Tài liệu Vành chính, vành euclide và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Như Quỳnh VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Như Quỳnh VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Th.S Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời cảm ơn Lời mở đầu 1 Bảng kí hiệu 2 1 VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 3 1.1 Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên . 3 1.2 Vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Các tính chất của vành chính . . . . . . . . . . 6 Vành Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Tính chất của vành Euclide . . . . . . . . . . . 15 1.3 2 ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 17 2.1 Vành số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Xây dựng vành số nguyên . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Vành số nguyên là vành chính, vành Euclide . . 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 2.4 GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Ứng dụng trong vành số nguyên . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Khái niệm UCLN . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Sự tồn tại của UCLN . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Bài toán tìm UCLN . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4 Đẳng thức Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.5 Phần tử bất khả quy trong vành số nguyên . . . 29 2.2.6 Định lý về sự phân tích tiêu chuẩn . . . . . . . 30 2.2.7 Phương trình vô định . . . . . . . . . . . . . . . 34 Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn . . . . . . . . . 36 2.3.2 Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ứng dụng trong vành đa thức một ẩn trên một trường 39 2.4.1 Phép chia Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.2 UCLN của hai đa thức nguyên tố cùng nhau . . 43 2.4.3 Thuật chia Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.4 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.5 Sự phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 KẾT LUẬN 50 Tài liệu tham khảo 50 Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Lời cảm ơn Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến nay, khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới cô giáo - Thạc Sĩ Dương Thị Luyến người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận này. Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Như Quỳnh Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp "Vành chính, vành Euclide và ứng dụng" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo - Thạc Sĩ Dương Thị Luyến Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như đã viết trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin cam đoan kết quả trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Như Quỳnh Nguyễn Thị Như Quỳnh K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó lý thuyết vành chiếm một phần quan trọng trong Đại số. Vành chính, vành Euclide là hai khái niệm rất trừu tượng trong lý thuyết vành. Hai lớp vành đặc biệt này có những tính chất quan trọng được áp dụng rất nhiều trong toán phổ thông, điều đó thể hiện rõ nhất trong toán trung học cơ sở. Mà các ứng dụng của vành chính, vành Euclide trong toán phổ thông chính là các ứng dụng trên vành số nguyên và vành đa thức một ẩn trên trường số. Xuất phát từ những lý do đó, em quyết định chọn đề tài khóa luận mang tên "Vành chính, vành Euclide và ứng dụng". 