Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o
Trêng §¹i Häc Vinh
NguyÔn ThÞ Quúnh Trang
LuËt m¹nh sè lín ®èi víi d·y phÇn tö
ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian
tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
NghÖ An - 2014
Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o
Trêng §¹i Häc Vinh
NguyÔn ThÞ Quúnh Trang
LuËt m¹nh sè lín ®èi víi d·y phÇn tö
ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian
tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn
Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc
M· sè:
60.46.14
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Ngêi híng dÉn khoa häc: GS.TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng
NghÖ An - 2014
Môc lôc
Môc lôc
i
Më ®Çu
1
1
C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ
3
1.1 BiÕn ngÉu nhiªn vµ ph©n phèi x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1 BiÕn ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2 Ph©n phèi x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3 C¸c sè ®Æc trng cña biÕn ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . .
5
1.1.4 C¸c bÊt ®¼ng thøc moment
. . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1 C¸c d¹ng héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.2 Mét sè bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n
. . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.3 C¸c luËt sè lín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.5 C¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp
1.2
2
Mét sè ®Þnh lý giíi h¹n
LuËt sè lín ®èi víi d·y c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn
kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn
17
2.1 PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian metric . . . . . .
17
2.1.1 C¸c ®Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.2 C¸c d¹ng héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
i
2.1.3 C¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2 PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian ®Þnh chuÈn . . . .
28
2.2.1 C¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n
. . . . . . . . . . . . .
28
2.2.2 Kú väng vµ ph¬ng sai cña phÇn tö ngÉu nhiªn . . . . . . .
30
2.3 C¸c luËt m¹nh sè lín ®èi víi d·y c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp .
33
2.3.1 LuËt m¹nh sè lín ®èi víi phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp
. . .
33
2.3.2 LuËt m¹nh sè lín ®èi víi d·y tæng cã träng sè c¸c phÇn tö
ngÉu nhiªn ®éc lËp
KÕt luËn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
ii
Më ®Çu
Trong lý thuyÕt x¸c suÊt, luËt sè lín ®ãng vai trß rÊt quan träng. LuËt sè
lín ®îc Bernoulli ph¸t hiÖn ®Çu tiªn vµo n¨m 1713 vµ ®îc Kolmogorov ph¸t
triÓn, hoµn thiÖn vµo nh÷ng n¨m 30 cña thÕ kØ XX. Ngµy nay luËt sè lín vÉn ®ang
lµ vÊn ®Ò cã tÝnh thêi sù, ®îc nhiÒu nhµ khoa häc quan t©m vµ cã ¶nh hëng to
lín ®Õn sù ph¸t triÓn cña lý thuyÕt x¸c suÊt, thèng kª to¸n häc vµ c¸c øng dông
cña chóng. Mét híng më réng cña lý thuyÕt x¸c suÊt lµ nghiªn cøu c¸c vÊn ®Ò
c¬ b¶n cña nã trªn c¸c kh«ng gian trõu tîng: Kh«ng gian Banach, kh«ng gian
metric, v.v.. §i theo híng ®ã, chóng t«i quyÕt ®Þnh chän ®Ò tµi cña luËn v¨n lµ:
''LuËt
sè lín ®èi víi phÇn tö ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh
chuÈn".
Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña luËt sè lín ®èi
víi phÇn tö ngÊu nhiªn trªn kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn . Víi môc ®Ých
®ã, luËn v¨n chia thµnh 2 ch¬ng. Trong ch¬ng 1, chóng t«i tr×nh bµy mét sè
kiÕn thøc c¬ së cña lý thuyÕt x¸c suÊt, cÇn thiÕt cho viÖc tr×nh bµy c¸c vÊn ®Ò cña
ch¬ng 2.
Ch¬ng 2 lµ néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch¬ng nµy, tríc hÕt
chóng t«i tr×nh bµy vÒ PhÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian metric.
TiÕp theo, chóng t«i tr×nh bµy vÒ c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng
gian ®Þnh chuÈn. C¸c luËt m¹nh sè lín ®èi víi d·y c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc
lËp sÏ ®îc tr×nh bµy ë môc cuèi cïng.
LuËn v¨n ®îc thùc hiÖn t¹i trêng §¹i häc Vinh díi sù híng dÉn cña
GS. TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng. Nh©n dÞp nµy, häc viªn xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi
ThÇy.
