§¹i häc huÕ
Trêng ®¹i häc s ph¹m
ph¹m thÞ cóc
HÖ nh©n tö
trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc
Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè
M· sè: 62. 46. 05. 01
luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
HuÕ - 2014
LuËn ¸n ®îc hoµn thµnh t¹i: Trêng §¹i häc s ph¹m, §¹i häc HuÕ
Ngêi híng dÉn khoa häc:
1. PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang
2. GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt
Ph¶n biÖn 1:
Ph¶n biÖn 2:
Ph¶n biÖn 3:
LuËn ¸n sÏ ®îc b¶o vÖ t¹i Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp §¹i häc HuÕ häp t¹i:
Vµo håi ... giê ... ngµy ... th¸ng ... n¨m 2014
Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i:
- Trung t©m häc liÖu - §¹i häc HuÕ
- Th viÖn Trêng §¹i häc s ph¹m - §¹i häc HuÕ
Më ®Çu
Sau khi kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal (hay ph¹m trï tenx¬) ®îc ®Ò xuÊt
bëi J. BÐnabou, S. Mac Lane, G. M. Kelly, ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕ
kû tríc, nã ®· ®îc nhiÒu ngêi quan t©m nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn kh¸ nhanh.
Ph¹m trï monoidal ®îc "mÞn hãa" ®Ó trë thµnh ph¹m trï víi cÊu tróc nhãm
khi bæ sung thªm kh¸i niÖm vËt kh¶ nghÞch. Trong trêng hîp ph¹m trï nÒn
lµ mét groupoid (nghÜa lµ mäi mòi tªn trong ph¹m trï ®Òu lµ ®¼ng cÊu) th× ta
thu ®îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï. Trong trêng hîp nhãm ph¹m trï cã thªm
rµng buéc giao ho¸n th× ta thu ®îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ®èi xøng (hay
ph¹m trï Picard.
Nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn nghiªn cøu vÒ nhãm ph¹m trï mµ ta cã thÓ kÓ ®Õn
lµ N. Saavedra Rivano, H. X. SÝnh, M. L. Laplaza, ... Trong luËn ¸n cña m×nh
n¨m 1975, H. X. SÝnh ®· m« t¶ cÊu tróc cña nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï Picard
vµ ph©n líp chóng bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3 cña c¸c nhãm. KÕt qu¶ nµy
®· cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï, ®èi ®ång ®iÒu
nhãm vµ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn cña Schreier - Eilenberg - Mac Lane.
Sau ®ã, lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi tÝnh kh¸i qu¸t cña nã ngµy cµng cã nhiÒu
øng dông.
C¸c nhãm ph¹m trï
Γ-ph©n bËc ®îc giíi thiÖu lÇn ®Çu tiªn bëi A. Frohlich
vµ C. T. C. Wall (1974). Vµo n¨m 2002, A. M. Cegarra vµ c¸c céng sù ®· chøng
minh ®Þnh lý ph©n líp chÝnh x¸c cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc vµ
c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn chiÒu thø 3.
Sau ®ã, c¸c kÕt qu¶ nµy ®· ®îc ¸p dông ®Ó ®a ra lêi gi¶i thÝch hîp cho bµi
to¸n më réng ®¼ng biÕn cña nhãm víi h¹t nh©n kh«ng aben.
Nhãm ph¹m trï bÖn ®îc xÐt tíi lÇn ®Çu bëi A. Joyal vµ R. Street (1993)
nh mét më réng cña ph¹m trï Picard, trong ®ã c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ®·
®îc ph©n líp bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu aben
3
Hab
(M, N ). Bµi to¸n ph©n líp
®ång lu©n cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc, vµ trêng hîp riªng
cña nã lµ ph¹m trï c¸c ph¹m trï Picard ph©n bËc ®· ®îc A. M. Cegarra vµ E.
Khmaladze gi¶i quyÕt vµo n¨m 2007.
Vµo n¨m 2010, N. T. Quang ®· giíi thiÖu mét c¸ch tiÕp cËn kh¸c cho bµi
to¸n ph©n líp ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï
1
Γ-ph©n bËc dùa trªn ph¬ng ph¸p
hÖ nh©n tö
(hay gi¶ hµm tö theo nghÜa cña A. Grothendieck). Ph¬ng ph¸p nµy
cã nhiÒu triÓn väng trong viÖc ¸p dông cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn
Γ-ph©n bËc.
NÕu nh nhãm ph¹m trï ®îc xem nh lµ mét phiªn b¶n ph¹m trï cña cÊu
tróc nhãm th× vµo n¨m 1988 N. T. Quang ®· ®a ra kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï,
xem nh mét ph¹m trï hãa cña kh¸i niÖm vµnh, víi nh÷ng ®ßi hái vÒ tÝnh kh¶
nghÞch cña c¸c vËt vµ cña c¸c mòi tªn trong ph¹m trï nÒn. §Æc biÖt, líp c¸c
Ann-ph¹m trï chÝnh quy (rµng buéc ®èi xøng tháa m·n ®iÒu kiÖn
cX,X = id
®èi víi mäi vËt
X ) ®· ®îc N. T. Quang ph©n líp bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu cña
3
®¹i sè kÕt hîp HShu
(R, M ) theo nghÜa cña Shukla. Sau ®ã, bµi to¸n ph©n líp
c¸c Ann-hµm tö ®· ®îc N. T. Quang vµ D. D. Hanh (2009) gi¶i quyÕt nhê c¸c
nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu thÊp cña ®èi ®ång ®iÒu vµnh Mac Lane, vµ chØ ra
mèi liªn hÖ gi÷a bµi to¸n më réng vµnh vµ lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c Ann-hµm
tö. GÇn ®©y nhÊt (2013), bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-ph¹m trï trong trêng hîp
tæng qu¸t ®· ®îc N. T. Quang gi¶i quyÕt trän vÑn.