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận này nghiên cứu các kiến thức về vành chính, vành Euclide và ứng dụng của chúng trong hai lớp vành: vành số nguyên và vành đa thức một ẩn trên trường số. Khóa luận này gồm hai chương: Chương 1. Vành chính, vành Euclide. Chương 2. Ứng dụng của vành chính, vành Euclide. 3. Đối tượng nghiên cứu Vành chính, vành Euclide và ứng dụng của chúng. 4. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp. Nguyễn Thị Như Quỳnh 1 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Bảng kí hiệu Kí hiệu Định nghĩa a|b a là ước của b ∀ Lượng từ tổng quát ∀xf (x) Với mọi x, f (x) ∃ Lượng từ tồn tại ∃x, f (x) Tồn tại x, f (x) δ:X→Y Ánh xạ δ từ X đến Y Z Tập hợp các số nguyên R Tập hợp các số tự nhiên C Tập hợp các số phức Q Tập hợp các số hữu tỷ Nguyễn Thị Như Quỳnh 2 K39B Sư phạm Toán Chương 1 VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 1.1 Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên Giả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1. Ta có các khái niệm và tính chất số học sau: Định nghĩa 1.1. Một phần tử a ∈ A gọi là bội một phần tử b ∈ A . hay a chia hết cho b, kí hiệu: a..b, nếu có c ∈ A sao cho a = bc. Ta còn nói rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b|a. Định nghĩa 1.2. Các ước của đơn vị gọi là các phần tử khả nghịch. Chẳng hạn, trong vành Z các số nguyên, các phần tử khả nghịch là 1 và −1. Trong vành đa thức K[x] với K là một trường, các đa thức bậc 0 nghĩa là các phần tử khác 0 của K là các phần tử khả nghịch. Định nghĩa 1.3. Hai phần tử x và x0 gọi là liên kết nếu chúng là ước của nhau, tức là x0 = ux với u khả nghịch. Chẳng hạn, trong vành các số nguyên Z, hai số nguyên a và −a là liên kết. 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Trong vành đa thức K[x] với K là một trường, hai đa thức f (x) và af (x), a ∈ K và a 6= 0, là liên kết. Định nghĩa 1.4. Cho b là một ước của a. Khi đó b được gọi là ước thực sự của a nếu b không khả nghịch và b không liên kết với a. Định nghĩa 1.5. Giả sử a là một phần tử khác 0 và không khả nghịch của A; a gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu a không có ước thực sự Định nghĩa 1.6. Nếu c|a và c|b thì c gọi là ước chung của a và b. Phần tử d gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu UCLN(a, b), nếu d là ước chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b đều là ước của d. Nếu d là một ước chung lớn nhất của a và b thì d0 cũng là ước chung lớn nhất của a và b, trong đó d0 là một phần tử liên kết với d. Nên ta viết UCLN(a, b) ∼ d. Định nghĩa 1.7. a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng nhận phần tử đơn vị làm ước chung lớn nhất. Tính chất 1.1.1. Một số tính chất trong miền nguyên (i) a|b khi và chỉ khi Aa ⊃ Ab. (ii) a|0,∀a ∈ A. (iii) 1|a, ∀a ∈ A. (iv) a|a, ∀a ∈ A. Nguyễn Thị Như Quỳnh 4 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến (v) Nếu a|b và b|c thì a|c. Nếu a|b và a|c thì a|b + c. Tổng quát: Nếu a|bi , i = 1, n thì a| Pn i=1 bi xi , xi ∈A (vi) Nếu a|b thì (a) ⊂ (b) Nếu a ∼ 1 thì (a) = A. Nếu a ∼ b thì (a) = (b). 