MÆc dï ®· cè g¾ng nhng do h¹n chÕ vÒ thêi gian vµ tr×nh ®é cña häc viªn
nªn luËn v¨n sÏ kh«ng tr¸nh khái ®îc nh÷ng thiÕu sãt. Häc viªn rÊt mong nhËn
®îc sù gãp ý cña quý thÇy c« vµ ®ång nghiÖp ®Ó häc viªn hiÓu s©u s¾c h¬n vÒ
1
néi dung kiÕn thøc vµ luËn v¨n ®îc hoµn thiÖn h¬n.
NghÖ An, ngµy..... th¸ng .... n¨m 2014
Häc viªn
2
Ch¬ng 1
C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ
1.1
BiÕn ngÉu nhiªn vµ ph©n phèi x¸c suÊt
1.1.1
BiÕn ngÉu nhiªn
§Þnh nghÜa 1.1.1.
cña
σ -®¹i
sè
F.
(Ω, F, P)
Khi ®ã ¸nh x¹
®îc nÕu víi mäi
Chó ý.
Gi¶ sö
lµ kh«ng gian x¸c suÊt,
X:Ω→R
G
lµ
σ -®¹i
sè con
®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn
G -®o
B ∈ B(R) th× X −1 (B) ∈ G .
Trong trêng hîp ®Æc biÖt, khi
X
lµ biÕn ngÉu nhiªn
F -®o
®îc th× X
®îc gäi mét c¸ch ®¬n gi¶n lµ biÕn ngÉu nhiªn (hay ®¹i lîng ngÉu nhiªn). NÕu
biÕn ngÉu nhiªn
X
chØ nhËn h÷u h¹n gi¸ trÞ th× nã ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn
®¬n gi¶n.
HiÓn nhiªn, biÕn ngÉu nhiªn
thÊy r»ng nÕu
X
G -®o
®îc lµ biÕn ngÉu nhiªn. MÆt kh¸c, dÔ
lµ biÕn ngÉu nhiªn th× hä
σ(X) = X −1 (B) : B ∈ B(R)
lËp thµnh mét
bëi
σ -®¹i
sè con cña
σ -®¹i
X . §ã lµ σ -®¹i sè bÐ nhÊt mµ X
nhiªn
sè
F , σ -®¹i
sè nµy gäi lµ
®o ®îc. Tõ ®ã suy ra r»ng
G -®o ®îc khi vµ chØ khi σ(X) ⊂ G .
3
σ -®¹i
X
sè sinh
lµ biÕn ngÉu
§Þnh lý 1.1.2.
Gi¶ sö
X1 , X2 , ..., Xn lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn cïng x¸c ®Þnh trªn
(Ω, F, P), f : Rn → R
lµ hµm ®o ®îc
(tøc
f lµ
B(Rn )/B(R)
®o ®îc). Khi
®ã
Y = f (X1 , ..., Xn ) : Ω → R
ω 7→ f (X1 (ω), ..., Xn (ω))
lµ biÕn ngÉu nhiªn.
HÖ qu¶ 1.1.3.
Gi¶ sö
X, Y
lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn cïng x¸c ®Þnh trªn
(Ω, F, P ),
f : R → R lµ hµm liªn tôc a ∈ R. Khi ®ã
aX, X±Y, XY, |X|, f (X), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), X/Y (Y 6= 0)
®Òu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn.
§Þnh lý 1.1.4.
Gi¶ sö
{Xn , n > 1} lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn cïng x¸c ®Þnh trªn
(Ω, F, P). Khi ®ã, nÕu inf Xn vµ sup Xn h÷u h¹n th× inf Xn , sup Xn , limXn , limXn ,
n
lim
n→∞
n
Xn (nÕu tån t¹i) ®Òu lµ biÕn ngÉu nhiªn.
§Þnh lý 1.1.5.
NÕu
X
n
lµ biÕn ngÉu nhiªn kh«ng ©m th× tån t¹i d·y biÕn ngÉu
nhiªn ®¬n gi¶n, kh«ng ©m
1.1.2
n
{Xn , n > 1} sao cho Xn ↑ X
khi
n → ∞.
Ph©n phèi x¸c suÊt
§Þnh nghÜa 1.1.6.
Gi¶ sö
(Ω, F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, X : Ω → R lµ biÕn
ngÉu nhiªn. Khi ®ã hµm tËp
PX : B(R) → R
B 7→ PX (B) = P(X −1 (B))
®îc gäi lµ ph©n phèi x¸c suÊt cña
X.