M«®un chÐo cña c¸c nhãm ®îc J. H. C. Whitehead ®a ra vµo n¨m 1949
trong c«ng tr×nh nghiªn cøu cña «ng vÒ biÓu diÔn 2-d¹ng ®ång lu©n mµ kh«ng
cã sù trî gióp cña lý thuyÕt ph¹m trï. Vµo n¨m 1976, R. Brown vµ C. Spencer
®· chØ ra r»ng mçi m«®un chÐo ®Òu x¸c ®Þnh mét
G -groupoid (nghÜa lµ, mét
nhãm ph¹m trï chÆt chÏ) vµ ngîc l¹i, do ®ã m«®un chÐo cã thÓ ®îc nghiªn
cøu bëi lý thuyÕt ph¹m trï. KÕt qu¶ nµy cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý
thuyÕt nhãm ph¹m trï víi m«®un chÐo, mét kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ cã nguån gèc
tõ t«p« ®¹i sè.
Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo, mét d¹ng kh¸i qu¸t cña bµi to¸n
më réng nhãm cæ ®iÓn, ®îc P. Dedeker giíi thiÖu n¨m 1964 ®· ®îc R. Brown
vµ O. Mucuk gi¶i quyÕt (1994), trong ®ã c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶i thÝch vµ chøng minh
®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng lo¹i nµy b»ng c¸ch sö dông ph¬ng
ph¸p phøc chÐo, t¬ng tù nh ph¬ng ph¸p phøc xÝch trong ®¹i sè ®ång ®iÒu.
Mét d¹ng kh¸i qu¸t kh¸c cña bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn lµ bµi to¸n më
réng nhãm ®¼ng biÕn ®· ®îc A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ gi¶i quyÕt cã
sö dông kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï ph©n bËc.
Kh¸i niÖm m«®un chÐo cña c¸c nhãm cña J. H. C. Whitehead (1949) còng
®· ®îc tæng qu¸t hãa theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Vµo n¨m 2002, H. -J. Baues
®· giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c
2
k-®¹i sè (k lµ trêng). Sau ®ã,
H. -J. Baues vµ T. Pirashvili (2004) ®· thay thÕ trêng
vµ gäi c¸c m«®un chÐo trªn c¸c
K-®¹i sè lµ
k bëi vµnh giao ho¸n K
song m«®un chÐo.
§Æc biÖt, víi
K = Z th× thu ®îc kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn c¸c vµnh.
Kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh trªn vµnh theo
mét c¸ch kh¸c, mµ chóng t«i gäi lµ E-hÖ. Trêng hîp ®Æc biÖt cña E-hÖ, E-hÖ
chÝnh quy, trïng víi kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh, vµ do ®ã kh¸i niÖm
E-hÖ lµ yÕu h¬n kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh. T¬ng tù nh m«®un
chÐo trªn c¸c nhãm, chóng t«i biÓu diÔn c¸c E-hÖ chÝnh quy th«ng qua c¸c
Ann-ph¹m trï chÆt chÏ, vµ tõ ®ã ph©n líp ph¹m trï c¸c E-hÖ chÝnh quy. §ång
thêi, chóng t«i ®a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh
quy, xem nh lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh cña lý thuyÕt
Ann-ph¹m trï.
Mét phiªn b¶n kh¸c cña kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm lµ kh¸i niÖm
m«®un chÐo
Γ-®¼ng biÕn (hay Γ-m«®un chÐo). Kh¸i niÖm nµy ®· ®îc B.
Noohi ®a ra vµo n¨m 2011 khi so s¸nh c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó ®Þnh
nghÜa ®èi ®ång ®iÒu nhãm víi c¸c hÖ tö trong mét m«®un chÐo. Víi kh¸i niÖm
nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ ®Ó biÓu
diÔn c¸c
kiÓu
Γ-m«®un chÐo, ph¸t biÓu vµ gi¶i bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn
Γ-m«®un chÐo.
Ngoµi c¸c phÇn më ®Çu vµ kÕt luËn, luËn ¸n gåm 5 ch¬ng nh sau.
Ch¬ng 1, Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ, tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt
qu¶ ®· biÕt cña lý thuyÕt ph¹m trï víi cÊu tróc sÏ ®îc sö dông cho c¸c ch¬ng
sau.
Ch¬ng 2, Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) vµ øng dông, bao gåm
mét sè néi dung sau. Tríc hÕt, chóng t«i m« t¶ vÒ c¸c hµm tö monoidal gi÷a
c¸c nhãm ph¹m trï kiÓu
(Π, A), tr×nh bµy lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp
cho c¸c hµm tö lo¹i nµy. Tõ ®ã chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c
nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn, ®ång thêi giíi thiÖu mét
øng dông ®¹i sè cña lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c hµm tö monoidal liªn quan ®Õn
bµi to¸n më réng nhãm. Còng trong Ch¬ng 2 nµy, chóng t«i chøng minh ®Þnh
lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc b»ng ph¬ng ph¸p
hÖ nh©n tö.
Ch¬ng 3, Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo,
nghiªn cøu vÒ mèi liªn hÖ gi÷a m«®un chÐo, nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ bµi
3
to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo. Chóng t«i chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a c¸c
®ång cÊu m«®un chÐo víi c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï chÆt
chÏ liªn kÕt víi c¸c m«®un chÐo ®ã, tõ ®ã thu ®îc ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m
trï c¸c m«®un chÐo lµ më réng mét kÕt qu¶ ®· biÕt cña R. Brown vµ C. Spencer.
Chóng t«i còng sö dông lý thuyÕt nhãm ph¹m trï chÆt chÏ ®Ó thu l¹i ®îc kÕt
qu¶ cña bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ c¸c céng
sù.
Ch¬ng 4, Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn
kiÓu
Γ-m«®un chÐo, tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un
chÐo, mét kh¸i qu¸t chung cho c¶ hai lý thuyÕt më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo
cña R. Brown vµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn cña A. M. Cegarra. Chóng
t«i còng biÓu diÔn c¸c
Γ-m«®un chÐo qua c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt
chÏ ®Ó tõ ®ã ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo.
Ch¬ng 5, Ann-ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh quy,
nghiªn cøu vÒ E-hÖ, mèi liªn hÖ cña chóng víi mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®·
biÕt vµ t×m kiÕm øng dông liªn quan ®Õn bµi to¸n më réng. Chóng t«i giíi thiÖu
kh¸i niÖm E-hÖ vµ E-hÖ chÝnh quy nh lµ mét phiªn b¶n cña m«®un chÐo trªn
c¸c nhãm cho vµnh, trong ®ã c¸c E-hÖ chÝnh quy ®îc biÓu diÔn th«ng qua
c¸c Ann-ph¹m trï chÆt chÏ, ®ång thêi c¸c E-hÖ chÝnh quy chÝnh lµ c¸c song
m«®un chÐo trªn vµnh. Chóng t«i ®a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh
kiÓu E-hÖ chÝnh quy, xem nh lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh
cña lý thuyÕt Ann-ph¹m trï.