1.2 Vành chính 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.8. Một miền nguyên X được gọi là một vành chính nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính. Ví dụ Vành các số nguyên Z là vành chính. Thật vậy, chỉ cần chứng minh rằng mọi iđêan A của Z đều là iđêan chính. Nếu A = {0} = 0Z thì A là một iđêan sinh chính bởi 0. Nếu A 6= {0}, thì tồn tại a ∈ A, a 6= 0 nên −a ∈ A. Vậy A chứa các số nguyên âm và các số nguyên dương. Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất trong A. Ta sẽ chỉ ra A là iđêan chính sinh bởi n. Ta có ∀a ∈ A, chia a cho n ta được : a = nb + r với b, r ∈ Z và 0 ≤ r < n. Vì A là một iđêan và n ∈ A nên nb ∈ A, do đó r = a − nb ∈ A. Nếu r 6= 0 thì n không là số nguyên dương bé nhất của A, mâu thuẫn giả thiết của số n, do đó r = 0 hay a = nb ∈ (n). Nguyễn Thị Như Quỳnh 5 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Suy ra A ⊂ (n). Ta cũng có n ∈ A nên (n) ⊂ A. Vậy A = (n). Suy ra điều phải chứng minh. 1.2.2 Các tính chất của vành chính Tính chất 1.2.1. Trong vành chính A, ước chung lớn nhất của hai phần tử a và b bất kỳ luôn tồn tại. Chứng minh Gọi I là iđêan sinh bởi a và b. Các phần tử I có dạng ax + by với x, y ∈ A. Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử d nào đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng: d = ax + by, x, y ∈ A (1) Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b. Vì a, b ∈ I = dA, nên a = da0 , b = db0 , a0 , b0 ∈ A. Do đó d là ước chung của a, b. Thêm nữa nếu c là một ước chung của a và b, tức là có a”, b” ∈ A sao cho a = ca”, b = cb”, thế thì (1) trở thành d = c(a”x + b”y) Do đó c|d. Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b. Tính chất 1.2.2. Nếu e là một ước chung lớn nhất của a và b, thì có r, s ∈ A sao cho e = ar + bs Nguyễn Thị Như Quỳnh 6 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Tính chất 1.2.3. Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s ∈ A sao cho 1 = ar + bs Tính chất 1.2.4. Nếu c|ab và c, a nguyên tố cùng nhau thì c|b. Chứng minh Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên theo tính chất 1.2.3, ta có r, s ∈ A sao cho 1 = ar + cs Nhân hai vế của đẳng thức với b ta được b = abr + bcs Vì c|ab nên có q ∈ A sao cho ab = cq. Do đó b = c(qr + bs). Từ đẳng thức trên suy ra c|b. Tính chất 1.2.5. Giả sử x là một phần tử bất khả quy và a là một phần tử bất kì. Thế thì hoặc x|a hoặc x và a nguyên tố cùng nhau. Chứng minh Vì x là bất khả quy nên các ước của x là các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch. Do đó gọi d là một ước chung lớn nhất của x và a, thì d ∼ (x, a), suy ra d|x, mà x là bất khả quy, nên xảy ra hai trường hợp: TH1: d ∼ x suy ra x|a. Nguyễn Thị Như Quỳnh 7 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Th2: d ∼ 1 suy ra (x, a) = 1, hay x và a nguyên tố cùng nhau. Tính chất 1.2.6. Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Các mệnh đề sau đây là tương đương: a) x là bất khả quy. b) x|ab thì x|a hoặc x|b. Chứng minh (a ⇒ b) Theo tính chất 1.2.5 ta có hoặc x|a hoặc x và a nguyên tố cùng nhau. Nếu x và a nguyên tố cùng nhau theo tính chất 1.2.4 ta có x|b. (b ⇒ a) Giả sử a là một ước của x, thế thì có b ∈ A sao cho x = ab Vì x|x nên x|ab = x. Theo b) x|a hoặc x|b. Nếu x|a thì kết hợp a|x ta có a và x liên kết. Nếu x|b thì kết hợp b|x ta có x = ub, u là khả nghịch. Do đó x = ab = ub Nhưng x 6= 0, nên b 6= 0 do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên. Cho nên một ước a của x chỉ có thể là hoặc liên kết với x hoặc là khả nghịch. Vậy