4
MÖnh ®Ò 1.1.7.
2. NÕu
Q
1.
PX
lµ ®é ®o x¸c suÊt trªn
mét biÕn ngÉu nhiªn
Chó ý.
lµ ®é ®o x¸c suÊt trªn
X
B(R)
B(R).
th×
Q
lµ ph©n phèi x¸c suÊt cña
nµo ®ã.
T¬ng øng gi÷a biÕn ngÉu nhiªn vµ ph©n phèi x¸c suÊt cña chóng kh«ng
ph¶i lµ t¬ng øng 1-1. Nh÷ng biÕn ngÉu nhiªn cã cïng ph©n phèi x¸c suÊt ®îc
gäi lµ nh÷ng biÕn ngÉu nhiªn cïng ph©n phèi.
§Þnh nghÜa 1.1.8.
(Ω, F, P)
Gi¶ sö
lµ biÕn ngÉu nhiªn. Khi ®ã, hµm sè
®îc gäi lµ hµm ph©n phèi cña
Nh vËy
X :Ω→R
FX (x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x)
X.
FX (x) = P X −1 (−∞, x) = PX [(−∞, x)].
MÖnh ®Ò 1.1.9.
sau: 1.
lµ mét kh«ng gian x¸c suÊt,
Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn cã c¸c tÝnh chÊt
0 6 F (x) 6 1.
2. NÕu
a 0)
E|X| < ∞ th× X
MÖnh ®Ò 1.1.11.
2. NÕu
X=C
th×
EX
th× víi mäi
§Æc biÖt,
4. NÕu tån t¹i
EX
vµ
EY
th×
C ∈ R, ta cã E(CX) = CEX.
E(X ± Y ) = EX ± EY.
X > 0 vµ EX = 0 th× X = 0.
7. (§Þnh lý B. Levi vÒ héi tô ®¬n ®iÖu) NÕu
øng
p.
EX = C .
3. NÕu tån t¹i
n
kh¶ tÝch bËc
Kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn cã c¸c tÝnh chÊt sau:
X > 0 th× EX > 0.
vµ tån t¹i
X
®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch.
1. NÕu
5. NÕu
th× ta nãi
®Ó
EXn− < ∞ (t¬ng
Xn ↑ X (t¬ng øng Xn ↓ X)
EXn+ < ∞)
øng
th×
EXn ↑ EX (t¬ng
EXn ↓ EX).
8. (Bæ ®Ò Fatou) NÕu
Xn > Y
víi mäi
n > 1 vµ EY > −∞ th×
ElimXn 6 limEXn .
NÕu
Xn 6 Y
víi mäi
n > 1 vµ EY < +∞ th×
ElimXn > limEXn .
NÕu
|Xn | 6 Y
víi mäi
n > 1 vµ EY < ∞ th×
ElimXn 6 limEXn 6 limEXn 6 ElimXn .
9. (§Þnh lý Lebesgue vÒ héi tô bÞ chÆn) NÕu
EY < ∞
vµ
Xn → X
th×
X
kh¶ tÝch,
|Xn | 6 Y
E|Xn − X| → 0
vµ
víi mäi
n > 1,
EXn → EX
khi
n → ∞.
10. (BÊt ®¼ng thøc Markov) Gi¶ sö
®ã víi mäi
X
lµ biÕn ngÉu nhiªn kh«ng ©m. Khi
ε > 0 ta cã
P(X > ε) 6
6
EX
.
ε
§Þnh nghÜa 1.1.12.
EX)2
Gi¶ sö
X
lµ biÕn ngÉu nhiªn. Khi ®ã, sè
(nÕu tån t¹i) ®îc gäi lµ ph¬ng sai cña
Ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn
Chó ý 1.1.13.
X
DX := E(X −
X.
cßn ®îc ký hiÖu lµ Var(X)
Tõ ®Þnh nghÜa trªn vµ tõ tÝnh chÊt cña kú väng, suy ra r»ng
ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn
X
cã thÓ tån t¹i hoÆc kh«ng tån t¹i vµ nÕu tån
t¹i th× cã thÓ ®îc tÝnh theo c«ng thøc
P(xi − EX)2 pi nÕu X rêi r¹c vµ P(X = xi ) = pi ;
DX = R
+∞ (x − EX)2 p(x)dx nÕu X liªn tôc cã hµm mËt ®é lµ p(x).