ViÖc ®¸nh sè c¸c ch¬ng, môc, ®Þnh lý, mÖnh ®Ò, ... trong b¶n tãm t¾t nµy
®îc gi÷ nguyªn nh ë trong luËn ¸n.
C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n ®îc viÕt thµnh 5 bµi b¸o, trong ®ã cã 4 bµi ®·
®îc ®¨ng (víi 3 bµi trªn 3 t¹p chÝ quèc tÕ thuéc danh môc MathSciNet), 1 bµi
ë d¹ng tiÒn c«ng bè.
4
Ch¬ng 1
Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ c¬ b¶n
nhÊt liªn quan ®Õn nhãm ph¹m trï, nhãm ph¹m trï ph©n bËc, nhãm ph¹m trï
bÖn ph©n bËc vµ Ann-ph¹m trï.
1.1
1.1.1
Nhãm ph¹m trï (bÖn) ph©n bËc
Nhãm ph¹m trï
Mét nhãm ph¹m trï
(G, ⊗, I, a, l, r) lµ mét ph¹m trï monoidal trong ®ã
tÊt c¶ c¸c vËt ®Òu kh¶ nghÞch (theo nghÜa víi mçi vËt X ®Òu tån t¹i mét vËt Y
sao cho X ⊗ Y ' I ' Y ⊗ X ) vµ ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid, nghÜa lµ tÊt
c¶ c¸c mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu.
NÕu víi mçi vËt
X ®Òu tån t¹i mét vËt Y sao cho X ⊗ Y = I = Y ⊗ X vµ
c¸c rµng buéc kÕt hîp a, c¸c rµng buéc ®¬n vÞ l, r ®Òu lµ c¸c phÐp ®ång nhÊt
th× G lµ mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ.
1.1.2
Nhãm ph¹m trï thu gän vµ c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c
Mçi nhãm ph¹m trï
G x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt biÕn: mét nhãm Π, mét
Π-m«®un tr¸i A vµ mét 3-®èi chu tr×nh k ∈ Z 3 (Π, A). Khi ®ã, ta x©y dùng
®îc mét nhãm ph¹m trï SG t¬ng ®¬ng monoidal víi nhãm ph¹m trï G nhê
c¸c t¬ng ®¬ng monoidal chÝnh t¾c, vµ
SG ®îc gäi lµ mét thu gän cña nhãm
ph¹m trï G. Ta nãi SG cã kiÓu (Π, A, k), hoÆc ®¬n gi¶n lµ kiÓu (Π, A).
1.1.3
Nhãm ph¹m trï ph©n bËc
Mét ph¹m trï monoidal
i) mét ph¹m trï
Γ-ph©n bËc G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) bao gåm:
Γ-ph©n bËc æn ®Þnh (G, gr), c¸c hµm tö Γ-ph©n bËc ⊗ :
5
G ×Γ G → G vµ I : Γ → G,
ii) c¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn bËc 1 aX,Y,Z
∼
∼
: (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX :
∼
I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn khíp cña mét ph¹m trï
monoidal.
Mét nhãm ph¹m trï ph©n bËc lµ mét ph¹m trï monoidal ph©n bËc
G trong
®ã mäi vËt ®Òu kh¶ nghÞch vµ mäi mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu.
1.1.4
Nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc
Mét nhãm ph¹m trï bÖn
G lµ mét nhãm ph¹m trï ®îc trang bÞ thªm mét
rµng buéc bÖn t¬ng thÝch víi c¸c rµng buéc ®¬n vÞ vµ kÕt hîp.
Mét nhãm ph¹m trï bÖn
Γ-ph©n
bËc
(G, gr) lµ mét ph¹m trï monoidal
Γ-ph©n bËc tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn khíp cña mét nhãm ph¹m trï bÖn.
1.2
1.2.1
Ann-ph¹m trï
Ann-ph¹m trï
Ann-ph¹m trï lµ líp ph¹m trï m« pháng cÊu tróc cña vµnh ®îc N. T.
Quang ®a ra vµo n¨m 1988, ®ã lµ mét ph¹m trï
A cïng víi hai song hµm tö
⊕, ⊗ : A × A → A tháa m·n mét sè tiªn ®Ò t¬ng tù nh ®èi víi mét vµnh.
§Æc biÖt, khi tÊt c¶ c¸c rµng buéc ®èi víi hai phÐp to¸n ⊕, ⊗ ®Òu lµ ®ång nhÊt
th× ta thu ®îc kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï chÆt chÏ.
1.2.2
Ann-hµm tö
Mét Ann-hµm tö lµ mét hµm tö
F gi÷a hai Ann-ph¹m trï sao cho F võa
lµ mét hµm tö monodial ®èi xøng ®èi víi phÐp to¸n
monoidal ®èi víi phÐp to¸n
1.2.3
⊕, võa lµ mét hµm tö
⊗ vµ t¬ng thÝch víi c¸c rµng buéc ph©n phèi.
Ann-ph¹m trï thu gän
N. T. Quang ®· chØ ra r»ng mçi Ann-ph¹m trï x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt
3
R, mét R-song m«®un M vµ mét phÇn tö h ∈ ZM
acL (R, M ).
Tõ ®ã, x©y dùng ®îc mét Ann-ph¹m trï thu gän SA = (R, M, h) t¬ng ®¬ng
víi A, gäi lµ Ann-ph¹m trï kiÓu (R, M ).
biÕn: mét vµnh
6
Ch¬ng 2
Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu
(ϕ, f )
vµ øng dông
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i m« t¶ kiÓu cña c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c
nhãm ph¹m trï thu gän vµ tr×nh bµy mét vµi øng dông cña chóng.
2.1
Ph©n líp ®èi ®ång ®iÒu c¸c hµm tö monoidal kiÓu
(ϕ, f )
MÖnh ®Ò díi ®©y ®îc ®a ra bëi H. X. SÝnh (1975).