x là bất khả quy. Tính chất 1.2.7. Trong một họ không rỗng bất kỳ F những iđêan của A sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm , có một iđêan M của họ F là tối đại trong F . Chứng minh Nguyễn Thị Như Quỳnh 8 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Giả sử I0 là một iđêan của F . Hoặc I0 là tối đại trong F , ta có điều phải chứng minh. Hoặc có một iđêan I1 của F sao cho I1 6= I0 và I1 ⊃ I0 . Nếu I1 là tối đại trong F thì ta có điều phải chứng minh, nếu không ta lại có một iđêan I2 của F sao cho I2 6= I1 và I2 ⊃ I1 . Tiếp tục quá trình này , hoặc ta được một iđêan M của F tối đại trong F , hoặc là ta được một dãy vô hạn những iđêan phân biệt trong F : I0 ⊂ I1 ⊂ ... ⊂ In ⊂ In+1 ⊂ ... Ta giả sử trường hợp sau xảy ra. Gọi I là hợp của các iđêan trong dãy trên I= [ In n∈N Dễ dàng thấy I một iđêan của A. Vì A là một vành chính nên iđêan I được sinh ra bởi một phần tử x ∈ I. Theo định nghĩa của hợp, có một số tự nhiên n sao cho x ∈ In . Điều này kéo theo I ⊂ In và do đó In = In+1 , mâu thuẫn với giả thiết các iđêan của dãy là phân biệt. Do đó điều giả sử không xảy ra. Vậy ta có một iđêan M của F tối đại trong F . Tính chất 1.2.8. Trong vành chính A, mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch đều phân tích được một cách duy nhất thành một tích những nhân tử bất khả quy (không kể đến thứ tự và sai khác một số nhân tử khả nghịch). Nghĩa là Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Khi đó, x có Nguyễn Thị Như Quỳnh 9 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến thể viết duy nhất dưới dạng x = p1 p2 ...pn (2) với các pi , i = 1, 2, ..., n, là những phần tử bất khả quy. Chứng minh Chứng minh sự tồn tại: Gọi F là tập hợp các phần tử không khả nghịch x 6= 0 sao cho x không được viết dưới dạng (2). Ta hãy chứng minh F 6= ∅. Giả sử F 6= ∅. Ta kí hiệu F là họ các iđêan Ax với x ∈ F . Theo tính chất 1.2.7, F có một phần tử m sao cho Am là tối đại trong F. Trước hết m không bất khả quy, vì nếu m bất khả quy thì m có dạng (2). m không bất khả quy thì m có ước thực sự, chẳng hạn a là một ước thực sự của m, điều đó có nghĩa là có b ∈ A sao cho m = ab Như vậy b cũng là một ước của m, b không thể là khả nghịch vì sẽ kéo theo a liên kết với m, b không thể liên kết với m vì sẽ kéo theo a khả nghịch, do đó b phải là ước thực sự của m. Vì a và b là những ước thực sự của m , nên ta có Am ⊂ Aa, Am 6= Aa và Am ⊂ Ab, Am 6= Ab Do Am là tối đại trong F nên Aa và Ab không thuộc F , do đó a và b không thuộc F ; a và b đều khác 0, khác khả nghịch và không thuộc F , nên a và b phải được viết dưới dạng (2) a = p1 p2 ...pi , b = pi+1 , ..., pn Nguyễn Thị Như Quỳnh 10 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến điều này kéo theo m = ab = p1 p2 ...pn mâu thuẫn với m ∈ F . Chứng minh tính duy nhất: Giả sử x có hai sự phân tích thành tích các phần từ bất khả quy như sau: x = p1 p2 ...pm x = q1 q2 ...qn với p1 , p2 , ..., pm , q1 , q2 , ..., qn là những phần tử bất khả quy. Thế thì m = n, và với một sự đánh số thích hợp ta có qi = ui pi , i = 1, 2, ..., m. Theo tính chất 1.2.6 nhân tử bất khả quy p1 của x phải là ước của một qi nào đó. Vì A là giao hoán nên ta có thể giả thiết rằng p1 là ước thực sự của q1 . Nhưng q1 là bất khả quy, nó không có ước thực sự, do đó p1 là ước không thực sự của q1 . Thêm nữa p1 không khả nghịch, cho nên phải có p1 