−∞
MÖnh ®Ò 1.1.14.
Ph¬ng sai cã nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n sau ®©y:
1.
DX = EX 2 − (EX)2 .
2.
DX > 0.
3.
DX = 0 khi vµ chØ khi X = EX = C (h»ng sè) h. c. c.
4.
D(cX) = c2 DX .
5. (BÊt ®¼ng thøc Chebyshev) Gi¶ sö
®ã nÕu tån t¹i
DX
th× víi mäi
X
ε > 0, ta cã
P(|X − EX| > ε) 6
1.1.4
lµ biÕn ngÉu nhiªn bÊt kú. Khi
DX
.
ε2
C¸c bÊt ®¼ng thøc moment
Víi
p > 0,
(x¸c ®Þnh trªn
ký hiÖu
Lp = Lp (Ω, F, P)
lµ tËp hîp c¸c biÕn ngÉu nhiªn X
(Ω, F, P)) sao cho E|X|p < ∞. Khi X ∈ Lp , p > 1, ta ký hiÖu
kXkp = (E|X|p )1/p .
Nã ®îc gäi lµ chuÈn bËc
p cña X.
Trong lý thuyÕt x¸c suÊt, ngoµi bÊt ®¼ng thøc Markov vµ bÊt ®¼ng thøc
Chebyshev, c¸c bÊt ®¼ng thøc sau còng thêng ®îc sö dông.
7
(BÊt ®¼ng thøc Cauchy- Bunhiakowski). Gi¶ sö
§Þnh lý 1.1.15
X, Y ∈ L2 . Khi
®ã
E|XY | 6 kXk2 kY k2 .
§Þnh lý 1.1.16
vµ
(BÊt ®¼ng thøc Holder). Gi¶ sö
(1.1)
p, q ∈ (1; +∞) sao cho p1 + 1q = 1
X ∈ Lp , Y ∈ Lq . Khi ®ã
E|XY | 6 kXkp kY kq .
§Þnh lý 1.1.17
®ã
(BÊt ®¼ng thøc Minkovski). Gi¶ sö
X + Y ∈ Lp
(1.2)
X, Y ∈ Lp , 1 6 p < ∞. Khi
vµ
kX + Y kp 6 kXkp + kY kp .
Khi
0 6 p < 1
(1.3)
th× bÊt ®¼ng thøc Minkovski kh«ng cßn ®óng n÷a. Tuy
nhiªn, ta cã bÊt ®¼ng thøc sau ®©y.
§Þnh lý 1.1.18
(BÊt ®¼ng thøc
C r ).
Gi¶ sö
X, Y ∈ Lr , r > 0. Khi ®ã
E|X + Y |r 6 cr (E|X|r + E|Y |r ),
trong ®ã
(1.4)
cr = max(1, 2r−1 ) chØ phô thuéc vµo r.
§Þnh lý 1.1.19
(BÊt ®¼ng thøc Jensen). Gi¶ sö
ϕ : R → R
lµ hµm låi, X vµ
ϕ(X) lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch. Khi ®ã
Eϕ(X) > ϕ(EX).
§Þnh lý 1.1.20
kú vµ
(BÊt ®¼ng thøc Liapunov). §èi víi biÕn ngÉu nhiªn
(1.5)
X ∈ Lt
bÊt
0 < s < t, ta cã
kXks 6 kXkt .
8
(1.6)
1.1.5
C¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp
§Þnh nghÜa 1.1.21.
Hai biÕn cè
A vµ B
®îc gäi lµ hai biÕn cè ®éc lËp nÕu
P(AB) = P(A)P(B).
Hä biÕn cè
{Ai , i ∈ I} ®îc gäi lµ hä ®éc lËp ®«i mét nÕu hai biÕn cè bÊt kú
cña hä ®Òu ®éc lËp.
Hä biÕn cè
{Ai , i ∈ I}
®îc gäi lµ hä ®éc lËp toµn côc (gäi v¾n t¾t lµ
hä ®éc lËp) nÕu ®èi víi mäi hä h÷u h¹n c¸c biÕn cè
Ai1 , Ai2 , . . . , Ain
cña hä
®ã, ta ®Òu cã
P(Ai1 Ai2 . . . Ain ) = P(Ai1 )P(Ai2 )...P(Ain ).