MÖnh ®Ò 2.1. Gi¶ sö
(F, Fe) : G → G0
lµ mét hµm tö monoidal. Khi ®ã
(F, Fe)
c¶m sinh cÆp ®ång cÊu nhãm
0
F0 : π0 G → π0 G , [X] 7→ [F X],
0
F1 : π1 G → π1 G , u 7→ γF−1I (F u),
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
bëi:
F1 (su) = F0 (s)F1 (u),
trong ®ã ®¼ng cÊu
γX (u)
®îc cho
γX (u) = lX ◦ (u ⊗ id) ◦ l−1
X .
Tríc hÕt, chóng t«i lµm m¹nh MÖnh ®Ò 2.1 bëi MÖnh ®Ò 2.4 khi kh¼ng ®Þnh
r»ng mçi hµm tö monoidal
(F, Fe) : G → G0 c¶m sinh mét hµm tö monoidal
SG → SG0 . Chóng t«i cÇn tíi hai bæ ®Ò sau:
⊗-ph¹m trï G, G0 víi c¸c rµng buéc t¬ng øng lµ (I, l, r)
0 0 0
e, F∗ ) : G → G0 lµ mét ⊗-hµm tö t¬ng thÝch víi c¸c
vµ (I , l , r ). Gi¶ sö (F, F
−1
−1
rµng buéc ®¬n vÞ. Khi ®ã, γF I (F u) = F∗ F (u)F∗ .
Bæ ®Ò 2.2. Cho hai
Bæ ®Ò 2.3. Víi c¸c gi¶ thiÕt cña Bæ ®Ò 2.2, ta cã
F γX (u) = γF X (γF−1
F u).
I
S, S0 lÇn lît lµ c¸c nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A, h) vµ (Π, A, h0 ). Mét
hµm tö F : S → S0 ®îc gäi lµ hµm tö kiÓu (ϕ, f ) nÕu
Cho
F (x) = ϕ(x), F (x, a) = (ϕ(x), f (a)),
7
ϕ : Π → Π0 , f : A → A0 lµ mét cÆp ®ång cÊu nhãm tháa m·n f (xa) =
ϕ(x)f (a) víi x ∈ Π, a ∈ A.
víi
(F, Fe) : G → G0 c¶m sinh mét
(ϕ, f ), víi ϕ = F0 , f = F1 . H¬n
MÖnh ®Ò 2.4. Mçi hµm tö monoidal
tö monoidal
SF : SG → SG0
SF = G0 F H, víi H, G0
kiÓu
hµm
n÷a,
lµ nh÷ng t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c.
MÖnh ®Ò 2.5. Mçi hµm tö monoidal
(F, Fe) : S → S0 lµ mét hµm tö kiÓu (ϕ, f ).
Ký hiÖu Hom(ϕ,f ) [S, S0 ] lµ tËp c¸c líp ®ång lu©n cña c¸c hµm tö monoidal
(ϕ, f ) tõ S = (Π, A, h) vµo S0 = (Π, A0 , h0 ). Ta gäi hµm k = ϕ∗ h0 − f∗ h
lµ mét c¶n trë cña hµm tö F kiÓu (ϕ, f ).
kiÓu
F : S → S0
(ϕ, f ) lµ mét hµm tö monoidal nÕu vµ
3
0
chØ nÕu c¸i c¶n trë k triÖt tiªu trong H (Π, A ). Khi ®ã tån t¹i c¸c song ¸nh:
i) Hom(ϕ,f ) [S, S0 ] ↔ H 2 (Π, A0 ),
§Þnh lý 2.6. Hµm tö
kiÓu
ii) Aut(F ) ↔ Z 1 (Π, A0 ).
2.2
Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï
Ký hiÖu
CG lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï, c¸c mòi tªn lµ c¸c
hµm tö monoidal gi÷a chóng. Ký hiÖu H3Gr lµ ph¹m trï cã vËt lµ bé ba (Π, A, h)
h ∈ H 3 (Π, A), mòi tªn (ϕ, f ) : (Π, A, h) → (Π0 , A0 , h0 ) lµ cÆp (ϕ, f ) sao
cho tån t¹i g : Π2 → A0 ®Ó (ϕ, f, g) lµ mét hµm tö monoidal (Π, A, h) →
(Π0 , A0 , h0 ).
víi
§Þnh lý 2.7
(§Þnh lý ph©n líp). Tån t¹i mét hµm tö ph©n líp:
d:
CG →
H3Gr
G
7→ (π0 G, π1 G, hG )
(F, Fe) 7→
(F0 , F1 )
cã c¸c tÝnh chÊt sau:
i) dF lµ mét ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi F lµ mét t¬ng ®¬ng.
ii) d lµ mét toµn ¸nh trªn tËp c¸c vËt.
iii) d lµ ®Çy ®ñ nhng kh«ng trung thµnh. Víi (ϕ, f ) : dG → dG0
song ¸nh
d : Hom(ϕ,f ) [G, G0 ] → H 2 (π0 G, π1 G0 ).
8
th× cã mét
Cho nhãm
Π vµ Π-m«®un A. Ta nãi nhãm ph¹m trï G cã tiÒn ®Ýnh kiÓu
(Π, A) nÕu tån t¹i cÆp ®¼ng cÊu nhãm p : Π → π0 G, q : A → π1 G t¬ng thÝch
víi t¸c ®éng cña m«®un
q(su) = p(s)q(u), víi s ∈ Π, u ∈ A.
Ký hiÖu
CG[Π, A] lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c nhãm ph¹m trï tiÒn
®Ýnh kiÓu (Π, A). Ta thu ®îc kÕt qu¶ sau.
§Þnh lý 2.8. Tån t¹i mét song ¸nh:
Γ : CG[Π, A] → H 3 (Π, A),
[G] 7→ q∗−1 p∗ hG .
2.3
Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn
Cho nhãm ph¹m trï bÖn B
= (B, ⊗, I, a, l, r, c). T¬ng tù nh ®èi víi nhãm
ph¹m trï, ta x©y dùng ®îc nhãm ph¹m trï bÖn thu gän SB = (M, N, h, η) (η
lµ hµm ®îc c¶m sinh bëi rµng buéc bÖn).
HÖ qu¶ 2.9. Mçi hµm tö monoidal bÖn
trong ®ã
(F, Fe) : S → S0
lµ mét bé ba
(ϕ, f, g),
ϕ∗ (h0 , η 0 ) − f∗ (h, η) = ∂ab (g).
