc F. ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng. Caïnh beân FC vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø coù ñoä daøi baèng caïnh AB .Chöùng minh raèng coù theå duøng ba hình choùp nhö treân ñeå gheùp laïi thaøng moät hình laäp phöông. 4. Cho hình laäp phöông ABCD. A ' B ' C ' D ' . Chöùng minh raèng a) Caùc hình choùp A. A ' B ' C ' D ' vaø C '. ABCD baèng nhau. b) Caùc laêng truï ABC. A ' B ' C ' vaø AA ' D '.BB ' C ' baèng nhau. 5. Haõy duøng 4 maët phaúng ñeå chia moät khoái töù dieän cho tröôùc thaønh 9 khoái töù dieän. Bài 4 1. Cho khoái baùt dieän ñeàu ABCDEF caïnh a , trong ñoù E, F laø hai ñænh khoâng cuøng naèm treân moät caïnh. Goïi A ', B ', B ', D ', A ", B ", C ", D " laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD . Chöùng minh raèng: A ' B ' C ' D '. A " B " C " D " laø moät hình hoäp chöõ nhaät vaø tính caùc caïnh cuûa hình chöõ nhaät ñoù. 2. Cho khoái töù dieän ñeàu . Chöùng minh raèng: a) Troïng taâm caùc maët cuûa noù laø caùc ñænh cuûa moät töù dieän ñeàu b) Caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh cuûa noù laø caùc ñænh cuûa moät khoái taùm maët ñeàu. 3. Cho khoái baùt dieän ñeàu ABCDEF . Chöùng minh raèng: 18 http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt a) Caùc ñieåm A, B, C, D naèm treân maët phaúng trung tröïc cuûa EF b)  ABCD   ECFA . 4. Chöùng minh taâm caùc maët cuûa moät hình baùt dieän ñeàu laø caùc ñænh cuûa moät hình laäp phöông. 5. Chöùng minh raèng taâm caùc maët cuûa moät hình laäp phöông laø caùc ñænh cuûa moät hình baùt dieän ñeàu. 6. Chöùng minh raèng toàn taïi moät khoái ña dieän coù 20 maët laø tam giaùc ñeàu nhöng khoâng phaûi laø khoái hai möôi maët ñeàu. Bài 5 1. Cho khoái töù dieän ñeàu ABCD. Chöùng minh raèng a)Troïng taâm caùc maët cuûa khoái ñoù laø caùc maët cuûa moät töù dieän ñeàu. b) Caùc trung ñieåm caùc caïnh cuûa khoái ñoù laø caùc ñænh cuûa moät khoái taùm maët ñeàu. 2. Chöùng minh raèng taâm caùc maët cuûa moät hình baùt dieän ñeàu laø caùc ñænh cuûa moät hình laäp phöông. http://topdoc.vn – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 19