§Þnh nghÜa 1.1.22.
cè
Gi¶ sö
{Ci : i ∈ I, Ci ⊂ F}
(Ω, F, P)
lµ kh«ng gian x¸c suÊt. Hä c¸c líp biÕn
®îc gäi lµ ®éc lËp
(®éc
lËp ®«i mét) nÕu víi mäi
Ai ∈ Ci , hä biÕn cè {Ai , i ∈ I} ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét).
Hä biÕn ngÉu nhiªn
nÕu hä
{Xi , i ∈ I}
®îc gäi lµ ®éc lËp
(®éc
lËp ®«i mét)
σ -®¹i sè {σ(Xi ), i ∈ I} ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét).
MÖnh ®Ò 1.1.23.
1. Hä con bÊt k× cña hä c¸c líp
(c¸c
biÕn ngÉu nhiªn) ®éc lËp lµ ®éc
lËp.
2. Hä c¸c líp con cña mét hä ®éc lËp còng lµ hä ®éc lËp.
3. Hä c¸c líp (c¸c biÕn ngÉu nhiªn) lµ hä ®éc lËp khi vµ chØ khi mäi hä
con h÷u h¹n cña nã ®éc lËp.
4. Gi¶ sö
{Xi , i ∈ I} lµ hä biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, fi : R → R(i ∈ I)
lµ hµm ®o ®îc. Khi ®ã hä
{fi (Xi ), i ∈ I} ®éc lËp.
5. D·y biÕn ngÉu nhiªn
{Xn , n > 1}
®éc lËp khi vµ chØ khi víi mäi
n > 1, σ(Xk , 1 6 k 6 n) vµ σ(Xk , k > n + 1) ®éc lËp.
6. Gi¶ sö
X1 , X2 , ..., Xn
lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn, ta ®Þnh nghÜa
FX1 ,X2 ,...,Xn (x1 , x2 , ..., xn ) = P(X1 < x1 , X2 < x2 , ..., Xn < xn )
9
(xi ∈ R, i = 1, ...n).
X1 , X2 , ..., Xn
Khi ®ã
®éc lËp khi vµ chØ khi
FX1 ,X2 ,...,Xn (x1 , x2 , ..., xn ) = FX1 (x1 )FX2 (x2 )...FXn (xn ).
7. NÕu
X
vµ
Y
lµ hai biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp th×
E(XY ) = EXEY.
Tæng qu¸t. NÕu
X1 , X2 , . . . , Xn
lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp th×
E(X1 X2 . . . Xn ) = EX1 EX2 . . . EXn .
8.
th×
NÕu
X
Y
vµ
lµ
c¸c
biÕn
ngÉu
nhiªn
®éc
lËp
D(X ± Y ) = DX + DY .
Tæng qu¸t:
NÕu
X1 , X2 , ..., Xn
lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp ®«i mét th×
D(X1 + · · · + Xn ) = DX1 + · · · + DXn .
1.2
Mét sè ®Þnh lý giíi h¹n
1.2.1
C¸c d¹ng héi tô
§Þnh nghÜa 1.2.1.
Gi¶ sö
trªn kh«ng gian x¸c suÊt
•
t¹i tËp
D·y
{X, Xn , n > 1} lµ hä biÕn ngÉu nhiªn cïng x¸c ®Þnh
(Ω, F, P). Ta nãi:
{Xn , n > 1}
N ∈ F
sao cho
X
khi
n→∞
nÕu tån
Xn (ω) → X(ω)
khi
n → ∞
víi mäi
héi tô hÇu ch¾c ch¾n ®Õn
P(N ) = 0
vµ
ω ∈ Ω\N .
Ký hiÖu
Xn → X
h. c. c. hoÆc
h. c. c.
Xn −−−→ X
• D·y {Xn , n > 1} héi tô ®Çy ®ñ ®Õn X
th×
∞
X
khi
khi
n → ∞ nÕu víi mäi ε > 0
P(|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1
10
n → ∞.
Ký hiÖu
c
Xn →
− X
khi
n → ∞.
• D·y {Xn , n > 1} héi tô theo x¸c suÊt ®Õn X
khi
n → ∞ nÕu víi mäi
ε > 0 th×
lim P(|Xn − X| > ε) = 0.
n→∞
Ký hiÖu
P
Xn −→ X
khi
n → ∞.