H3BGr lµ ph¹m trï mµ vËt cña nã lµ c¸c bé ba (M, N, (h, η)), víi
3
(h, η) ∈ Hab
(M, N ), vµ BCG lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï bÖn.
Ký hiÖu
§Þnh lý 2.10. [§Þnh lý ph©n líp] Tån t¹i mét hµm tö ph©n líp
d:
BCG →
H3BGr
B
7→ (π0 B, π1 B, (h, η)B )
(F, Fe) 7→
(F0 , F1 )
cã c¸c tÝnh chÊt sau:
i) dF lµ mét ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi F
ii) d lµ mét toµn ¸nh trªn tËp c¸c vËt.
lµ mét t¬ng ®¬ng.
iii) d lµ ®Çy ®ñ nhng kh«ng trung thµnh. Víi (ϕ, f ) : dB → dB0
0
HomBr
(ϕ,f ) [B, B ]
th×
2
∼
(π0 B, π1 B0 ),
= Hab
Br
0
trong ®ã Hom(ϕ,f ) [B, B ] lµ tËp c¸c líp ®ång lu©n cña c¸c hµm tö monoidal
0
bÖn tõ B ®Õn B c¶m sinh cÆp (ϕ, f ) .
Ký hiÖu BCG[M, N ] lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c nhãm ph¹m trï bÖn
tiÒn ®Ýnh kiÓu
(M, N ). Ta thu ®îc kÕt qu¶ t¬ng tù nh §Þnh lý 2.8.
9
§Þnh lý 2.11. Tån t¹i mét song ¸nh
3
Γ : BCG[M, N ] → Hab
(M, N ),
[B] 7→ q∗−1 p∗ (h, η)B .
2.4
Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc bëi hÖ nh©n
tö
Kh¸i niÖm hÖ nh©n tö ®îc A. Grothendieck ®a ra vµo n¨m 1971 sau ®ã
®· ®îc nhiÒu t¸c gi¶ ph¸t triÓn (A. M. Cegarra, N. T. Quang, ...).
Víi mçi nhãm
Γ vµ mét ph¹m trï C, ta gäi Psd(Γ, C) lµ ph¹m trï cña c¸c
hÖ nh©n tö (chuÈn t¾c) tõ Γ ®Õn C, vµ gäi Γ BCG lµ ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m
trï bÖn Γ-ph©n bËc.
§Þnh lý 2.13. Víi mçi nhãm Γ, tån t¹i mét ®¼ng cÊu: Γ BCG ' Psd(Γ, BCG).
2.5
2.5.1
¸p
dông vµo bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn
Nhãm ph¹m trï cña mét h¹t nh©n trõu tîng
Mét h¹t nh©n trõu tîng lµ mét bé ba
(Π, G, ψ), víi ψ : Π → AutG/InG lµ
(Π, G, ψ) lµ mét phÇn tö k ∈ H 3 (Π, ZG).
Chóng ta x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ AutG , mµ c¸c vËt lµ
c¸c phÇn tö cña nhãm c¸c tù ®¼ng cÊu AutG vµ c¸c mòi tªn ®îc cho bëi
Hom(α, β) = {c ∈ G|α = µc ◦ β}. Nhãm ph¹m trï nµy cã ba bÊt biÕn lÇn lît
mét ®ång cÊu nhãm. C¸i c¶n trë cña
lµ:
Aut G/InG, ZG vµ ψ ∗ h, trong ®ã ψ ∗ h cïng líp ®èi ®ång ®iÒu víi k.
Sö dông kÕt qu¶ nµy ta chøng minh ®îc r»ng mçi nhãm ph¹m trï ®Òu t¬ng
®¬ng víi mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ. §©y lµ ph¬ng ph¸p chøng minh hoµn
toµn kh¸c víi phÐp chøng minh cña H. X. SÝnh (1978).
2.5.2
Hµm tö monoidal vµ bµi to¸n më réng nhãm
Trong tiÓu môc nµy, chóng t«i ®· sö dông c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm
ph¹m trï ®Ó thu l¹i ®îc c¸c kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn.
10
Ch¬ng 3
Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng
nhãm kiÓu m«®un chÐo
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i biÓu diÔn kÕt qu¶ vÒ sù t¬ng ®¬ng cña ph¹m
trï c¸c m«®un chÐo vµ ph¹m trï c¸c
G -groupoid qua ng«n ng÷ cña nhãm ph¹m
trï chÆt chÏ, vµ do ®ã thu ®îc ®Þnh lý ph©n líp c¸c m«®un chÐo lµ më réng
mét kÕt qu¶ ®· biÕt cña R. Brown vµ C. Spencer (1976).
3.1
Nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi mét m«®un chÐo
. Mét m«®un chÐo lµ mét bé bèn
§Þnh nghÜa
d
M = (B, D, d, θ) (hay B → D,
B → D), trong ®ã d : B → D, θ : D → AutB lµ c¸c ®ång cÊu nhãm tháa
m·n c¸c hÖ thøc sau:
C1 . θd = µ,
C2 . d(θx (b)) = µx (d(b)),
trong ®ã
x ∈ D, b ∈ B ,
µx lµ tù ®¼ng cÊu trong sinh bëi x.
MÖnh ®Ò 3.1. Cho m«®un chÐo
M = (B, D, d, θ). Khi ®ã:
i) Kerd ⊂ Z(B),
ii) Imd lµ nhãm con chuÈn t¾c trong D,
iii) ®ång cÊu θ c¶m sinh ®ång cÊu ϕ : D → Aut(Kerd) cho bëi
ϕx = θx |Kerd ,
iv) Kerd lµ Cokerd-m«®un tr¸i víi t¸c ®éng
sa = ϕx (a), a ∈ Kerd, x ∈ s ∈ Cokerd.
Víi mçi m«®un chÐo (B, D, d, θ) chóng t«i x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m
trï chÆt chÏ PB→D
:= P gäi lµ nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi m«®un chÐo, vµ ngîc
l¹i.
11
3.2
Ph©n líp c¸c m«®un chÐo
Chóng t«i thu ®îc c¸c kÕt qu¶ díi ®©y vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu
m«®un chÐo vµ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï liªn kÕt t¬ng
øng.