và q1 liên kết, tức là q1 = u1 p1 với u1 khả nghịch. Như vậy ta được p1 p2 ...pm = u1 p1 q2 ...qn . Vì p1 6= 0 thực hiện luật giản ước ta được p2 ..pm = u1 q2 ...qn . Theo tính chất 1.2.6, p2 là một ước thực sự của một qi nào đó với i ≥ 2. Ta có thể giả thiết rằng p2 là ước của q2 . Do đó q2 = u2 p2 với u2 khả nghịch. Như vậy ta được p2 p3 ...pm = u1 u2 p2 q3 ...qn . Nguyễn Thị Như Quỳnh 11 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Vì p2 6= 0 thực hiện luật giản ước ta được p3 ...pm = u1 u2 q3 ...qn . Tiếp tục quá trình trên sau khi giản ước hết ở một vế ta được đẳng thức 1 = u1 ...um .qm+1 ...qn ( với m ≤ n ). Còn nếu n ≤ m thì ta lại có pn+1 ...pm = u1 ...un . Nên m = n và pi ∼ qi , i = 1, n. Ví dụ: Trong vành các số nguyên Z ta có: 20 = 2.2.5 = (−2).2.(−5) = 2.(−2).(−5) . Nhận xét: Trong sự phân tích các nhân tử bất khả quy, nhân tử pi có thể xuất hiện αi lần, khi đó ta viết gộp lại thành: x = pα1 1 pα2 2 ...pαk k với p1 , p2 , ..., pk là các phần tử bất khả quy, α1 , α2 , ..., αk là các số tự nhiên. Hệ quả 1.1. Giả sử a và b là hai phần tử của một vành chính có dạng phân tích như sau: a = pα1 1 pα2 2 ...pαnn b = pβ1 1 pβ2 2 ...pβnn trong đó các pi là những phần tử bất khả quy, các αi , βi là những số tự nhiên, i = 1, 2, ..., n. Nguyễn Thị Như Quỳnh 12 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Đặt λi = min(αi , βi ), với i = 1, 2, ..., n. Thì khi đó phần tử d = pλ1 1 pλ2 2 ...pλnn là một ước chung lớn nhất của a và b. Tính chất 1.2.9. Giả sử K là trường các thương của vành chính A, α ∈ K là một nghiệm của đa thức f (x) = xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 (ai ∈ A). Thế thì α ∈ A. Chứng minh Ta có thể viết α = a/b, với a, b ∈ A nguyên tố cùng nhau. Vì f (α) = 0 nên ta suy ra, sau khi thay bằng a/b và nhân với bn : an + b(an−1 an−1 + .... + a1 abn−2 + a0 bn−1 ) Như vậy b chia hết cho an . Vì b nguyên tố với a nên áp dụng tiếp hệ quả 2 ta được b chia hết cho a. Do đó b là phần tử khả nghịch của A, tức là b−1 ∈ A, điều này kéo theo α = ab−1 ∈ A. 1.3 1.3.1 Vành Euclide Định nghĩa Định nghĩa 1.9. Giả sử X là một miền nguyên, X ∗ là tập hợp các phần tử khác 0 của X. Miền nguyên X cùng với một ánh xạ (gọi là ánh xạ Euclide ) δ : X∗ → N từ X ∗ đến tập hợp các số tự nhiên N thỏa mãn các tính chất: (1) Nếu b|a và a 6= 0 thì δ(b) ≤ δ(a); Nguyễn Thị Như Quỳnh 13 K39B Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến (2) Với hai phần tử a và b tùy ý của X, b 6= 0, có q và r thuộc X sao cho a = bq + r và δ(r) < δ(b), nếu r 6= 0; gọi là một vành Euclide. Phần tử q gọi là thương và r gọi là dư. Nếu r = 0 thì b chia hết cho a theo (1) ta có δ(b) ≤ δ(a). Như vậy điều kiện cần để một phần tử b là ước của một phần tử a 6= 0 là δ(b) ≤ δ(a). Ví dụ: Vành số nguyên Z với ánh xạ: δ : Z∗ → N n 7→ δ(n) = |n| là một vành Euclide. Thật vậy, ta có Z là miền nguyên. Với ∀m, n thuộc Z∗ Nếu m|n thì ta có a ∈ Z∗ sao cho n = ma. Suy ra |n| = |ma| = |m|.|a| ≥ |m| Dấu ” = ” xảy ra khi |a| = 1. Vậy δ(m) ≤ δ(n). Điều kiện thứ nhất thỏa mãn. Với hai số nguyên m, n bất kỳ(m 6= 0). Khi đó sẽ tồn tại q và r thuộc Z sao cho n = mq + r, hoặc r = 0(ta quay lại trường hợp trên), hoặc 0 < r < |m|. Như vậy điều kiện thứ hai được thỏa mãn. Chú ý rằng nếu số nguyên r thỏa mãn 0 ≤ r < |m| ⇒ |r| < |m| ⇒ δ(r) < δ(m) Vậy Z là vành Euclide Nguyễn Thị Như Quỳnh 14 K39B Sư phạm Toán