• D·y {Xn , n > 1} héi tô theo trung b×nh cÊp p > 0 ®Õn X
nÕu
n→∞
X, Xn (n > 1) kh¶ tÝch bËc p vµ lim E|Xn − X|p = 0.
n→∞
Ký hiÖu
Lp
Xn −→ X
khi
n → ∞.
• D·y {Xn , n > 1} theo ph©n phèi (héi tô yÕu) ®Õn X
lim Fn (x) = F (x)
víi mäi
n→∞
Trong ®ã
Xn
khi
vµ
khi
n → ∞ nÕu
x ∈ C(F ).
Fn (x) vµ F (x) t¬ng øng lµ hµm ph©n phèi cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn
X , C(F ) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm mµ t¹i ®ã F (x) liªn tôc.
Ký hiÖu
D
Xn −
→ X.
Héi tô hÇu ch¾c ch¾n cßn ®îc gäi lµ héi tô víi x¸c suÊt 1, héi tô theo
trung b×nh cÊp
p cßn ®îc gäi lµ héi tô trong Lp . §Þnh lý sau ®©y lµ mét kÕt qu¶
quan träng ®Ó chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a c¸c d¹ng héi tô.
§Þnh lý 1.2.2.
h. c. c
Xn −−−→ X
khi vµ chØ khi víi mäi
ε > 0,
lim P(sup |Xm − X| > ε) = 0.
n→∞
HÖ qu¶ 1.2.3.
NÕu
HÖ qu¶ 1.2.4.
NÕu
c
Xn →
− X
∞
P
m>n
th×
h. c. c
Xn −−−→ X .
h. c. c
E|Xn − X|p < ∞ víi p > 0 nµo ®ã th× Xn −−−→ X.
n=1
§Þnh lý sau ®©y sÏ chØ ra ®iÒu kiÖn ®Ó chiÒu ngîc cña HÖ qu¶ 1.2.3 ®óng.
§Þnh lý 1.2.5.
th×
NÕu
h. c. c
{Xn , n > 1} lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp vµ Xn −−−→ C
c
Xn →
− C.
11
§Þnh
th×
lý
1.2.6.
NÕu
h. c. c
Xn −−−→ X
hoÆc
L
r
Xn −→
X
víi
p > 0
nµo ®ã
P
Xn −→ X.
§Þnh lý 1.2.7.
NÕu
P
Xn −→ X
th×
D
Xn −
→ X.
Ta thÊy héi tô theo ph©n phèi nãi chung thùc sù yÕu h¬n héi tô theo x¸c
suÊt. Tuy nhiªn, trong trêng hîp biÕn ngÉu nhiªn giíi h¹n lµ h»ng sè th× ta cã
§Þnh lý 1.2.8.
NÕu
§Þnh nghÜa 1.2.9.
D
Xn −
→X
vµ
P
P(X = C) = 1 th× Xn −→ X.
Ta nãi d·y biÕn ngÉu nhiªn
{Xn , n > 1} lµ d·y c¬ b¶n
• HÇu ch¾c ch¾n (h. c. c) nÕu P( lim |Xm − Xn | = 0) = 1.
m,n→∞
• Theo x¸c suÊt nÕu lim P(|Xm − Xn | > ε) = 0 víi mäi ε > 0.
m,n→∞
• Theo trung b×nh cÊp p > 0 nÕu lim E|Xm − Xn |p = 0.
m,n→∞
§Þnh
khi
lý
1.2.10.
D·y
{Xn , n > 1}
c¬ b¶n hÇu ch¾c ch¾n khi vµ chØ
{Xn , n > 1} héi tô hÇu ch¾c ch¾n.
§Þnh lý 1.2.11.
{Xn , n > 1} lµ c¬ b¶n hÇu ch¾c ch¾n khi vµ chØ khi mét
D·y
trong hai ®iÒu kiÖn sau tho¶ m·n
(i)
lim P( sup |Xk − Xl | > ε) = 0 víi mäi ε > 0.
n→∞
(ii)
k,l>n
lim P(sup |Xk − Xn | > ε) = 0 víi mäi ε > 0.
n→∞
§Þnh lý 1.2.12.
k>n
NÕu d·y
{Xn , n > 1} c¬ b¶n theo x¸c suÊt th× tån t¹i d·y con
{Xnk , k > 1} ⊂ {Xn , n > 1} sao cho {Xnk , k > 1} héi tô h. c. c.