Bæ ®Ò 3.2. Cho ®ång cÊu gi÷a c¸c m«®un chÐo
(f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) →
(B 0 , D0 , d0 , θ0 ). Gäi P, P0 lµ hai nhãm ph¹m trï liªn kÕt lÇn lît víi c¸c m«®un
0
0 0 0
chÐo (B, D, d, θ) vµ (B , D , d , θ ). Khi ®ã:
F : P → P0 x¸c ®Þnh bëi F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b),
víi x ∈ ObP, b ∈ MorP.
ii) §¼ng cÊu tù nhiªn Fex,y : F (x)F (y) → F (xy) cïng víi F lµ mét hµm tö
ex,y = ϕ(x, y) víi ϕ ∈ Z 2 (Coker d, Ker d0 ).
monoidal khi vµ chØ khi F
i)
Tån t¹i mét hµm tö
Ký hiÖu
Cross lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c m«®un chÐo, cßn mòi tªn lµ
c¸c bé ba
(f1 , f0 , ϕ), trong ®ã (f1 , f0 ) lµ mét ®ång cÊu m«®un chÐo vµ ϕ ∈
Z 2 (Cokerd, Kerd0 ).
e) : P → P0 ®îc gäi lµ chÝnh quy nÕu:
Hµm tö monoidal (F, F
S1 . F (x) ⊗ F (y) = F (x ⊗ y), víi x, y ∈ ObP.
S2 . F (b) ⊗ F (c) = F (b ⊗ c), víi b, c ∈ MorP.
P vµ P0 lµ hai nhãm ph¹m trï chÆt chÏ lÇn lît liªn kÕt víi
0
0 0 0
e) : P → P0 lµ mét hµm tö
c¸c m«®un chÐo (B, D, d, θ) vµ (B , D , d , θ ), (F, F
monoidal chÝnh quy. Khi ®ã, bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã
Bæ ®Ò 3.3. Gi¶ sö
f1 (b) = F (b), f0 (x) = F (x), ϕ(x, y) = Fex,y ,
víi
b ∈ B, x ∈ D, x ∈ Coker d, lµ mét mòi tªn trong ph¹m trï Cross.
Ký hiÖu
Grstr lµ ph¹m trï cã c¸c vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ
mòi tªn lµ c¸c hµm tö monoidal chÝnh quy. Ta thu ®îc ®Þnh lý sau ®©y vÒ sù
ph©n líp ph¹m trï c¸c m«®un chÐo.
§Þnh lý 3.4
(§Þnh lý ph©n líp). Tån t¹i mét t¬ng ®¬ng
Φ : Cross → Grstr,
(B → D) 7→ PB→D
(f1 , f0 , ϕ) 7→ (F, Fe)
trong ®ã
F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), Fex,y = ϕ(x, y), víi x, y ∈ D, b ∈ B .
12
3.3
Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n
trë vµ ®Þnh lý ph©n líp
§Þnh nghÜa.
d
Cho
M = (B → D) lµ mét m«®un chÐo vµ Q lµ mét nhãm. Mét
më réng cña B bëi Q kiÓu M lµ mét biÓu ®å c¸c ®ång cÊu nhãm
E:
/
0
B
B
trong ®ã dßng trªn lµ khíp, hÖ
j
d /
/
E
p /
Q
/ 1,
ε
D
(B, E, j, θ0 ) lµ mét m«®un chÐo víi θ0 lµ phÐp
lÊy liªn hîp, vµ
(idB , ε) lµ mét ®ång cÊu cña c¸c m«®un chÐo.
Mçi më réng nh vËy c¶m sinh mét ®ång cÊu ψ : Q → Coker d. Môc ®Ých
cña chóng t«i lµ nghiªn cøu tËp ExtB→D (Q, B, ψ) c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më
réng cña
B bëi Q kiÓu m«®un chÐo B → D, c¶m sinh ψ : Q → Cokerd.
Ký hiÖu Dis Q lµ nhãm ph¹m trï kiÓu (Q, 0, 0) (vµ còng chÝnh lµ nhãm
ph¹m trï liªn kÕt víi m«®un chÐo (0, Q, 0, 0)). Bæ ®Ò díi ®©y cho chóng ta
thÊy c¸c hµm tö monoidal Dis Q → P lµ hÖ d÷ liÖu phï hîp ®Ó x©y dùng c¸c
më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo.
Bæ ®Ò 3.5. Cho m«®un chÐo
B → D vµ ®ång cÊu nhãm ψ : Q → Coker d. Víi
(F, Fe) : Dis Q → P tháa m·n F (1) = 1 vµ c¶m
cÆp (ψ, 0) : (Q, 0) → (Cokerd, Kerd), tån t¹i më réng EF cña B bëi Q
m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ .
mçi hµm tö monoidal
§Þnh lý 3.6
sinh
kiÓu
(Lý thuyÕt Schreier cho c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo). Cã
mét song ¸nh
Ω : Hom(ψ,0) [DisQ, PB→D ] → ExtB→D (Q, B, ψ).
Gi¶ sö
P = PB→D lµ nhãm ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt víi m«®un chÐo
B → D. Do π0 P = Coker d vµ π1 P = Ker d nªn nhãm ph¹m trï thu gän SP
cã d¹ng SP = (Cokerd, Kerd, k), k ∈ H 3 (Cokerd, Kerd). Khi ®ã, ®ång cÊu
ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mét c¶n trë ψ ∗ k ∈ Z 3 (Q, Kerd). Vµ ta thu ®îc
®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo.
(B, D, d, θ) vµ ®ång cÊu nhãm ψ : Q → Cokerd.
3
Khi ®ã sù triÖt tiªu cña ψ ∗ k trong H (Q, Kerd) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån
t¹i më réng nhãm cña B bëi Q kiÓu m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . H¬n
n÷a, khi ψ ∗ k triÖt tiªu th× tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c më réng nh vËy lµ
§Þnh lý 3.7. Cho m«®un chÐo
song ¸nh víi
H 2 (Q, Kerd).
13
Ch¬ng 4
Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më
réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu
Γ-m«®un chÐo
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï chÆt chÏ
®Ó biÓu diÔn kh¸i niÖm
Γ-m«®un chÐo, tõ ®ã ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo vµ
tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo.
4.1
Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña Cegarra
Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c
gi¶ (2002) sÏ ®îc chóng t«i sö dông ®Ó chøng minh kÕt qu¶ ph©n líp c¸c hµm
tö monoidal
Γ-ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) vµ ph©n líp c¸c më réng ®¼ng biÕn kiÓu
Γ-m«®un chÐo. C¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn ®îc ký hiÖu bëi HΓi (Π, A),
i = 1, 2, 3.
4.2
Nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän vµ hµm tö monoidal
ph©n bËc kiÓu
(ϕ, f )
Trong tiÓu môc nµy, chóng t«i x©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän
cña mét nhãm ph¹m trï ph©n bËc cho tríc, vµ ph©n líp c¸c hµm tö monoidal
Γ-ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ).
4.2.1
X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän th«ng qua ph¹m trï
khung
Tõ mét nhãm ph¹m trï
Γ-ph©n bËc G, A. M. Cegarra vµ c¸c céng sù ®·
R
x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc, ký hiÖu Γ (Π, A, h), vµ kh¼ng
14
®Þnh (kh«ng chøng minh) r»ng nã t¬ng ®¬ng monoidal víi
G. Chóng t«i ®·
chøng minh kÕt qu¶ nµy b»ng mÖnh ®Ò díi ®©y.
MÖnh ®Ò 4.1.
R
e Γ , id) : (Π, A, h) → G x¸c ®Þnh bëi
Γ-hµm tö (HΓ , H
Γ
H (s) = Xs
Γ
γ̂Xs (a)◦Υ(r,σ)
(a,σ)
H
(r
→
s)
=
(X
−
−−−−−−→ Xs )
Γ
r
(H
e ) = i−1 ,
Γ r,s
víi
Xr ⊗Xs
σr = s, lµ mét t¬ng ®¬ng monoidal Γ-ph©n bËc.
4.2.2
X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän b»ng ph¬ng ph¸p hÖ
nh©n tö
Trong tiÓu môc nµy, sö dông ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö ®· ®îc N. T. Quang
giíi thiÖu (2010) chóng t«i chØ ra r»ng víi mçi nhãm ph¹m trï
Γ-ph©n bËc
G, cã thÓ x©y dùng ®îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc, ký hiÖu ∆F , t¬ng
®¬ng monoidal víi
G. H¬n n÷a, nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc ∆F chÝnh lµ
nhãm ph¹m trï Γ (Π, A, h).
R
4.2.3
Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu
(ϕ, f )
KÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu
(ϕ, f )
®îc tæng kÕt trong mÖnh ®Ò díi ®©y.
MÖnh ®Ò 4.5.
Cho
G, G0 , S = (Π, A, h), S0 = (Π0 , A0 , h0 )
lµ c¸c nhãm ph¹m
Γ-ph©n bËc. Khi ®ã:
i) Mçi Γ-hµm tö monoidal (F, Fe) : G → G0 thÓ hiÖn mét Γ-hµm
SF : SG → SG0 kiÓu (ϕ, f ), víi ϕ = F0 , f = F1 ®îc cho bëi
trï
tö monoidal
0
F0 : π0 G → π0 G , [X] 7→ [F X],
0
F1 : π1 G → π1 G , u 7→ γ̂F−1I (F u).
SF = G0Γ F HΓ , víi HΓ , G0Γ lµ nh÷ng Γ-t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c.
ii) Mçi Γ-hµm tö monoidal (F, Fe) : S → S0 lµ mét Γ-hµm tö kiÓu (ϕ, f ).
iii) Γ-hµm tö F : S → S0 kiÓu (ϕ, f ) cã thÓ hiÖn lµ mét Γ-hµm tö monoidal nÕu
3
0
vµ chØ nÕu c¸i c¶n trë ξ triÖt tiªu trong HΓ (Π, A ). Khi ®ã tån t¹i song ¸nh
H¬n n÷a,
Hom(ϕ,f ) [S, S0 ] ↔ HΓ2 (Π, A0 ).
15
(4.1)
4.3
Γ-m«®un chÐo vµ nhãm ph¹m trï ph©n bËc liªn kÕt
. Cho
B, D lµ c¸c Γ-nhãm. Mét Γ-m«®un chÐo lµ mét bé bèn
M = (B, D, d, θ) trong ®ã d : B → D, θ : D → AutB lµ c¸c Γ-®ång cÊu
§Þnh nghÜa
tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
C1 . θd = µ,
C2 . d(θx (b)) = µx (d(b)),
C3 . σ(θx (b)) = θσx (σb),
trong ®ã σ ∈ Γ, x ∈ D, b ∈ B, µx lµ tù ®¼ng cÊu trong sinh bëi x.
Kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ ®îc ®Þnh nghÜa díi ®©y
nh»m biÓu diÔn c¸c
Γ-m«®un chÐo.
Tríc hÕt, mét hÖ nh©n tö F = (G, F σ , η σ,τ ) trªn Γ víi c¸c hÖ tö trong nhãm
ph¹m trï G ®îc gäi lµ chÝnh quy nÕu η σ,τ = id vµ F σ lµ hµm tö monoidal
chÝnh quy, víi mäi σ, τ ∈ Γ.
§Þnh nghÜa.
Nhãm ph¹m trï ph©n bËc
(P, gr) ®îc gäi lµ chÆt chÏ nÕu:
i) Ker P lµ mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ,
ii) P c¶m sinh mét hÖ nh©n tö chÝnh quy F trªn Γ víi c¸c hÖ tö trong nhãm
ph¹m trï
Ker P.
Chóng t«i ®· chØ ra r»ng tõ mét
Γ-m«®un chÐo M cho tríc cã thÓ dùng
®îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ liªn kÕt PM := P, vµ ngîc l¹i.
4.4
Ph©n líp c¸c
Γ-m«®un chÐo
C¸c bæ ®Ò díi ®©y nãi lªn mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu
Γ-m«®un chÐo
vµ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï
Γ-ph©n bËc liªn kÕt.
0
Bæ ®Ò 4.7. Cho ®ång cÊu (f1 , f0 ) : M → M cña c¸c Γ-m«®un chÐo. Khi
e) : PM → PM0 sao cho F (x) =
®ã, tån t¹i mét Γ-hµm tö monoidal (F, F
f0 (x), F (b, 1) = (f1 (b), 1) nÕu vµ chØ nÕu f = p∗ ϕ, víi ϕ ∈ ZΓ2 (Coker d,
Ker d0 ), vµ p : D → Coker d lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c.