§Þnh
khi
lý
1.2.13.
D·y
{Xn , n > 1}
héi tô theo x¸c suÊt khi vµ chØ
{Xn , n > 1} c¬ b¶n theo x¸c suÊt.
Tõ hai ®Þnh lý trªn, suy ra ngay hÖ qu¶ sau ®©y
HÖ qu¶ 1.2.14.
NÕu d·y
{Xn , n > 1}
héi tô theo x¸c suÊt th× tån t¹i d·y con
{Xnk , k > 1} ⊂ {Xn , n > 1} sao cho {Xnk , k > 1} héi tô hÇu ch¾c ch¾n.
§Þnh lý 1.2.15.
vµ chØ khi
Víi
p > 1,
d·y
{Xn , n > 1}
héi tô theo trung b×nh cÊp
{Xn , n > 1} c¬ b¶n theo trung b×nh cÊp p.
12
p
khi
1.2.2
Mét sè bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n
Trong lý thuyÕt x¸c suÊt, ®Ó thiÕt lËp c¸c ®Þnh lý giíi h¹n, ta thêng cÇn
dïng c¸c bÊt ®¼ng thøc. Díi ®©y lµ mét sè trong c¸c bÊt ®¼ng thøc ®èi víi c¸c
biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp.
§Þnh
lËp,
lý
1.2.16.
Gi¶
sö
EXi = 0, DXi = σi2
X1 , X2 , . . . , Xn
víi mäi
lµ
c¸c
biÕn
ngÉu
nhiªn
i = 1, 2, . . . , n. §Æt Sk = X1 + .... + Xk
®éc
víi
1 6 k 6 n. Khi ®ã, víi mäi ε > 0, ta cã
n
1 P
σi2 .
(i) P(max16k6n |Sk | > ε) 6
2
ε i=1
(ii) NÕu P(max16k6n |Xk | 6 c) = 1 th×
(ε + c)2
P
P( max |Sk | > ε) > 1 − n
2.
16k6n
i=1 σi
HÖ qu¶ 1.2.17.
bËc
Gi¶ sö
{Xn , n > 1}
lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, kh¶ tÝch
2. Khi ®ã víi mäi ε > 0, ta cã
k
1 X
2
EXm
(i) P max |Sm − Sn | > ε 6
;
n6m6k
ε2 m=n+1
∞
1 X
2
EXm
.
(ii) P sup |Sm − Sn | > ε 6
2
ε m=n+1
m>n
§Þnh lý 1.2.18.
Gi¶ sö
{Xn , n > 1} lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, cã c¸c kú
väng b»ng 0 vµ kh¶ tÝch bËc
2. Khi ®ã
k
n
X
2
X
E max
Xi 6 2
EXi2 .
16k6n
i=1
i=1
Chi tiÕt chøng minh vÒ kh¼ng ®Þnh nµy cã thÓ t×m thÊy trong [6] cho mét
trêng hîp tæng qu¸t h¬n.
1.2.3
C¸c luËt sè lín
LuËt sè lín lµ mét d¹ng ®Þnh lý giíi h¹n quan träng cña lý thuyÕt x¸c suÊt.
LuËt sè lín cã nhiÒu øng dông trong thèng kª, kinh tÕ, y häc vµ mét sè ngµnh
13
khoa häc thùc nghiÖm kh¸c.
LuËt yÕu sè lín ®Çu tiªn ®îc chøng minh bëi mét nhµ to¸n häc ngêi
Thôy Sü lµ J. Bernoulli, kÕt qu¶ nµy ®îc c«ng bè vµo n¨m 1713 khi «ng ®· qua
®êi. VÒ sau, luËt yÕu sè lín cña J. Bernoulli ®îc më réng bëi S. D. Poisson, J.
Bienayme, P. L. Chebyshev, A. A. Markov vµ A. Y. Khinchin. Tuy nhiªn, ph¶i
®Õn n¨m 1909 th× luËt m¹nh sè lín míi ®îc mét nhµ to¸n häc ngêi Ph¸p lµ E.
Borel ph¸t hiÖn vµ kÕt qu¶ nµy ®· ®îc A. N. Kolmogorov hoµn thiÖn. ThuËt ng÷
``luËt sè lín'' ®îc dïng ®Çu tiªn bëi S. D. Poisson.