Ký hiÖu Γ Cross lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c
Γ-m«®un chÐo, cßn mòi tªn lµ
c¸c bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã (f1 , f0 ) : M → M0 lµ mét ®ång cÊu Γ-m«®un
chÐo vµ ϕ ∈ ZΓ2 (Coker d, Ker d0 ).
e) : P → P0 gi÷a hai nhãm ph¹m trï
Hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc (F, F
Γ-ph©n bËc chÆt chÏ ®îc gäi lµ chÝnh quy nÕu:
S1 . F (x ⊗ y) = F (x) ⊗ F (y),
16
S2 . F (b ⊗ c) = F (b) ⊗ F (c),
S3 . F (σb) = σF (b),
S4 . F (σx) = σF (x),
víi x, y ∈ Ob P, vµ b, c lµ nh÷ng mòi tªn bËc 1 trong P.
Ký hiÖu p : D → Coker d lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c, ta cã:
0
Bæ ®Ò 4.8. Gi¶ sö P, P lµ hai nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ, lÇn lît
0
e) : P → P0 lµ mét hµm tö
liªn kÕt víi c¸c Γ-m«®un chÐo M, M , vµ (F, F
Γ-ph©n bËc chÝnh quy. Khi ®ã, bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã
i) f0 (x) = F (x), (f1 (b), 1) = F (b, 1), σ ∈ Γ, b ∈ B, x, y ∈ D,
ii) p∗ ϕ = f ,
monoidal
lµ mét mòi tªn trong ph¹m trï Γ Cross.
Ký hiÖu ph¹m trï cña c¸c nhãm ph¹m trï
Γ-ph©n bËc chÆt chÏ vµ c¸c hµm
tö monoidal ph©n bËc chÝnh quy bëi Γ Grstr, ta thu ®îc kÕt qu¶ sau ®©y.
[§Þnh lý ph©n líp] Tån t¹i t¬ng ®¬ng
§Þnh lý 4.9.
Φ : Γ Cross →
(B → D) 7→
(f1 , f0 , ϕ) 7→
trong ®ã
Γ Grstr,
PB→D
(F, Fe)
F (x) = f0 (x), F (b, 1) = (f1 (b), 1), vµ
(0,σ)
F (x → σx) = (ϕ(px, σ), σ), Fex,y = (ϕ(px, py), 1),
x, y ∈ D, b ∈ B, σ ∈ Γ.
víi
4.5
Bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu
Γ-m«®un
chÐo:
lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp
Trong phÇn nµy, chóng t«i tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu
Γ-m«®un chÐo, lµ më réng cña c¶ hai lý thuyÕt më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo
cña P. Dedeker - R. Brown vµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn cña A. M.
Cegarra.
§Þnh nghÜa.
®¼ng biÕn
Cho
d
Γ-m«®un chÐo B → D vµ mét Γ-nhãm Q. Mét
cña nhãm
B bëi nhãm Q
kiÓu
17
Γ-m«®un
chÐo
d
më réng
B →
− D lµ mét biÓu
®å c¸c
Γ-®ång cÊu
E
0
/
B
B
j
/
d /
E
p /
Q
/ 1,
ε
D
trong ®ã dßng trªn lµ khíp, hÖ (B, E, j, θ 0 ) lµ mét Γ-m«®un chÐo víi θ 0 lµ phÐp
lÊy liªn hîp, vµ
(id, ε) lµ mét ®ång cÊu cña c¸c Γ-m«®un chÐo.
Mçi më réng nh vËy c¶m sinh mét Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd. Môc
Γ
tiªu cña chóng t«i lµ nghiªn cøu tËp ExtB→D (Q, B, ψ) c¸c líp t¬ng ®¬ng
c¸c më réng ®¼ng biÕn cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D c¶m sinh
ψ : Q → Cokerd.
Gäi DisΓ Q lµ nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ liªn kÕt víi Γ-m«®un
chÐo (0, Q, 0, 0). Bæ ®Ò díi ®©y cho thÊy c¸c hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc
DisΓ Q → PB→D lµ hÖ d÷ liÖu phï hîp ®Ó x©y dùng c¸c më réng nh vËy.
d
Bæ ®Ò 4.10. Cho B → D lµ mét Γ-m«®un chÐo vµ ψ : Q → Coker d lµ mét
Γ-®ång cÊu. Cho hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc (F, Fe) : DisΓ Q → PB→D , sao
F (1) = 1 vµ c¶m sinh cÆp Γ-®ång cÊu (ψ, 0) : (Q, 0) → (Coker d, Ker d).
Khi ®ã, tån t¹i më réng ®¼ng biÕn EF cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D
c¶m sinh ψ .
cho
§Þnh lý 4.11.
[Lý thuyÕt Schreier cho c¸c më réng ®¼ng biÕn kiÓu
Γ-m«®un
chÐo] Cã mét song ¸nh
Ω : Hom(ψ,0) [DisΓ Q, PB→D ] → ExtΓB→D (Q, B, ψ).
Ta thu ®îc hÖ qu¶ sau ®èi víi c¸c më réng nhãm ®¼ng biÕn.
HÖ qu¶ 4.12.
§èi víi c¸c
Γ-nhãm B, Q, tån t¹i mét song ¸nh
HomΓ [DisΓ Q, HolΓ B] → ExtΓ (Q, B).
Do nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän cña
PB→D lµ SP = (Cokerd, Kerd, h),
h ∈ ZΓ3 (Cokerd, Kerd), nªn Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mét c¶n
∗
3
trë ψ h ∈ ZΓ (Q, Kerd). Víi kh¸i niÖm c¶n trë nµy, ta cã:
Γ-m«®un chÐo (B, D, d, θ) vµ Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd.
3
Khi ®ã sù triÖt tiªu cña ψ ∗ h trong HΓ (Q, Kerd) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån
t¹i më réng ®¼ng biÕn cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ .
§Þnh lý 4.13.
Cho
H¬n n÷a, khi
ψ∗h
triÖt tiªu th× tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c më réng nh
vËy lµ song ¸nh víi
HΓ2 (Q, Kerd).
18
- Xem thêm -