§Þnh nghÜa 1.2.19.
Gi¶ sö
{Xn , n > 1}
lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn cã kú väng
EXi = ai (i = 1, 2, . . . ). Ta nãi
• D·y {Xn , n > 1}
tu©n theo luËt yÕu sè lín nÕu
X1 + · · · + Xn a1 + · · · + an P
−
−→ 0
n
n
•
sè
D·y
{Xn , n > 1}
khi
n → ∞.
tu©n theo luËt yÕu sè lín tæng qu¸t nÕu tån t¹i d·y
{bn , n > 1}, 0 < bn ↑ ∞ sao cho
X1 + · · · + Xn a1 + · · · + an P
−
−→ 0
bn
bn
khi
n → ∞.
NÕu trong ®Þnh nghÜa trªn, sù héi tô theo x¸c suÊt ®îc thay bëi sù héi tô
hÇu ch¾c ch¾n th× ta nãi d·y
{Xn , n > 1}
tu©n theo luËt m¹nh sè lín
(t¬ng
øng, luËt m¹nh sè lín tæng qu¸t). §Þnh lý sau ®©y thiÕt lËp luËt yÕu sè lín cho
d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp ®«i mét, kh«ng cïng ph©n phèi.
§Þnh lý 1.2.20
(LuËt yÕu sè lín Markov). NÕu
{Xn , n > 1}
nhiªn ®éc lËp ®«i mét vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn
n
1 X
DXi → 0
n2 i=1
th×
{Xn , n > 1} tu©n theo luËt yÕu sè lín.
14
khi
n → ∞.
lµ d·y biÕn ngÉu
§Þnh lý sau ®©y thiÕt lËp luËt m¹nh sè lín Kolmogorov cho trêng hîp d·y
biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp kh«ng cïng ph©n phèi.
(LuËt m¹nh sè lín Kolmogorov). Gi¶ sö {Xn , n > 1} lµ d·y
∞ DX
P
n
biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, 0 < bn ↑ ∞. Khi ®ã, nÕu
< ∞ th×
2
n=1 bn
§Þnh lý 1.2.21
n
1 X
(Xk − EXk ) → 0
bn
h. c. c.
k=1
HÖ qu¶ 1.2.22.
NÕu {Xn , n
> 1} lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp vµ supn DXn =
C < +∞ th×
n
1X
(Xi − EXi ) → 0
n i=1
§Þnh lý 1.2.23.
(Etemadi) Gi¶ sö
h. c. c
(n → ∞).
{Xn , n > 1} lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp
®«i mét, cïng ph©n phèi. Khi ®ã, nÕu
E|X1 | < ∞ th×
n
1X
Xi → EX1 h. c. c.
n i=1
Ngîc l¹i, nÕu {Xn , n > 1} lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, cïng ph©n phèi vµ
n
P
1
Xi héi tô hÇu ch¾c ch¾n ®Õn h»ng sè C h÷u h¹n nµo ®ã th× E|X1 | < ∞
n
i=1
vµ C = EX1 .
Chó ý r»ng luËt m¹nh sè lín cho d·y cïng ph©n phèi lÇn ®Çu tiªn ®îc
chøng minh bëi Kolmogorov cho trêng hîp d·y ®éc lËp, sau ®ã ®îc c¶i tiÕn
bëi Etemadi cho trêng hîp d·y ®éc lËp ®«i mét (xem [3]). Ngoµi ra, tõ ®Þnh lý
trªn còng suy ra ®îc luËt sè lín Chebyshev-Khinchin sau ®©y.
HÖ qu¶ 1.2.24.
(LuËt sè lín Chebyshev-Khinchin) Gi¶ sö
{Xn , n > 1} lµ d·y
biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp ®«i mét, cïng ph©n phèi tháa m·n
E|Xn | < ∞
vµ
EXn = a (h÷u h¹n) víi mäi n ∈ N. Khi ®ã {Xn , n > 1} tu©n theo luËt sè lín
X1 + X2 + · · · + Xn P
→
− a
n
15
khi
n → ∞.
HÖ qu¶ 1.2.25.
(Bernoulli) TÇn suÊt
fn
cña mét biÕn cè héi tô hÇu ch¾c ch¾n
(do ®ã, héi tô theo x¸c suÊt) vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè ®ã khi n → ∞.
16
- Xem thêm -
.PDF 
47 
79501 
139 
